中考數(shù)學(xué)中的最值問題解法(學(xué)生版)

1、 中考數(shù)學(xué)幾何最值問題解法在平面幾何的動態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有：1應(yīng)用兩點間線段最短的公理含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求最值；2應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；3應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值；4應(yīng)用二次函數(shù)求最值；5應(yīng)用其它知識求最值。下面通過近年全國各地中考的實例探討其解法。應(yīng)用兩點間線段最短的公理含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求最值典型例題：例1. 如圖，MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM

2、上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為【 】ABC5D例2.在銳角三角形ABC中，BC=，ABC=45°，BD平分ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是 。例3.如圖，圓柱底面半徑為，高為，點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，求棉線最短為 。例4. 在ABC中，AB5，AC3，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是 練習(xí)題：1. 如圖，長方體的底面邊長分別為2和4，高為5.假設(shè)一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長

3、為【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm2.如圖，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點P是母線BC上一點，且PC=BC一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體的外表爬行到點P的最短距離是【 】 A、 B、5cm C、 D、7cm3.如下列圖，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，點P為線段EF上一個動點，連接BP、GP，則BPG的周長的最小值是 _ 二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題：例1. 在ABC中，ABAC5，BC6假設(shè)點P在邊AC上移動，則BP的最小值是 例2.如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°

4、;，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為【 】A1 B C 2 D1例3.已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，問題1：如圖1，P為AB邊上的一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？問題2：如圖2，假設(shè)P為AB邊上一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由問題3：假設(shè)P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DEPD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出

5、最小值，如果不存在，請說明理由問題4：如圖3，假設(shè)P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AEnPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由例4. 如圖，點A的坐標(biāo)為-1，0，點B在直線上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的坐標(biāo)為【 】A. 0，0 B.， B. C.， D.，例5.如圖，在ABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動點E不與點A、C重合，且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運動變化的過程中，有以下結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；四邊形

6、CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；點C到線段EF的最大距離為其中正確結(jié)論的個數(shù)是【 】A1個B2個C3個D4個例6.如圖，長方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按以下步驟進行裁剪和拼圖： 第一步：如圖，在線段AD上任意取一點E，沿EB，EC剪下一個三角形紙片EBC(余下部分不再使用)； 第二步：如圖，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點M，線段BC上任意取一點N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分； 第三步：如圖，將MN左側(cè)紙片繞G點按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點按

7、逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片 (注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊) 則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為 cm，最大值為 cm例7. 如圖，在ABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動點E不與點A、C重合，且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運動變化的過程中，有以下結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；點C到線段EF的最大距離為其中正確結(jié)論的個數(shù)是【 】A1個B2個C3個D4個例8. 如圖，

8、ABC中，BAC=60°，ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為 例9. 如下列圖，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動，且E、F不與BCD重合1證明不管E、F在BCCD上如何滑動，總有BE=CF；2當(dāng)點E、F在BCCD上滑動時，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大或最小值例10.在銳角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45°，將ABC繞點B按

9、逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到A1BC11如圖1，當(dāng)點C1在線段CA的延長線上時，求CC1A1的度數(shù)；2如圖2，連接AA1，CC1假設(shè)ABA1的面積為4，求CBC1的面積；3如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值例11. 如圖，在ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且1=B=C1由題設(shè)條件，請寫出三個正確結(jié)論：要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明答：結(jié)論一： ；結(jié)論二： ；結(jié)論三： 2假設(shè)B=45°，BC=2，當(dāng)點D在B

10、C上運動時點D不與B、C重合，求CE的最大值；假設(shè)ADE是等腰三角形，求此時BD的長注意：在第2的求解過程中，假設(shè)有運用1中得出的結(jié)論，須加以證明練習(xí)題：1. 如圖，OP平分MON，PAON于點A，點Q是射線OM上的一個動點，假設(shè)PA=2，則PQ的最小值為【 】A、1B、2 C、3D、42.如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=AB=CD=2，C=60°，M是BC的中點1求證：MDC是等邊三角形；2將MDC繞點M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD即MD與AB交于一點E，MC即MC同時與AD交于一點F時，點E，F(xiàn)和點A構(gòu)成AEF試探究AEF的周長是否存在最小值如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出A

11、EF周長的最小值3.如圖，O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切O于點Q，則PQ的最小值為【 】A B C3 D24.如圖，在四邊形ABCD中，A=90°，AD=4，連接BD，BDCD，ADB=C假設(shè)P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為 5.如圖，在RtABC中，C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿BCA方向向點A運動，速度為2cm/s，當(dāng)一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動1求AC、BC的長；2設(shè)點P的運動時間為x秒，PBQ的面積為ycm2，

12、當(dāng)PBQ存在時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；3當(dāng)點Q在CA上運動，使PQAB時，以點B、P、Q為定點的三角形與ABC是否相似，請說明理由；4當(dāng)x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點M，使BCM得周長最小，假設(shè)存在，求出最小周長，假設(shè)不存在，請說明理由三、應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值：典型例題：例1. 2012山東青島3分如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為 cm例2. 如圖，四邊形ABCD中，BAD120°，BD90°，在B

13、C、CD上分別找一點M、N，使AMN周長最小時，則AMNANM的度數(shù)為【 】A130° B120° C110° D100°例3. 點A、均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點上，建立平面直角坐標(biāo)系如下列圖假設(shè)P是x軸上使得的值最大的點，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點，則 例4. 如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則PE+PB的最小值為 例5. 如圖，MN為O的直徑，A、B是O上的兩點，過A作ACMN于點C，過B作BDMN于點D，P為DC上的任意一點，假設(shè)MN20，AC8，BD6，則PAPB的最小值是 。

14、例6. 閱讀材料：例：說明代數(shù)式 的幾何意義，并求它的最小值解： ，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點Px，0是x軸上一點，則可以看成點P與點A0，1的距離，可以看成點P與點B3，2的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PAPB的最小值設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為A，則PA=PA，因此，求PAPB的最小值，只需求PAPB的最小值，而點A、B間的直線段距離最短，所以PAPB的最小值為線段AB的長度為此，構(gòu)造直角三角形ACB，因為AC=3，CB=3，所以AB=3，即原式的最小值為3。根據(jù)以上閱讀材料，解答以下問題：1代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點Px，0與點A1，1、點

15、B 的距離之和填寫點B的坐標(biāo)2代數(shù)式 的最小值為 例7. 在學(xué)習(xí)軸對稱的時候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題。如圖1，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確方法他把管道l看成一條直線圖2，問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點P，使AP與BP的和最小他的做法是這樣的：作點B關(guān)于直線l的對稱點B連接AB交直線l于點P，則點P為所求請你參考小華的做法解決以下問題如圖在ABC中，點D、E分別是AB、AC邊的中點

16、，BC=6，BC邊上的高為4，請你在BC邊上確定一點P，使PDE得周長最小1在圖中作出點P保留作圖痕跡，不寫作法2請直接寫出PDE周長的最小值： 練習(xí)題：1. 如圖，已知點A(1，1)、B(3，2)，且P為x軸上一動點，則ABP的周長的最小值為 2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A(1，2)，B(3，3)兩點，現(xiàn)另取一點C(a，1)，當(dāng)a 時，ACBC的值最小3. 去冬今春，濟寧市遭遇了200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側(cè)張村A和李村B送水。經(jīng)實地勘查后，工程人員設(shè)計圖紙時，以河道上的大橋O為坐標(biāo)原點，以河道所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系如圖。兩村

17、的坐標(biāo)分別為A2，3，B12，7。(1) 假設(shè)從節(jié)約經(jīng)費考慮，水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方可使所用輸水管道最短？(2) 水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方，可使它到張村、李村的距離相等？4. 如圖，正方形ABCD的邊長是4，DAC的平分線交DC于點E，假設(shè)點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值【 】 A、2 B、4 C、 D、5. 如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，點E是BC中點，點F是邊CD上的任意一點，當(dāng)AEF的周長最小時，則DF的長為【 】A1B2C3D46. 如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，點E、F分別是邊AB、BC的中點，點P在AC上運動，在運動

18、過程中，存在PE+PF的最小值，則這個最小值是 【 】A3 B4 C5 D67. 如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BAD=90°，AB=6，對角線AC平分BAD，點E在AB上，且AE=2AEAD，點P是AC上的動點，則PE+PB的最小值是 四、應(yīng)用二次函數(shù)求最值：典型例題：例1. 正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BCCD上兩個動點，且始終保持AMMN，當(dāng)BM= cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2例2. 如圖，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE長的最小值是 例3. 在矩形AB

19、CD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一點P與B、C不重合，過點P作APPE，垂足為P，PE交CD于點E.(1)連接AE，當(dāng)APE與ADE全等時，求BP的長；(2)假設(shè)設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)x取何值時，y的值最大？最大值是多少？(3)假設(shè)PEBD，試求出此時BP的長.例4. 如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點，CEAB于E，設(shè)ABC=60°90°1當(dāng)=60°時，求CE的長；2當(dāng)60°90°時，是否存在正整數(shù)k，使得EFD=kAEF？假設(shè)存在，求出k的值；假設(shè)不存在，請說明理由連接

20、CF，當(dāng)CE2CF2取最大值時，求tanDCF的值例5. 等邊ABC的邊長為2，P是BC邊上的任一點與B、C不重合，連接AP，以AP為邊向兩側(cè)作等邊APD和等邊APE，分別與邊AB、AC交于點M、N如圖1。1求證：AM=AN；2設(shè)BP=x。假設(shè)，BM=，求x的值；記四邊形ADPE與ABC重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及S的最小值；連接DE，分別與邊AB、AC交于點G、H如圖2，當(dāng)x取何值時，BAD=150？并判斷此時以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由。 例6. 如圖，已知半徑為2的O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P

21、作直線l的垂線，垂足為C，PC與O交于點D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為. 當(dāng) 時，求弦PA、PB的長度；當(dāng)x為何值時，的值最大？最大值是多少？例7. 如下列圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點不與點A、點D重合將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH1求證：APB=BPH；2當(dāng)點P在邊AD上移動時，PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；3設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？假設(shè)存在，求出這個最小值；假設(shè)不存在，請說明理由例8. 如圖，正三角形ABC的邊長為1如

22、圖，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上在正三角形ABC及其內(nèi)部，以A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面積最大不要求寫作法；2求1中作出的正方形的邊長；3如圖，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在邊AB上，點P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由 例9. 如圖，在ABC中，C=90°，BC=5米，AC=12米M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒運動時間為t秒1當(dāng)t為何值時，AMN=ANM？2當(dāng)t為何值時，AMN的面

23、積最大？并求出這個最大值例10. 如圖，A、B兩點的坐標(biāo)分別是8，0、0，6，點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A作勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發(fā)沿AOO為坐標(biāo)原點方向向點O作勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，假設(shè)設(shè)運動時間為t0t秒解答如下問題：1當(dāng)t為何值時，PQBO？2設(shè)AQP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；假設(shè)我們規(guī)定：點P、Q的坐標(biāo)分別為x1，y1，x2，y2，則新坐標(biāo)x2x1，y2y1稱為“向量PQ”的坐標(biāo)當(dāng)S取最大值時，求“向量PQ”的坐標(biāo)例11. 如圖1，已知ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm如果點P由B出發(fā)

24、沿BA方向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s連接PQ，設(shè)運動的時間為t單位：s0t4解答以下問題：1當(dāng)t為何值時，PQBC2設(shè)AQP面積為S單位：cm2，當(dāng)t為何值時，S取得最大值，并求出最大值3是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把ABC的面積平分？假設(shè)存在，求出此時t的值；假設(shè)不存在，請說明理由4如圖2，把AQP沿AP翻折，得到四邊形AQPQ那么是否存在某時刻t，使四邊形AQPQ為菱形？假設(shè)存在，求出此時菱形的面積；假設(shè)不存在，請說明理由例12. 如圖，矩形ABCD的兩邊長AB=18cm，AD=4cm，點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，P在邊AB上沿A

25、B方向以每秒2cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1cm的速度勻速運動設(shè)運動時間為x秒，PBQ的面積為ycm2.1求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；2求PBQ的面積的最大值.例13. 如圖，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，將DEF與ABC重合在一起，ABC不動，ABC不動，DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE、始終經(jīng)過點A，EF與AC交于M點1求證：ABEECM；2探究：在DEF運動過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？假設(shè)能，求出BE的長；假設(shè)不能，請說明理由；3當(dāng)線段AM最短時，求重疊部分的面積例14. 在RtPOQ中，

26、OP=OQ=4,M是PQ中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與POQ的兩直角邊分別交于點A、B，(1)求證：MA=MB(2)連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，AOB的周長是否存在最小值，假設(shè)存在，求出最小值，假設(shè)不存在。請說明理由。例15. 某玩具由一個圓形區(qū)域和一個扇形區(qū)域組成，如圖，在和扇形中，與、分別相切于A、B，E、F事直線與、扇形的兩個交點，EF=24cm，設(shè)的半徑為x cm， 用含x的代數(shù)式表示扇形的半徑； 假設(shè)和扇形兩個區(qū)域的制作成本分別為0.45元和0.06元，當(dāng)?shù)陌霃綖槎嗌贂r，該玩具成本最??？例16. 如圖，在ABC中，AB=

27、AC，B=30°，BC=8，D在邊BC上，E在線段DC上，DE=4，DEF是等邊三角形，邊DF交邊AB于點M，邊EF交邊AC于點N1求證：BMDCNE；2當(dāng)BD為何值時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切？3設(shè)BD=x，五邊形ANEDM的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式要求寫出自變量x的取值范圍；當(dāng)x為何值時，y有最大值？并求y的最大值練習(xí)題：1. 在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6動點M、N分別在兩腰AB、AC上M不與A、B重合，N不與A、C重合，且MNBC將AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應(yīng)點為P1當(dāng)MN為何值時，點P恰好落在BC上？2當(dāng)MN=x，MNP與等腰A

28、BC重疊部分的面積為y，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式當(dāng)x為何值時，y的值最大，最大值是多少？2. 如圖，在直角梯形ABCD中，D=BCD=90°，B=60°，AB=6，AD=9，點E是CD上的一個動點(E不與D重合)，過點E作EFAC，交AD于點F(當(dāng)E運動到C時，EF與AC重合)把DEF沿EF對折，點D的對應(yīng)點是點G，設(shè)DE=x，GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y。(1) 求CD的長及1的度數(shù)；(2) 假設(shè)點G恰好在BC上，求此時x的值；(3) 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。并求x為何值時，y的值最大?最大值是多少?3. 圖形既關(guān)于點O中心對稱，又關(guān)于直線AC，BD對稱，AC

29、=10，BD=6，已知點E，M是線段AB上的動點不與端點重合，點O到EF，MN的距離分別為，OEF與OGH組成的圖形稱為蝶形。1求蝶形面積S的最大值；2當(dāng)以EH為直徑的圓與以MQ為直徑的圓重合時，求與滿足的關(guān)系式，并求的取值范圍。4. 如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，P為AB的中點，Q為邊CD上一動點，設(shè)DQt0t2，線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點M、N，過Q作QEAB于點E，過M作MFBC于點F 1當(dāng)t1時，求證：PEQNFM； 2順次連接P、M、Q、N，設(shè)四邊形PMQN的面積為S，求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值5. 如圖，在RtABC中，C90°

30、，AC8，BC6，點P在AB上，AP2。點E、F同時從點P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后立即以原速度沿AB向點B運動，點F運動到點B時停止，點E也隨之停止.在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與ABC在線段AB的同側(cè)，設(shè)E、F運動的時間為秒0，正方形EFGH與ABC重疊部分面積為S. 1當(dāng)1時，正方形EFGH的邊長是 ；當(dāng)3時，正方形EFGH的邊長是 ；2 當(dāng)02時，求S與的函數(shù)關(guān)系式；3 直接答出：在整個運動過程中，當(dāng)為何值時，S最大？最大面積是多少？6. 如圖圖1，圖2，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在線段BC上，

31、AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CP于點F，交BC的延長線于點N，F(xiàn)NBC1假設(shè)點E是BC的中點如圖1，AE與EF相等嗎？2點E在BC間運動時如圖2，設(shè)BE=x，ECF的面 積為y 1 2求y與x的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x取何值時，y有最大值，并求出這個最大值 五、應(yīng)用其它知識求最值：典型例題：例1.如圖在ABC中，B90°，A30°，AC4cm，將ABC繞頂點C順時針方向旋轉(zhuǎn)至A'B'C的位置，且A、C、B'三點在同一條直線上，則點A所經(jīng)過的最短路線的長為【 】A、B、8cm C、D、例2. 如圖，已知線段OA交O于點B，且OB=AB，點

32、P是O上的一個動點，那么OAP的最大值是【 】A30° B45° C60° D90°例3. 如圖，ABC中，C=90°，AC=3，B=30°，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是【 】 A、3.5B、4.2 C、5.8D、7例4. 如圖1和2，在ABC中，AB=13，BC=14，cosABC=探究：如圖1，AHBC于點H，則AH= ，AC= ，ABC的面積SABC= ；拓展：如圖2，點D在AC上可與點A，C重合，分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)，設(shè)BD=x，AE=m，CF=n當(dāng)點D與點A重合時，我們認(rèn)為SABD=01用含

33、x，m，n的代數(shù)式表示SABD及SCBD；2求m+n與x的函數(shù)關(guān)系式，并求m+n的最大值和最小值；3對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，指出這樣的x的取值范圍發(fā)現(xiàn)：請你確定一條直線，使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最小不必寫出過程，并寫出這個最小值例5. 如圖1至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6，點M為AB上一定點思考如圖1，圓心為0的半圓形紙片在AB，CD之間包括AB，CD，其直徑MN在AB上，MN=8，點P為半圓上一點，設(shè)MOP=當(dāng)= 度時，點P到CD的距離最小，最小值為 探究一在圖1的基礎(chǔ)上，以點M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD 之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為

34、止，如圖2，得到最大旋轉(zhuǎn)角BMO= 度，此時點N到CD的距離是 探究二將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB，CD之間順時針旋轉(zhuǎn)1如圖3，當(dāng)=60°時，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點P到CD的最小距離，并請指出旋轉(zhuǎn)角BMO的最大值；2如圖4，在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過程中，要保證點P能落在直線CD上，請確定的取值范圍 參考數(shù)椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=例6. 在三角形紙片ABC中，已知ABC=90°，AB=6，BC=8過點A作直線l平行于BC，折疊三角形紙片ABC，使直角頂點B落在直線l上的T處，折痕為

35、MN當(dāng)點T在直線l上移動時，折痕的端點M、N也隨之移動假設(shè)限定端點M、N分別在AB、BC邊上移動，則線段AT長度的最大值與最小值之和為 計算結(jié)果不取近似值例7. 如圖，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使B落在邊AD含端點上，落點記為E，這時折痕與邊BC或者邊CD含端點交于F，然后展開鋪平，則以B、E、F為頂點的三角形BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”1由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個“折痕BEF”是一個 三角形2如圖、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，當(dāng)它的“折痕BEF”的頂點E位于AD的中點時，畫出這個“折痕BEF”，并求出點F的坐標(biāo)；3如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，該矩形是否存在面積最大的“折痕BEF”？假設(shè)存在，