曲面積分與高斯公式

1、曲面積分與高斯公式1.第一類曲面積分(1)問題的提出設(shè)有一塊光滑的金屬曲面S 。它的密度是不均勻的。在其點(diǎn)(x,y,z)處密度為f（x,y,z），并設(shè)f在S上連續(xù),則金屬曲面S的質(zhì)量M說明: 第一類曲面積分與曲面的方向(側(cè))無(wú)關(guān)(2)第一類曲面積分的計(jì)算(代入法)設(shè)S 是一個(gè)光滑曲面， S 的方程是Z=f(x,y) ,當(dāng) f1時(shí)可得空間曲面面積的計(jì)算公式，即例1I=,S是半球面（）。解：, , =2. 第二類曲面積分(1)問題的提出磁通量問題。表示說明:第二類曲面積分與方向(側(cè))有關(guān)，改變方向，積分變號(hào)(2)計(jì)算(代入法) 用帶入法計(jì)算時(shí),一般應(yīng)分成三個(gè)計(jì)算: （如果曲面積分取的上側(cè)取號(hào)，如果

2、曲面積分取的下側(cè)取-號(hào)）.類似有（如果曲面積分取的前側(cè)取號(hào)，如果曲面積分取的后側(cè)取-號(hào)）。（如果曲面積分取的右側(cè)取號(hào)，如果曲面積分取的左側(cè)取-號(hào)）.例2:計(jì)算曲面積分，其中是圓面下側(cè)。分析: 由于在上， ，所以評(píng)論：本題展示的化簡(jiǎn)積分的方法是非常重要的。例3:計(jì)算曲面積分，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面及之間的下側(cè)分析: 可直接代公式計(jì)算, 而需要分成前后兩部分分別計(jì)算.解:（略）(3)高斯公式設(shè) D 是R內(nèi)的一個(gè)有界閉區(qū)域，其邊界由光滑曲面或逐片光滑曲面組成，方向是外側(cè)（相對(duì)于區(qū)域D而言）。又設(shè)函數(shù)P，Q，R都在D內(nèi)關(guān)于 x,y,z有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下列高斯公式成立： 由Gauss公式可計(jì)算某些空間

3、立體積分 V= 例4 計(jì)算, 式中S為球面的內(nèi)側(cè)解 由高斯公式 知 =例5：計(jì)算曲面積分 其中為曲面的上側(cè)?！痉治觥浚ㄑa(bǔ)面法）本題曲面不封閉，可考慮先添加一平面域使其封閉，在封閉曲面所圍成的區(qū)域內(nèi)用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可?！驹斀狻?補(bǔ)充曲面：，取下側(cè). 則 =其中為與所為成的空間區(qū)域，D為平面區(qū)域. 由于區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，因此. 又=其中.【評(píng)注】 （1）注意在計(jì)算過程中盡量利用對(duì)稱性進(jìn)行簡(jiǎn)化。本題也可通過直接投影進(jìn)行計(jì)算，但計(jì)算過程比較復(fù)雜。（2）本題中的三重積分計(jì)算用“先二后一”法，若用“先一后二”法計(jì)算量是大的例6：計(jì)算外側(cè)。 分析：該題，它們?cè)赟所包圍的區(qū)域內(nèi)不連續(xù)(在原點(diǎn)沒定義，偏導(dǎo)數(shù)不存在)，所以不能用高