數(shù)學(xué)分析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、 3.6 3.6 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)2008/11/19一、單調(diào)性一、單調(diào)性1.1.單調(diào)性單調(diào)性則則可可導(dǎo)導(dǎo)在在,),(,babaCf ).,(),0(0)()(,baxxfbaf 減減上上遞遞增增在在證明：證明：)(必要性必要性, f, 0)()(: hxfhxf總總有有).,(,0)(baxxf ,),( ),(hbahxbax的的以以及及使使得得對對 )(充分性充分性),(,0)(baxxf 可可得得且且對對 , )(,2121xxbaxx . f, 0)()()(1212 xxfxfxf 2.2.嚴(yán)格單調(diào)性嚴(yán)格單調(diào)性定理定理1：),(, 0)(,),(,baxxfbaba

2、Cf 若若可導(dǎo)可導(dǎo)在在.,上嚴(yán)格遞增上嚴(yán)格遞增在在則則baf證明：證明：)(類類似似上上面面, 1 , 1,3嚴(yán)格增嚴(yán)格增在在 xy3xy . 03)(02 xxxf但但定理定理2：,),(,內(nèi)內(nèi)除除有有限限個個點點外外在在babaCf 則則, 0)( xf.,上嚴(yán)格增上嚴(yán)格增在在baf證明：證明： 僅以一點為例僅以一點為例:. 0)(,1 xfx 處處之之外外., ,11上上嚴(yán)嚴(yán)增增上上嚴(yán)嚴(yán)增增bxxa.,上嚴(yán)增上嚴(yán)增在在ba a1xb有限個點類似有限個點類似定理定理3：則則可可導(dǎo)導(dǎo),),(,babaCf .)(,),(2);,(, 0)(1不恒為零不恒為零的任意子開區(qū)間內(nèi)的任意子開區(qū)間內(nèi)在

3、在xfbabaxxf)0)(),(),(),(:2( fdcbadc使使可可表表述述為為證明：證明：)(必要性必要性.1),(0)(,成成立立嚴(yán)嚴(yán)增增 baxxff,2 不成立不成立若若 嚴(yán)增嚴(yán)增在在,baf).,(, 0)(),(),(dcxxfbadc 使使,),(嚴(yán)格增矛盾嚴(yán)格增矛盾與與上恒為常數(shù)上恒為常數(shù)在在fdcf.2 成立成立 3.3.應(yīng)用應(yīng)用例例1 1.)1(arctan2的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間求求xexy 解：解：xxexxeyarctan22arctan211)1( . 1,0, 021 xxy得得駐駐點點令令xexxxarctan2221 增增減減增增),00 , 11,(

4、xy y 00 1 0例例2.2.證明不等式證明不等式: :原理原理: ).()(,).()(,0)(0000 xfxfxxxfxfxxxf. 1sin2,2, 0:)1( xx 上上在在求證求證證明：證明：.sin2:,sinxxxx 只只需需證證顯顯然然 0,120,sin)(xxxxxf 令令.2, 0)( Cxf 有有.2, 0, 0)tan(cossincos)(22 xxxxxxxxxxf而而,22 f而而.2)2()(sin fxfxx.2, 0)(上上嚴(yán)嚴(yán)格格遞遞減減在在區(qū)區(qū)間間 xf,2時時故當(dāng)故當(dāng) x. , 0! 11)2(成成立立對對求求證證 Nnxnxxenx證明：證明

5、：).1(1)( kxeix, 1)( xexx 設(shè)設(shè).1 . 0)0()( ,0 xexxx 即即時時故故當(dāng)當(dāng) )(歸納法歸納法, 01)( ,0 xexx 時時可可見見當(dāng)當(dāng), 嚴(yán)嚴(yán)格格增增 ,)(時成立時成立設(shè)設(shè)nkii .! 11 nxxenx 即即:1)(時時考考察察 nkiii)!1(! 11)(1 nxnxxexnnx , 0! 11)( nxxexnx . 0)0()( x.)( 嚴(yán)嚴(yán)格格增增x .證畢證畢證明：證明：).1 , 0(),1()1()(2 xxexxfx令令, 1)21(12)1()(222 xxxexexexf. 042)21(2)(222 xxxxeexexf

6、 )(xf. 0)0()(,)1 , 0( fxfx時時, 0)0()( fxf方法方法 變形變形, 選輔助函數(shù)選輔助函數(shù); 可逐次使用可逐次使用; ;, 0)0( f,)( xf. 0)( xf即即.11 ,)1 , 0()3(2xxexx 時時證證明明當(dāng)當(dāng)二、極值二、極值1.1.必要條件必要條件)(. 0)(,)(000費馬費馬則則為極值點為極值點且且可導(dǎo)可導(dǎo)在在設(shè)設(shè) xfxxxf2.2.極值點極值點:“:“增減區(qū)間的分界點增減區(qū)間的分界點” 極大極大 極小極小定理：定理：( (極值判定極值判定1)1),(,0baxbaCf ;)(0)(,),(0)(,),()(00000是是嚴(yán)嚴(yán)格格極極

7、大大值值內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)若若在在xfxfxxxfxxi .)(0)(,),(0)(,),()(00000是嚴(yán)格極小值是嚴(yán)格極小值內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)若在若在xfxfxxxfxxii .)(,)(00不是極值不是極值不變號不變號兩側(cè)兩側(cè)若在若在xffxiii 例例3.3.,6)( 332求極值求極值設(shè)設(shè)xxxf 解：解：32323232)6(4)312()6(31)(xxxxxxxxf 列表列表:xy y 046. 42)4(,43 fx極極大大點點; 0)0(,0 fx極小點極小點例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf當(dāng)當(dāng)0 x時，時， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x為為)

8、(xf的極小值點的極小值點當(dāng)當(dāng)0 x時，時，當(dāng)當(dāng)0 x時時，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之間振蕩之間振蕩因因而而)(xf在在0 x的的兩兩側(cè)側(cè)都都不不單單調(diào)調(diào).xxxxf1cos)1sin2(2)( ;)(, 0)()(00是是嚴(yán)嚴(yán)格格極極小小若若xfxfii .)(, 0)()(00不不定定若若xfxfiii 證明：證明：0)()(0 xfi0)()()()(0000limlim00 xfxxxfxxxfxfxxxx. 0)(,0; 0)(,0, 0)(000 xfxxxfxxxxxf時時時時.)(0極極大大xf定理：定理：( (極值判定極值判定2)2).)(, ,00

9、存存在在是是駐駐點點xfxbaCf ;)(, 0)()(00是是嚴(yán)嚴(yán)格格極極大大若若xfxfi 例例4.4.,1)(3)()(2xexfxxfxxf 滿足滿足設(shè)設(shè)?,0)(, 0000是是否否為為極極值值點點使使若若xxfx 解：解：.1)(,1)(000000 xexfexfxxx 極極小小時時, 0)(,000 xfx極極小小時時, 0)(,000 xfx.0是極小值點是極小值點x三、最值三、最值上上最最大大最最小小值值在在求求,)(baxf步驟步驟: :1.求駐點和不可導(dǎo)點求駐點和不可導(dǎo)點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值,比比較大小較大小,哪個大

10、哪個就是最大值哪個大哪個就是最大值, 哪哪個小個小哪哪個個就是最小值就是最小值;注意注意: :如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就則這個極值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)例例5.5.)1( ., 1 , 0 ,)1()( pxxxxfpp求最值求最值設(shè)設(shè)解：解：,0)1()(11 ppxppxxf.21,)1( 011為駐點為駐點得得 xxxpp. 1212221, 1)1(, 1)0(1 ppfff而而, 1)1()0( ff最最大大值值為為.21211 pf最小值為最小值為例例6 6501800 1800 可以全部租出可以全部租出每增加每增加100,

11、100,多一套房子不能租出多一套房子不能租出租出去的房子每月需花費租出去的房子每月需花費200元的整修維護(hù)元的整修維護(hù)費試問房租定為多少可獲得最大收入費試問房租定為多少可獲得最大收入?解解 設(shè)房租為每月設(shè)房租為每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 100180050 x每月總收入為每月總收入為)(xR)200( x 100180050 x 10068)200(xx 1001)200(10068)(xxxR5070 x 0)( xR3500 x（唯一駐點）（唯一駐點）故每月每套租金為故每月每套租金為3500元時收入最高元時收入最高, 可收可收 )(108900 元元實際問題求最

12、值應(yīng)注意實際問題求最值應(yīng)注意: :(1)建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值求最值;值值或或最最小小函函數(shù)數(shù)值值即即為為所所求求的的最最大大點點，則則該該點點的的若若目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)只只有有唯唯一一駐駐)(例例7.7.),(,)(的的最最值值求求 xxexfx解：解：無無最最大大值值 ,)()1(limxfx. 1 ,0)1()()2( xexxfx得駐點得駐點令令 , 0)(,1xfx時時且且 , 0)(,1xfx時時.1)1(,1efx 時取最小值時取最小值當(dāng)當(dāng)四、凸函數(shù)與凹函數(shù)四、凸函數(shù)與凹函數(shù)問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyo1x2x)(xfy 圖形上任意

13、弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方1.1.凸函數(shù)與凹函數(shù)凸函數(shù)與凹函數(shù).,),(上上方方任任意意兩兩點點的的弦弦位位于于曲曲線線上上曲曲線線Ixxfy 定義定義:,),(2121xxIxxIxxfy 如如對對. 1,0,2121 ;),()()(22112211上上凸凸在在稱稱都都有有Ifxfxfxxf .),()()(22112211上嚴(yán)格凸上嚴(yán)格凸在在稱稱如如Ifxfxfxxf 等價形式等價形式:).1 , 0(),()()1()1(2121 txftxftxtxtf 嚴(yán)格凹嚴(yán)格凹凹凹 下

14、下2.Jensen2.Jensen不等式不等式: :定理定理1：, 1 , 0, ,1121 ninnIxxxIf 則則上凸上凸在在. )()( 11iniiniiixfxf 都都有有定理定理2：0,2121 nnIxxxIf 上上凸凸在在.)( iiiiiixfxf 都有都有),(1 取取不全相等時不全相等時且且嚴(yán)格凸嚴(yán)格凸nxx )( . ,:1介介于于最最大大最最小小之之間間權(quán)權(quán)重重“加加權(quán)權(quán)平平均均”xxxiini ),(1 取取不不全全相相等等時時且且嚴(yán)嚴(yán)格格凸凸nxx 定理定理1的證明：的證明：.)()()(,222112211成成立立時時易易見見xfxfxxfn . )()( ,

15、11ikiikiiixfxfkn 有有時時設(shè)設(shè), 1 ,1 121 kkkn 由由時時則則. 11121 kk 可可得得, 0, 1,111 ikiikiiuuu則則取取 )1()(111111 kkikiikkiiixxufxf )()()1(1111 kkkiiikxfxfu ).(11ikiixf 對嚴(yán)格凸類似可證對嚴(yán)格凸類似可證;)()()1(1111 kkkiiikxfxuf 定理定理2的證明：的證明：.1 1證明證明即可利用定理即可利用定理令令 niiii 3.3.判定判定定理定理3：(判定判定1)上凸上凸在在If.)()()()()()(22121211xxxfxfxxxfxfx

16、xxfxf )( 嚴(yán)格凸嚴(yán)格凸 xy1x2xbpABpBABApkkk 斜率斜率證明：證明：)(必要性必要性21211122xxxxxxxxxxx 1,212211 xx,21Ixxx )()()()(,22112211xfxfxxfxff 凸凸由由)()()()(221121xfxfxfxf 即即)()()()(2211xfxfxfxf xxxfxfxxxfxf 221121)()()()(:,可可得得同同除除兩兩側(cè)側(cè)用用 :利利用用不不等等式式xxxfxfxxxfxfxxxfxf 22121211)()()()()()()(充分性充分性反推即可反推即可., 0, 0dcdbcabadcba

17、db 則則定理定理4：(判定判定2)則則內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),),( , ,babaCf )(,嚴(yán)格凸嚴(yán)格凸凸凸在在baf).(),()(嚴(yán)格增嚴(yán)格增增增在在baxf xyo)(xfy abAB遞遞增增)(xf （嚴(yán)格凹）（嚴(yán)格凹）凹凹（嚴(yán)格減）（嚴(yán)格減）減減xyo)(xfy abBA遞遞減減)(xf xxxfxfxxxfxfxxxfxf 22121211)()()()()()(, , ),(),( 2121xxxxbaxx 對對設(shè)設(shè), 凸凸由由 f證明：證明：)(必要性必要性有有令令,21 xxxx)()()()(212121xfxxxfxfxf .),()(增增在在baxf )()()()()()(,222111xfxxxfxfxxxfxfxff 嚴(yán)凸嚴(yán)凸若若.),()(嚴(yán)嚴(yán)格格增增在在baxf 定理定理5：(判定判定3)則則二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)連續(xù)連續(xù)在在,),( ,babaf).,(, 0)(,baxxfbaf 凸凸在在 .,),( ; ),(, 0)(,不恒為零不恒為零的任意開子區(qū)間內(nèi)的任意開子區(qū)間內(nèi)嚴(yán)凸嚴(yán)凸在在fbabaxxfbaf（嚴(yán)凹）（嚴(yán)凹）凹凹 4.4.應(yīng)用應(yīng)用 (Jensen(Jensen不等式不等式不等式機(jī)器不等式機(jī)器) )例例8.8.)0( ,)(:21121 innnxnxxxxxx證明證明.,1相相同同等等號號成成立立nxx 證明