應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程PPT課件

1、1 應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程 Applied stochastic processesApplied stochastic processes 衣衣 娜娜 TelTel：1825412136018254121360 Email Email： 2定義定義l一般來(lái)說(shuō)，把一組(族) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量定義為隨機(jī)過(guò)程。 l隨機(jī)過(guò)程是概率論的繼續(xù)和發(fā)展，被認(rèn)為是概率論的動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)部分。概率論研究對(duì)象為：隨機(jī)變量；隨機(jī)過(guò)程研究對(duì)象為：隨時(shí)間演變的隨機(jī)現(xiàn)象。XX(t)3起源與發(fā)展起源與發(fā)展l隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，產(chǎn)生于20世紀(jì)初對(duì)物理學(xué)的研究，如吉布斯、波爾茲曼、龐加萊等人對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的研究。l1

2、907年前后，馬爾科夫(Markov)研究了一系列有特定相依性的隨機(jī)變量，后人稱之為Markov鏈鏈；1923年維納給出布朗布朗(Brown)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)定義，這一過(guò)程成為一個(gè)重要的研究課題。l一般理論的研究通常認(rèn)為開始于20世紀(jì)30年代：1931年，柯爾莫哥洛夫柯爾莫哥洛夫(Kolmogorov)概率論的解析方法，1934年辛欽辛欽(Khinchine)發(fā)表了平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)理論，這兩篇著作奠定了馬爾科夫過(guò)程與平穩(wěn)過(guò)程的理論基礎(chǔ)。1953年，杜布杜布(Doob)出版了名著隨機(jī)過(guò)程論，系統(tǒng)且嚴(yán)格地?cái)⑹隽穗S機(jī)過(guò)程基本理論。 4應(yīng)用與研究方法應(yīng)用與研究方法l天氣預(yù)報(bào)、統(tǒng)計(jì)物理、天體物理、運(yùn)籌決策、

3、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、安全科學(xué)、人口理論、可靠性及計(jì)算機(jī)科學(xué)、金融等很多領(lǐng)域都要經(jīng)常用到隨機(jī)過(guò)程的理論來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。l主要研究方法可以分為兩大類：l一類是概率方法，其中用到軌道性質(zhì)和隨機(jī)微分方程等；l另一類是分析的方法，其中用到測(cè)度論、微分方程、半群理論、希爾伯特空間等。 5學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)內(nèi)容u第一章第一章 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)u第二章第二章 隨機(jī)過(guò)程的基本概念和基本類型隨機(jī)過(guò)程的基本概念和基本類型u第三章第三章 Poisson過(guò)程過(guò)程u第五章第五章 Markov鏈鏈u第七章第七章 Brown運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)6第第1章章 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)1.1 概率空間概率空間1.2 隨機(jī)變量和分布函數(shù)隨機(jī)變量和分布函數(shù)1.3 數(shù)字

4、特征、矩母函數(shù)與特征函數(shù)數(shù)字特征、矩母函數(shù)與特征函數(shù)1.4 條件概率、條件期望和獨(dú)立性條件概率、條件期望和獨(dú)立性1.5 收斂性收斂性7 1. 可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行; 2. 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果; 3. 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)會(huì)出現(xiàn). 在概率論中在概率論中,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn).1.1 概率空間概率空間一、隨機(jī)試驗(yàn)：一、隨機(jī)試驗(yàn)：8二、樣本空間二、樣本空間： 隨

5、機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) E 的所有可能結(jié)果組成的集合的所有可能結(jié)果組成的集合稱為稱為 E 的的樣本空間樣本空間, 記為記為 . 樣本空間的元素樣本空間的元素 , 即試驗(yàn)即試驗(yàn)E 的每一個(gè)結(jié)果的每一個(gè)結(jié)果, 稱稱為為樣本點(diǎn)樣本點(diǎn).例例 從一批產(chǎn)品中從一批產(chǎn)品中,依次任選三件依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與記錄出現(xiàn)正品與次品的情況次品的情況.,. NNN NND NDN DNN NDD DDN DND DDD .,次次品品正正品品記記DN9.),(-, 2 , 1,32;1.,1元素為事件中的為可測(cè)空間，代數(shù)，為則稱為則、若；，則、若、。若滿足：某些子集組成的集合族是是它的樣本空間是隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)FFFFAnFA

6、FAFAFFEnnn三、三、 -代數(shù)代數(shù)(事件域事件域)10 首先，應(yīng)該包括樣本空間首先，應(yīng)該包括樣本空間 和空集和空集 ； 其次應(yīng)該保證事件經(jīng)過(guò)并、交、差、補(bǔ)各種運(yùn)其次應(yīng)該保證事件經(jīng)過(guò)并、交、差、補(bǔ)各種運(yùn)算后仍然是事件，即其算后仍然是事件，即其對(duì)事件的運(yùn)算有封閉性對(duì)事件的運(yùn)算有封閉性。（交的運(yùn)算可以通過(guò)并與對(duì)立來(lái)實(shí)現(xiàn)；差的運(yùn)算可（交的運(yùn)算可以通過(guò)并與對(duì)立來(lái)實(shí)現(xiàn)；差的運(yùn)算可通過(guò)對(duì)立與交來(lái)實(shí)現(xiàn)）通過(guò)對(duì)立與交來(lái)實(shí)現(xiàn)） -代數(shù)代數(shù)從直觀上講就是從直觀上講就是一個(gè)樣本空間中某些一個(gè)樣本空間中某些子集組成的集合類子集組成的集合類， -代數(shù)中應(yīng)該有哪些元素？代數(shù)中應(yīng)該有哪些元素？ 常見常見 -代數(shù)代數(shù)：1

7、,;A A F11 設(shè)R.由所有半無(wú)限區(qū)間 生成-代數(shù)（即包括集族 的最小-代數(shù)）稱為R上的Borel -代數(shù)，記為B(R),其中的元素稱為Borel集合。類似的可定義Rn上的Borel -代數(shù)，記為B(Rn)。四、四、Borel -代數(shù)代數(shù)(, )x(, ),xxR12五、事件概率五、事件概率的概率。為事件稱為概率空間，上的概率，是則稱時(shí)、若；、任意。若滿足：實(shí)值函數(shù)上的是定義在為可測(cè)空間設(shè)AAPPFFPAPAPjiAAPAPFAFPFiiiiji)(),(),(, )()(,31)(2; 1)(0 ,1)(,),(1113六、性質(zhì)六、性質(zhì) 1、 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 6、 B

8、PAPBA11iiiiAPAPP(AB)+P(AB) = P(A)+P(B)； ( )ABP BAP BP A11,1,( )lim();nnnnnnnAAAAnAAP AP A即且11,1,( )lim();nnnnnnnAAAA nAAP AP A即且1411limlim suplimlim infnnnnnkn knnnnnkn k A AA A AA七、上極限與下極限七、上極限與下極限 上極限中的元素屬于無(wú)限個(gè)集合，但同時(shí)也有可能上極限中的元素屬于無(wú)限個(gè)集合，但同時(shí)也有可能“不不”屬于屬于“無(wú)限個(gè)無(wú)限個(gè)”集合，而下極限中的元素屬于無(wú)限集合，而下極限中的元素屬于無(wú)限個(gè)集合，同時(shí)只個(gè)集合，

9、同時(shí)只“不不”屬于屬于“有限個(gè)有限個(gè)”集合。集合。 上極限下極限 上極限：下極限：00:,nnnnA 00:,nnnnA 15例：例：S1=S3=S5=.=0,1 ； S2=S4=S6=.=0 ，注：一個(gè)集合序列的上極限是它們的可數(shù)并，注：一個(gè)集合序列的上極限是它們的可數(shù)并，也就是也就是包含包含這些集合的最小集合。這些集合的最小集合。 一個(gè)集合序列的下極限是這些集合的可數(shù)一個(gè)集合序列的下極限是這些集合的可數(shù)交，也就是交，也就是包含在包含在所有集合里的最大集合。所有集合里的最大集合。 上極限上極限= 0,1，下極限下極限=0。161.2 1.2 隨機(jī)變量和分布函數(shù)隨機(jī)變量和分布函數(shù)一、分布函數(shù)一

10、、分布函數(shù).x),x)()x()(x)(RxR ,P)F,( 的分布函數(shù)為隨機(jī)變量稱函數(shù)上的隨機(jī)變量。是，則稱）（都有實(shí)數(shù)的函數(shù)，如果對(duì)于任意于實(shí)數(shù)集上，取值是定義在是概率空間設(shè)XXPFFXFXX17基本性質(zhì)基本性質(zhì)： (1) F(x) 單調(diào)不降；單調(diào)不降； (2) 有界：有界：0 F(x) 1，F(xiàn)()=0，F(xiàn)(+ )=1； (3) 右連續(xù)右連續(xù). (4)18 xxkkpxXPxF)(分布函數(shù)分布函數(shù)分布列分布列kkxXPp 離散型隨機(jī)變量分布列與分布函數(shù)的關(guān)系離散型隨機(jī)變量分布列與分布函數(shù)的關(guān)系xttfxFxfxFXd)()()(, )(密度函數(shù)的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)

11、系連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系19二、聯(lián)合分布與邊際分布二、聯(lián)合分布與邊際分布20聯(lián)合分布唯一確定邊際密度聯(lián)合分布唯一確定邊際密度, ,反之不成立反之不成立. .此例兩個(gè)密度函數(shù)顯然不同，密度函數(shù)非零區(qū)域相同此例兩個(gè)密度函數(shù)顯然不同，密度函數(shù)非零區(qū)域相同. .邊際密度如下邊際密度如下: : 反反之之 , 01,0 ,yxyxyxf 反反之之 , 01,0 ,2121,yxyxyxg21 X X邊際密度邊際密度: : 利用密度函數(shù)的輪換對(duì)稱性利用密度函數(shù)的輪換對(duì)稱性, ,可得可得Y Y邊際密度也相同邊際密度也相同均為均為1/2 + 1/2 + y y . .101011 22, ( )

12、 1, 012, 1, 01 2xyfx ydyxydyxxg x ydydyxx22三、常見分布三、常見分布232425一、數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望 1d ( )()iiixf x dxEXX PxdF xxP XxdF xP xXxx1.3.1 數(shù)字特征數(shù)字特征1.3 1.3 數(shù)字特征、矩母函數(shù)與特征函數(shù)數(shù)字特征、矩母函數(shù)與特征函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量二、隨機(jī)變量函數(shù)的期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的期望 g ddYXE YE g Xg x Pg xF x26三、矩三、矩1、普通普通k k階矩階矩2、k k階絕對(duì)矩階絕對(duì)矩3、k k階中心矩階中心矩 kkE Xx dF x kkEXx dF x

13、kkEXEXxEXdF x 物理上，一階矩是重心，二階矩是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理上，一階矩是重心，二階矩是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量; ; 二階中心矩為方差，方差表示穩(wěn)定性。二階中心矩為方差，方差表示穩(wěn)定性。注注: :222()()() () .Var XEXEXE XE X27四、四、n維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量1,nXX1,nF xx1,ng xx111,nnnE g XXg xx dF xx 是n維隨機(jī)向量，分布函數(shù)為 ，若 為n維Borel函數(shù)，則：11111,nnkkkknnnE XXXXdF xx 特別地：11,nnXXkk的稱為 階矩. 28 cov, =X YE XEXYEYE XYE X E Ycovcovc

14、orrvar() var( )XYX,YX,YX,YXY （）（）（）五、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)五、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差協(xié)方差為：隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)為：29六、性質(zhì)六、性質(zhì)oo2oooo1( )Var( )0;2()(),Var()Var();3()()( );4,()() ( ),Var()Var()Var( )5()2cov(, );6cov,cov(, ).E CCCE CXCE XCXCXE XYE XE YX YE XYE X E YXYXYVar XYVarXVarYX YaX bYabX Y，；（）=相互獨(dú)立301.3.2 矩母函數(shù)矩母函數(shù) 設(shè)隨機(jī)變量X

15、的分布函數(shù)為F(x)，則X的矩矩母函數(shù)母函數(shù)定義為：()( )()(d)d( )( ) ()itXtXtxXtxtxiitE eePeF xe f x dxe P XxX是連續(xù)型的；X是離散型的.當(dāng)矩母函數(shù)存在時(shí)，它唯一地決定分布當(dāng)矩母函數(shù)存在時(shí)，它唯一地決定分布.泊松分布： 正態(tài)分布：exp (1)te2 2exp2tt31例：設(shè)X與Y是獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，且 求X+Y的分布.221122(,),(,)XNYN ()( )( )( )t X YX YtXtYXYtE eE eE ett2 22 2121222( ),( )ttttXYtete而，分析：分析：2 22 212122221212

16、22()()2( )( )( )=eettttXYXYttttt所以， X+Y服從正態(tài)分布.322( )( ),( ),( ).tXtXnntXtE XetE X etE X e矩母函數(shù)可用來(lái)推導(dǎo)隨機(jī)變量的各階矩矩母函數(shù)可用來(lái)推導(dǎo)隨機(jī)變量的各階矩矩母函數(shù)與各階矩關(guān)系：矩母函數(shù)與各階矩關(guān)系：令t=0,得到( )(0).nnEX331.3.3 特征函數(shù)特征函數(shù)()( )()( )( ) ()iitXitXitxXitxitxiitE eeP de dFxef x dxeP XxX的特征函數(shù)定義如下：X是連續(xù)型的；X是離散型的.34 特征函數(shù)與分布函數(shù)一一對(duì)應(yīng)； 設(shè)Y=aX+b，Y的特征函數(shù)是： 兩

17、個(gè)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量和的特征函數(shù)等于各個(gè)隨機(jī)變量特征函數(shù)的積 ； 特征函數(shù)與隨機(jī)變量的數(shù)字特征的關(guān)系：)()(0)(kktkXEit特征函數(shù)的性質(zhì)：特征函數(shù)的性質(zhì)：( )()ibtYteat1212XXXX 3536371.4 1.4 條件概率、條件期望和獨(dú)立性條件概率、條件期望和獨(dú)立性1.4.1 1.4.1 條件概率條件概率條件概率：條件概率：設(shè)E為隨機(jī)試驗(yàn)，為其樣本空間，A、B為任意兩個(gè)事件，若P(B)0, 則事件A關(guān)于事件B的條件概率為：|P ABP A BP B（）（）（ ）全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式設(shè) 是的一個(gè)分割，且使得nB()0,1,2,iP Bi則（1）對(duì)

18、任意事件A，有 )|)(1iiniBAPBPAP（）（2）對(duì)任意事件A ，若 ，有0）（AP)|)|)|(1iiniiiiBAPBPBAPBPABP（）（）（38條件密度函數(shù)條件密度函數(shù) 如果有聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x,y)，給定Y=y時(shí)X的條件概率密度函數(shù)條件概率密度函數(shù)定義為：( , )( | )( , )df x yf x yf x yx391.4.2 1.4.2 條件期望條件期望給定Y=y時(shí)，X的條件分布條件分布定義為：(|)(|)( |, )()( |iiiYx P Xx YyE X YyxdF x yxf xf x yxdxy dxfy( | )|( | )xF x yP Xx Yy

19、f x y dx給定Y=y時(shí)，X的條件期望條件期望定義為：40條件期望的性質(zhì)條件期望的性質(zhì) E(X|Y)表示隨機(jī)變量Y的函數(shù)，是一個(gè)隨機(jī)變量，當(dāng)Y=y時(shí)E(X|Y)的取值為E(X|Y=y) ； E(X|Y)的數(shù)學(xué)期望為(重期望公式)：它具有數(shù)學(xué)期望的一切性質(zhì)：1()() ()jjiE E X YE X YyP YyEXE c YcE aXbY ZaE X ZbE Y Z (, ) (, )E E g X Y YE g X Y41注：注：X在在Y=y的條件下的條件期望的條件下的條件期望E(X|Y=y) 是是y的函數(shù)的函數(shù),它是一個(gè)變量它是一個(gè)變量, 這不同于無(wú)條件期望這不同于無(wú)條件期望E(X)

20、, 不僅在于計(jì)算公式上，還在于含義上不僅在于計(jì)算公式上，還在于含義上. 如：如：X表示中國(guó)成年人的身高表示中國(guó)成年人的身高, 則則EX表示中國(guó)表示中國(guó)成年人的平均身高成年人的平均身高. 若用若用Y表示中國(guó)成年人的足長(zhǎng)，表示中國(guó)成年人的足長(zhǎng)，則則E(X|Y=y)表示足長(zhǎng)為表示足長(zhǎng)為y的中國(guó)成年人的平均身高的中國(guó)成年人的平均身高. 我國(guó)公安部門研究獲得：我國(guó)公安部門研究獲得： E(X|Y=y) =6.876y，若測(cè)得案犯留下的足印長(zhǎng)為若測(cè)得案犯留下的足印長(zhǎng)為25.3cm,則可推算出案則可推算出案犯的身高約犯的身高約174cm。42例例: 設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布率為 1 2 3 1 2XY1

21、316191929118求E(X|Y)的分布率，E(X) 以及E E(X|Y) .解：解： 先求E(X|Y)的可能取值215(1)(1)4iE X YiP Xi Y2111(2)(2)7iE X YiP Xi Y43故E(X|Y)的分布率為()E X Y( ()()()jjP E X YE X YyP Yy54117434971816541174125( ()497183618E E X Y1172512181818EX 從而 E(X) =E E(X|Y). 214(3)(3)3iE X YiP Xi Y44例例: 設(shè)數(shù)Y在區(qū)間(0,1)上隨機(jī)地取值,當(dāng)觀察到Y(jié)=y(0y1)時(shí), 數(shù)X在區(qū)間(

22、y,1)上隨機(jī)取值. 求X的概率密度f(wàn)X(x)， ， .其它, 010, 1)(yyfY 對(duì)于任意的y(0y0,由由第二引理該事件連續(xù)五次成功出現(xiàn)無(wú)窮多次的概第二引理該事件連續(xù)五次成功出現(xiàn)無(wú)窮多次的概率為率為1.隨機(jī)過(guò)程實(shí)例隨機(jī)過(guò)程實(shí)例53 設(shè)設(shè)X1，X2相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為F1(x), F2(x), X= X1+ X2 ,則則121211211221( )()()( )()( )()( )()( )XFxP XXxP XXx Xt dF uF xt dF uFFxFFx1.4.3 1.4.3 獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布54卷積的性質(zhì)：卷積的性質(zhì)：

23、1221(1) ()( )()( )FFxFFx(2) ()( )()( )F GHxFG Hx(3) ()( )()( )()( )FGHxFGxFHx(4) 設(shè)Xk,k=1,2, ,n,是獨(dú)立同分布F(x)的隨機(jī)變量，1,1,2,nnkkSXnSn的分布函數(shù)記為Fn(x),則其中：1( )()( ), 1,2,3,nnF xFFxn00,0( )1,0 xF xx551.5 1.5 收斂性收斂性如果如果 隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量序列 以概率以概率1收斂于收斂于X，或，或稱稱 幾乎處處收斂于幾乎處處收斂于X，記作，記作 1limXXPnn則稱則稱nXnX. .a snXX56如果如果 對(duì)于任意給

24、定的正數(shù)對(duì)于任意給定的正數(shù) ，有，有 隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量序列 依概率收斂于依概率收斂于X，記作，記作 nX則稱則稱00|limXXPnnXXPn57如果如果對(duì)于所有的對(duì)于所有的 有有存在隨機(jī)變量存在隨機(jī)變量X，有，有 隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量序列 以以p次均方收斂次均方收斂于于X. 若若p=2稱為稱為均方收斂均方收斂，記作：，記作： 使得使得 nXnX| pnE X| pEX lim| 0pnnEXX. .l.i.mm snnnXXXX 或58設(shè)設(shè) 是是 的分布函數(shù)列，如果存在一個(gè)的分布函數(shù)列，如果存在一個(gè)單調(diào)不減函數(shù)單調(diào)不減函數(shù) ，使在，使在 的所有的所有連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)x上上有有則稱隨機(jī)變量序列

25、則稱隨機(jī)變量序列 依分布收斂依分布收斂于于X，記作，記作 nX( )nF x)(xF)(xF)()(limxFxFnnLnXX nX稱函數(shù)列稱函數(shù)列 弱收斂于弱收斂于 .( )nF x)(xF59以概率以概率1 收斂收斂依概率收斂依概率收斂均方收斂均方收斂依分布收斂依分布收斂幾種收斂性的關(guān)系幾種收斂性的關(guān)系 均方收斂與以概率均方收斂與以概率1收斂不存在確定的關(guān)系。收斂不存在確定的關(guān)系。 注注60從而從而 . 0lim XXPnn 22XXEXXPnn 證證 由馬爾科夫不等式由馬爾科夫不等式,對(duì)對(duì) 有有 0 證明證明 隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量序列Xn均方收斂均方收斂于于X, 則一定則一定依概率收斂依

26、概率收斂于于X.61本章作業(yè)本章作業(yè)l設(shè)XB(n,p), 求X的特征函數(shù)g(t), 及EX，EX2，VarX；l設(shè)X和Y的聯(lián)合概率函數(shù)為： 求 .21XE eY1,0,02( , )20,xyyexyf x y 其它62第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程的基本概念和基本類型隨機(jī)過(guò)程的基本概念和基本類型 2.1 基本概念基本概念 2.2 有限維分布與有限維分布與Kolmogorov定理定理 2.3 隨機(jī)過(guò)程的基本類型隨機(jī)過(guò)程的基本類型63自然界變化的過(guò)程可以分為自然界變化的過(guò)程可以分為確知過(guò)程確知過(guò)程和和隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程兩大類兩大類每次觀測(cè)所得結(jié)果都相同，都是時(shí)間每次觀測(cè)所得結(jié)果都相同，都是時(shí)間t的一的一

27、個(gè)確定的函數(shù)，具有確定的變化規(guī)律。個(gè)確定的函數(shù)，具有確定的變化規(guī)律。每次觀測(cè)所得結(jié)果都不同，都是時(shí)間每次觀測(cè)所得結(jié)果都不同，都是時(shí)間t的不的不同函數(shù)，觀測(cè)前又不能預(yù)知觀測(cè)結(jié)果，沒(méi)同函數(shù)，觀測(cè)前又不能預(yù)知觀測(cè)結(jié)果，沒(méi)有確定的變化規(guī)律。有確定的變化規(guī)律。確知確知過(guò)程過(guò)程隨機(jī)隨機(jī)過(guò)程過(guò)程2.1 2.1 基本概念基本概念64電話站在時(shí)刻電話站在時(shí)刻 t 時(shí)以前接到的呼叫次數(shù)時(shí)以前接到的呼叫次數(shù)例例1一般情況下它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)一般情況下它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)X ，并且，并且依賴時(shí)間依賴時(shí)間t，即隨機(jī)變數(shù)，即隨機(jī)變數(shù)X(t)，t 0,24。例例2研究某一商品的銷售量研究某一商品的銷售量一般情況下它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)

28、一般情況下它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)X ，并且，并且依賴時(shí)間依賴時(shí)間t，即隨機(jī)變數(shù)，即隨機(jī)變數(shù)X(t)，t =1,2, 。直觀背直觀背景景及例子及例子65顧客來(lái)到服務(wù)站要求服務(wù)。顧客來(lái)到服務(wù)站要求服務(wù)。用用X(t)表示表示 t 時(shí)刻的隊(duì)長(zhǎng)，用時(shí)刻的隊(duì)長(zhǎng)，用Y(t) 表示表示 t 時(shí)刻時(shí)刻到來(lái)的顧客所需的等待時(shí)間，則它們都是隨到來(lái)的顧客所需的等待時(shí)間，則它們都是隨機(jī)過(guò)程。機(jī)過(guò)程。一個(gè)醉漢在路上行走，以概率一個(gè)醉漢在路上行走，以概率 p前進(jìn)一步，以概率前進(jìn)一步，以概率1-p后退一步（假設(shè)步長(zhǎng)相同）。以后退一步（假設(shè)步長(zhǎng)相同）。以X(t)記他記他 t 時(shí)刻時(shí)刻在路上的位置，則在路上的位置，則X(t), t0就

29、是（直線上的）隨機(jī)就是（直線上的）隨機(jī)游動(dòng)。游動(dòng)。例例3排隊(duì)模型排隊(duì)模型例例4隨機(jī)游走隨機(jī)游走66隨機(jī)過(guò)程定義隨機(jī)過(guò)程定義說(shuō)明說(shuō)明 參數(shù)集參數(shù)集T：可離散可連續(xù)可某集合：可離散可連續(xù)可某集合, 如果如果 T 為向量集合，則隨機(jī)過(guò)程稱為隨機(jī)場(chǎng)；為向量集合，則隨機(jī)過(guò)程稱為隨機(jī)場(chǎng)； 隨機(jī)序列或時(shí)間序列：隨機(jī)序列或時(shí)間序列：X(n), n = 0, 1, 或或X(n), n0； 隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量的集合。隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量的集合。67 當(dāng)當(dāng) t 固定，固定，固定時(shí)，固定時(shí)， X(t) 是一個(gè)是一個(gè)確定值確定值； 當(dāng)當(dāng) t 固定，固定，可變時(shí)，可變時(shí)， X(t) 是一個(gè)是一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量； 當(dāng)當(dāng) t

30、 可變，可變，固定時(shí)，固定時(shí)， X(t) 是一個(gè)確定的是一個(gè)確定的樣本路樣本路徑或樣本函數(shù)徑或樣本函數(shù)； 當(dāng)當(dāng) t 可變，可變，可變時(shí)，可變時(shí)， X(t) 是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程。符號(hào)含義符號(hào)含義 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 可看成定義在積集可看成定義在積集 上的二元函數(shù)上的二元函數(shù) , tX TT68X(t1,)X(t2,)X(t,1)X(t,2)X(t,3)t1t2tn圖示圖示69狀態(tài)狀態(tài)時(shí)刻時(shí)刻連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)隨機(jī)序列連續(xù)隨機(jī)序列連續(xù)連續(xù)離散離散離散型隨機(jī)過(guò)程離散型隨機(jī)過(guò)程離散離散連續(xù)連續(xù)離散隨機(jī)序列離散隨機(jī)序列離散離散離散離散隨機(jī)過(guò)程的分類隨機(jī)過(guò)程的分類70隨機(jī)過(guò)

31、程的分布函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)2.22.2有限維分布與有限維分布與KolmogorovKolmogorov定理定理 l隨機(jī)過(guò)程的一維分布：隨機(jī)過(guò)程的一維分布： l隨機(jī)過(guò)程的二維分布：隨機(jī)過(guò)程的二維分布： l隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)過(guò)程的n維分布：維分布： )(),(xtXPxtF TttxtXxtXPxxFtt 21221121,)(,)(),(21TtttxtXxtXxtXPxxxFnnnntttn,)(,)(,)(),(21221121,2171l有限維分布族：隨機(jī)過(guò)程的所有一維分布，二維分有限維分布族：隨機(jī)過(guò)程的所有一維分布，二維分布，布，n維分布等的全體稱為維分布等的全體稱為X(t), t T的

32、有限維的有限維分布族分布族有限維分布族有限維分布族 12, ,1212(,), , ,1nt ttnnFx xxt ttT n72定理定理2. 1 (Kolmogorov存在定理存在定理) 設(shè)一分布函數(shù)族滿足對(duì)稱性和相容性，則設(shè)一分布函數(shù)族滿足對(duì)稱性和相容性，則必存在一個(gè)隨機(jī)過(guò)程必存在一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t),tT，使得這個(gè)分，使得這個(gè)分布函數(shù)族恰好是布函數(shù)族恰好是X(t) 的有限維分布族。的有限維分布族。有限維分布族的性質(zhì)有限維分布族的性質(zhì) 對(duì)稱性對(duì)稱性:121212, ,12(,)(,)nnjjjntttjjjt ttnFxxxFx xx相容性相容性:1112,1, ,1(,)(,)mmnmt

33、tttmt ttmFxxFxx 731.袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔單位時(shí)間從袋中袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔單位時(shí)間從袋中任取一球，取后放回，對(duì)每一個(gè)確定的任取一球，取后放回，對(duì)每一個(gè)確定的 t 對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量：對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量：試求這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)族。試求這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)族。分析分析先求概率密度例題例題 74所以所以解解:3tte)(tX3231P75隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征均值函數(shù)均值函數(shù)說(shuō)明說(shuō)明二階矩過(guò)程二階矩過(guò)程 如果對(duì)任意的如果對(duì)任意的tT, EX2(t)存在，則稱過(guò)程存在，則稱過(guò)程X(t),tT為二階矩過(guò)程為二階矩過(guò)程.76協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)(

34、 , )( )( )( )( ),XXXs tEX ssX tts tT方差函數(shù)方差函數(shù)( )var( )( , )XDtX tt t自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)( , )( )( ),XRs tE X s X ts tT( , )( , )( )( )XXXXs tRs tst公式公式自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)( , )( , )( )( )XXXXs ts tDsDt77 互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)( , )( )( )( ( )( ),XYXYs tEX ssY tts tT互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)( , )( ) ( ),XYRs tE X s Y ts tT互不相關(guān)互不相關(guān)( , )0XYs t78小小

35、 結(jié)結(jié)X(t)X(t)、Y(t)均值函數(shù)均值函數(shù)協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)79 2.設(shè)隨機(jī)過(guò)程設(shè)隨機(jī)過(guò)程 ， ，C為常數(shù)，為常數(shù)，R服從服從0,1區(qū)間上的均勻分布。區(qū)間上的均勻分布。 求其均值函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)求其均值函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù) 。CtRtX)(), 0(t解：解：其均值函數(shù)為其均值函數(shù)為CtCRtECRtEtEXtX2)()()()(自相關(guān)函數(shù)為自相關(guān)函數(shù)為22222)(231)()()()()()()(),(CtsCstCRECsCtRstECCRsCRtstRECRtCRsEtXsX

36、EtsRX例題例題 8012)4)()()4()2)(2()2()(2()()()()()(),(22ststRstERstEstRststREtRtsRsECtCRtCsCRsEttXssXEtsXX協(xié)方差函數(shù)為協(xié)方差函數(shù)為81di i . . 故故X(t)N(0, 1+t2),隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t), t 0的一維的一維概率密度概率密度:解：解： 因因Y, Z為正態(tài)隨機(jī)變量且相互獨(dú)立，則其線為正態(tài)隨機(jī)變量且相互獨(dú)立，則其線性組合性組合X(t)也是正態(tài)隨機(jī)變量，也是正態(tài)隨機(jī)變量，22( )()0var ( )var()varvar1XXtE YZtEYtEZtYZtYtZt 3.設(shè)設(shè)X(t

37、)=Y+Zt, t0，Y, Z 服從服從N(0, 1),Y,Z相互獨(dú)相互獨(dú)立，求立，求X(t), t0的一、二維概率密度族的一、二維概率密度族.222221()1( )expexp,022(1)22 (1)txxf xttt82)1)(1 (1)()(),(),(22tssttDsDtstsXXXXstststZYZtZYsYEZtYZsYEtstXsXEtsXX1001)()()()()()(),(220, 1)1)(1 (21)1 (21exp)1)(1)(1 (21),(2222221221222221,tstxtsxxsxtsxxfts 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t), t0的二維概率密度的

38、二維概率密度83 作業(yè)：作業(yè)：P31 2.4 ，2.5.842.3 2.3 隨機(jī)過(guò)程的基本類型隨機(jī)過(guò)程的基本類型 2.3.1 平穩(wěn)過(guò)程（時(shí)間平移）平穩(wěn)過(guò)程（時(shí)間平移）2.3.2 獨(dú)立增量過(guò)程（時(shí)間增量）獨(dú)立增量過(guò)程（時(shí)間增量）85 如果一個(gè)過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程，則它的性質(zhì)不如果一個(gè)過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程，則它的性質(zhì)不隨時(shí)間的推移而變化，只與變量之間的時(shí)間間隨時(shí)間的推移而變化，只與變量之間的時(shí)間間隔有關(guān)，而隔有關(guān)，而與所考察的起始點(diǎn)無(wú)關(guān)與所考察的起始點(diǎn)無(wú)關(guān)。2.3.1 2.3.1 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程 平穩(wěn)過(guò)程根據(jù)限制條件的嚴(yán)格程度分為平穩(wěn)過(guò)程根據(jù)限制條件的嚴(yán)格程度分為嚴(yán)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程和和寬平穩(wěn)過(guò)程寬平穩(wěn)過(guò)程

39、。86如果隨機(jī)過(guò)程 X(t), tT對(duì)任意的t1,tnT和任意的h(使得ti+hT)有，(X(t1+h), X(tn+h)與(X(t1), , X(tn)具有相同的聯(lián)合分布，記為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程 11(),()( ),( ),nnX thX thX tX td則稱X(t), tT為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。有限維分布關(guān)于時(shí)間是平移不變的有限維分布關(guān)于時(shí)間是平移不變的87如果隨機(jī)過(guò)程X(t), tT的所有二階矩都存在，并且EX(t)=m, 協(xié)方差函數(shù)(s, t)只與時(shí)間差t-s有關(guān)，則稱X(t), tT為寬平穩(wěn)過(guò)程或二階平穩(wěn)過(guò)程。寬平穩(wěn)過(guò)程寬平穩(wěn)過(guò)程 注注: ； (-t)=(t), (0)=var(X(t

40、), |(t)|(0); (t)具有非負(fù)定性： 。0s ttsts,11()0nnijijija att88嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程不一定是寬平穩(wěn)過(guò)程，嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程不一定是寬平穩(wěn)過(guò)程， 因?yàn)閲?yán)平穩(wěn)因?yàn)閲?yán)平穩(wěn)的過(guò)程不一定有二階矩，但當(dāng)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程二階的過(guò)程不一定有二階矩，但當(dāng)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程二階矩存在時(shí)，則它一定是寬平穩(wěn)過(guò)程。矩存在時(shí)，則它一定是寬平穩(wěn)過(guò)程。 寬平穩(wěn)過(guò)程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程，但對(duì)于正態(tài)寬平穩(wěn)過(guò)程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程，但對(duì)于正態(tài)過(guò)程，兩者是等價(jià)的。過(guò)程，兩者是等價(jià)的。當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù) t 僅取整數(shù)時(shí)，稱為僅取整數(shù)時(shí)，稱為平穩(wěn)序列平穩(wěn)序列。嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)的關(guān)系嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)的關(guān)系 89 設(shè)設(shè)Xn,n=0, 1,是互

41、不相關(guān)的隨機(jī)變量序列是互不相關(guān)的隨機(jī)變量序列,且且EXn=0,Var(Xn)= 20,討論其平穩(wěn)性討論其平穩(wěn)性. mnmnXEXmn02故其均值函數(shù)為常數(shù)故其均值函數(shù)為常數(shù),其協(xié)方差函數(shù)其協(xié)方差函數(shù) (n,m)只與只與m-n有關(guān)有關(guān), 所以它是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。所以它是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。平穩(wěn)白噪聲序列平穩(wěn)白噪聲序列 解解: 因?yàn)橐驗(yàn)镋Xn=0,90 設(shè) ,n=0,1,是互不相關(guān)的隨機(jī)變量序列,且有相同的均值m和方差2,設(shè) 為任意k個(gè)實(shí)數(shù)，討論序列 的平穩(wěn)性. 滑動(dòng)平均序列滑動(dòng)平均序列 n12,ka aa1211,0, 1,nnnkn kXaaan 解解:12()nkEXm aaa令 ，則由 的兩兩互不

42、相關(guān)性知： jjmj11111121 1(, )()()()()0-1,(),.0,nknknkn knknkkknnEXm aaXm aaE aaaaka aaak 若若故Xn ,n=0,1,為平穩(wěn)序列.91設(shè)設(shè) ，則，則 的是平穩(wěn)過(guò)程。的是平穩(wěn)過(guò)程。( )cos(),(0,2 ),0X tatU ( ),X t tR201 ( )cos()02E X tatd其協(xié)方差函數(shù)為其協(xié)方差函數(shù)為22202220()( )cos( ()cos()cos()cos()2cos(2)2coscos42E X tX tE attattdaatd例題例題證明證明: 其均值為其均值為所以，所以， 是平穩(wěn)過(guò)程。

43、是平穩(wěn)過(guò)程。( ),X t tR92 遍歷性是指統(tǒng)計(jì)結(jié)果在時(shí)間和空間上的統(tǒng)一性，遍歷性是指統(tǒng)計(jì)結(jié)果在時(shí)間和空間上的統(tǒng)一性，表現(xiàn)為時(shí)間均值等于空間均值。例如要得出一個(gè)城表現(xiàn)為時(shí)間均值等于空間均值。例如要得出一個(gè)城市市A、B兩座公園哪一個(gè)更受歡迎，有兩種辦法。兩座公園哪一個(gè)更受歡迎，有兩種辦法。 第一種辦法是在某一個(gè)時(shí)點(diǎn)考察兩個(gè)公園的人第一種辦法是在某一個(gè)時(shí)點(diǎn)考察兩個(gè)公園的人數(shù)，人數(shù)多的為更受歡迎公園；第二種辦法，隨機(jī)數(shù)，人數(shù)多的為更受歡迎公園；第二種辦法，隨機(jī)選擇一名市民，在一年的時(shí)間里考察他去兩個(gè)公園選擇一名市民，在一年的時(shí)間里考察他去兩個(gè)公園的次數(shù)，去得多的為更受歡迎公園。如果這個(gè)兩個(gè)的次數(shù)

44、，去得多的為更受歡迎公園。如果這個(gè)兩個(gè)結(jié)果始終一致，則表現(xiàn)為遍歷性。結(jié)果始終一致，則表現(xiàn)為遍歷性。 遍歷性問(wèn)題遍歷性問(wèn)題 93 如果按照數(shù)學(xué)期望的定義來(lái)計(jì)算平穩(wěn)過(guò)程如果按照數(shù)學(xué)期望的定義來(lái)計(jì)算平穩(wěn)過(guò)程X(t)的數(shù)字特的數(shù)字特征，就需要預(yù)先確定征，就需要預(yù)先確定X(t)的一族樣本函數(shù)或一維、二維分布的一族樣本函數(shù)或一維、二維分布函數(shù)，這實(shí)際上是不易辦到的。函數(shù)，這實(shí)際上是不易辦到的。 平穩(wěn)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性是不隨時(shí)間的推移而變化的平穩(wěn)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性是不隨時(shí)間的推移而變化的，于是，于是我們自然希望在一個(gè)很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)觀察得到的一個(gè)樣本曲線，我們自然希望在一個(gè)很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)觀察得到的一個(gè)樣本曲線，可以作為得到這

45、個(gè)過(guò)程的數(shù)字特征的充分依據(jù)?？梢宰鳛榈玫竭@個(gè)過(guò)程的數(shù)字特征的充分依據(jù)。 各態(tài)遍歷定理將證實(shí)：對(duì)平穩(wěn)過(guò)程而言，只要滿足一些各態(tài)遍歷定理將證實(shí)：對(duì)平穩(wěn)過(guò)程而言，只要滿足一些較寬的條件，則較寬的條件，則均值和自相關(guān)函數(shù)等可以用一個(gè)樣本函數(shù)均值和自相關(guān)函數(shù)等可以用一個(gè)樣本函數(shù)在整個(gè)時(shí)間軸上的平均值來(lái)代替在整個(gè)時(shí)間軸上的平均值來(lái)代替。各態(tài)遍歷定理提供了根。各態(tài)遍歷定理提供了根據(jù)實(shí)驗(yàn)記錄確定平穩(wěn)過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù)的理論依據(jù)據(jù)實(shí)驗(yàn)記錄確定平穩(wěn)過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù)的理論依據(jù)和方法。和方法。遍歷性定理的必要性遍歷性定理的必要性94 設(shè)設(shè) 為一平穩(wěn)過(guò)程為一平穩(wěn)過(guò)程( (或平穩(wěn)序列或平穩(wěn)序列) )，若若( )

46、,X tt 1lim2TTTXX t dtmT或或 1lim21NNkNXX kmN則稱則稱 X 的均值的均值具有遍歷性。此處極限為均方意義，具有遍歷性。此處極限為均方意義，即即 21lim02TTTEX t dtmT平穩(wěn)過(guò)程遍歷性定義平穩(wěn)過(guò)程遍歷性定義95如果如果 1( )lim()()( )2TTTX tm X tm dtT 或或 1( )lim()()( )21NNkNX km X kmN 則稱則稱X的協(xié)方差的協(xié)方差具有遍歷性。若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的具有遍歷性。若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的均值和協(xié)方差函數(shù)都具有遍歷性，則稱均值和協(xié)方差函數(shù)都具有遍歷性，則稱隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程具有遍歷性。具有遍歷性。96（1）

47、設(shè)）設(shè)X=Xn,n=0, 1, 2, 是平穩(wěn)序列，其是平穩(wěn)序列，其協(xié)方差函數(shù)為協(xié)方差函數(shù)為 ，則，則X有遍歷性的充要條件是有遍歷性的充要條件是( ) t101lim( )0NNttN（2）設(shè)）設(shè)X=Xt,-t+ 是平穩(wěn)過(guò)程，則是平穩(wěn)過(guò)程，則X有遍歷有遍歷性的充要條件是性的充要條件是201lim(1) ( )02TTdTT 均值遍歷性定理均值遍歷性定理97 2222221lim21lim()41lim()()41lim()4varTTTTTTTTTTTTTTTTEX t dtmTEX tm dtTEX tmX sm dtdsTts dtdsTXEXEX 證明證明( (連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間) )首先計(jì)

48、算 的均值和方差，記X 12TTTXX t dtT則有 1limlimlim2TTTTTTTEXEXEXE X tdtmT進(jìn)而98在上述積分中做變換tsvts 則變換的Jacobi行列式的值為1111112J: 22DTvT 于是積分區(qū)域變?yōu)樗杂?9222222(2)22222020111lim()( )4421lim( )81lim( )(2)41lim( )(2)21lim( )(1)2TTTTTDTTTTTTTTTTTTts dtdsd dvTTddvTTdTTdTdTT 故關(guān)于均值的遍歷性定理就化為上式極限是否趨于零的問(wèn)題，定理得證。100設(shè)設(shè) ，則，則 的均值有遍歷性。的均值有遍歷

49、性。( )cos(),(0,2 ),0X tatU ( ),X t tR例題例題證明證明: 已證已證 是平穩(wěn)過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程.( ),X t tR20220222201(1) ( )2(1)cos()22sin(2)cos()24TTTdTTadTTaTadTT 又又22222sin(2)1112 sin(2)cos(2)240 ()aTaTTTTTT所以，所以， 的均值有遍歷性的均值有遍歷性.( ),X t tR101練習(xí)：練習(xí)：已知隨機(jī)電報(bào)信號(hào)已知隨機(jī)電報(bào)信號(hào) | |( )0,( ).XE X tRe 問(wèn)問(wèn)X(t)是否是關(guān)于均值遍歷的是否是關(guān)于均值遍歷的. . 2220111lim(1)li

50、m022TTTTeedTTTT 解：解：所以所以X(t)是關(guān)于均值遍歷的是關(guān)于均值遍歷的. . 2201lim(1)( )2TXXTRdTT 102推論推論1：若：若( ) t dt 則均值遍歷性定理成立。則均值遍歷性定理成立。1( )( )2T 證明：因?yàn)?，?dāng)證明：因?yàn)?，?dāng) 時(shí)，有時(shí)，有02T220020011( )(1)( )(1)2211( )( )0TTTddTTTTddTT 均值有遍歷性的充分條件均值有遍歷性的充分條件( (連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間) )103推論推論2：對(duì)于平穩(wěn)序列而言，若：對(duì)于平穩(wěn)序列而言，若( )0 ()tt 則均值遍歷性定理成立。則均值遍歷性定理成立。101lim(

51、)lim(1)0NNNNN 10,( )NNNxN y 11limlimNNNNNNNNyyyxxx此處令此處令證：因?yàn)楫?dāng)證：因?yàn)楫?dāng) ，由，由Stoltz定理定理( )0 tt 時(shí)，均值有遍歷性的充分條件均值有遍歷性的充分條件( (離散時(shí)間）離散時(shí)間）Stoltz定理定理104協(xié)方差函數(shù)遍歷性定理協(xié)方差函數(shù)遍歷性定理設(shè)設(shè)X=Xt,-t+ 是平穩(wěn)過(guò)程，其均值函數(shù)為零，是平穩(wěn)過(guò)程，其均值函數(shù)為零，則協(xié)方差函數(shù)有遍歷性的充要條件是則協(xié)方差函數(shù)有遍歷性的充要條件是2211101lim(1)( ( )( )02TTBdTT ，其中其中111( ) () () () ( ).BE X tX tX tX t

52、 注：注：X的協(xié)方差函數(shù)的協(xié)方差函數(shù) 具有遍歷性，等價(jià)于隨機(jī)過(guò)程具有遍歷性，等價(jià)于隨機(jī)過(guò)程均值具有遍歷性。均值具有遍歷性。( ) ( )()( )Y tX tmX tm105 一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程X(t)，只要滿足上述兩條件，只要滿足上述兩條件，便可以從一次試驗(yàn)所得到的樣本函數(shù)便可以從一次試驗(yàn)所得到的樣本函數(shù)x(t)來(lái)求得該來(lái)求得該過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。即：若樣本函過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。即：若樣本函數(shù)數(shù)x(t)在有限區(qū)間在有限區(qū)間-T，T，只要，只要T足夠大，便有足夠大，便有 1lim( ),2TXTTx t dtT 1( )( )().2TXTx tmx tm dtT 遍

53、歷性定理的價(jià)值遍歷性定理的價(jià)值106 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) h及任意及任意t1 , t2有有 對(duì)任一正整數(shù)對(duì)任一正整數(shù)n及任意及任意 隨隨機(jī)變量機(jī)變量,21intttTt 2( )( )( )( )( )()nnX tX tX tX tX tX t2131,相互獨(dú)立，則稱相互獨(dú)立，則稱X(t),tT為為獨(dú)立增量過(guò)程獨(dú)立增量過(guò)程。過(guò)程過(guò)程增量增量1122()( )()( )dX thX tX thX t2.3.2 2.3.2 獨(dú)立增量過(guò)程獨(dú)立增量過(guò)程 則稱則稱X(t),tT為為平穩(wěn)增量過(guò)程平穩(wěn)增量過(guò)程。兼有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量的過(guò)程稱為兼有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量的過(guò)程稱為平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)

54、程。107作業(yè)作業(yè)P31 2.2, 2.3, 2.6.108dtsttsttABdsBtAsYtXEstRtsBAtBtYtAtXXY)(sin()cos( )(cos()sin()sin(221)sin()sin()()(),(,.20,),sin()(),sin()(42020則有：設(shè)隨機(jī)變量上均勻分布的，為為常數(shù)，其中：考慮兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程例109. 0)(cos(21)cos()sin()(sin()(sin)(cos(220202得第二項(xiàng)積分用倍角公式降冪，第一項(xiàng)積分用倍角公式tsABdtttsdttsAB110)()()()()()(),()()()()()()()()(tYtXsYs

55、XEtWsWEtsRtttEYtEXtYtXEtEWtWYXW設(shè)設(shè)X(t)為信號(hào)過(guò)程，為信號(hào)過(guò)程，Y(t)為噪聲過(guò)程，為噪聲過(guò)程，W(t)=X(t)+Y(t)，求求W(t)的的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) (t) ( )( ) ( ) ( )( , )( , )( , )( , )XXYYXYE X s X tX s Y tY s X tY s Y tE X s X tE X s YE Y s X tE Y s Y tRs tRs tRs tRs t111 例例3隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)=tY,t (- ,+

56、),Y為非為非0隨機(jī)變隨機(jī)變量，量，E(Y2)+ ,討論討論X(t)平穩(wěn)性。平穩(wěn)性。 解解：)()(),(2YEttYttYEttRX )(YtEtYEtXE )(22222 YEtYtEtXE當(dāng)當(dāng)E(Y)E(Y) 0 0時(shí)，時(shí)，X(t)X(t)不是平穩(wěn)過(guò)程。不是平穩(wěn)過(guò)程。當(dāng)當(dāng)E(Y)E(Y)=0=0時(shí)，假設(shè)時(shí)，假設(shè)E(YE(Y2 2) )=Var=Var(Y)(Y) = =0 0，則，則PY=0=1PY=0=1，與已知矛盾！，與已知矛盾！)(),(2YEttttRX 與與t t有關(guān)。有關(guān)。所以，所以，X(t)X(t)不是平穩(wěn)過(guò)程。不是平穩(wěn)過(guò)程。112例例4、設(shè)狀態(tài)連續(xù)，時(shí)間離散的隨機(jī)過(guò)程、設(shè)

57、狀態(tài)連續(xù)，時(shí)間離散的隨機(jī)過(guò)程 Xn=sin2 nY，n=1,2,YU(0,1),試證明試證明Xn為平穩(wěn)過(guò)程。為平穩(wěn)過(guò)程。解：解：)2sin(1022nydyXEn02sin10ynydXEn00021)2(2cos2cos21)(2sin2sin),(1010mmydymnymyydmnnyXXEmnnRmnnX只與只與m有關(guān)，所以有關(guān)，所以 Xn為平穩(wěn)序列。為平穩(wěn)序列。113第第3 3章章 Poisson過(guò)程過(guò)程3.1 Poisson Poisson過(guò)程過(guò)程3.2 與與PoissonPoisson過(guò)程相聯(lián)系的若干分布過(guò)程相聯(lián)系的若干分布3.3 PoissonPoisson過(guò)程的推廣過(guò)程的推廣

58、114 1798年入巴黎綜合工科學(xué)校深造年入巴黎綜合工科學(xué)校深造. 在畢業(yè)時(shí)，在畢業(yè)時(shí)，因優(yōu)秀的研究論文而被指定為講師因優(yōu)秀的研究論文而被指定為講師, 受到拉普拉受到拉普拉斯、拉格朗日的賞識(shí)斯、拉格朗日的賞識(shí). 法國(guó)數(shù)學(xué)家法國(guó)數(shù)學(xué)家. 1781 年年6月月21日生于法國(guó)盧瓦日生于法國(guó)盧瓦雷省的皮蒂維耶，雷省的皮蒂維耶，1840年年4月月25日卒于法國(guó)索鎮(zhèn)日卒于法國(guó)索鎮(zhèn). 泊松的科學(xué)生涯開始于研究微分方程及其在擺的運(yùn)動(dòng)和聲泊松的科學(xué)生涯開始于研究微分方程及其在擺的運(yùn)動(dòng)和聲學(xué)理論中的應(yīng)用學(xué)理論中的應(yīng)用. 他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)和物理問(wèn)題，并由此

59、得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)和物理問(wèn)題，并由此得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn). 他對(duì)積分理論、行星他對(duì)積分理論、行星運(yùn)動(dòng)理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢(shì)理論和概率論運(yùn)動(dòng)理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢(shì)理論和概率論都有重要貢獻(xiàn)都有重要貢獻(xiàn). 1800年畢業(yè)后留校任教，年畢業(yè)后留校任教，1802年任副教授年任副教授, 1806年接替傅年接替傅里葉任該校教授里葉任該校教授. 1808年任法國(guó)經(jīng)度局天文學(xué)家年任法國(guó)經(jīng)度局天文學(xué)家,1809年任巴黎年任巴黎理學(xué)院力學(xué)教授理學(xué)院力學(xué)教授. 1812年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士.115(0-1)分布分布 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 只可能有兩個(gè)值只可能有兩個(gè)值:

60、 0 和和 1，其概率分布其概率分布為為：qpXPpXP1) 0( ,) 1(pqXDpXE)( ,)(二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 為為n重貝努利試驗(yàn)中事件重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則 X B (n, p)，概率分布為：，概率分布為：knkqpknkXP)(npqXDnpXE)( ,)(復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)116泊松分布泊松分布 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 的所有可能取值為的所有可能取值為0, 1, 2, ，而取各個(gè)值的概率為而取各個(gè)值的概率為則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布，簡(jiǎn)記，簡(jiǎn)記為為P( )。)0( , 2 , 1 , 0 ,!e為常數(shù)kk