固體物理第三章第四講

1、第三章 晶格振動3.3 晶格振動的量子化和聲子3.3.1 簡正坐標(biāo)簡諧振子的總能量E為：E = 1 mv2 + 1 kx2 = 1 mx&2 + 1 kx22222= 1 mx&2 + 1 m k x2 = 1 mx&2 + 1 m(wx)222m22第三章 晶格振動因為： xn= Aei (wt - qna) A = Aq但實際上A與q有關(guān)，即： x= A (t)e-i(qna) nq x= A ei(wt -qna) = A ei (wt )e-i (qna) nqq第三章 晶格振動顯然，第n個原胞的總位移為：晶體系統(tǒng)的動能：T = 1 å mx&

2、22nn x (t) = å A (t)e-i(qna) nqq第三章 晶格振動晶體系統(tǒng)的勢能：晶體系統(tǒng)的總能量：E = T + U = 1 å m)222nnnU = 1 b å(x- x )22n+1nn第三章 晶格振動但勢能項有交叉項難于表述。引入簡正坐標(biāo)可以消除交叉項。對N個組成的體系的動能：1 3N2T =å mi m&i2 i=1第三章 晶格振動注意：的位置為：其中：Rn為平衡位置；mn為偏離平衡位置的位移矢量R' (t) = R + m (t)nnn第三章晶格振動勢能為一般設(shè):并略去高階項U= 0；( ¶U )=

3、00¶m0i：3 N¶UU = U0 + å( ¶m )0 mii=1i+ 1 å(¶ U3N2) m m + 高階項2¶m ¶m0ij i, j =1ij第三章 晶格振動故勢能為：1 3N¶ 2VU =å()0 mim j2 i, j =1¶mi¶m j第三章 晶格振動引入新的簡正坐標(biāo)：Q1、Q2、Q3、Q3N且簡正坐標(biāo)與位移坐標(biāo)有：3Nmi mi = å aijQjj =1第三章 晶格振動因此有：其中： w =biimi1 3N22U =åwi Qi2

4、 i, j =13NT = 1 åQ& 22ii=1第三章 晶格振動因此動能函數(shù)與勢能函數(shù)都是正定的。系統(tǒng)的函數(shù)為：L=T-U正則動量為：p = ¶L = Q&i¶Q& ii第三章晶格振動系統(tǒng)的總能量：系統(tǒng)的哈密頓量：3N H = E = 1 å( p2 + w 2Q2 )2iiii=1E = T + U3N3N= 1 åQ& 2 + 1 åw 2Q22i2iii=1i, j =1第三章晶格振動應(yīng)用正則方程：一般通解為：wi= 2pniQi = Asin(wit + f0 )Q&& +

5、w 2Q = 0i = 1,2,3,. 3Niii第三章 晶格振動簡正坐標(biāo)與位移坐標(biāo)之間為：3N m = 1å a Qimijjij =13Nmi mi = å aijQjj =1第三章 晶格振動某一個Qi的振動時：當(dāng)只簡正振動不是一個整個晶體所有頻率相同。的振動，而是表示都參與的振動，且振動 m =aijQ =aijAsin(w t + f )imjmj0ii第三章 晶格振動3.3.2 能量量子化由簡正坐標(biāo)所代表的、體系中所有加的共同振動,稱為一個振動模。一起參可以把晶格振動用簡正坐標(biāo)的形式寫出來：Q x (t) = å A (t)e-i(qna)nqq x (

6、q) =1åQ(q)e-i(qna) nNmq第三章晶格振動其中：與式相比：mx (q) = 1 åQ(q)e-i(qna) nNq3Nmi mi = å aijQjj =1Q(q) =Nm A eiwqtq第三章晶格振動因此：Q(q)是否能將a變換為平方和的形式，需要。E = T + U = 1 å m)222nnna=1e-inqa nqN第三章 晶格振動注意：Q x (q) =1å Q(q)e-i(qna) nNmq x (q) =1å Q(-q)ei(qna) nNm -qìQ*(q) = Q(-q)ï&#

7、237; 1 N -1ina(q- q' )ï N å e= dqq'în=0第三章晶格振動兩端取復(fù)共軛：注意： Q(-q) = Q*(q) x= x*nnx* (q) =1åQ*(q)ei(qna)nNmq第三章晶格振動對第二式： q = q'當(dāng)?shù)仁阶蠖?1;等式右端=11 åN -1ina(q-q' )e= dqq'N n=0第三章 晶格振動當(dāng) q ¹ q'時：h(2p )Q q =Na; h為整數(shù) q - q' = s第三章晶格振動式成立：1 åN -1ina(q

8、-q' )e= dqq'N n=01 N -1'1 N -1å eina( q- q ) =å eina( s )N n=0N n=0= 1 åN -1= 1- eiNas=(e(ias) )n0N n=01- eias第三章 晶格振動利用這兩式來化簡系統(tǒng)動能和勢能：T = 1 må x&22nn= 1 m 1 å(åQ& (q)e-inaq )(åQ& (q')e-inaq' )2Nm nqq '= 1 åQ& (q)Q& (

9、q')( 1 å e-ina(q+q') ) 2 qq'Nn第三章 晶格振動因此：T = 1 å Q& (q)Q& (-q)2 q= 1 å Q& (q)Q& * (q)2 q= 1 å Q& (q) 22 q第三章 晶格振動勢能函數(shù)：U = 1 b å(x- x )22n+1nn= 1 b å(x - x)22nn-1n= 1 b å 1 å Q(q)e-inaq (1- eiaq )2nNmq´å Q(q')e-inaq

10、' (1- eiaq' )q '第三章 晶格振動化簡：U = b åQ(q)(1- eiaq )Q(q')(1- eiaq' ) 2m qq'´ 1 å eina(q+ q')Nn= b å Q(q)(1- eiaq )Q(-q)(1- e-iaq ) 2m q第三章 晶格振動因此：U = åQ(q)Q(-q) b (1- eiaq )(1- e-iaq )q2m= åQ(q)Q(-q) b (2 - 2 cos(aq)q2m= 1 åQ(q)Q*(q)w 22qq=

11、1 åw 2 Q(q) 22qq第三章 晶格振動即Q(q)是系統(tǒng)的復(fù)數(shù)形式的簡正坐標(biāo)等式右端的每一個單項就代表一個簡諧振子的能量。 H = 1 å( Q& (q) 2 + w 2 Q(q) 2 )2qq第三章 晶格振動根據(jù)量子力學(xué)的結(jié)果：頻率為i的諧振子的能量是量子化的：系統(tǒng)總能量也是量子化的：NN1E = åei = å(ni + 2)hwini = 0,1,2,3.i=1i=1e = (n + 1 )hwn = 0,1,2,3.ii2ii第三章 晶格振動3.3.3 聲子聲子（Phonon）是晶體的能量量子晶格振動對于具有強相互作用的，可以看成

12、是由數(shù)目為ni個，能量的理想聲子組成的系統(tǒng)每一個 hwi為整個晶體則是由眾多聲子組成的聲子氣體。第三章 晶格振動的比較 聲子光子（photon）聲子(phonon)統(tǒng)計特性玻色系統(tǒng)玻色-系統(tǒng)粒子性電磁場的粒子晶體的機械能場的準(zhǔn)粒子波矢kq動量 hk 準(zhǔn)動量hq 能量 huw第三章 晶格振動聲子數(shù)不守恒在熱平衡狀態(tài)下：頻率為i的數(shù)滿足玻色統(tǒng)計：的平均聲子n =1ihwiekBT- 1第三章晶格振動平均能量：第一零點能。e = hwi +hwii2hwiekBT- 1第三章 晶格振動如忽略零點能，且 kBT >> hwi有：ei» kBT kBT >> hwi表明

13、在情況下，系統(tǒng)過渡到經(jīng)典情況。第三章 晶格振動3.4 晶格振動譜的實驗測定3.4.1 聲子與其他粒子的相互作用晶格振動頻率與波數(shù)矢量q之間的函數(shù) (q)，稱為的色散或晶格振動譜。利用其他波與 (q)。的相互作用可以直接測定第三章晶格振動一般用：中子束、x射線束、光子束等與聲子的相互作用來測定聲子譜。第三章 晶格振動中子、x射線、光子與聲子的比較聲 子中子X射線光子(可見光)能量（eV）0.010.020.031040.30.5波長()28000231230007000波矢(cm-1)0108010801080105第三章 晶格振動1、光子與聲子如果外來粒子是可見光子與聲子進行碰撞，這時，能量和

14、準(zhǔn)動量守恒律可寫成： hw¢ = hw ± hw j (q) hk¢ = hk ± hq ± hG 第三章 晶格振動和k表入射到晶體的光子頻率和波矢，和k則為散射的頻率和波矢。聲子頻率和波矢分別為j（q）和q，“+”和“”代表吸收和發(fā)射聲子過程，G為倒。入子受到聲子散射，在晶格中產(chǎn)生一個聲子或者吸收一個聲子第三章 晶格振動由于光子的波矢k，k遠(yuǎn)小于總有G = 0。區(qū)尺度，在晶體中，光子頻率與波矢的為 ：w = c knQ L = 2p 2p 2´108 (cm-1)a3´10-8第三章 晶格振動此處c為真空中的光速，n為晶體

15、折射率。由于聲子頻率遠(yuǎn)小于光子，碰撞的w » w¢頻率改變很小，可以認(rèn)為：第三章 晶格振動我們有 kk這樣聲子波矢可由下式得到光散射過程中晶格動量守恒示意圖q » 2k sin q2第三章 晶格振動這樣根據(jù)光子與聲子碰撞后的頻移，可以得到聲子的頻率。波矢方向的改變，可得聲子的波矢散子與聲學(xué)聲子相互作用。喇曼散子與光學(xué)聲子相互作用。光子與晶格的非彈性散射入子的頻率和波矢散子 入子受到聲子散射，變成散子，與此同時在晶格中放出，或者吸收一個聲子能量守恒 作用過程滿足動量守恒 固定入的頻率和入射方向，測量不同方向的散的頻率，可以得到聲子的振動譜hkv'-hkv =

16、 ±hqv ± hGvnhw'-hw = ±hw(qv)1)光子與長聲波聲子的相互作用光子的散射長聲學(xué)波聲子的波矢 不同角度方向測得散子的頻率，得到聲子頻率聲子的波矢聲子振動譜散和入的頻率位移散射2)光子與光學(xué)波聲子的相互作用 光子的喇曼散射能量守恒動量守恒 可見光或紅外光波矢很小要求聲子波矢必須很小 光子的喇曼散射限于光子與長光學(xué)波聲子的相互作用散和入頻率位移hkv'-hkv = ±hqv ± hGvnhw'-hw = ±hw(qv)第三章 晶格振動由于光速c很大，可見光的波矢k就很小，能夠測量的聲子波矢也很

17、小。區(qū)中心（即q 0）附用可見光只能測量近區(qū)域的色散，而無法測量整個區(qū)的色散。第三章 晶格振動克服上述的是增加所用光子的頻率光子的頻率要增加到X光波段。此時，光子的波矢是可以測量整個區(qū)色散的。2X光非彈性散射X具有更高的頻率(波矢可以很大)，可以用來研究聲子的振動譜X射線的能量104 eV 遠(yuǎn)大于聲子能量10 2 eV在實驗技術(shù)上很難精確地直接測量X光在散射前后的能量差，確定聲子的能量是很的(X光子的頻率比聲子高;X光子受到聲子散射后的頻移非常小)第三章 晶格振動目前最方便和有效的測量聲子譜的是用中子的非彈性散射。從反應(yīng)堆出來的慢中子，其能量和動量都和聲子相差不太遠(yuǎn)，所以可以比較容易地測定被聲

18、子散射前后中子能量和動量的變化易獲得聲子能量（頻率）和動量（波矢）的信息，即獲得聲子譜3、 中子非彈性散射入射晶體時中子的動量和能量體后中子的動量和能量中子束與產(chǎn)生非彈性散射可以看成是吸收和發(fā)射聲子的過程能量守恒動量守恒倒格子矢量聲子的準(zhǔn)動量hqvpv - pv' = ±hqv ± hGvnp '2-p2= ± w(q)2Mn2Mnì+ :w(q)Absorb a Phononí- :w(q)Emit a Phononî第三章 晶格振動散射應(yīng)該滿足能量和動量守恒：“+”表示吸收一個聲子，“”表示發(fā)射一個聲子,p'

19、;2-p2= ± w2M2Mh(q)nnp'- p = ±hq + hGnGn = n1b1 + n2b2 + n3b3為倒格子矢量第三章 晶格振動 hq 為準(zhǔn)動量，并不是聲子的真實的動量，只是其作用類似動量。等式右端加Gn, 是因為如果k-k超出了第一淵區(qū)，加Gn可以保證q在第一區(qū)里。動量守恒是空間均勻性（完全的平移對稱性）的結(jié)果準(zhǔn)動量守恒是晶格周期性（晶格平移對稱性）的結(jié)果第三章 晶格振動一方面，晶格具有一定的平移對稱性，故有與動量守恒類似的；另外一方面，晶格平移對稱性比完全的平移對稱性低，因此，變換規(guī)則變?nèi)?，可以相?hGn第三章 晶格振動原則上，由測定散射中

20、子的動量和能量的變化，利用：可以確定 (q)，p'2-p2= ± w2M2Mh(q)nnp'- p = ±hq + hGn 中子的能量 0.020.04 eV 聲子的能量 10 2 eV測得各個方位上入射中子和散射中子的能量差E 'n - En = ± w(q) 確定聲子的頻率根據(jù)入射中子和散射中子方向的幾何 確定聲子的波矢 得到聲子的振動譜 w(q) q從反應(yīng)堆出來的慢中子的能量與聲子的能量接近，測定中子散射前后能量變化，直接給出聲子能量的信息pv - pv' = ±hqv ± hGvn第三章 晶格振動3.4.

21、2 三軸中子譜儀測量裝置采用三軸中子譜儀。所謂三軸，是指單色器、樣品、分析器三者都有各自的軸可轉(zhuǎn)動以實現(xiàn)測量。三軸中子譜儀第三章 晶格振動從反應(yīng)堆出來的慢中子流，經(jīng)準(zhǔn)直器射到單色器上。單色器是一塊單晶，通常為鍺、鉛或石墨，按布喇格反射產(chǎn)生單色的，具有固定動量的中子流。這束中子通過準(zhǔn)直器落到被研究的樣品上，散射后由分析器接收。第三章 晶格振動分析器也是一塊單晶，利用布喇格反射原理來決定散射中子的能量和動量。這樣，根據(jù)入射中子、散射中子的能量和動量差，就能獲得與之進行作用的聲子的頻率和波矢，進而測得聲子譜。第三章 晶格振動作業(yè)：一、什么是聲子？試比較聲子與電子的異同點二、什么是三、已知一個散射？什

22、么是散射？在某個頻率下的能量為0.02eV，試求在300K時這個的平均聲子數(shù)是多少？如果能量為0.2eV；2eV，平均聲子數(shù)又是多少？四、 P.8283；3.4;3.5；第三章 晶格振動3.5晶格比熱3.5.0晶體熱容的一般表示晶體的熱容為：為晶體的平均動能=晶格振動能量+電子熱容EC= ( ¶ E )V¶T V第三章 晶格振動晶體熱容 = 晶格熱容 + 電子熱容在低溫下，電子熱容才有貢獻(xiàn)這里先討論晶格熱容的貢獻(xiàn)。即討論局限在絕緣體。第三章 晶格振動 kBT 經(jīng)典理論認(rèn)為一個簡諧振動的平均能量為如晶體里有N個，則有3N個簡諧振動模 E = 3NkBT C= ( ¶

23、 E )=¶ (3Nk T ) = 3NkV¶T V¶TBB第三章 晶格振動即熱容是一個與溫度和材料無關(guān)的常數(shù)，稱為帕替（Dulong-Petit）定律帕替定律與實驗符合高溫時但是低溫時CV隨溫度的下降按照T3而迅速下降帕替定律與實驗不符合。低溫下第三章 晶格振動3.5.1 比熱的量子理論發(fā)展了的量子假說，第一次提出了量子的熱容理論。NN1 E = åei = å(ni + 2)hwini = 0,1,2,3.i=1i=11Qei = (ni + 2)hwini = 0,1,2,3.第三章晶格振動因此：即晶體的平均能量只與溫度和簡正坐標(biāo)的振動模

24、的頻率有關(guān)，而與振動模所描述的運動狀態(tài)無關(guān)。= åN 1E(ni + 2)hwii=1N11= å(hwi+ 2)hwii=1ekBT- 1第三章 晶格振動當(dāng)N很大時，根據(jù)彈性理論，振動模式的頻率分布從0到。w = 0 ® l = ¥對應(yīng)于無限長的波或任意短的波。¥11 E = ò0(hw+ 2)hwg(w )d we kBT-1w = ¥ ® l = 0第三章 晶格振動其中g(shù)()為頻譜密度（spectral density）或: 振動模的態(tài)密度函數(shù)（狀態(tài)密度）。表示頻率在到+d范圍內(nèi)的振動模式數(shù)目 E = 

25、42;¥ (1+ 1)hwg(w) d w0hw2e kBT-1第三章 晶格振動3.5.2頻譜密度如果知道g()，是可以計算的。定義：dn為頻率在到+d范圍內(nèi)的振動模式數(shù)目g(w) = lim n = dnDw®0 d第三章 晶格振動如第j支的頻譜密度為gj()，則有：知道了 (q)，也就知道了g()Nå= N = òwmax g (w) d wwjqminj第三章 晶格振動的頻譜密度g()?？捎删Ц裾駝幼V求出在q空間，(q)=Constant，確定一個等頻面故在 +d之間的振動模式數(shù)目就等于(q)及(q)+d(q)兩個等頻面之間q代表的點的數(shù)目第三章晶

26、格振動已經(jīng)知道：由于N很大，可以認(rèn)為qi是準(zhǔn)連續(xù)分布注意：q是局限在第一區(qū)q = n 2p ;n = 0,±1,±2,±3,× × ××i = 1,2,3iiN aii第三章 晶格振動第一區(qū)在波矢（倒格子）空間的體積為倒格子原胞的體積 ：為正格子原胞的體積。W(2p)3* =W第三章 晶格振動N個波矢在q空間的分布密度為：V為晶體的體積(n) = N =N=V *(2 )3(2 )3在q空間，晶格振動模是均勻分布的，狀態(tài)密度根據(jù)做出一個等頻率面 之間的振動模式數(shù)目 頻率是q的連續(xù)函數(shù)兩個等頻率面和Dng(w) = limDw

27、®0 Dwg(w) =Vds(2p )3 ò Ñ w(q)q之間振動模式數(shù)目第三章 晶格振動故有頻譜密度的一般表：由此可知:知道了色散，就可以求出模式密度注意這里是總頻譜密度；有時說內(nèi)的頻譜密度，則會少一個V體積g() = dn = VòòdSq d(2 )3SÑ (q)q第三章 晶格振動如何求頻譜密度，先看一個例子。例1：試求一維單鏈的頻譜密度L = Na解： 設(shè)單鏈長度 h=1,2,3.N波矢取值 每個波矢的寬度2pNaq = 2p ´ h Na第三章晶格振動狀態(tài)密度dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)對應(yīng)±q, 取值相同d間隔

28、內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目g()dw = 2 ´ Na dq2pNa dq2pNa2p第三章 晶格振動一維單鏈色散令dw = w a cos( aq )dq0 22w = w sin( aq )02w =4b0mw2 = 4b sin2 ( aq )m2第三章晶格振動注意 因而 所以dq = 2dwaw2 - w20dw = aw2 - w2 dq20aqw2cos() =1-2w20第三章 晶格振動g() = 2N1pw2 - w20g() dw = 2 ´ Na dq2p= 2 ´ N1dwpw2 - w20第三章晶格振動狀態(tài)密度或頻譜密度，與群速度的倒數(shù)成正比NaQ g(

29、)dw = 2 ´ 2p dq g() = 2 ´ Na dq = 2 ´ Na1= 2 ´ Na 12p dw2p d2p vgdq第三章 晶格振動例2：對一維單解：一維單鏈，試求其模式密度。鏈的波矢密度為：N為數(shù)，a為晶格常數(shù)r(n) =L = Na2p2p第三章晶格振動故有：因為： (q)=(-q) G(w) = 2 Ldq= 2 L12p dw(q)2p dw(q)dqG(w)dw(q) =L dq2p第三章晶格振動對一維單鏈：為力常數(shù)，M為質(zhì)量w(q) = 2b sin( 1 qa)m2第三章 晶格振動因此：G(w) = L1p dw(q)dq

30、= L1p d (4b sin( 1 qa) )dqm2第三章晶格振動L1因此：G(w) = p4ba1cos(qa)2m12= 2Np1- sin 2 ( 1 qa)wmax24bmw=max第三章晶格振動因此：G(w) = 2N1pw2- w2 max1Qw(q) = wmax sin( 2 qa) sin( 1 qa) =w2wmac也可以直接由q空間的狀態(tài)密度來計算狀態(tài)密度振動模式密度g(w) = 2N1pw 2 - w 20二維情況，等頻率是一個圓振動模式密度一維情況g(w) =L2p cwg(w) =S4p cw = cq2 三維情形q空間的等頻率面是一個球面，球面面積振動模式密度

31、=Vw(2p )2 c3/ 2 例3：色散如果色散三維情況振動模式密度二維情況振動模式密度一維情況振動模式密度在的一些點奇點 范奇點，是晶體中一些高對稱點 區(qū)邊界 這些臨界點與晶體的對稱性密切相聯(lián)第三章 晶格振動若將3p支密度則為 ：考慮在內(nèi)，V體積內(nèi)總的頻譜其中表第支。晶體中振動模式數(shù)等于晶體度，則有：的g (w) = V å dS8p 3òSl | Ñ w |lql第三章 晶格振動ò g(w)dw = 3 pN 引入模式密度g()，系統(tǒng)能量可寫成：E = ò ¥æ11 öç+÷hw g(w) dw0