整式分式復(fù)習(xí)資料

1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我整式乘除與因式分解一、重點難點：重點是整式的乘法運算，因式分解運算.難點是乘法公式的靈活運用和分解因式的方法。二、知識要點【知識點一】幕的運算(1)同底數(shù)幕的乘法：同底數(shù)幕相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.即 am an am n ( m , n都是正整 數(shù))(2)幕的乘方：幕的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.即(am)n amn( m , n都是正整數(shù))(3)積的乘方：先把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的結(jié)果相乘.即(ab)n anbn(n是正 整數(shù))/ (4)同底數(shù)幕的除法：同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.(這個也可以看做分式的運算)即am an am n ( a

2、w 0, m , n都是正整數(shù)，且m > n) 零指數(shù)幕:不等于零的數(shù)的零次幕等于1.即a0 1( a w 0).推導(dǎo)過程：am am am-m a° 1(這里面注意：a*0,因為分母中有a)負整數(shù)指數(shù)幕:不等于零的數(shù)的負整數(shù)次幕等于這個數(shù)的正整數(shù)次幕的倒數(shù).一 c 1一 一即a p 4 ( a W0, p是正整數(shù)). ap例 1.計算 3(a3)3 2(a4)2 a解：3(a3)3 2(a4)2 a=3a9 2a8 a 3a9 2a9 5a9點評：在整式運算中同樣應(yīng)遵循有括號先算括號(先小括號，再中括號，后大括號，)，然后算乘方、再算乘除、最后算加減的原則./例 2 : 0

3、. 252009 X 42009 - 8100 X 0 . 5300./解：0 . 252009 X 42009 - 8100 X 0 . 5300/=(0. 25X 4) 2009 (23) 100X 0. 5300/=12009 ( 2 X 0 . 5) 300/=1 1300/=0/【知識點二】整式乘法(1)單項式乘單項式'、/單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的幕分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字 母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因數(shù).即：3a2b4cx 2x3bc6=(3 x 2)(b 4x b)(c x c6) x a2x x3=6a2x3b5c7(2)單項式乘多

4、項式單項式與多項式相乘，就是根據(jù)乘法對加法的分配律，用單項式乘多項式的每一項，再把所得的 積相加.即：a(m+n尸am+an (單項式計算部分與上面原理相同)(3)多項式乘多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.(就是反復(fù)多用幾次乘法分配律)。即：(a+b) (m+n尸am+an+bm+bn (單項式計算部分與上面原理 相同)例3.計算：(1)( 3a2b3c) ( 2ab2)2 ( 3a3b); (2)(2a3-3a+5) (3-a2);23/解：(1) ( 3a2b3c) ( Zab2)2 ( 3a3b)23=(3a2b3c) (4a2b4

5、) ( 3a3b)29= 34( 3) (a2 a2 a3) (b3 b4 b) c 2a7b8c2 9(2) (2a3-3a+5) (3-a2)= 6a3 2a5 9a 3a3 15 5a2=2a5 9a3 5a2 9a 15點評：為防止“漏項”，應(yīng)注意將一個多項式的每一項“遍乘”另一個多項式的每一項；要正 確確定積中每項的符號；如有同類項，則應(yīng)合并同類項，得出最簡結(jié)果；通常情況下，最后結(jié)果應(yīng)按某一字母的降幕排列.【知識點三】：乘法公式(1)平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的積，等于這兩個數(shù)的平方差.即 a b a b a2 b2.(2)完全平方公式：兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，

6、力口(或減)它們的積的2倍.即：a b 2 a2 2ab b2,a b 2 a2 2ab b2例4.利用乘法公式計算：4m 3 2n 4m 3 2n/22解：4m 3 2n 4m 3 2n =4m 3 2n 4m 3 2n = 4m 3 2n2222= 16m9 12n 4n =16m2 4n2 12n 9點評：巧妙的將3 2n看作一個整體是解決本題的關(guān)鍵.【知識點四】：整式除法(了解即可，這幾年幾乎不從這部分里出題)(1)單項式除以單項式：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)哥分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式.(2)多項式除以單項式：多項式除以單

7、項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.【知識點五】因式分解1 .因式分解：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解； 注意：因式分解與乘法是相反的兩個轉(zhuǎn)化.2 .因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分組分解法”、“十 字相乘法”'.(前三個較常考，第四個較難理解，而且大綱里不作要求，近幾年不 ?？?，但是用好了會簡化許多計算)一、提公因式法 am+an=a(m+n)二、運用公式法: a2-b2=(a+b)(a-b)； a2±2ab+b2=(a± b)2；三、分組分解法.把需要分解的式子改變順序，對其中某部分提

8、公因式或運用公式，然后再進行/下一步的因式分解、(一)分組后能直接提公因式例5、分解因式：am an bm bn分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部” 看，這個多項式前兩項都含有 a,后兩項都含有b,因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為 一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式=(am an) (bm bn)=a(m n) b(m n)每組之間還有公因式！、=(m n)(a b)【注】分組的選擇是不唯一的，這道題還可以選擇其他的分組方式，試試看。(二)分組后能直接運用公式22例6、分解因式：x y ax ay分析：若將第一、三項分為一組

9、，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就不能繼 續(xù)分解，所以只能另外分組。解：原式=(x2 y2) (ax ay)=(x y)(x y) a(x y)=(x y)(x y a)例7、分解因式：a2 2ab b2 c2解：原式=(a2 2ab b2) c222/=(a b) c=(a b c)(a b c)四、十字相乘法.(這是因式分解的最精華部分，但是大綱里不做要求，是課本中的思考題部分，所以了解即可，但是如果學(xué)會了，解題會快很多)(一)二次項系數(shù)為 1的二次三項式2直接利用公式 x (p q)x pq (x p)(x q)進行分解。/特點：(1)二次項系數(shù)是1;/(2)常數(shù)項是兩個

10、數(shù)的乘積；/(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。2例8、分解因式：x2 5x 6分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),從中可以發(fā)現(xiàn)只有2X3的分解適合，即2+3=5 。18解：x2 5x 6 = x2(23)x 2 3=(x2)(x3)例6、分解因式:解：原式=x2=(x2 x(1)1)(x7x(6)x ( 1)(6)6)-1-6(二)二次項系數(shù)不為1的二次三項式2 ax(-1) + (-6) = -7 bx c條件：(1)(2)(3)分解結(jié)果：aa2aic b ax2C1C2a1c2bxa2 cl

11、C2b a1c2 a2cl例7、分解因式: 分析：解：3x2 11x(三)二次項系數(shù)為 1例8、分解因式: 分析：將b看成常數(shù)，1c = (a1 x c1 )(a2x a) 3x2 11x 101.-23 -5(-6) + (-5) = -1110=(x 2)(3x 5)的齊次多項式 2_2a 8ab 128b.2解：a 8ab(四)二次項系數(shù)不為把原多項式看成關(guān)于a的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。1 -.-8b1 -16b8b+(-16b)= -8b22_128b =a 8b=(a 8b)(a1的齊次多項式(16b)a 8b ( 16b) 16b)例 9、2x2 7xy 6y21-2y

12、2-3y(-3y)+(-4y尸-7y解：原式=(x 2y)(2x 3y)2 2_例 10、x y3xy 2把xy看作一個整體1-11-2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy 1)(xy 2)【典型題】例 1.設(shè) m2+m2 = 0,求 m3+3m2+ 2000 的值./分析：由m2 + m2 = 0無法求m,所以要把m3+3m2+2000及m2+m2=0變形. 解：由 m2+m2=0,得 m2 = 2m, m2+m=2, 原式=m2 m+3m2+2000(2-m) m+3m2+ 2000 2mm2+3m2+20002 (m2+m) +20002X2+20002004評析：要多探索方法，尋

13、求新穎簡捷的方法.例2.化簡求化 5 (m+n) (m-n) -2(m+n)Z-3 (mn) 2,其中 m= 2,得.分析：先應(yīng)用乘法公式化簡，再代入求值.解：5 (m+n) (mn) 2 (m+n) 23 (mn) 2二5 (m2n2) 2 (m2+2mn+n2) 3 (m22mn+n2)=5m2 5n2 2m24mn2n2 3m2 + 6mn 3n2=10n2+2mn當 m= 2, n=5時，原式=10n2+2mn=2n ( 5n+m)= 2X1X (-5X1-2) =|x (-3) =-65555評析：本題用到平方差及完全平方公式，注意應(yīng)用公式要準確.【注】這類習(xí)題一定要先化簡，在代數(shù)求

14、值，以后的分式部分也要這樣做例 3.已知(a+b”2=11, (a-b) 2 = 5,求(1) a2+b2; (2) ab.分析：利用完全平方公式變形即可.解：由(a+ b) 2=11,得 a2 + 2ab+b2= 11.由(ab) 2=5,得 a2 2ab+b2=5. + ，得 2a2 + 2b2=16.故 a2+b2=8.3一，得 4ab= 6.故 ab：,例4 zabc的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：c2+a2 + 2ab 2bc =0,求證這個三角形是等腰 三角形。分析：此題實質(zhì)上是對關(guān)系式的等號左邊的多項式進行因式分解(還有些題是對某部分 因式分解)。證明：: 一 c2+a2 + 2a

15、b 2bc =0,(a + c) (a c) + 2b (ac) =0,(a c) (a + 2b+c) =0.又,a、b、c 是Aabc 的三條邊，. a + 2b+c>0,a c=0,即2 = 5 Aabc為等腰三角形。例5 簡便計算2001 x 19992001X 1999= (2000+1) (2000-1 )=2000 2-1 X 2000+1X2000+1X (-1 )=2000 2-1(用平方差公式也可以直接得到這一步)=4000000-1=3999999 ./ /例 6.計算 am+5bn+1 . a-m+6bn-1/解：am+5bn+1 - a-m+6bn-1分析：無論

16、指數(shù)多繁雜同底數(shù)幕結(jié)合是關(guān)鍵。/=(am+5 a-m+6)(bn+1 bn-1)/=am+5-m+6 y+1+41=a11 b2n例 7 .計算(-1)2k+1 (-之)2k /解：(-1)2k+1 (-2)2k分析：(-1)的奇次幕是-1=(-1) (- 2)2k1 /(-1)的偶次幕是+11 2=-1 ( 4)k利用 amn =(am)n將(-馬)2k2 _x /211=-(a)k =小/ 變形(-w)2k=(-之)2k=( a)k21例8.用簡便方法計算：(1) (-9)3 (-4)3 (號)3分析：本題逆用積的乘方公式，即同指數(shù)的若干個幕的積等于它們底數(shù)乘積之幕。ambmcm=(abc

17、)m/ g 1解:八1) (-9)3 - (- 3)3.( 3 )3/g 1、=(-9)(-二)(二)32£=(9 X 3 x 3 )3=23=8例9 如果2 8n 16n=222,求n的值分析：依據(jù)相等的2個哥，如其底數(shù)相同，則其指數(shù)相等的原理解方程。解： 2 8n 16n=222又 左邊=2 - 8n 16n=2 化3)n . (24)n=2 - 23n 24n=21+3n+4n =21+7n21+7n=222,. 1+7n=22n=3例10 已知x 1 2,求x2的值 xx解：(x 1) 2=x2-2x 1+( 1)2= x2-2+( 1)2=4 xx xx21x 2 =4+2

18、=6x /例11 如果 a2 + b2 2a +4b +5=0 ,求 a、b 的值/解：a2+b22a +4b +5= (a-1) 2+ (b+2) 2=0/所以 a- 1=0 b+2=0 所以 a=1 b=-2/例12兩個連續(xù)整數(shù)的平方差必是奇數(shù)解：設(shè)這兩個連續(xù)整數(shù)是n和n+1/則 這兩個數(shù)的平方差是(n+1) 2-n2=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1因為n是整數(shù)所以2n+1是奇數(shù)則結(jié)論成立。分少/一、重點難點：重點是提高分式部分化簡求值的運算能力，注意分式什么時候無意義，什么時候值為0;會解 分式方程，會用分式方程解決實際問題。難點是計算要快速準確，解方程記得檢驗是否是增根。二、知

19、識要點【知識點一】分式的基礎(chǔ)知識1 .分式：整式A除以整式B,可以表示成A的形式，如果除式B中含有字母，那么稱A為分式.若J BBBw0,則士有意義；若B=0,則士無意義；若A=0, B*0,則£=0.B/ B B2 .分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變.A A?CA A C ,用式子表小為 一 ,- (C W0).B B?CBBC3 .約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分：、4 .通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把異分母的分式化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分/【注】通分的關(guān)鍵是確定n個分式的最簡公分母，約

20、分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母中的最 大公因式.例1下列各式，哪些是整式，哪些是分式？1 a 齊 兀+ 2附十11,+ 2ab +b2一三一一川，一g+乃，x J Xq X 2 花4ya 十匕管冢:整式有！ 2n三之(工->)；3 n 4八±1 x ab 方+2厘+1 1 ,.分再有：一,一,-(a +6).而 j a x- 2 笈 y例2分別求出使下列式子有意義的x的值。© :1 卜卜3解：分式有意義，只要分母不為0就可以第一個：x-3 w0 x w3第二個：x -3 w0 x w 3第三個：x2w0 x w0x 3例3 如果分式 的值為零，那么x等于3x 9解：依

21、題意得3x-9w0 x w3x-3=0 x= 3綜合起來，x=-3 (x=3的時候分式分母為0,無意義)co化筒：£化簡;=ac；曲上二*X2 2x +1 匯1例5不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中的各項系數(shù)化為整數(shù)。D 03.V- 3.2y D-0 2yOQ立十0 O8x-I-O,5y +腳+ 一修-m -5【知識點二】上，提高速度。】分式的運算【注：這部分中考必有一道題，計算一定要大量練習(xí)，要保證準的基礎(chǔ)(1)分式乘除法：概括：與分數(shù)乘除法的法則類似，分式的乘除法的法則是: 兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母； 兩個分式相除，把除式的分子和

22、分母顛倒位置后，再與被除式相乘。經(jīng)觀察、類比不難發(fā)現(xiàn)bdbdbdBebeX, + 一=x.acacara dad解：原式=*哈(a-b)2 =a2 -b2 a(a b) ab例7.先化簡，再求值?！局锌碱}型，一定要先化簡，再代數(shù)，切記?！縳 - 4I、/十五十1Ca-W+A-hl)2,其中£32一33行計算。例8將下列各式通分;答窠；原式-正2工當過二£時，3（2）分時加減法同分母的分式加減法與同分母分數(shù)加減法的法則類似，同分母的分式加減法的法則是：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。/異分母的分式加減法與異分母分數(shù)加減法的法則類似，異分母的分式加減法的法則是： 異

23、分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進解:最簡公分母是12/9bc船修 3% 乂劭1 IZaVc25x 2a V10aJc6aba +2。+4n10(口 - 2)(1 +2a+4)G言）言答案.原式二"|£1-5【知識點三】分式方程概念：含有分式的等式（方程）叫分式方程。Z【注】對于分式方程，當分式中分母的值為零時沒有意義，所以分式方程不允許未知數(shù)取那些分母為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件。當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了。換言之，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程因為解分式方程可能會出

24、現(xiàn)的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根。增根，所以解分式方程時，驗根是必要步驟?！?(驗跟是只有分式方程中才特有的，但是必須的)驗根的方法有兩種，一種是把求得的未知數(shù)的值代入原方程進行檢驗，這種方法道理簡單,而且可以檢查解方程時有無計算錯誤； 另一種是把求得未知數(shù)的值代入分式的分母, 否為零，這種方法不能檢查解方程過程中出現(xiàn)的計算錯誤?？捶帜傅闹抵焕?10 6解：方程兩邊同時乘以(x1)(x整理，得2)得62 x2(xx1) (x 1)(x 2)6 0解這個方程，得x1x 2經(jīng)檢驗，x 2是原方程的增根，應(yīng)舍去.所以原方程的根是x 3例11年1月1日起調(diào)整居民用水價格，每立

25、方米水費上漲 1/3。小麗家去年 是15元，而今年7月份的水費則是30元。已知小麗家今年7月份的用水量比去年 量多5m,求該市今年居民用水的價格。主要的等量關(guān)系是：12月份的水費12月份的用水小麗家今年7月份的用水量一小麗家去年12月份的用水量=5n3所以，首先要表示出小麗家這兩個月的用水量，而用水量可以用水費除以水的單價得出。解：設(shè)該市去年居民用水的價格3015x元/ m3 ,則今年的水價為(1+1/3) x元/ m3,根據(jù)題意，得(1 1) x x3解這個方程，得x=經(jīng)檢驗，x=是所列方程的根。X (1+1/3) =2 (元)所以，該市今年居民用水的價格2 元/ m 3。例 12 x2 口

26、 x解：原方程變?yōu)? 0 xx 工)2+x(x -) -2=0x1 =-2x 1=1 xX1=X2=-1這個方程無解經(jīng)檢驗，X1=X2=-1是這個方程的跟。(x 1)(x 2)x.x k x例13如果方程x 1 1 x解：解這種題，不要先帶x2有增根x 1,則k=的值，因為帶進去分母為0,分式無意義，所以，先通分，在通分時，等式兩邊乘以0,對等式是沒有影響的，所以，原方程可化為: (x+k) -x(x+1)=2(x2-1)整理3x2-k-2=0此時，帶入x=1, 求k的值，k=1例14若1-3，求5x3xy5y的值.11 一斛：因為一一3 所以y-x=3xy x yxyx2xyy5x 3xy5

27、yx 2xy y5( x - y) 3xy(x - y) - 2x5(-3xy) 3xy(-3xy) - 2x-12xy-5xy125【鞏固練習(xí):T【整式部分】1、計算：(D ( 3a2) 3 - ( 2a3)(2) 3xy2z (x2y) 2(3) 21a2b3+7a2b；(4) 7a5b2c3 + (3a3b);(x)2 (x)3 2x ( x)4、4 .x) x 丁 x12 、 , 23(6) (-a-2b) (2a 3b)2 3342、若 5n=2, 4n = 3,則 20n 的值是;若 2n+1=16,則 x =3、已知(3x2y3)?( 4xmy4) (5xyn)2.4x5y10

28、求 m n 的值4、1111(12)(1/ 7)(1 尹1 一、，方（提示：用平方差公式）5、已知 ab 9, a b 3,求 a2 3ab b2 的值6、在長為am,寬為b m的一塊草坪上修了一條 1m寬的筆直小路，則余下草坪的面積可表示m2；現(xiàn)為了增加美感，把這條小路改為寬恒為1m的彎曲小路（如圖6）,則此時余下草坪的面積為7、若a、b、c為AABC的三邊，且滿足a2+b2+c2 = ab+ac+bc,試判斷 ABC的形狀。8、已知 x y 8, xy 12 ,求：(1)22x y xyx2 xy y2 (3) x y 的值。，一、 2(2) 7a2 3b ab 21a,、2(4) mx mx n nx9、利用因式分解說明：367 612能被140整除10、因式分解(1) 2x ax 2y ay(3) a2x a2y b2x b2y；(5) a2b2 2ab a2 1(6) (a b)2(a b)24.4a b y2 6y 9x2 9(9)2x 2-7x + 3;(10)6x2(8) x 2xy7x-5 ;(11)-3x 2- 7x-2 ;(12)5x2+ 6xy-8y【注】后四個是用十字相乘法因式分解，盡量做11、已知 x y z 0 ,求(x2y2 z2)2 4y2z2 的值。12、已知：a、b、c為 ABC的三邊,并且滿足a2(b