一道圓錐曲線的離心率范圍的多解與變式題(共3頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一道圓錐曲線的離心率范圍的多解與變式題求解圓錐曲線離心率的取值范圍,常涉及到列不等式、三角形中角度的變化, 圓錐曲線的定義、性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)、綜合性強(qiáng),計(jì)算量大。有些學(xué)生做起來感到很吃力,甚至半途而廢，但只要掌握其本質(zhì)問題就變得容易了。下面我就2008年福建高考理科11題的求圓錐曲線離心率的取值范圍給出幾種常規(guī)解法, 希望讀者們在閱讀完這些題目后能有所收獲?。?8年福建高考理科11題）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍為A.(1,3)B.C.(3,+)D.解法一：利用三角形正余弦定理如圖，設(shè)，當(dāng)在右頂點(diǎn)處時(shí)，選B解法二：利用三角形的兩邊和大于第

2、三邊,及兩邊差小于第三邊,但要注意可以取到等號(hào)成立,因?yàn)榭梢匀c(diǎn)一線.設(shè)，則 又（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線等號(hào)成立）,選B解法三：利用焦半徑公式確定a與c的關(guān)系設(shè)點(diǎn)，則由焦半徑公式可得，故又,選B解法四：利用數(shù)行結(jié)合,即在雙曲線右支上恒存在點(diǎn)使得由上圖可知，又,選B看完了這道高考題的解法后,我們再來看看一些09年高三教學(xué)中的一些同類變式題!同類變式1:已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，若此雙曲線的離心率為e，且，則e的最大值為（ ）A B C2 D1解析 可采用解法四：如圖(1)所示，由解法四可知，兩邊同除以化簡可得：選D同類變式2:如果橢圓上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離與它到

3、右焦點(diǎn)的距離相等，那么橢圓的離心率的取值范圍為（ ）ABCD解析可采用解法二：如圖(2)所示,設(shè)，由題意及橢圓第二定義可知由解法二可知（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線等號(hào)成立），把代入化簡可得又,選B同類變式3:已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）A（1，+） B C D解析 可采用解法三：如圖(3)所示,設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，即在雙曲線右支上至少有一點(diǎn)，使得，設(shè)，則由焦半徑公式可得又 ,選C同類變式4:已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線離心率e的取值范圍是 （ ）A（1，+）B（1，2）C（D（）解析 可采用解法一：如圖(4)所示,設(shè)，由雙曲線的對稱性及通徑可知,在直角三角形中,即，兩邊同除以化簡可得又,選B同類變式5: （08年江西理7） 已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是 （ ） A B C D解析 可采用解法四:如圖（5）所示,畫圖可知點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，則它在橢圓內(nèi)部,故,，選C圖（1） 圖（2）圖（3）圖（4） 圖（5）以上幾道同類變式題也可采用本文例題的其它解法, 這里僅供讀者參考。求解圓錐曲線離心率的取值范圍，是復(fù)習(xí)解析幾何的主要題形