2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷（天津文）含詳解

1、2011天津文 第卷 本卷共8小題，每小題5分，共40分 一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1（同理）是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)( )啊不才D【解】故選A2設(shè)變量，滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 ( )ABC的【解】畫出可行域?yàn)閳D中的的區(qū)域，直線經(jīng)過時(shí)，最大故選D3閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為，則輸出的值為( )A B CD 【解】運(yùn)算過程依次為：輸入輸出故選 4設(shè)集合， ，則“”是“”的( )A充分而不必要條件 B 必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【解】，所以所以“”是“”的充分必要條件故選5已知，則 ( )ABCD 【解】因?yàn)?，?/p>

2、，又函數(shù)是上的增函數(shù)，則所以故選6已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的焦距為 ( )ABCD【解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以又因?yàn)殡p曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為，則，所以因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，則，即，所以，焦距故選7已知函數(shù)，其中，若的最小正周期為，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，則( )A在區(qū)間上是增函數(shù)B在區(qū)間上是增函數(shù)C在區(qū)間上是減函數(shù)D在區(qū)間上是減函數(shù)【解】由題設(shè)得解得，所以已知函數(shù)為其增區(qū)間滿足，解得，取得，所以為一個(gè)增區(qū)間，因?yàn)?，所以在區(qū)間上是增函數(shù)故選8對(duì)實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“”：設(shè)函數(shù)

3、，若函數(shù)的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )ABCD【解】由題設(shè)畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)圖象的四個(gè)端點(diǎn)（如圖）為，從圖象中可以看出，直線穿過點(diǎn)，點(diǎn)之間時(shí)，直線與圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，同時(shí)，直線穿過點(diǎn)，點(diǎn)時(shí)，直線與圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選第卷二、填空題：本答題共6小題，每小題5分,共30分9已知集合，為整數(shù)集，則集合中所有元素的和等于【解】解集合得，則，所有元素的和等于10一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示（單位：），則該幾何體的體積為【解】幾何體是由兩個(gè)長方體組合的體積為11已知是等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，則的值為【解】設(shè)公差為，由題設(shè)解得，12已知，則的最小值為

4、【解】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為13（同理12）如圖，已知圓中兩條弦與相交于點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，且，若與圓相切，則線段的長為【解】因?yàn)?，所以設(shè)，由相交弦定理，所以，因?yàn)榕c圓相切，由切割線定理，所以14(同理14) 已知直角梯形中，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【解】解法1 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖的直角坐標(biāo)系由題設(shè)，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，于是，當(dāng)時(shí)，有最小值解法2 以相互垂直的向量，為基底表示，得 又是腰上的動(dòng)點(diǎn)，即與共線，于是可設(shè)，有所以即 由于是腰上的動(dòng)點(diǎn)，顯然當(dāng)，即時(shí)，所以有最小值解法3 如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，則（實(shí)際上

5、，就是定理：“平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于各邊的平方和”）設(shè)為的中點(diǎn)，則為梯形的中位線，設(shè)為的中點(diǎn)，且設(shè)，則，代入式得，于是，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立由式，所以有最小值三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15(本小題滿分13分) 編號(hào)分別為的名籃球運(yùn)動(dòng)員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下：運(yùn)動(dòng)員編號(hào)得分運(yùn)動(dòng)員編號(hào)得分()將得分在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格：區(qū)間人數(shù)()從得分在區(qū)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取人，() 用運(yùn)動(dòng)員編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果；() 求這人得分之和大于的概率【解】() 區(qū)間人數(shù)() ()得分在區(qū)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員編號(hào)為， ，從得分在區(qū)間內(nèi)的

6、運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取人，所有可能的抽取結(jié)果為， ，共種()記“從得分在區(qū)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取人，這人得分之和大于”為事件這人得分之和大于的所有可能結(jié)果有，共種所以16(本小題滿分13分) 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知，()求的值； ()求的值【解】() 解法1由，得，所以 解法2由，得，由正弦定理得，即，所以，所以，()因?yàn)?，則，所以17(本小題滿分13分)如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)() 證明：；() 證明：；() 求直線與平面所成角的正切值【解】() 連接在平行四邊形中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所?) 因?yàn)?，且，所以即又，所以，因?yàn)?，所?/p>

7、 () 取的中點(diǎn)，連接，所以，由，得，所以是直線與平面所成的角在中，所以從而在中，直線與平面所成角的正切值為18(本小題滿分13分) 設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)滿足() 求橢圓的離心率；() 設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程【解】()設(shè)， 因?yàn)椋瑒t，由，有，即，（舍去）或所以橢圓的離心率為() 解法1因?yàn)?，所以，所以橢圓方程為直線的斜率，則直線的方程為兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去并整理得則，于是不妨設(shè)，所以于是圓心到直線的距離，因?yàn)?，所以，即，解得（舍去），或于是，所以橢圓的方程為19(本小題滿分14分) 已知函數(shù)，其中 () 當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；() 當(dāng)

8、時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；()證明：對(duì)任意，在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)【解】() 當(dāng)時(shí)， ，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 () ，令，解得或因?yàn)?，所以要分為和討?1) 若,則.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是(2) 若,則.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是 () 由()可知，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增需要討論與討論的區(qū)間的相互位置關(guān)系(1) 當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以?duì)任意，在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)(2) 當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增若，所以對(duì)任意，在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)若，所以對(duì)任意對(duì)任意，在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)所以對(duì)任意，在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)綜合以上，對(duì)任意，在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)20(本小題滿分14分) 已知數(shù)列與滿足，且() 求，的值；() 設(shè)，證明是等比數(shù)列() 設(shè)為的前項(xiàng)和，證明