終極布朗尼蛋糕盤涉及一等獎論文

1、最終的布朗尼蛋糕盤Team #23686February 5, 2013摘要 Summary/Abstract為了解決布朗尼蛋糕最佳烤盤形狀的選擇問題，本文首先建立了烤盤熱量分 布模型，解決了烤盤形態(tài)轉變過程中所有烤盤形狀熱量分布的問題。 又建立了數(shù) 量最優(yōu)模型，解決了烤箱所能容納最大烤盤數(shù)的問題。 然后建立了熱量分布最優(yōu) 模型，解決了烤盤平均熱量分布最大問題。 最后，我們建立了數(shù)量與熱量最優(yōu)模 型，解決了選擇最佳烤盤形狀的問題。模型一：為了解決烤盤形態(tài)轉變過程中所有烤盤形狀熱量分布的問題，我們假設烤盤的任意一條邊為半無限大平板，結合第三邊界條件下非穩(wěn)態(tài)導熱公式， 建立了不同形狀烤盤的熱量分布

2、模型， 模擬出不同形狀烤盤熱量分布圖。 最后得 到結論：在烤盤由多邊形趨于圓的過程中，烤焦的程度會越來越小。模型二：為了解決烤箱所能容納最大烤盤數(shù)的問題，本文建立了隨烤箱長寬比變化下的數(shù)量最優(yōu)模型。求解得到烤盤數(shù)目N隨著烤箱長寬比和烤盤邊數(shù)n變 化的函數(shù)如下：cont2cont2cont W L2.2 n si n - n4A模型三：本文定義平均熱量分布 H為未超過某一溫度時的非烤焦區(qū)域占烤 盤邊緣總區(qū)域的百分比。為了解決烤盤平均熱量分布最大問題， 本文建立了熱量 分布最優(yōu)模型，求解得到平均熱量分布隨著烤箱長寬比和形狀變化的函數(shù)如下：結論是：當烤箱長寬比為定值時，正方形烤盤在烤箱中被容納的最多

3、，圓形 烤盤的平均熱量分布最大。當烤盤邊數(shù)為定值時，在長寬比為 1:1的烤箱中被容 納的烤盤數(shù)量最多，平均熱量分布 H最大。模型四：通過對函數(shù)N W,n作無量綱化處理，結合各自的權重p和1 p，本文建立了數(shù)量和熱量混合最優(yōu)模型，得到烤盤邊數(shù) n隨p值和WL的函數(shù)。當 W 0.7273, p 0.5977時，此時的n 6Contents1 An alysis32 Model Assumptions 33 Modeling and solving 33.1 Definition .4.3.2 Model 14.3.3 Model2103.4 Model3 113.5 Model4 134 Refe

4、re nces 155 Appe ndix 151. 問題分析Analysis本文討論了在有限的烤箱內，不同形狀烤盤的外部邊緣的熱量的分布問題。 當烤箱內部預熱到一定時間時，烤箱內溫度達到一個均衡值。由于預熱的一段時 間很短，我們假設在烤箱的工作時間，爐內熱量分布是均勻的。因此烤箱內的氣 體可以看成為溫度不變的流體?？颈P的每一條邊都可以看成無限大平板在一維時 的情況?？梢越霟o限大平板在第三類邊界條件下的一維非穩(wěn)態(tài)導熱函數(shù)，并結合多維非穩(wěn)態(tài)導熱的乘積解法，可以得到多邊形烤盤在二維的熱量分布。然后 模擬出多邊形烤盤熱量分布的圖像， 通過觀察，得到各種形狀烤盤所受到的熱量 分布情況。問題二：討論

5、烤箱所能夠容納烤盤數(shù)最多的情況。 實際上也就是討論多邊形在W L區(qū)域內的平鋪問題。在這里，我們假設W L為定值。一方面當W分別L 為不同值時，多邊形的平鋪區(qū)域面積會有不同的值。另一方面，多邊形在區(qū)域 W L的烤盤數(shù)量N會隨著多邊形邊數(shù)的變化而變化。因此，平鋪數(shù)量 N會隨著 W和邊數(shù)n的變化而變化。討論烤盤平均熱量最大的情況，實際上也就是討論非烤焦區(qū)域面積占總區(qū)域面積比例的問題。 我們認為烤焦區(qū)域面積為溫度出現(xiàn)重 疊的區(qū)域面積。一方面，當W分別為不同值時，熱量平均分布H會有不同的值。L另一方面，多邊形在區(qū)域W L的熱量平均分布會隨著多邊形邊數(shù)的變化而變化。 因此，熱量平均分布H會隨著W和邊數(shù)n的

6、變化而變化。結合以上相關結論，L我們可以得到邊數(shù)n會隨著熱量平均分布H和W和數(shù)量N變化而變化。通過作L無量綱化處理，數(shù)量N和平均熱量分布H的權重分別為p和1 p，所以邊數(shù)n會隨著一和P的變化而變化。L2. 模型假設 Model Assumptions1. 忽略不同食材，烘焙時間長短等因素對蛋糕成熟的影響；2. 當烤箱工作時，烤箱內的溫度為定值；3假設烤箱內傳熱主要為導熱傳熱。3. 不同形狀烤盤熱量分布模型3.1烤盤，烤箱的定義 本文考慮的烤箱的結構簡圖（Figure 1）：Figure 1烤箱結構圖本文忽略盤烤的高度，僅考慮烤盤在二維空間內的導熱問題，如圖2所示:Figure 2烤盤形態(tài)圖圖3

7、.2模型建立模型解決烤盤形態(tài)轉變過程中所有烤盤形狀熱量分布的問題。當只考慮烤盤的一條邊時，此時烤盤相當于半無限大平板。在一維非穩(wěn)態(tài)傳熱過程中烤盤內的 溫度。坐標分布如圖3所示：Figure 3半無限大平板加熱過程中的溫度分析由上圖可知，烤盤厚度為時烤盤的加熱情況：第一階段stepl:當烤制時間（0, 2）時，空氣流體不斷的向烤盤內部導熱,但是烤盤仍然有部分處于初始溫度，未開始加熱。當2時，空氣流體對烤盤的熱量正好傳到烤盤的內邊緣；第二階段step2:當 （2, 4）時，空氣流體對整個烤盤加熱的一段時間；第三階段step3:當4時，烤盤的溫度到達新的穩(wěn)定狀態(tài)烤盤的加熱過程的微分方程為：(1)2t

8、2其中，t為烤盤的溫度，to為烤盤的初始溫度，tf為空氣流體的溫度，且 tf to。hf為空氣流體與烤盤間的對流換熱系數(shù)，且為常數(shù)。為加熱時間，為烤盤邊緣的厚度，為熱量傳輸系數(shù)（或導熱系數(shù)）。定解條件：0， 0 x ，tt00，X 0,亠0 （對稱性）X X 00， x，hf tf -t xX x 0引入過余溫度：tf -t 0tf -ttf -t0a2-r2 e nn 1sin n cos ns Sin n cos n在此定解條件下微分方程解的結果為:式中的n是下列超越方程的根，稱為特征值。tan nBi1,2,3從上式看出解得結果可表示為:x, tf -t X,t f -t0f Fo,Bi

9、,X從上述的結果可知，烤盤的加熱過程函數(shù)是一個無窮級數(shù)，計算工作量較大。但對比計算表明，當傅里葉系數(shù) Fo 0.2時，采用該級數(shù)的第一項與采用完整的級數(shù)計算平板中心溫度的差別小 0.1%。這樣的誤差在計算中是被允許的，因而 當此Fo 0.2后可以采用以下簡化結果：2_cos itf -t2sin 1；e o t f - to 1 sin 1 cos 1其中特征值n n 1,2,3, 的值與Bi有關。從上式可知得當Fo 0.2以后平板中的任意一點的過余溫度X,與平板中心的過余溫度X, m之比為:cos 1(5)m非穩(wěn)態(tài)導熱的這一階段就是所謂的導熱正規(guī)狀況或充分發(fā)展階段。確認正規(guī)狀況階段的存在具有

10、重要的意義，因為本文計算中關心的非穩(wěn)態(tài)導熱過程常常處 于正規(guī)狀況階段，此時的計算可以采用上述的簡化公式。為了便于計算，人們廣泛采用按分析解的級數(shù)第一項而繪制的一些線算圖（諾曼圖）。其中用以確定溫度分布的線算圖稱為海斯勒（Heasler）圖。以無限大平板為例，它首先根據(jù)等式（4）中給出的m 0隨F。及Bi變化的曲線（此時/0），然后再根據(jù)等式（5）確定 / 的值。于是平板中任意一點的便為：Him：©XnI. j畑巾遁I無限大平板的的計算圖如圖4和圖5所示:IC1IJ1* 1 % 芯氣?応氣產(chǎn)聞奮E5帀h!-i r L TFigure 4無限大平板中心無量綱溫度圖3.3模型求解設烤盤密度

11、26.10kg/m3，比熱容 c 904J/(kg. C)，導熱率120W /（m C），對流換熱系數(shù)h 100W /（m2 C），烤盤的寬度0.5m，烤箱內的溫度tf 200 C。當時間 10s時，根據(jù)圖4和圖5和等式得到若干 大平板的溫度和大平板距離的散點數(shù)據(jù)，擬合出大平板的溫度和大平板距離的曲線如圖6所示:Figure 6大平板的溫度和大平板距離的擬合曲線Figure 7烤盤形狀為四邊形的受熱圖 四邊形的烤盤可以看做成由四個半無限大平板所圍成的， 的乘積解法可以得出如下結果：x,y, -tf t x, -tft0 -tft0 -tf31boardty, -tft0-t fqboard圖像

12、如圖8所示:boardboard12tx, -tfto -tft y, -tf t0 -tf3.4四邊形烤盤情況烤盤形狀為四邊形的受熱情況：根據(jù)多維非穩(wěn)態(tài)導熱Figure 8四邊形烤盤的熱量分布圖3.5五邊形烤盤情況烤盤形狀為五邊形的受熱情況:Figure 9烤盤形狀為五邊形的受熱圖五邊形的烤盤可以看做成由五個半無限大平板所圍成的，根據(jù)多維非穩(wěn)態(tài)導熱 的乘積解法可以得出如下結果：x,y.-tft x, -tft y, -tft x, -tft0 -tft0 - tft° - t f1 board2 boardt0 - tf5 board(8)圖像如圖10所示:Figure 10五邊形

13、烤盤的熱量分布圖3.6多邊形烤盤情況烤盤形狀為n邊形的受熱情況：Figure 11烤盤形狀為n邊形的受熱圖n邊形的烤盤可以看做成由n個半無限大平板所圍成的，根據(jù)多維非穩(wěn)態(tài)導熱 的乘積解法可以得出如下結果：x, y,-tft x,-tft y, -tft x, -tft0 -tft0 -tft° - t f1 board2 boardt0-tfn board圖像如圖12所示:(9)Figure 12多邊形烤盤的熱量分布圖4烤盤數(shù)量最優(yōu)模型當用相同多的材料做成烤箱時，存在以下等式：L W Co nt式中，L為烤箱的長度，W為烤箱的寬度，Co nt為常數(shù)。多邊形的邊長數(shù)為n。當n 5時，多

14、邊形的形狀可以近似看做其多邊形的外 圓。則n邊形的排列方式如圖：Figure 13n邊形的排列方式其中，三角形的面積：1 2Striangle' S"(10)式中：,r為多邊形所外外接圓的半徑;n經(jīng)過推到可以得到多邊形的面積為：n 2 .2r sin -2n式中，A為烤盤的面積。則:2An si n2n每層的烤盤總數(shù)K :L2rW2r烤箱有兩層，則烤箱能夠放的烤盤總數(shù)N 2：2Ai 2 n sin - InI n sin2A2化簡得到:WLn sinN n4A(13)當用相同多的材料做成烤箱時，存在: 可推出L Cont2W L cont2 co nt WLc°nt

15、 .-1 WL(13.5)結合式（13）和式(13.5)可得函數(shù):222cont W.cont cont L1 WL4An sin(13.55)1m，A0.0025m2 '做出烤盤總數(shù)N 隨*W和多邊形的邊數(shù)n而變化的曲線如圖14所示:7-財尸1耳/m/z 耳/L1/4烤箱內所容納的烤Figure 14烤盤總數(shù)N隨著W和多邊形的邊數(shù)n而變化的曲線示意圖由此可得到結論為：W在區(qū)間0,1 上,隨著W的增大，W 1時，烤箱所盤數(shù)N隨多邊形n變化而變化的曲線將整體上移。由此可知， 盛的烤盤數(shù)最大。隨著多邊形邊數(shù)n當W的取值為某一定值時，烤箱內所能容納的烤盤數(shù)N的增大而增大，其中，n 5，。特別

16、的，當n 4時，烤盤數(shù)量N大于任意多邊形的烤盤數(shù)，即正方形的烤盤在烤箱中的數(shù)目最多。5烤盤熱量最優(yōu)模型我們假設烤制時間為3時，蛋糕已經(jīng)成熟?？颈P溫度超過某一溫度（即烤焦overcooked的溫度）的區(qū)域面積為 A :A如圖15所示:4Figure 15烤焦區(qū)域面積圖用圖像表示多邊形隨著邊數(shù)n的變化引起的烤焦面積變化的趨勢如圖16所2overcooked(14)示:Figure 16多邊形隨著邊數(shù)n變化引起的烤焦面積變化的示意圖 每個烤盤的平均熱量分布為 H，考慮每個烤盤的各區(qū)域溫度未超過某一溫度（即烤焦overcooked的溫度）的區(qū)域面積為總面積減去 A ， H表示如下:tan n2A-.n

17、sin V n(15)sin_n cosnFigure 17每個烤盤的平均熱量分布圖總的烤盤的平均熱量分布H total為每個烤盤的平均熱量分布（H ）和烤盤數(shù)量（N）的乘積，即:H total(16)根據(jù)式（13.55）和式（15）可得函數(shù)當多邊形的邊數(shù)變化時，得到結果如圖 17所示:H totaltan n2sin _n cos ncont2cont2cont W l-1-叮4A.2 n si n n(16.5)當W L 1m , A 0.0025m2，做出烤盤熱量平均分布隨著 和多邊形的 L邊數(shù)n而變化的曲線：Figure 18烤盤熱量平均分布隨著和n變化示意圖當在區(qū)間0,1上時，隨著的

18、增大，烤盤平均熱量 H分布隨多邊形n變 化而變化的曲線將整體上移。由此可知，1時，烤盤的平均熱量分布 H為L最大。當?shù)娜≈禐槟骋欢ㄖ禃r，烤盤平均熱量H分布隨著多邊形邊數(shù)n的增大而增大，其中，n 4，。且，當n時，烤盤平均熱量H分布大于任意 多邊形的烤盤平均熱量 H分布，即圓形烤盤平均熱量分布最多6烤盤數(shù)量與熱量最優(yōu)模型分別將圖14和圖18做無綱量化處理，并放置在同一坐標系中，烤盤總數(shù)N 和熱量平均分布H隨著W和多邊形的邊數(shù)n而變化的關系，如圖19所示：L1.20.80.60.40.2一 N(W/L=1) N(W/L=1/2) .N(W/L=1/4)H(W/L=1) H(W/L=1/2) _2_

19、 H(W/L=1/4)數(shù) 45678901邊nFigure 19烤盤總數(shù)和熱量平均分布隨 W和n變化示意圖無量綱化的N和H的權重分別為p和1 p，即：pN 1 p H此時，N和H比為：p1 p權重比為的縱坐標之比，即：p n1 p H即：NPN H(17)(18)(18.5)(19)cont2cont2cont WL1.2n si n -n4Acont2tanncont4A2A.2 n si n ncos nsin n根據(jù)式（13），（ 13.5），（ 18），可得函數(shù):(20)當co nt 1m ,0.5m時，利用matlab作出以上函數(shù)，函數(shù)圖象如下圖所示:H2-Figure 20烤盤邊數(shù)

20、n隨 和p變化示意圖由此我們可以得到以下結論：當 Wl為定值時，p與n呈一一對應的關 系，n值隨p值的增加而減少；當p為定值時，N與H呈一一對應的關系， n值隨WL值的增加而增大。通過確定 P和WL，可以得到相應的n值。例 如當 W 0.7273， p 0.5977時，此時的 n 6。7. 參考文獻References1 沈巧珍，杜建明，冶金傳輸原理，北京：冶金工業(yè)出版社，2006.82 沈巧珍等，冶金傳輸原理，3 董霖，MATLAB使用詳解，北京：電子工業(yè)出版社，2009.14 陳偉忠，林宏諭，北京：中國鐵道出版社，2007.9謝兆鴻，范正森，數(shù)學建模技術，中國水利水電出版社，2003王躍剛

21、，動態(tài)數(shù)學模型 測試建模方法，西安：西安電子科技大學出版社，2012.37Mark M.Meerschaert,Mathematical Modeling(Third Edition),北京：機械工業(yè)出版 社,2009.58. 附錄 AppendixesAppendix1Matlab Figure 6 制作編程f(x) = p1*xA2 + p2*x + p3Coefficie nts (with 95% con fide nee boun ds):p1 =20.82(19.66, 21.98)p2 = 4.872e-015 (-0.2821, 0.2821)p3 =169.3(169.1,

22、169.5)Appendix2 Matlab Figure18 制作編程 ezplot('0.25*n*sin(2*pi/n)/0.01*(1-tan(pi/n)*0.0005/(2*sin(pi/n)*(sqrt(0.005/(n*sin(2*pi/n)-0.00 05/cos(pi/n)',4,50,50,200);hold on ezplot('2/9*n*sin(2*pi/n)/0.01*(1-tan(pi/n)*0.0005/(2*sin(pi/n)*(sqrt(0.005/(n*sin(2*pi/n)-0.000 5/cos(pi/n)',4,50,50,200);hold on ezplot('4/25*n*sin(2*pi/n)/0.01*(1-tan(pi/n)*0.0005/(2*sin(p