高考試題——數(shù)學理（福建卷）解析版

1、.2020年高考試題數(shù)學理福建卷解析解析一第I卷選擇題 共60分一、選擇題：本大題共12小題。每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的。1的值等于 ABCD【答案】A?！窘馕觥吭?，應(yīng)選A?！久}意圖】此題考察三角函數(shù)中兩角差的正弦公式以及特殊角的三角函數(shù)，考察根底知識，屬保分題。2以拋物線的焦點為圓心,且過坐標原點的圓的方程為 A B C D【答案】D?！窘馕觥恳驗閽佄锞€的焦點坐標為1，0，即所求圓的圓心，又圓過原點，所以圓的半徑為，故所求圓的方程為，即，選D?！久}意圖】此題考察拋物線的幾何性質(zhì)以及圓的方程的求法，屬根底題。3設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,假設(shè)

2、,那么當取最小值時,n等于A6 B7 C8 D9【答案】A?！窘馕觥吭O(shè)該數(shù)列的公差為，那么，解得，所以，所以當時，取最小值?！久}意圖】此題考察等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式的應(yīng)用，考察二次函數(shù)最值的求法及計算才能。4函數(shù)的零點個數(shù)為 A0 B1 C2 D3【答案】C?！窘馕觥慨敃r，令解得；當時，令解得，所以函數(shù)有兩個零點，選C。【命題意圖】此題考察分段函數(shù)零點的求法，考察了分類討論的數(shù)學思想。5閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的值等于 A2 B3 C4 D5【答案】C。【解析】由程序框圖可知，該框圖的功能是輸出使和時的的值加1，因為，所以當時，計算到，故輸出的是4，選。6如圖

3、，假設(shè)是長方體被平面截去幾何體后得到的幾何體，其中為線段上異于的點，為線段上異于的點，且，那么以下結(jié)論中不正確的選項是A B四邊形是矩形C是棱柱 D是棱臺【答案】D。【解析】因為，所以，又，所以平面，又，平面平面，所以，故，所以選項A、C正確；因為平面，所以平面，又平面， 故，所以選項B也正確，應(yīng)選D?！久}意圖】此題考察空間中直線與平面平行、垂直的斷定與性質(zhì)，考察同學們的空間想象才能和邏輯推理才能。7假設(shè)點O和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,那么的取值范圍為 A B C D【答案】B?！窘馕觥恳驗槭请p曲線的左焦點，所以，即，所以雙曲線方程為，設(shè)點P，那么有，解得，

4、因為，所以=，此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為，因為，所以當時，獲得最小值，故的取值范圍是，選B。【命題意圖】此題考察待定系數(shù)法求雙曲線方程，考察平面向量的數(shù)量積的坐標運算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考察了同學們對根底知識的純熟程序以及知識的綜合應(yīng)用才能、運算才能。8設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是,平面區(qū)域是與關(guān)于直線對稱,對于中的任意一點A與中的任意一點B, 的最小值等于 A B4 C D2【答案】B?！窘馕觥坑深}意知，所求的的最小值，即為區(qū)域中的點到直線的間隔 的最小值的兩倍，畫出不等式表示的平面區(qū)域，如下圖，可看出點1，1到直線的間隔 最小，故的最小值為，所以選B。【命題意圖】此題考察不等

5、式中的線性規(guī)劃及兩個圖形間最小間隔 的求解、根本公式點到直線的間隔 公式等的應(yīng)用，考察了轉(zhuǎn)化與化歸才能。9對于復(fù)數(shù)，假設(shè)集合具有性質(zhì)“對任意，必有，那么當時，等于A1 B-1 C0 D【答案】B?！窘馕觥坑深}意，可取，所以，選B?！久}意圖】此題屬創(chuàng)新題，考察復(fù)數(shù)與集合的根底知識。10對于具有一樣定義域的函數(shù)和，假設(shè)存在函數(shù)為常數(shù)，對任給的正數(shù)，存在相應(yīng)的，使得當且時，總有那么稱直線為曲線與的“分漸近線。給出定義域均為D=的四組函數(shù)如下：，；，；，；，。其中，曲線與存在“分漸近線的是A B C D【答案】C【命題意圖】此題從大學數(shù)列極限定義的角度出發(fā)，仿造構(gòu)造了分漸近線函數(shù)，目的是考察學生分析

6、問題、解決問題的才能，考生需要抓住本質(zhì)：存在分漸近線的充要條件是時，進展做答，是一道好題，思維靈敏。【解析】要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，存在分漸近線的充要條件是時，。對于，當時便不符合，所以不存在；對于，肯定存在分漸近線，因為當時，；對于，設(shè)且，所以當時越來愈大，從而會越來越小，不會趨近于0，所以不存在分漸近線；當時，因此存在分漸近線。故，存在分漸近線的是選C。二、填空題11在等比數(shù)列中,假設(shè)公比,且前3項之和等于21,那么該數(shù)列的通項公式 【答案】【解析】由題意知，解得，所以通項?！久}意圖】此題考察等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用，屬根底題。12假設(shè)一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如下圖,那

7、么其外表積等于 【答案】【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為2，高為1的正三棱柱，所以底面積為，側(cè)面積為，所以其外表積為。KS*5U.C#O%【命題意圖】此題考察立體幾何中的三視圖，考察同學們識圖的才能、空間想象才能等根本才能。13某次知識競賽規(guī)那么如下:在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手假設(shè)能連續(xù)正確答復(fù)出兩個問題，即停頓答題，晉級下一輪。假設(shè)某選手正確答復(fù)每個問題的概率都是，且每個問題的答復(fù)結(jié)果互相獨立，那么該選手恰好答復(fù)了4個問題就晉級下一輪的概率等于 。【答案】0128【解析】由題意知，所求概率為?！久}意圖】此題考察獨立重復(fù)試驗的概率，考察根底知識的同時，進一步考察同學們的分析問題、

8、解決問題的才能。KS*5U.C#O%14函數(shù)和的圖象的對稱軸完全一樣。假設(shè)，那么的取值范圍是 ?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意知，因為，所以，由三角函數(shù)圖象知：的最小值為，最大值為，所以的取值范圍是。【命題意圖】此題考察三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考察了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。15定義域為的函數(shù)滿足：對任意，恒有成立；當時，。給出如下結(jié)論：對任意，有；函數(shù)的值域為；存在，使得；“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的充要條件是 “存在，使得。其中所有正確結(jié)論的序號是 。【答案】【解析】對，因為，所以，故正確；經(jīng)分析，容易得出也正確。【命題意圖】此題考察函數(shù)的性質(zhì)與充要條件，純熟根底知識是解答好此題的關(guān)鍵。16本小題總分值13分

9、設(shè)是不等式的解集，整數(shù)。記“使得成立的有序數(shù)組為事件，試列舉包含的根本領(lǐng)件；設(shè)，求的分布列及其數(shù)學期望。【命題意圖】本小題主要考察概率與統(tǒng)計、不等式等根底知識，考察運算求解才能、應(yīng)用意識，考察分類與整合思想、必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想?！窘馕觥坑傻茫?，由于整數(shù)且，所以包含的根本領(lǐng)件為。由于的所有不同取值為-2，-1，0，1，2，3，所以的所有不同取值為0，1，4，9，且有，故的分布列為0149P所以=。17本小題總分值13分中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A2，3，且點F2，0為其右焦點。1求橢圓C的方程；2是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點，且直線OA與的間隔 等于4？假

10、設(shè)存在，求出直線的方程；假設(shè)不存在，請說明理由?！久}意圖】本小題主要考察直線、橢圓等根底知識，考察運算求解才能、推理論證才能，考察函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想?！窘馕觥?依題意，可設(shè)橢圓C的方程為，且可知左焦點為，從而有，解得，又，所以，故橢圓的方程為。概率為。i當點C在圓周上運動時，求的最大值；ii記平面與平面所成的角為，當取最大值時，求的值?！久}意圖】本小題主要考察直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等根底知識，考察空間想象才能、運算求解才能、推理論證才能，考察數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。【解析】因為平面ABC，平面

11、ABC，所以，因為AB是圓O直徑，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。KS*5U.C#O%i設(shè)圓柱的底面半徑為，那么AB=，故三棱柱的體積為=，又因為，所以=，當且僅當時等號成立，從而，而圓柱的體積，故=當且僅當，即時等號成立，所以的最大值是。KS*5U.C#O%ii由i可知，取最大值時，于是以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖，那么Cr，0，0，B0，r，0，0，r，2r，因為平面，所以是平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量，由，故，取得平面的一個法向量為，因為，所以。19本小題總分值13分。，輪船位于港口O北偏西且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行

12、駛。假設(shè)該小船沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇。1假設(shè)希望相遇時小艇的航行間隔 最小，那么小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？2假設(shè)小艇的最高航行速度只能到達30海里/小時，試設(shè)計航行方案即確定航行方向與航行速度的大小，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由?！窘馕觥咳鐖D，由1得而小艇的最高航行速度只能到達30海里/小時，故輪船與小艇不可能在A、C包含C的任意位置相遇，設(shè)，OD=，由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為和，所以，解得，從而值，且最小值為，于是當獲得最小值，且最小值為。此時，在中，故可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東，航行速度為30海里/小時，

13、小艇能以最短時間與輪船相遇。20本小題總分值14分函數(shù)，。i求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；ii證明：假設(shè)對于任意非零實數(shù)，曲線C與其在點處的切線交于另一點，曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段對于一般的三次函數(shù)ii的正確命題，并予以證明?！久}意圖】本小題主要考察函數(shù)、導數(shù)、定積分等根底知識，考察抽象概括才能、運算求解才能、推理論證才能，考察函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想。【解析】i由得=，當和時，；當時，因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。21此題設(shè)有123三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，總分值14分。假如多做，那么按所做的前兩題計分。作答時，先用2B鉛筆

14、在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。1本小題總分值7分選修4-2：矩陣與變換矩陣M=，且，務(wù)實數(shù)的值；求直線在矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像的方程。2本小題總分值7分選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xoy中，直線的參數(shù)方程為t為參數(shù)。在極坐標系與直角坐標系xoy取一樣的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸中，圓C的方程為。求圓C的直角坐標方程；設(shè)圓C與直線交于點A、B，假設(shè)點P的坐標為，求|PA|+|PB|。3本小題總分值7分選修4-5：不等式選講函數(shù)。KS*5U.C#O%假設(shè)不等式的解集為，務(wù)實數(shù)的值；在的條件下，假設(shè)對一實在數(shù)x恒成立，務(wù)實數(shù)m的取值

15、范圍。1選修4-2：矩陣與變換【命題意圖】本小題主要考察矩陣與變換等根底知識，考察運算求解才能。KS*5U.C#O%【解析】由題設(shè)得，解得；因為矩陣M所對應(yīng)的線性變換將直線變成直線或點，所以可取直線上的兩0，0，1，3，由，得：點0，0，1，3在矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像是0，0，-2，2，從而直線在矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像的方程為。2選修4-4：坐標系與參數(shù)方程【命題意圖】本小題主要考察直線的參數(shù)方程、圓的極坐標方程、直線與圓的位置關(guān)系等根底知識，考察運算求解才能?！窘馕觥坑傻眉磳⒌膮?shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得，即由于，故可設(shè)是上述方程的兩實根，所以故由上式及t的幾何意義得：|P

16、A|+|PB|=。3選修4-5：不等式選講【命題意圖】本小題主要考察絕對值的意義、絕對值不等式等根底知識，考察運算求解才能。【解析】由得，解得，KS*5U.C#O%又不等式的解集為，所以，解得。當時，設(shè)，于是=，所以當時，；當時，；當時，。解析二【2020年福建高考試題解析】理科數(shù)學一、選擇題1、【答案】A【命題意圖】此題考察學生對于三角兩角差公式的運用以及常見三角函數(shù)值的記憶。，?！窘馕觥?、 【答案】D【命題意圖】此題考察學生對拋物線焦點的識記以及原方程的求解。的焦點為，求解圓方程時，確定了圓心與半徑就好做了?！窘馕觥繏佄锞€的焦點為，又圓過原點，所以，方程為。3、 【答案】A【命題意圖】此

17、題考察學生對等差數(shù)列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值問題的求解。xye2-4-3【解析】由，得到，從而，所以，因此當獲得最小值時，.4、 【答案】C【命題意圖】此題從分段函數(shù)的角度出發(fā)，考察了學生對根本初等函數(shù)的掌握程度。 KS*5U.【解析】，繪制出圖像大致為所以零點個數(shù)為2。5、 【答案】C【命題意圖】此題考察學生對程序框圖的理解。選材較為簡單，只需要考生能從上到下一步步列出就可以正確作答?！窘馕觥縮=0i=1a=2i=4輸出i=4，選擇C6、 【答案】D【命題意圖】此題考察考生對立體幾何體的理解程度、空間想像才能。靈敏，全面地考察了考生對知識的理解。 KS*5U.【解析】假

18、設(shè)FG不平行于EH，那么FG與EH相交，焦點必然在B1C1上，而EH平行于B1C1，矛盾，所以FG平行于EH；由面，得到，可以得到四邊形EFGH為矩形，將從正面看過去，就知道是一個五棱柱，C正確；D沒能正確理解棱臺與這個圖形?！敬鸢浮緾【命題意圖】此題從大學數(shù)列極限定義的角度出發(fā)，仿造構(gòu)造了分漸近線函數(shù)，目的是考察學生分析問題、解決問題的才能，考生需要抓住本質(zhì)：存在分漸近線的充要條件是時，進展做答，是一道好題，思維靈敏。 KS*5U.【解析】要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，存在分漸近線的充要條件是時，。對于，當時便不符合，所以不存在；對于，肯定存在分漸近線，因為當時，；對于，設(shè)且，所以當時越來愈大，從而會越

19、來越小，不會趨近于0，所以不存在分漸近線；當時，因此存在分漸近線。故，存在分漸近線的是選C，得到，當時，所以11、 【答案】【命題意圖】此題通過抽象函數(shù)，考察了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，以及學生的綜合分析才能，難度不大。 KS*5U.【解析】，正確；取，那么；，從而，其中，從而，正確；，假設(shè)存在使，即存在，又，變化如下：2,4,8,16,32，顯然不存在，所以該命題錯誤；根據(jù)前面的分析容易知道該選項正確；綜合有正確的序號是3、 解答題16、 【解析】1，那么有，因此A包含的根本領(lǐng)件為：（2） 的可能去取為，那么的可能取值為，因此得分布列為：0149數(shù)學期望為【命題意圖】此題考察學生對概率分布的理解

20、以及數(shù)學期望的計算，難度較易。 KS*5U.【點評】此題作為解答題的第一題具備送分的作用，考生只要掌握了根本的計算知識，可以輕松應(yīng)對。ii過O點做OT平行于，那么由有，所以即為面在內(nèi)的投影，設(shè)，那么，設(shè)二面角的平面角大小為，那么從而，故【命題意圖】此題從棱柱出發(fā)，綜合地考察了學生線面垂直、面面垂直的證明方法以及二面角、簡單概率的求解，綜合性強，靈敏度大，是一道較好的題目?！军c評】在完成立體幾何題目時，考生應(yīng)當盡量把握從到未知的推理，發(fā)揮自己的空間思維才能，轉(zhuǎn)化圖形。正確求解。 KS*5U.19、 【解析】1為使小艇航行間隔 最短，理想化的航行道路為OT，小艇到達T位置時輪船的航行位移即，從而海

21、里/時（2） 討論：1假設(shè)輪船與小艇在A、T之間G位置相遇時，根據(jù)小艇的速度限制，有OG<AG，但實際上，這種情況中AG<OG，所以不符合要求舍去。輪船與小艇的交點必在T、B之間。（2） 假設(shè)輪船與小艇在H處相遇時，在直角三角形OHT中運用勾股定理有：，等價于OABTGH從而所以當時，也就是說，當小艇以30海里每小時的速度，沿北偏東方向行走能以最短的時間遇到輪船?！久}意圖】此題從三角函數(shù)出發(fā)，考察了學生運用知識解決實際問題的才能、求解一元二次方程最值問題的才能以及綜合分析問題的才能?！军c評】對待應(yīng)用題沒有什么通解通法，只要你不畏懼困難，認真讀題、審題，通過列表、作圖等方式合理分析量間的關(guān)系，總是可以輕松解題。 KS*5U.20、 【解析】1，令得到，令有，因此原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為2i，因此過點的切線方程為： ii【命題】假設(shè)對