概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)資料要點(diǎn)總結(jié)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)資料一、復(fù)習(xí)提綱注：以下是考試的參考內(nèi)容，不作為實(shí)際考試范圍，僅作為復(fù)習(xí)參考之用?？荚噧?nèi)容以教學(xué)大綱和實(shí)施計(jì)劃為準(zhǔn)；注明“了解”的內(nèi)容一般不考。1、能很好地掌握寫樣本空間與事件方法，會事件關(guān)系的運(yùn)算，了解概率的古典定義2、能較熟練地求解古典概率；了解概率的公理化定義3、掌握概率的基本性質(zhì)和應(yīng)用這些性質(zhì)進(jìn)行概率計(jì)算；理解條件概率的概念；掌握加法公式與乘法公式4、能準(zhǔn)確地選擇和運(yùn)用全概率公式與貝葉斯公式解題；掌握事件獨(dú)立性的概念及性質(zhì)。5、理解隨機(jī)變量的概念，了解(01)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布的分布律。6、理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，理解連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及性質(zhì)。7、掌握

2、指數(shù)分布(參數(shù))、均勻分布、正態(tài)分布，特別是正態(tài)分布概率計(jì)算8、會求一維隨機(jī)變量函數(shù)分布的一般方法，求一維隨機(jī)變量的分布律或概率密度。9、會求分布中的待定參數(shù)。10、會求邊緣分布函數(shù)、邊緣分布律、條件分布律、邊緣密度函數(shù)、條件密度函數(shù)，會判別隨機(jī)變量的獨(dú)立性。11、掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度的概念及計(jì)算。12、理解二維隨機(jī)變量的概念，理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)及其性質(zhì)，理解二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及其性質(zhì)，理解二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度及其性質(zhì)，并會用它們計(jì)算有關(guān)事件的概率。13、了解求二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布的一般方法。14、會熟練地求隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。會

3、熟練地默寫出幾種重要隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及方差。15、較熟練地求協(xié)方差與相關(guān)系數(shù).16、了解矩與協(xié)方差矩陣概念。會用獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量線性組合性質(zhì)解題。17、了解大數(shù)定理結(jié)論，會用中心極限定理解題。18、掌握總體、樣本、簡單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量及抽樣分布概念，掌握樣本均值與樣本方差及樣本矩概念，掌握c2分布(及性質(zhì))、t分布、F分布及其分位點(diǎn)概念。19、理解正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的抽樣分布定理；會用矩估計(jì)方法來估計(jì)未知參數(shù)。20、掌握極大似然估計(jì)法，無偏性與有效性的判斷方法。21、會求單正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間。會求雙正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間。二、各章知識要點(diǎn)第一章 隨機(jī)事件與概率1事件的

4、關(guān)系 2運(yùn)算規(guī)則 （1） （2）（3）（4）3概率滿足的三條公理及性質(zhì)：（1） （2）（3）對互不相容的事件，有 （可以?。?） （5） （6），若，則，（7）（8）4古典概型：基本事件有限且等可能5幾何概率6條件概率（1） 定義：若，則（2） 乘法公式：若為完備事件組，則有（3） 全概率公式： （4） Bayes公式： 7事件的獨(dú)立性： 獨(dú)立 （注意獨(dú)立性的應(yīng)用）第二章隨機(jī)變量與概率分布1 離散隨機(jī)變量：取有限或可列個值，滿足（1），（2）=1 （3）對任意，2 連續(xù)隨機(jī)變量：具有概率密度函數(shù)，滿足（1）；（2）；（3）對任意，3 幾個常用隨機(jī)變量名稱與記號分布列或密度數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布

5、，二項(xiàng)式分布，Poisson分布均勻分布，指數(shù)分布正態(tài)分布4 分布函數(shù) ，具有以下性質(zhì) （1）；（2）單調(diào)非降；（3）右連續(xù)； （4），特別； （5）對離散隨機(jī)變量，； （6）對連續(xù)隨機(jī)變量，為連續(xù)函數(shù)，且在連續(xù)點(diǎn)上，5 正態(tài)分布的概率計(jì)算 以記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，則有 （1）；（2）；（3）若，則； （4）以記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)，則6 隨機(jī)變量的函數(shù) （1）離散時(shí)，求的值，將相同的概率相加； （2）連續(xù)，在的取值范圍內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則，若不單調(diào)，先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1期望(1) 離散時(shí) ， ；(2) 連續(xù)時(shí)，；(3) 二維時(shí)，(4)；（5）

6、；（6）；（7）獨(dú)立時(shí)，2方差（1）方差，標(biāo)準(zhǔn)差；（2）；（3）；（4）獨(dú)立時(shí)，3協(xié)方差（1）；（2）；（3）；（4）時(shí)，稱不相關(guān)，獨(dú)立不相關(guān)，反之不成立，但正態(tài)時(shí)等價(jià)；（5）4相關(guān)系數(shù) ；有，5 階原點(diǎn)矩， 階中心矩第五章 大數(shù)定律與中心極限定理1Chebyshev不等式 或2大數(shù)定律3中心極限定理 （1）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，則， 或 或，（2）設(shè)是次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則對任意，有或理解為若，則第六章 樣本及抽樣分布1總體、樣本（1） 簡單隨機(jī)樣本：即獨(dú)立同分布于總體的分布（注意樣本分布的求法）；（2） 樣本數(shù)字特征： 樣本均值（，）； 樣本方差（）樣本標(biāo)準(zhǔn)差 樣本階原點(diǎn)矩，樣本階

7、中心矩2統(tǒng)計(jì)量：樣本的函數(shù)且不包含任何未知數(shù)3三個常用分布（注意它們的密度函數(shù)形狀及分位點(diǎn)定義） （1）分布 ，其中獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，若且獨(dú)立，則； （2）分布 ，其中且獨(dú)立； （3）分布 ，其中且獨(dú)立，有下面的性質(zhì) 4正態(tài)總體的抽樣分布（1）； （2）；（3）且與獨(dú)立； （4）；（5），（6）第七章 參數(shù)估計(jì)1矩估計(jì)：（1）根據(jù)參數(shù)個數(shù)求總體的矩；（2）令總體的矩等于樣本的矩；（3）解方程求出矩估計(jì)2極大似然估計(jì)：（1）寫出極大似然函數(shù)；（2）求對數(shù)極大似然函數(shù)（3）求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)；（4）令導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)為0，解出極大似然估計(jì)（如無解回到（1）直接求最大值，一般為min或max）3估計(jì)

8、量的評選原則(1)無偏性：若，則為無偏； (2) 有效性：兩個無偏估計(jì)中方差小的有效；4參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（正態(tài)）參數(shù)條件估計(jì)函數(shù)置信區(qū)間已知未知未知三、概率論部分必須要掌握的內(nèi)容以及題型1概率的基本性質(zhì)、條件概率、加法、乘法公式的應(yīng)用；掌握事件獨(dú)立性的概念及性質(zhì)。如對于事件A，B，或，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)，P(A|B)，P(B|A)以及換為或之中的幾個，求另外幾個。例：事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(AB)，P(AB)例：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(AB)，P(AB)，課本上P19，例

9、5；P26，第14，24題。2準(zhǔn)確地選擇和運(yùn)用全概率公式與貝葉斯公式。若已知導(dǎo)致事件A發(fā)生(或者是能與事件A同時(shí)發(fā)生)的幾個互斥的事件B i，i=1,2,n,的概率P(B i) ，以及B i發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率P(A|B i)，求事件A發(fā)生的概率P(A)以及A發(fā)生的條件下事件B i發(fā)生的條件概率P(B i | A)。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假設(shè)各箱含0、1、2只殘次品的概率相應(yīng)為0.8、0.1和0.1，某顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時(shí)，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機(jī)地察看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求：（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的該箱中，沒

10、有殘次品的概率。課本上P26，第24題3一維、二維離散型隨機(jī)變量的分布律，連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。分布中待定參數(shù)的確定，分布律、密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系，聯(lián)合分布與邊緣分布、條件分布的關(guān)系，求數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)，求函數(shù)的分布律、密度函數(shù)及期望和方差。(1)已知一維離散型隨機(jī)變量的分布律P(X=xi)=pi，i=1,2,n,確定參數(shù) 求概率P(a<X<b) 求分布函數(shù)F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函數(shù)Y=g(X)的分布律及期望Eg(X)課本上P39，例1；P50，例1；P59，第33題；P114，第6、8題；例：隨機(jī)變量的分布律為.1234k2k3k

11、4k確定參數(shù)k求概率P(0<X<3)，求分布函數(shù)F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函數(shù)的分布律及期望(2)已知一維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)f(x)確定參數(shù)求概率P(a<X<b) 求分布函數(shù)F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函數(shù)Y=g(X)的密度函數(shù)及期望Eg(X)P43，例1；P51，例2；P53，例5；P59，第36、37題；P114，第9題；例：已知隨機(jī)變量的概率密度為，確定參數(shù)k求概率求分布函數(shù)F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函數(shù)的密度及期望(3)已知二維離散型隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合分布律P(X=xi，Y=yj)=pij，i=1,2,m,；j=1,

12、2,n,確定參數(shù)求概率P(X,Y)ÎG求邊緣分布律P(X=xi)=pi.，i=1,2,m,；P(Y=yj)=p.j， j=1,2,n, 求條件分布律P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,m,和P(Y=yj|X=xi)， j=1,2,n,求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求協(xié)方差 cov(X,Y)，相關(guān)系數(shù)，判斷是否不相關(guān)求函數(shù)Z=g(X, Y)的分布律及期望Eg(X, Y)課本P65，例1；P88，第36題；P115，第14題；P116，第22題；例：已知隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為YX012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.0

13、20.050.10.13求概率P(X<Y)， P(X=Y)求邊緣分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3 求條件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求協(xié)方差 cov(X,Y)，相關(guān)系數(shù)，判斷是否不相關(guān)求Z=X+Y，W=maxX，Y，V=minX，Y的分布律(4)已知二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)f(x, y)確定參數(shù)求概率P(X,Y)ÎG求邊緣密度，判斷是否相互獨(dú)立求條件密度，求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求協(xié)方差 cov(X,Y)，

14、相關(guān)系數(shù)，判斷是否不相關(guān)求函數(shù)Z=g(X, Y)的密度函數(shù)及期望Eg(X, Y)課本上P63，例2；P66，例2，P72，例4；P84，第3題；P85，第7題；P87，第22題；P117，第31題；例：已知二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為，確定常數(shù)的值；求概率P(X<Y)求邊緣密度，判斷是否相互獨(dú)立求條件密度，求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求協(xié)方差 cov(X,Y)，相關(guān)系數(shù)，判斷是否不相關(guān)4會用中心極限定理解題。例1：每次射擊中，命中目標(biāo)的炮彈數(shù)的均值為2，方差為，求在100次射擊中有180到220發(fā)炮彈命中目標(biāo)的概率例2：設(shè)從大批發(fā)芽率為0.9的種子中隨意抽取1000粒，試求這1000粒種子中至少有880粒發(fā)芽的概率。5熟記(0-1)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指數(shù)分布(參數(shù))、均勻分布、正態(tài)分布的密度函數(shù)、期望和方差。課本上P49，例3；P58，第26題；P117，第36題例 設(shè)，且與相互獨(dú)立，則 四、數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分必須要掌握的內(nèi)容以及題型1統(tǒng)計(jì)量的判斷。2計(jì)