數(shù)列專題常州

1、精品文檔數(shù)列專題等差數(shù)列重要公式：(1)通項(xiàng)公式：an=a1+(n-l)d.(2)前n項(xiàng)和公式：sn=nai+n(n-1)d=n(a1,an).22等比數(shù)列重要公式：(1)通項(xiàng)公式：an=a1qn.'nai(q=1)(2)前n項(xiàng)和公式：sn=a1(1_qn)a1-anq-g#.1-q1-q典例講解題型一求數(shù)列的通項(xiàng)公式I直接利用公式11 .已知等差數(shù)列an中，a1飛，-4,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2 .等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a4=4,a2=64,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.n借助遞推關(guān)系3。已知數(shù)列an中，a1=1,an=an+n,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.4.已知數(shù)列an中，a1=1,a

2、n=an+2n,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.n15。在數(shù)列an中，a1=2,an+1=an,求an的通項(xiàng)公式n8。已知數(shù)列an中，a=1,an+1=2nan,求其通項(xiàng)公式。9。已知數(shù)列an中，a1=1,an+1=an+1,求其通項(xiàng)公式.210。設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù),ai=1,an 1 an 1an i 12an(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。11 .設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n,求其通項(xiàng)公式.12 .數(shù)列an的前n項(xiàng)和Tn=2bn,求其通項(xiàng)公式.13。已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,滿足log2(1+S)=n+1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式14。已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n和為S

3、,且對(duì)任意的正整數(shù)n,滿足2店=an+1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.15。已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n>2)啟產(chǎn)1.2(1)求證：【工!是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.Sn題型二求數(shù)列的和I直接利用公式1(1)已知等差數(shù)列4中，a=,a2+a4=4,求數(shù)列%的前n項(xiàng)和Sn.3(2)等比數(shù)列&n的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a4=4,a8=64,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.n裂項(xiàng)求和116.()若an=,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.n(n1)in錯(cuò)位相消求和已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=12+2-22+3-23+n，2n,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.18

4、 .等比數(shù)列QJ的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；，、5,.1(2)設(shè)bn=log3a+log3a2+.+log3an,求數(shù)列一的刖項(xiàng)和.bn19 .設(shè)數(shù)列Q滿足a1+3a2+32a3十+3n"an=n3(I)求數(shù)列(bn)的前n項(xiàng)和Sn.:nan*的通項(xiàng)；(n)設(shè)bn=一,求數(shù)列an綜合問題1。設(shè)M部分為正整數(shù)組成的集合，數(shù)列an的首項(xiàng)ai=1,前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意整數(shù)kwM,當(dāng)整數(shù)n>k時(shí)，Sn*+Sn4=2(Sn+Sk)都成立.設(shè)M=1,a2=2,求a5的值。2.已知成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15,并且這三個(gè)數(shù)分

5、別加上2、5、13后成為等比數(shù)列中的a3、a4、a5.(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(II)若數(shù)列右n的前n項(xiàng)和為Sn,判斷數(shù)列0+5是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并給出證明.23。在數(shù)列An>中，已知an>1,a1=1,且an書-an=,n二N.anHan119(1)記bn=(an-)，nwN,求數(shù)列&n的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和Sn；2(2)對(duì)于任意的正整數(shù)k,是否存在mN*,使得am=k?若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.33a4。已知數(shù)列Qn的首項(xiàng)a=一,an4=,n=1,2,11152an11(1)求證：數(shù)列13為等比數(shù)列；an、一11.1記Sn=一+|一,求S100；

6、aa2an(3)是否存在互不相等的正整數(shù)m,s,n,使m,s,n成等差數(shù)列，且am-1,as-1,an-1成等比數(shù)列，如果存在，請(qǐng)給出證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由.5.已知數(shù)列Q的前n項(xiàng)和Sn=2n2+2n,數(shù)列&n的前n項(xiàng)和Tn=2bn.(1)求數(shù)列I與1的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn=a2bn,證明：當(dāng)且僅當(dāng)n之3時(shí)，cn41<cn.綜合問題參考答案1。由題設(shè)知，當(dāng)n-2B，&斗一&=2(Sn+6、即(Sn書Sn)(SnSn)=2§,從而an.an=24=2,又a?=2,故當(dāng)n之25t,an=a2+2(n2)=2n2.所以a5的值為8.2。(I)設(shè)成等差數(shù)

7、列的三個(gè)正數(shù)分別為a-d,a,a+d,則(ad)+a+(a+d)=15,解得a=5.所以等比數(shù)列an中的a3=7d,a4=l0,a5=l8+d,則(7d)(18+d)=100,解得d=2,或d=13(舍).顯然,a3=5,公比q=也=2,則數(shù)列Ln的通項(xiàng)公式為an=a3qn&=5，2n".a3(II)由（I）知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn(1-2n)554=52n,-，即Sn+3=52：1-244所以有S1+5=521,=勺，S2+5=522/=5,S3+'=5Z3'=10,4244一一55一5顯然2(S2+2)第5十10,所以數(shù)列WSn+5"不是等差數(shù)列

8、.4245數(shù)列ISn+5'是等比數(shù)列，證明如下:455因?yàn)镾1 +5 =5 ,且42Sn15 2n5 2n=255所以數(shù)列1Sn+5&是以-為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)歹U.4223。(1)-an+an=,nNan1'an-1221、2,1、2-，an書an一第十+an=2,即(an由一二)一(an-二)=2.22又丫bn=(an1)2,.bn+bn=2(nwN"),即數(shù)列bn的公差為2.2又b1=(a11)2=1，所以bn=-+2(n-1)=8nzlZ,2444則數(shù)列kn 的前n項(xiàng)和Snn n(n-1) -2=一1 2 = n3-n.41 2(2)因?yàn)?bn =

9、(an )221、8n - 7,an 之 1,所以 an = ,nWN*.若存在m N "使得am = k(kw N *),則有k2 一 k 1又因?yàn)閷?duì)于任意的正整數(shù)k,使得k2 k = k（k 1）必為非負(fù)偶數(shù),k2 -k 所以kk2 -k故存在m =使得am = k .14。（ 1） 一an 13an11/ c一.又 一一1¥0a1an*1#0(nw N ),，數(shù)列an（2）由（1）可求得an(3)1 n一 =2耳（一）十1 .an3111 III -a1a2an11.1 一二n 2(332 .宓二n 23 3n 1二 n J.則 Soo =100 13100= 101

10、 -3100（3）假設(shè)存在，則2m n =2s,(am -1) (an -1) = (as -1),3n3n一1)(3m3s-1)2.rnns化簡(jiǎn)彳導(dǎo):3+3=23,.3m+3n之23m=23s,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立.又m,n,s互不相等，不存在互不相等的正整數(shù)m,s,n,使m,s,n成等差數(shù)列.5。(1)由于a1=S1=4,當(dāng)n±2時(shí)，an=Sn-sn,=(2n22n)-2(n-1)22(n-1)=4n所以an=4n(n匚N).因?yàn)門n=2-bn,所以b1=2-b1,即b1=1.當(dāng)n之2時(shí)，bn=TnTn=(2_bn)_(2_bn)，即2bn=bn.則數(shù)列bn是首項(xiàng)為1,公比為1的等比數(shù)列，即bn=(1)n.22(2)由知，c1=a12bn=16