拋物線專題復(fù)習(xí)講義及練習(xí)(答案)

1、拋物線1 .拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)（p0）:2 .拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦2 py( p 0)的焦半徑PFy22Px(p0)的焦半徑PFx-；X22過焦點(diǎn)的所有弦中最短的弦，也被稱做通徑.其長度為2P.AB為拋物線y22Px的焦點(diǎn)弦，則xAXB2p2，NaIbp，|AB|=xaxb4考點(diǎn)1拋物線的定義題型利用定義，實現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之間的轉(zhuǎn)換例1 已知點(diǎn)P在拋物線y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q （2, 1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和的最小值為【解題思路】將點(diǎn) P到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離解析過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線l交準(zhǔn)線于點(diǎn)R,由拋物線的定義知，P

2、Q PFPQ PR,當(dāng)P點(diǎn)為拋物線與垂線l的交點(diǎn)時，PQPR取得最小值，最小值為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，因準(zhǔn)線方程為x=-1，故最小值為3【名師指引】靈活利用拋物線的定義，就是實現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之間的轉(zhuǎn)換，一般來說，用定義問題都與焦半徑問題相關(guān)【新題導(dǎo)練】y2), 2(x3, y3)在拋1.已知拋物線y22px（p0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P（x1，y）物線上，且|pf|、|P2F|、|RF|成等差數(shù)列，則有（）A x x2 x3C x1 x3 2x2b . y y2y3D. yy32 y2解析1 C 由拋物線定義,2d 6)(X ) (x3 6),即：x1 x3 2222.已知點(diǎn)A

3、（3,4）, F是拋物線y28x的焦點(diǎn)，m是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)MAMF最小時,M點(diǎn)坐標(biāo)是A. (0, 0) B. (3, 2 6)C. (2, 4) D. (3,2 . 6)解析設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為MK，則 |MA| MF | MA MK ,當(dāng) MAMK最小時,M點(diǎn)坐標(biāo)是（2,4）,選C考點(diǎn)2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：過點(diǎn)(-3,2)(2)焦點(diǎn)在直線x2y40上【解題思路】以方程的觀點(diǎn)看待問題，并注意開口方向的討論解析(1)設(shè)所求的拋物線的方程為y22Px或x22py(p0),(-3,2)42p(3)或92p294拋物

4、線方程為24f29yx或x-y,3219刖者的傕線萬程是x-,后者的準(zhǔn)線方程為y-38(2)令x0得y2,令y0得x4,拋物線的焦點(diǎn)為(4,0)或(0,-2),當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時，K4,2P8,此時拋物線方程y216x;焦點(diǎn)為(0,-2)時衛(wèi)22P4,此時拋物線方程x28y.所求拋物線方程為y216x或x28y,對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x4,y2.【名師指引】對開口方向要特別小心，考慮問題要全面【新題導(dǎo)練】23 .若拋物線y22Px的焦點(diǎn)與雙曲線弋y21的右焦點(diǎn)重合，則p的值解析E,甲7p424 .若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與Y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且|AM|iH7

5、,|AF|3,求此拋物線的方程解析設(shè)點(diǎn)A'是點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影，則|AA'|3,由勾股定理知|MA'|2J2,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為(2衣,3多，代入方程x22py得P2或4,拋物線的方程x24y或x28y考點(diǎn)3拋物線的幾何性質(zhì)題型：有關(guān)焦半徑和焦點(diǎn)弦的計算與論證2例3設(shè)A、B為拋物線y2Px上的點(diǎn)，且AOB90(O為原點(diǎn)，則直線AB必過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.【解題思路】由特殊入手，先探求定點(diǎn)位置、,ykx2p2p解析1設(shè)直線OA方程為ykx,由9解出A點(diǎn)坐標(biāo)為(，,2p)y22pxkkk(x 2pk2)人2，y1 k21y-x-k解出B點(diǎn)坐標(biāo)為(2pk,2pk),直線AB方程為y2p

6、ky22pxy0得x2p,直線AB必過的定點(diǎn)(2p,0)【名師指引】(1)由于是填空題，可取兩特殊直線AB,求交點(diǎn)即可；(2)B點(diǎn)坐標(biāo)可由A一一1點(diǎn)坐標(biāo)用一換k而得。k【新題導(dǎo)練】26 .若直線axy10經(jīng)過拋物線y4x的焦點(diǎn)，則實數(shù)a解析-17 .過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為A1,B1,則A1FB1()A.45B.60C.90D.120解析C基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練21.過拋物線y4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2a22a4(aR),則這樣的直線()A.有且僅有一條B.有且僅有兩條C.1條或2條D.不存在解析C|AB|xAx

7、Bpa22a5(a1)244,而通徑的長為4.2.2 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線x4y上的點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為5,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為()A.3B.4C.5D.6解析B利用拋物線的定義，點(diǎn)P到準(zhǔn)線y1的距離為5,故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4.3 .兩個正數(shù)a、b的等差中項是9,一個等比中項是2，5,且ab,則拋物線y2(ba)x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A. (0,ii4) B.叼) C. (112，0)D- ( 4，0)解析D. a 5,b 4, b a 124.如果R , P2,，P8是拋物線y24x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為 Xi, X2,，X8 ,F是拋物線的焦點(diǎn)，若Xi,X2, ,Xn(n(

8、).A. 5B. 6解析B根據(jù)拋物線的定義，可知N )成等差數(shù)列且Xi X2X9 45,則IP5F尸C. 7D. 9PF X E 為 1 (i 1 , 2,，n), 2X1,X2, ,Xn(n N )成等差數(shù)列且X1 X2X9 45, X5 5,| F5F |=65、拋物線y24x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,l與x軸相交于點(diǎn)E,過F且傾斜角等于60。的直線與拋物線在X軸上方的部分相交于點(diǎn)A,AB±1,垂足為B,則四邊形ABEF的面積等于()A.3V3B.4、與C.6內(nèi)D.8/3解析C.過A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H,設(shè)A(m,n),則AFABm1,FHOHOFm1,m12(m1)m3,n21

9、3四邊形ABEF的面積=12(31)2V36內(nèi)22uuu6、設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y24x的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)A與x軸正向uuu的夾角為60°,則OA為.解析V21.過A作ADx軸于D,令FDm,則FA2m即2m2m,解得m2.A(3,2、.3)OA,32(2.3)221綜合提高訓(xùn)練7.在拋物線y4X2上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線y4x5的距離為最短，求該點(diǎn)的坐標(biāo)12|4(x 1)2 4|4 . 1717(2，1)解析解法1：設(shè)拋物線上的點(diǎn)P(x,4x2),.2_.|4x4x5I點(diǎn)P到直線的距離d1=5|.17當(dāng)且僅當(dāng)1,_，-x一時取等號，故所求的點(diǎn)為2解法2:當(dāng)平行于直線

10、y4x5且與拋物線相切的直線與拋物線的公共點(diǎn)為所求，設(shè)該直線方程為y4xb,代入拋物線方程得4x24xb0,1 1.由1616b0得b1,x一，故所求的點(diǎn)為（一,1）2 228.已知拋物線C:yax（a為非零常數(shù)）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線c上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P且與拋物線c相切的直線記為l.（1）求F的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在何處時，點(diǎn)F到直線l的距離最??？解：（1）拋物線方程為x2-ya一一，一，1、故焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0,）4a（2）設(shè)p（xo,y°）則V。ax2y'2ax,在P點(diǎn)處拋物線（二次函數(shù)）的切線的斜率k2ax。直線l的方程是yax（22ax0（xx0）即 2ax0x y

11、 ax20 ax24a.(2a%)2 ( 1)24 a12 4a %1 -1-.4a當(dāng)且僅當(dāng)x00時上式取此時P的坐標(biāo)是（0,0）9.設(shè)拋物線y2 2 Px ( p當(dāng)P在（0,0）處時，焦點(diǎn)F到切線L的距離最小.0）的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).點(diǎn)證明：因為拋物線y2 2 Px （ pC在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC/X軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.0）的焦點(diǎn)為F-,0,所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程2可設(shè)為Pxmy上，代人拋物線方程得222y2pmyp0.若記Ax1,V1,Bx2,y2，則y1,y2是該方程的兩個根，所以2y1y2p因為BC/X軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線xp±,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為旦丫2,22(1)求橢圓方程;，由解得：a=5、b=322.橢圓為匕125929241=i(44)(0)一，即為所求的最小值，55故直線CO的斜率為k上P2線的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn)(2)若點(diǎn)N在拋物線上，過N作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q距離，求|MN|+|NQ|的最小值.M(-4,9)在橢圓上581125b22a.22bc.|MN|+|NQ|>|MN|+|NF|=|MF|