2019全國(guó)2卷理科數(shù)學(xué)試題詳解

1、2019全國(guó)2卷理科數(shù)學(xué)試題詳解一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。1 .設(shè)集合則解析：或選2 .設(shè)則在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限第二象限第三象限第四象限解析：，對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于復(fù)平面第三象限，選3 .已知?jiǎng)t解析：,選4 . 年 月 日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系。為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”。鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日 點(diǎn)的軌道運(yùn)行， 點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上，設(shè)地球質(zhì)量為,月球質(zhì)量為，地月距離為 ，點(diǎn)到月球的距離為根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定理和萬(wàn)有

2、引力定律，滿足方程：設(shè) -由于的值很小，因此在近似計(jì)算中則的近似值為解析:5 .演講比賽共有為評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從個(gè)原始評(píng)分中去掉個(gè)最高分、一個(gè)最低分，得到 個(gè)有效評(píng)分。個(gè)有效評(píng)分與 個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是中位數(shù)平均數(shù)方差極差解析：不妨把個(gè)原始評(píng)分從小到大排序記作：去掉 剩余 個(gè)有效評(píng)分為，由數(shù)字特征定義知，不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，選6 .若則解析：由函數(shù)成立，選的基本性質(zhì)知，當(dāng) 時(shí)，只有7 .設(shè)， 為兩個(gè)平面，則 的充要條件是內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行內(nèi)有兩條相交直線與平行平行于同一條直線垂直于同一平面解析：由面面平行的判定定理知，正確，選8.若拋物線的焦

3、點(diǎn)是橢圓一一的一個(gè)焦點(diǎn)，則解析：拋物線的焦點(diǎn)為-所以橢圓焦點(diǎn)在 軸上，由題知,9.下列函數(shù)中，以-為周期且在區(qū)間- -單調(diào)遞增的是解析：由的函數(shù)圖象可知，周期為 一且在區(qū)間- -單調(diào)遞增的函數(shù)是10 .已知解析:11 .設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與圓交于兩點(diǎn)若的離心率為解析：由題知,12 .設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闈M足且當(dāng)時(shí),若對(duì)任意都有的取值范圍是解析:時(shí),時(shí),時(shí),時(shí),故當(dāng)時(shí)，令一，得-，結(jié)合圖象8 -時(shí)，都有都有二、填空題：本題共 4小題，每題5分，共20分。個(gè)車次的正點(diǎn)率為，有個(gè)車次的正點(diǎn)率為,有個(gè)車次的正點(diǎn)率為13.我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，

4、有停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為解析：平均正點(diǎn)率估計(jì)值為14.已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí),解析:已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí),15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為解析:的面積為-，由余弦定理的面積16.中國(guó)有悠久的金石文化，印信時(shí)金石文化的代表之一。印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員孤獨(dú)信的印信形狀是“半正多面體”圖半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體。半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美。圖是一個(gè)棱數(shù)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一正方個(gè)面，其棱長(zhǎng)體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為，則該半正多面體共有圖2解析：由圖知，該半正多面體的面數(shù)為，設(shè)所求棱長(zhǎng)為則由題知第一空填，第二空

5、填三、解答題：共分。第題為必考題。第（一）必考題：共 60分17. （12 分）如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形、證明： 平面若求二面角的正弦值解析:在正方體平面 ，又且 ， 平面 ，平面是正方形,為等腰直角三角形，取則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系則設(shè)平面 的法向量則取貝U設(shè)平面的法向量則取 則二面角的正弦值為一18. （12 分）分制乒乓球比賽，每贏一球得分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得 分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束。甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為 ，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立。在某局雙方后,甲先發(fā)球，兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束。求

6、求事件“且甲獲勝”的概率。解析：用甲表示甲發(fā)球時(shí)甲得分，用乙表示乙發(fā)球時(shí)乙得分，用甲表示甲發(fā)球時(shí)乙得分,用乙表示乙發(fā)球時(shí)甲得分，甲先發(fā)球 ，X=2 , .甲:乙為10:12或12:10時(shí)比賽結(jié)束。則甲乙 甲乙甲先發(fā)球，且甲獲勝，則甲：乙為時(shí)比賽結(jié)束則且甲獲勝 甲乙甲乙 甲乙甲乙事件且甲獲勝”的概率為19. （12 分）已知數(shù)列 和 滿足證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列求 和的通項(xiàng)公式解析：得：，即-得：，即又，是首項(xiàng)為，公比為-的等比數(shù)列，是首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列由 知，- - , - -20.（12 分）已知函數(shù)討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)設(shè) 是 的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也

7、是曲線的切線解析： 且 在上單調(diào)遞增，在 ，上單調(diào)遞增。在 和，上各有一個(gè)零點(diǎn)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，則 一，在點(diǎn)處的切線斜率為一在點(diǎn)處的切線方程為:設(shè)該切線與切于 ，又一且曲線 在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線且切點(diǎn)為21 . （12 分）已知點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn) 滿足直線 與的斜率之積為-點(diǎn) 在第一象限，軸，垂足為記的軌跡為曲線求 的方程，并說(shuō)明 是什么曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)交與點(diǎn)證明：是直角三角形求面積的最大值解析： 設(shè)直線與 的斜率分別為, ，點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn):曲線 是去掉左右頂點(diǎn), 長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 焦點(diǎn)為設(shè)貝U為 一直線 的方程為 且，由一一的橢圓由題知直線斜率存在且不為，則直線 的方程一 與 ,聯(lián)立得解得， 直線的斜率為,是直角三角形的面積單調(diào)遞減，時(shí)，取得最大值，最大值為一面積的最大值為二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.【選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（10分）在極坐標(biāo)系中，為極點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上直線過(guò)點(diǎn)且與 垂直，垂足為-時(shí)，求及的極坐標(biāo)方程在上運(yùn)動(dòng)且在線段