圓錐曲線定點(diǎn)、定直線、定值問(wèn)題

1、定點(diǎn)、定直線、定值專題1、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 3,最小值為1. （I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（n）若直線l:y=kx +m與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn)（A, B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).22【標(biāo)準(zhǔn)答案】（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 T+-yr=i（a>b>0）a b222- x y ,a+c=3,ac=1, a=2,c=1,b =3,一 + =1.43y = kx m(II)設(shè) A(x1,y) B(X2,y2),由 1 x2 y得(3+4k2)x2+8mkx +

2、 4(m2 3) = 0 , 二 143 =64m2k2 16(3 +4k2)(m2 -3)>0 , 3+4k2 -m2 >0 .丁以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0), kAD kBD = -1，,y y = -1 ,x1 - 2 x2 - 2(最好是用向量點(diǎn)乘來(lái))y1y2 +x1x2 -2(X+x2) +4 = 0,+ 4 = 0,3(m2 -4k2) 4(m2 -3) . 16mk3 4k23 4k23 4k22 一 一 一 2 一2k _ 22 _7m + 16mk +4k =0 ,解得 m1 = -2k,m2 = 一一 ,且滿足 3 +4k -m >0 .7當(dāng)

3、m = 2k時(shí)，l : y =k（x-2）,直線過(guò)定點(diǎn)（2,0）,與已知矛盾;, 2k .22 一當(dāng)m =3時(shí)，l : y =k（x 1）,直線過(guò)定點(diǎn)（7,0）.2綜上可知，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（一,0）.732、已知橢圓C的離心率e=3，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為 A"-2,0）, A2（2,0）o （I）求橢圓C的萬(wàn)程;m變化時(shí)，點(diǎn)S（n）設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線AF與A2Q交于點(diǎn)S。試問(wèn)：當(dāng)是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。22解法一：(I)設(shè)橢圓C的方程為0+y一 =1(a Ab >0)。 1分a b

4、a =2 , e =- = ,c = 73 , b2 =a2 -c2 =1。 4 分a 22，橢圓C的方程為xr+y2 =1。 5分4(n)取 m =0,得 P；,93 1Q 'l,-:直線 AlP 的方程是 V =x+&，I 2 J I 2 J63直線A2Q的方程是y=3x73,交點(diǎn)為S(4,T3) 7分，若P心迫流,叵|,由對(duì)稱性可知交點(diǎn)為 82(4,-73)I 2 J I 2 J1)若點(diǎn)S在同一條直線上，則直線只能為Rx=4。 8分x2)V2 =1以下證明對(duì)于任意的m,直線AiP與直線A2Q的交點(diǎn)S均在直線月:x = 4上。事實(shí)上，由 ,4¥ 得| x 二 my

5、 1(my +1)+4y2 =4,即(m2 +4 .2 +2my -3 =0 ,記 P(xi,yi )Q(x2,y2 ),則 yi +y2 =,yiy2 =m ，4 m y設(shè)AiP與上交于點(diǎn)So(4,yo),由工二,得yo =34 2 x1 2x1 ：10設(shè)A2Q與F交于點(diǎn)So", yo'),由42:六2,得y。'=六.-12m-12m=m +4 m +4 =0,12 分 x12 x2 -2y0 =y0'，即S。與& '重合，這說(shuō)明，當(dāng) m變化時(shí)，點(diǎn)S恒在定直線£：x=4上。13分解法二：(n)取m =0,得P：,3i,Q：,立，直線

6、A1P的方程是y二近乂十，3,直線A2Q的方程是I2-2)，63.3- 、 ，、. 一y=-x g,父點(diǎn)為 S1(4,73) 7 分2取m=1,得P；8,3 1Q(0,1 ),直線A1P的方程是y =3x+1，直線A2Q的方程是y = 1x1,交點(diǎn)為S2(4,1 )5 5632若交點(diǎn)S在同一條直線上，則直線只能為£:x=4。 8分 2，. - y2 =1 _以下證明對(duì)于任意的m,直線AF與直線A2Q的交點(diǎn)S均在直線 上x(chóng) = 4上。事實(shí)上，由* 4 y 得.2.2.my 1 -4y =4,x 二 my 1-2my1 y =L'yy即(m2+4卜2+2my3 =0, 記P(1x

7、)( ,)y2,狽Q x-3 =力。"2 9分m2 4A1P的方程是y ='(x+2 ) A2Q的方程是y="(x2)消去y,得(x+2 ) =(x 2 )x1 2x2 -2x1 2x2 -2以下用分析法證明x =4時(shí)，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明_6yL =_2y",即證xi 2 X2 -23y1(my2 -1)= Y2( myi 十 3 即證 2myiY2 =3(yi +Y2 )2my1y _3(y +y)=-6m-=6m-=20, .式恒成立。這說(shuō)明，當(dāng)m變化時(shí)1點(diǎn)S恒在定直線/；:x = 4上。 m 4 m 4' 2-y2 =12,2

8、2斛法二：(n)由 4 4得(my+1) +4y =4,即(m +4 )y +2my-3=0。x =my 1t己 P(x1，y1 )Q (x2,y2 ),貝U y1 +y2，yy2° 6 分m 4 m 4AF的方程是y ="(x+2 ) A2Q的方程是y=y(x2),7分x1 2x2 -2y =-y x 2 , x12y1y2由得一(x +2 = (x -2 9 分y ;上 x-2,x1 2X2-2x2 -2即 x = 21y2x12y1x2-2 二把2 my1 3y1my2 -1= 佇丫佻3y2 fy2 x1 2 -y1 x2 -2 y2 my1 3 -y my2 -13

9、y2 y12m|_- =2b17 c -2mL 3 mic-2m3 m-y1y1=4.12分這說(shuō)明，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S恒在定直線f:x=4上。 13分 3、已知橢圓E的中心在原焦點(diǎn)在 x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值 為短-1 ,離心率為e .2(I )求橢圓E的方程；M , MP MQ為定值?(n )過(guò)點(diǎn)(1 , 0件直線f交E于P、Q兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn) 若存在，求出這個(gè)定點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22 a _ c .2 -1解：(I)設(shè)橢圓E的方程為 與十冬=1，由已知得：2. 而。2分a b- =2a 2a = .222 2x22，b =a c =1二橢圓

10、E的萬(wàn)程為 一+y =1。3分c =12(n)法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0),又設(shè)P(x1,y1),Q(x 2,y2),則：2=x1x2 m(x 1+x2)+m +y1y2。5 分當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k(x -1),則2 =1得 x2 +2k2(x -1)2 2=0y =k(x -1)22k -2 7 公x2 =-FT 7 分2k 12(2k2 1)x2 -4k2x (2k2 -2) =0 Xi x2 =4k, Xi2k 1所以MP MQ二2k2 24k22- m 22k 1 2k 1k222k 1_222 一(2m -4m 1)k (m -2)22k 1對(duì)于任

11、意的k值，MP MQ為定值，所以2m24m+1 =2(m22),得m5 7所以 M(,0),MP MQ1611分當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線1l： x =1,x1 x2 =2,x 1x2 =1,丫1丫2 二-2由m =5得MPMQ二一二416綜上述知，符合條件的點(diǎn)M存在，起坐標(biāo)為(-,0) .413分法二：假設(shè)存在點(diǎn) M(m,0)，又設(shè) P(x1,y1),Q(x 2/2),則：MP =(x1 m,y1),MQ'=僅2一 m,y2)MP MQ =(x1 -m) (x2-m)+y1y2 = x1x2-m(x 1+x2)+m2+y1y2 .當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=ty+1

12、,2y2 =1,2-2t由 4 2得(t +2)y2 +2ty -1 =0y1 +y2 =-,y 1x = ty 1t 2-1y 2 =-2t 2K rT -2t2 2 4m 2,MP MQ =2 -六 mt 2 t 2(m - 2)t 2m -4m 1t2 2t2 2、一一一 設(shè)MP MQ =九則2_2_2(m -2)t 2m -4m 1t2 22_2_22_.(m 2)t 2m -4m 1 =Mt - 2).(m2 -2 - )t2 2m2 -4m 1 -2 = 02m2 -2 T,=022m -4m 1 -2 =05m 二一457 J.M(一,0)二74=、1611分2當(dāng)直線l的斜率為0

13、時(shí)，直線l: y=0,由M(5,0)得：綜上述知，符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為(-5 0) 。 13分2e = T,-5過(guò)橢圓的右4，24、已知橢圓的焦點(diǎn)在 x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線 x =4y的焦點(diǎn)，離心率焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線 l ,交橢圓于 A、B兩點(diǎn)。求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；:(n)設(shè)點(diǎn)M(m,0)是線段OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(MA+MB)_L AB ,求m的取值范圍；(出)設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn) N,使得C、B、N 三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。22解法一：(I)設(shè)橢圓方程為-x2+-y2-=1(a>b>0

14、),由題意知b = 1a b2 2a -b2a(n)由22 ox2o7= a =5故橢圓方程為W" + y =1 (I)得 F(2,0),所以 0Em W2,設(shè) l 的方程為 y =k(x 2) ( k=0)x 22222代入一+ y =1,得(5k +1)x 20kx+20k 5 = 0 設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2), 5則 x1 , x2 =20k220k2 -52, x1x2 =2,5k2 15k2 1y1y2 =k(X1 X2 -4), y1 - y2 二k(x1 一x?)20k24k22- 2m -25k2 1 5k2 1=0,二(85m)k2 m = 0

15、由 k28>0, 0 < m <一 ，5，八 8 ,，K不、K八，當(dāng) 0<m< 時(shí)，有（MA + MB） _L AB 成立。55BC的方（出）在x軸上存在定點(diǎn) N（,0）,使得C、B、N三點(diǎn)共線。依題意知 C（xi,-y） 直線程為 y + y1 = -y2y1 (x - x1),x2 - x1l 的方程為 y =k(x2), A、2220k2 -520k22k2- -2k _5k 1 5k1一l 20k2人k z4k5k2 1令 y=0,則 x=y1(x2-X)+x1 y2y1B在直線l上,5 5一 J.在X軸上存在7E點(diǎn) N (- ,0),22解法二：（n）由

16、（I）得F（2,0）,所以0EmE2。設(shè)l的方程為2ye丫2”y2y1使得C B N三點(diǎn)共線。y =k(x-2) (k = 0),代入+ y2 =1,得(5k2 +1)x2 -20k2 +20k25=0設(shè) A(x1，y。B(x2, y2),則520k220k2 -54kXix2= - 2XiX2= - 2 ,y1y2 = k(x1x2-4) = -7r,y- y2= k(x15k 1 5k 15k 1c 8 -i二當(dāng) 0<m<-時(shí)，有(MA + MB) _L AB 成立。5-x2)一 -5(出)在x軸上存在定點(diǎn)N(-,0)，使得C、B、N二點(diǎn)共線。 2 設(shè)” N(t,0),使得C、

17、乙 N三點(diǎn)共線，則CB/CN ,'：CB = ( x- x, y+ y, CN ( -t 1 x,1(x2為)，一(t x)(y1 + y2) = 0即(x2 -x1)k(x1 -2) -(t -x1)k(x1 x2 -4) = 0 . 2x1x2 一(t 2)(x1 x2) 4t = 0 _ 2_ 220k2 -520k255二 2 20k5-(t +2)學(xué)=+4t =0 ,二 t =5 二存在 N(5,0)，使得 C B N 三點(diǎn)共線。5k2 15k2 1226、（福建卷）2已知橢圓x-十y2 =1的左焦點(diǎn)為F , O為坐標(biāo)原點(diǎn)。2（I）求過(guò)點(diǎn)（n）設(shè)過(guò)點(diǎn)O、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線 l相切的圓的方程；F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于 A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜 合解題能力。解：(I) ：a2 =2,b2 =1, c = 1,F(1,0),l : x= -2；圓過(guò)點(diǎn) O、設(shè)M (-1，1、 ，-3一,t）,則圓半徑 r = （一）（2）=一.222由 OM| =r，得(1)2 +t2 =3,解得 t =