拋物線的性質(zhì)歸納及證明

1、拋物線的常見性質(zhì)及證明概念焦半徑：拋物線上一點與其焦點的連線段；焦點弦：兩端點在拋物線上且經(jīng)過拋物線的焦點線段稱為焦點弦性質(zhì)及證明2過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的弦兩端點為A(x1,yj,Bd,y2),傾斜角為,中點為C(xo,y0),分別過A、B、C作拋物線準線的垂線,垂足為A'、B'、C'.1.求證:焦半徑|AF|x1焦半徑|BF|x2pp1cosDt+T：2；弦長AB|=xi+x2+p=2p;特別地,|AF|BF|psin當xi=x2(=90)2時，弦長|AB|最短，稱為通徑，長為2p；4AOB勺面積S(a0AB=2sin證明：根據(jù)拋物線的定義，|A

2、F|=|AD|=xi+2,|BF|=|BC|=*2+,|AB|=|AF|+|BF|=xi+X2+p如圖2,過A、B引x軸的垂線AAi、BBi,垂足為Ai、Bi,那么|RF|=|AD|-|FAi|=|AF|-|AF|cos,|AF|=|RF|=-p1cos1cos同理，|BF|=|RF|i+cosi+cos|ABrAF|+|BF尸'+1=S>iiiPz.Saoab=SAoaf十字obf=2|OF|yi|+2|OF|yi|=22。丫1|十|yi|),yiy2=p2,則yi、y2異號，因此，|yi|十|yi|=|yiy2|Saoab=p|yiy2|=p>/(yi+y2)24y1y

3、2=4j4m2p2+4p2=p/i+m2=22.求證：x"P；y1y24IAFIIBFI當AB±x軸時，有AFBFp,成立;當AB與x軸不垂直時，設(shè)焦點弦AB的方程為:.代入拋物線方程:k2x2px.化簡得:k2xk222&k24方程之二根為k2x1,x2,x1乂2又2AFBFAA1x1x2P2P_P42x1又2BB1x13.求證：AC'Bx2x#2X2Px1x2P2A'FB'RtZ.先證明：/AMB=Rt/【證法一】延長AM交BC的延長線于E,如圖ADMAECM,|AM|=|EM|,|EC|=|AD|.|BE|=|BC|+|CE|=|BC|

4、+|AD|=|BF|+|AF|=|AB|4圖3.ABE為等腰三角形，又M是AE的中點,BMXAE,即/AMB=RtZ1I MN |=2(|【證法二】取AB的中點N,連結(jié)MN,則AD|十|BC|)=2(|AF|十|BF|)=習AB|,.|MN|=|AN|=|BN|. .ABM為直角三角形，AB為斜邊,故/AMB = RtZ .【證法三】由已知得 C(-2, y2)、D(-p,yi),p 由此得M(2,y1+y22 ).y1 + y2y1一 2Kam =y1 y2p(y1 y2)PX1 + 2P Kam kbm = y12 yi 2p2+ p y2+p2, 3 p(y-y1 y2+p22 ?=衛(wèi),

5、y1同理Kbm = »y2 BMXAE,即/p!2y2y1y2 p2AMB= RtZ .=-1【證法四】由已知得 C(-p, y2)、D( p, y1),由此得M (-e y+y22'2 )."Ma =(x+p, y1 2y2),蔬=(x3+p,y2 y12 )DMORC圖4MA -MB =(X1 +2)(x2+p) +(y1 y2)(y2y1)p，= x1X2 +2(X1 + X2)+p2 (y1 y2)2p2,p,yl,yl.,p2_y2+y22y1y24+2(2p+2p)+44p2+注=%3=02222MA，Kb,故/AMB=RtZ.【證法五】由下面證得/DF

6、C=90,連結(jié)FM,則FM=DM.又AD=AF,故ADMAAFM,如圖41=/2,同理/3=/413【證法二】取CD的中點M,即M（-2, y產(chǎn)）"Df !-Cf ,故/ DFC = 90 .，一，12+Z3=2*180=90AMB=RtZ.接著證明：/DFC=Rt/【證法一】如圖5,由于|AD|=|AF|,AD/RF,故可設(shè)/AFD=/ADF=/DFR=,同理，設(shè)/BFC=ZBCF=ZCFR=,而/AFD+/DFR+ZBFC+ZCFR=180.2(+)=180，即+=90,故/DFC=90事為知,P,一V2-y2_p_由刖知kAM=,kcF=y1pppy122lkAM=kCF,AM

7、/CF,同理，BM/DF ./DFC=ZAMB=90.【證法三】:下F=(p,y1)，F(xiàn)=(p,-y2),DF,CF=p2+y1y2=0【證法四】由于|RFF=p2=y1y2=|DR|RC|,即1"裊=RFjRCj,且/DRF=ZFRC=90ADRFAFRC，/DFR=/RCF,而/RCF+ZRFC=90 ./DFR+ZRFC=90 ./DFC=904. C'A、C'B是拋物線的切線2【證法一kAM=P,AM的直線方程為yy1=»(xF)圖8y1yr2p，與拋物線方程y2=2px聯(lián)立消去x得22丫丫1=£點2b，整理得y22yiy+y2=0y1/&

8、quot;ppp可見=(2yi)24y2=0,故直線AM與拋物線y2=2px相切，同理BM也是拋物線的切線，如圖8.【證法二】由拋物線方程y2=2px,兩邊對x求導，(y2)x=(2px)x,得2yyx=2p,yx=p,故拋物線y2=2px在點A(xi,yi)處的切線的斜率為k切=丫*|yd_.p=yl-.yi又kAM=y",*切=心乂，即AM是拋物線在點A處的切線，同理BM也是拋物線的切線.【證法三】:過點A(Xi,yi)的切線方程為yiy=p(x+xi),把M(-p,y1；y2)代入pf2，2,左邊=yi -yi+y2yi+yiy22pxip2=pxi222pA的切線經(jīng)過點M ,

9、右邊=p(一2+x1)=J2+pxi,左邊=右邊，可見，過點即AM是拋物線的切線，同理BM也是拋物線的切線.5. C'A、C'B分別是/A'AB和/B'BA的平分線.【證法一】延長AM交BC的延長線于E,如圖9,貝ADMAECM，有AD/BC,AB=BE, ./DAM=ZAEB=ZBAM,即AM平分/DAB,同理BM平分/CBA.【證法二】由圖9可知只須證明直線AB的傾斜角是直線AM的傾斜角的2倍即可，即=2 .且 M(2yi + y22 ) .tan=kAB=01=牛"=且X2xiy2y1yi+yz-z2p2ptanyiy2yi 2- pxi+ 5y

10、1 一y2p(y1一 y2)y2 . y2 + p22 H p2p-p2p(yi -F)_py2 + p2 yi.2P2tanyi2pyi2pyi2P, tan2=i=K=yft2=y=#=tan(yi)=2，即AM平分/DAB,同理BM平分/CBA.6. AC'、A'F、y軸三線共點，BC'、B'F、y軸三線共點【證法一】如圖i0,設(shè)AM與DF相交于點Gi,由以上證明知|AD|=|AF|,AM平分/DAF,故AGi也是DF邊上的中線,，Gi是DF的中點.設(shè)AD與y軸交于點Di,DF與y軸相交于點G2,易知，|DDi|=|OF|,DDi/OF,故4DDiG2AF

11、OG2|DG2|=|FG2|,則G2也是DF的中點.，Gi與G2重合(設(shè)為點G),則AM、DF、y軸三線共點，同理BM、CF、y軸也三線共點.2【證法二】AM的直線方程為y-yi=-p(x-yi),yi、2p令x=0得AM與y軸交于點Gi(0,學)，又DF的直線方程為丫一；僅一2),令x=0得DF與y軸交于點G2(0,).AM、DF與y軸的相交同一點G(0,則AM、DF、y軸三線共點，同理BM、CF、y軸也三線共點H.由以上證明還可以得四邊形MHFG是矩形.7. A、O、B'三點共線，B、O、A'三點共線.【證法一】如圖11, koA =yi上一空2 一xiyiyi2py2 k

12、OC=-P2y22py2P22py2 2pyiy2 yikoA = koc,則A、O、C三點共線,同理D、O、B三點也共線.【證法二】設(shè) AC與x軸交于點 O，: AD / RF/ BC.|RO|_|CO|_|BF|OF|_|CB|'|AD|CA|AB|AFr|AB|'又|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,|RO_LJ|OJi_| RO | = | O F |,則 O 與 O 重合，即 C、O、A三點共線，同理D、O、B二點也共線.【證法三】設(shè) AC與x軸交于點O , RF / BC,!_O_u=g | CB | | AB r| CB | | AF | | BF | | A

13、F | AB | AF |+| BF |H=P【見證】 | AF |十| BF |.O與O重合，則即C、O、A三點共線，同理 D、O、B三點也共線.【證法四】 OC = （-2,Y2), OA=(xi, yi),ppyipyiyiy2yi2,yixi丫2=2yi2p丫2=22p=OC/OA,且都以O(shè)為端點A、O、C三點共線，同理B、O、D三點共線.【推廣】過定點P（m,。）的直線與拋物線y2=2px（p。）相交于點A、B,過A、B兩點分別作直線l:x=m的垂線，垂足分別為M、N,則A、O、N三點共線，B、O、M三點也共線，如下圖：.，-一mn8. 若|AF|:|BF|=m：n,點A在第一象限，

14、為直線AB的傾斜角.則cos=；m+n【證明】如圖14,過A、B分別作準線l的垂線，垂足分別為D,C,過B作BEXAD于E,設(shè)|AF|=mt,|AF|=nt,則|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,|AE|=|AD|-|BC|=(mn)t.A,/|AE|(mn)tmn在RtAABE中，cos/BAE=J|=3-|AB|(m+n)tm+n/口八匚mn.cos=cos/BAE=.m+n【例6】設(shè)經(jīng)過拋物線y2=2px的焦點F的直線與拋物線相交于兩點A、B,且|AF|:|BF|=3:1,則直線AB的傾斜角的大小為【答案】60或120.9. 以AF為直徑的圓與y軸相切，以BF為直徑的圓與y軸相切；以AB為直徑的圓與準線相切；A'B'為直徑的圓與焦點弦AB相切.【說明】如圖15,設(shè)E是AF的中點,Xi則E的坐標為（一2一,yi萬),則點E到y(tǒng)軸的距離為d=jAFI故以AF為直徑的圓與y軸相切,同理以BF為直徑的圓與y軸相切.【說明】如圖15,設(shè)M是AB的中點，作MN，準線l于N,則IMN|=2(|AD|+|BC|)=1(|A