應(yīng)用隨機過程PPT課件

1、1 應(yīng)用隨機過程應(yīng)用隨機過程 Applied stochastic processesApplied stochastic processes 衣衣 娜娜 TelTel：1825412136018254121360 Email Email： 2定義定義l一般來說，把一組(族) 隨機變量隨機變量定義為隨機過程。 l隨機過程是概率論的繼續(xù)和發(fā)展，被認為是概率論的動力學(xué)動力學(xué)部分。概率論研究對象為：隨機變量；隨機過程研究對象為：隨時間演變的隨機現(xiàn)象。XX(t)3起源與發(fā)展起源與發(fā)展l隨機過程是隨機數(shù)學(xué)的一個重要分支，產(chǎn)生于20世紀初對物理學(xué)的研究，如吉布斯、波爾茲曼、龐加萊等人對統(tǒng)計力學(xué)的研究。l1

2、907年前后，馬爾科夫(Markov)研究了一系列有特定相依性的隨機變量，后人稱之為Markov鏈鏈；1923年維納給出布朗布朗(Brown)運動運動的數(shù)學(xué)定義，這一過程成為一個重要的研究課題。l一般理論的研究通常認為開始于20世紀30年代：1931年，柯爾莫哥洛夫柯爾莫哥洛夫(Kolmogorov)概率論的解析方法，1934年辛欽辛欽(Khinchine)發(fā)表了平穩(wěn)過程的相關(guān)理論，這兩篇著作奠定了馬爾科夫過程與平穩(wěn)過程的理論基礎(chǔ)。1953年，杜布杜布(Doob)出版了名著隨機過程論，系統(tǒng)且嚴格地敘述了隨機過程基本理論。 4應(yīng)用與研究方法應(yīng)用與研究方法l天氣預(yù)報、統(tǒng)計物理、天體物理、運籌決策、

3、經(jīng)濟數(shù)學(xué)、安全科學(xué)、人口理論、可靠性及計算機科學(xué)、金融等很多領(lǐng)域都要經(jīng)常用到隨機過程的理論來建立數(shù)學(xué)模型。l主要研究方法可以分為兩大類：l一類是概率方法，其中用到軌道性質(zhì)和隨機微分方程等；l另一類是分析的方法，其中用到測度論、微分方程、半群理論、希爾伯特空間等。 5學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)內(nèi)容u第一章第一章 預(yù)備知識預(yù)備知識u第二章第二章 隨機過程的基本概念和基本類型隨機過程的基本概念和基本類型u第三章第三章 Poisson過程過程u第五章第五章 Markov鏈鏈u第七章第七章 Brown運動運動6第第1章章 預(yù)備知識預(yù)備知識1.1 概率空間概率空間1.2 隨機變量和分布函數(shù)隨機變量和分布函數(shù)1.3 數(shù)字

4、特征、矩母函數(shù)與特征函數(shù)數(shù)字特征、矩母函數(shù)與特征函數(shù)1.4 條件概率、條件期望和獨立性條件概率、條件期望和獨立性1.5 收斂性收斂性7 1. 可以在相同的條件下重復(fù)地進行可以在相同的條件下重復(fù)地進行; 2. 每次試驗的可能結(jié)果不止一個每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果先明確試驗的所有可能結(jié)果; 3. 進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)會出現(xiàn). 在概率論中在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱把具有以下三個特征的試驗稱為為隨機試驗隨機試驗.1.1 概率空間概率空間一、隨機試驗：一、隨機試驗：8二、樣本空間二、樣本空間： 隨

5、機試驗隨機試驗 E 的所有可能結(jié)果組成的集合的所有可能結(jié)果組成的集合稱為稱為 E 的的樣本空間樣本空間, 記為記為 . 樣本空間的元素樣本空間的元素 , 即試驗即試驗E 的每一個結(jié)果的每一個結(jié)果, 稱稱為為樣本點樣本點.例例 從一批產(chǎn)品中從一批產(chǎn)品中,依次任選三件依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與記錄出現(xiàn)正品與次品的情況次品的情況.,. NNN NND NDN DNN NDD DDN DND DDD .,次次品品正正品品記記DN9.),(-, 2 , 1,32;1.,1元素為事件中的為可測空間，代數(shù)，為則稱為則、若；，則、若、。若滿足：某些子集組成的集合族是是它的樣本空間是隨機試驗設(shè)FFFFAnFA

6、FAFAFFEnnn三、三、 -代數(shù)代數(shù)(事件域事件域)10 首先，應(yīng)該包括樣本空間首先，應(yīng)該包括樣本空間 和空集和空集 ； 其次應(yīng)該保證事件經(jīng)過并、交、差、補各種運其次應(yīng)該保證事件經(jīng)過并、交、差、補各種運算后仍然是事件，即其算后仍然是事件，即其對事件的運算有封閉性對事件的運算有封閉性。（交的運算可以通過并與對立來實現(xiàn)；差的運算可（交的運算可以通過并與對立來實現(xiàn)；差的運算可通過對立與交來實現(xiàn)）通過對立與交來實現(xiàn)） -代數(shù)代數(shù)從直觀上講就是從直觀上講就是一個樣本空間中某些一個樣本空間中某些子集組成的集合類子集組成的集合類， -代數(shù)中應(yīng)該有哪些元素？代數(shù)中應(yīng)該有哪些元素？ 常見常見 -代數(shù)代數(shù)：1

7、,;A A F11 設(shè)R.由所有半無限區(qū)間 生成-代數(shù)（即包括集族 的最小-代數(shù)）稱為R上的Borel -代數(shù)，記為B(R),其中的元素稱為Borel集合。類似的可定義Rn上的Borel -代數(shù)，記為B(Rn)。四、四、Borel -代數(shù)代數(shù)(, )x(, ),xxR12五、事件概率五、事件概率的概率。為事件稱為概率空間，上的概率，是則稱時、若；、任意。若滿足：實值函數(shù)上的是定義在為可測空間設(shè)AAPPFFPAPAPjiAAPAPFAFPFiiiiji)(),(),(, )()(,31)(2; 1)(0 ,1)(,),(1113六、性質(zhì)六、性質(zhì) 1、 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 6、 B

8、PAPBA11iiiiAPAPP(AB)+P(AB) = P(A)+P(B)； ( )ABP BAP BP A11,1,( )lim();nnnnnnnAAAAnAAP AP A即且11,1,( )lim();nnnnnnnAAAA nAAP AP A即且1411limlim suplimlim infnnnnnkn knnnnnkn k A AA A AA七、上極限與下極限七、上極限與下極限 上極限中的元素屬于無限個集合，但同時也有可能上極限中的元素屬于無限個集合，但同時也有可能“不不”屬于屬于“無限個無限個”集合，而下極限中的元素屬于無限集合，而下極限中的元素屬于無限個集合，同時只個集合，

9、同時只“不不”屬于屬于“有限個有限個”集合。集合。 上極限下極限 上極限：下極限：00:,nnnnA 00:,nnnnA 15例：例：S1=S3=S5=.=0,1 ； S2=S4=S6=.=0 ，注：一個集合序列的上極限是它們的可數(shù)并，注：一個集合序列的上極限是它們的可數(shù)并，也就是也就是包含包含這些集合的最小集合。這些集合的最小集合。 一個集合序列的下極限是這些集合的可數(shù)一個集合序列的下極限是這些集合的可數(shù)交，也就是交，也就是包含在包含在所有集合里的最大集合。所有集合里的最大集合。 上極限上極限= 0,1，下極限下極限=0。161.2 1.2 隨機變量和分布函數(shù)隨機變量和分布函數(shù)一、分布函數(shù)一

10、、分布函數(shù).x),x)()x()(x)(RxR ,P)F,( 的分布函數(shù)為隨機變量稱函數(shù)上的隨機變量。是，則稱）（都有實數(shù)的函數(shù)，如果對于任意于實數(shù)集上，取值是定義在是概率空間設(shè)XXPFFXFXX17基本性質(zhì)基本性質(zhì)： (1) F(x) 單調(diào)不降；單調(diào)不降； (2) 有界：有界：0 F(x) 1，F(xiàn)()=0，F(xiàn)(+ )=1； (3) 右連續(xù)右連續(xù). (4)18 xxkkpxXPxF)(分布函數(shù)分布函數(shù)分布列分布列kkxXPp 離散型隨機變量分布列與分布函數(shù)的關(guān)系離散型隨機變量分布列與分布函數(shù)的關(guān)系xttfxFxfxFXd)()()(, )(密度函數(shù)的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)

11、系連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系19二、聯(lián)合分布與邊際分布二、聯(lián)合分布與邊際分布20聯(lián)合分布唯一確定邊際密度聯(lián)合分布唯一確定邊際密度, ,反之不成立反之不成立. .此例兩個密度函數(shù)顯然不同，密度函數(shù)非零區(qū)域相同此例兩個密度函數(shù)顯然不同，密度函數(shù)非零區(qū)域相同. .邊際密度如下邊際密度如下: : 反反之之 , 01,0 ,yxyxyxf 反反之之 , 01,0 ,2121,yxyxyxg21 X X邊際密度邊際密度: : 利用密度函數(shù)的輪換對稱性利用密度函數(shù)的輪換對稱性, ,可得可得Y Y邊際密度也相同邊際密度也相同均為均為1/2 + 1/2 + y y . .101011 22, ( )

12、 1, 012, 1, 01 2xyfx ydyxydyxxg x ydydyxx22三、常見分布三、常見分布232425一、數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望 1d ( )()iiixf x dxEXX PxdF xxP XxdF xP xXxx1.3.1 數(shù)字特征數(shù)字特征1.3 1.3 數(shù)字特征、矩母函數(shù)與特征函數(shù)數(shù)字特征、矩母函數(shù)與特征函數(shù)連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量二、隨機變量函數(shù)的期望二、隨機變量函數(shù)的期望 g ddYXE YE g Xg x Pg xF x26三、矩三、矩1、普通普通k k階矩階矩2、k k階絕對矩階絕對矩3、k k階中心矩階中心矩 kkE Xx dF x kkEXx dF x

13、kkEXEXxEXdF x 物理上，一階矩是重心，二階矩是轉(zhuǎn)動慣量物理上，一階矩是重心，二階矩是轉(zhuǎn)動慣量; ; 二階中心矩為方差，方差表示穩(wěn)定性。二階中心矩為方差，方差表示穩(wěn)定性。注注: :222()()() () .Var XEXEXE XE X27四、四、n維隨機向量維隨機向量1,nXX1,nF xx1,ng xx111,nnnE g XXg xx dF xx 是n維隨機向量，分布函數(shù)為 ，若 為n維Borel函數(shù)，則：11111,nnkkkknnnE XXXXdF xx 特別地：11,nnXXkk的稱為 階矩. 28 cov, =X YE XEXYEYE XYE X E Ycovcovc

14、orrvar() var( )XYX,YX,YX,YXY （）（）（）五、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)五、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)隨機變量X與Y的協(xié)方差協(xié)方差為：隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)為：29六、性質(zhì)六、性質(zhì)oo2oooo1( )Var( )0;2()(),Var()Var();3()()( );4,()() ( ),Var()Var()Var( )5()2cov(, );6cov,cov(, ).E CCCE CXCE XCXCXE XYE XE YX YE XYE X E YXYXYVar XYVarXVarYX YaX bYabX Y，；（）=相互獨立301.3.2 矩母函數(shù)矩母函數(shù) 設(shè)隨機變量X

15、的分布函數(shù)為F(x)，則X的矩矩母函數(shù)母函數(shù)定義為：()( )()(d)d( )( ) ()itXtXtxXtxtxiitE eePeF xe f x dxe P XxX是連續(xù)型的；X是離散型的.當矩母函數(shù)存在時，它唯一地決定分布當矩母函數(shù)存在時，它唯一地決定分布.泊松分布： 正態(tài)分布：exp (1)te2 2exp2tt31例：設(shè)X與Y是獨立的正態(tài)隨機變量，且 求X+Y的分布.221122(,),(,)XNYN ()( )( )( )t X YX YtXtYXYtE eE eE ett2 22 2121222( ),( )ttttXYtete而，分析：分析：2 22 212122221212

16、22()()2( )( )( )=eettttXYXYttttt所以， X+Y服從正態(tài)分布.322( )( ),( ),( ).tXtXnntXtE XetE X etE X e矩母函數(shù)可用來推導(dǎo)隨機變量的各階矩矩母函數(shù)可用來推導(dǎo)隨機變量的各階矩矩母函數(shù)與各階矩關(guān)系：矩母函數(shù)與各階矩關(guān)系：令t=0,得到( )(0).nnEX331.3.3 特征函數(shù)特征函數(shù)()( )()( )( ) ()iitXitXitxXitxitxiitE eeP de dFxef x dxeP XxX的特征函數(shù)定義如下：X是連續(xù)型的；X是離散型的.34 特征函數(shù)與分布函數(shù)一一對應(yīng)； 設(shè)Y=aX+b，Y的特征函數(shù)是： 兩

17、個相互統(tǒng)計獨立的隨機變量和的特征函數(shù)等于各個隨機變量特征函數(shù)的積 ； 特征函數(shù)與隨機變量的數(shù)字特征的關(guān)系：)()(0)(kktkXEit特征函數(shù)的性質(zhì)：特征函數(shù)的性質(zhì)：( )()ibtYteat1212XXXX 3536371.4 1.4 條件概率、條件期望和獨立性條件概率、條件期望和獨立性1.4.1 1.4.1 條件概率條件概率條件概率：條件概率：設(shè)E為隨機試驗，為其樣本空間，A、B為任意兩個事件，若P(B)0, 則事件A關(guān)于事件B的條件概率為：|P ABP A BP B（）（）（ ）全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式設(shè) 是的一個分割，且使得nB()0,1,2,iP Bi則（1）對

18、任意事件A，有 )|)(1iiniBAPBPAP（）（2）對任意事件A ，若 ，有0）（AP)|)|)|(1iiniiiiBAPBPBAPBPABP（）（）（38條件密度函數(shù)條件密度函數(shù) 如果有聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x,y)，給定Y=y時X的條件概率密度函數(shù)條件概率密度函數(shù)定義為：( , )( | )( , )df x yf x yf x yx391.4.2 1.4.2 條件期望條件期望給定Y=y時，X的條件分布條件分布定義為：(|)(|)( |, )()( |iiiYx P Xx YyE X YyxdF x yxf xf x yxdxy dxfy( | )|( | )xF x yP Xx Yy

19、f x y dx給定Y=y時，X的條件期望條件期望定義為：40條件期望的性質(zhì)條件期望的性質(zhì) E(X|Y)表示隨機變量Y的函數(shù)，是一個隨機變量，當Y=y時E(X|Y)的取值為E(X|Y=y) ； E(X|Y)的數(shù)學(xué)期望為(重期望公式)：它具有數(shù)學(xué)期望的一切性質(zhì)：1()() ()jjiE E X YE X YyP YyEXE c YcE aXbY ZaE X ZbE Y Z (, ) (, )E E g X Y YE g X Y41注：注：X在在Y=y的條件下的條件期望的條件下的條件期望E(X|Y=y) 是是y的函數(shù)的函數(shù),它是一個變量它是一個變量, 這不同于無條件期望這不同于無條件期望E(X)

20、, 不僅在于計算公式上，還在于含義上不僅在于計算公式上，還在于含義上. 如：如：X表示中國成年人的身高表示中國成年人的身高, 則則EX表示中國表示中國成年人的平均身高成年人的平均身高. 若用若用Y表示中國成年人的足長，表示中國成年人的足長，則則E(X|Y=y)表示足長為表示足長為y的中國成年人的平均身高的中國成年人的平均身高. 我國公安部門研究獲得：我國公安部門研究獲得： E(X|Y=y) =6.876y，若測得案犯留下的足印長為若測得案犯留下的足印長為25.3cm,則可推算出案則可推算出案犯的身高約犯的身高約174cm。42例例: 設(shè)隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布率為 1 2 3 1 2XY1

21、316191929118求E(X|Y)的分布率，E(X) 以及E E(X|Y) .解：解： 先求E(X|Y)的可能取值215(1)(1)4iE X YiP Xi Y2111(2)(2)7iE X YiP Xi Y43故E(X|Y)的分布率為()E X Y( ()()()jjP E X YE X YyP Yy54117434971816541174125( ()497183618E E X Y1172512181818EX 從而 E(X) =E E(X|Y). 214(3)(3)3iE X YiP Xi Y44例例: 設(shè)數(shù)Y在區(qū)間(0,1)上隨機地取值,當觀察到Y(jié)=y(0y1)時, 數(shù)X在區(qū)間(

22、y,1)上隨機取值. 求X的概率密度fX(x)， ， .其它, 010, 1)(yyfY 對于任意的y(0y0,由由第二引理該事件連續(xù)五次成功出現(xiàn)無窮多次的概第二引理該事件連續(xù)五次成功出現(xiàn)無窮多次的概率為率為1.隨機過程實例隨機過程實例53 設(shè)設(shè)X1，X2相互獨立，其分布函數(shù)分別為相互獨立，其分布函數(shù)分別為F1(x), F2(x), X= X1+ X2 ,則則121211211221( )()()( )()( )()( )()( )XFxP XXxP XXx Xt dF uF xt dF uFFxFFx1.4.3 1.4.3 獨立隨機變量和的分布獨立隨機變量和的分布54卷積的性質(zhì)：卷積的性質(zhì)：

23、1221(1) ()( )()( )FFxFFx(2) ()( )()( )F GHxFG Hx(3) ()( )()( )()( )FGHxFGxFHx(4) 設(shè)Xk,k=1,2, ,n,是獨立同分布F(x)的隨機變量，1,1,2,nnkkSXnSn的分布函數(shù)記為Fn(x),則其中：1( )()( ), 1,2,3,nnF xFFxn00,0( )1,0 xF xx551.5 1.5 收斂性收斂性如果如果 隨機變量序列隨機變量序列 以概率以概率1收斂于收斂于X，或，或稱稱 幾乎處處收斂于幾乎處處收斂于X，記作，記作 1limXXPnn則稱則稱nXnX. .a snXX56如果如果 對于任意給

24、定的正數(shù)對于任意給定的正數(shù) ，有，有 隨機變量序列隨機變量序列 依概率收斂于依概率收斂于X，記作，記作 nX則稱則稱00|limXXPnnXXPn57如果如果對于所有的對于所有的 有有存在隨機變量存在隨機變量X，有，有 隨機變量序列隨機變量序列 以以p次均方收斂次均方收斂于于X. 若若p=2稱為稱為均方收斂均方收斂，記作：，記作： 使得使得 nXnX| pnE X| pEX lim| 0pnnEXX. .l.i.mm snnnXXXX 或58設(shè)設(shè) 是是 的分布函數(shù)列，如果存在一個的分布函數(shù)列，如果存在一個單調(diào)不減函數(shù)單調(diào)不減函數(shù) ，使在，使在 的所有的所有連續(xù)點連續(xù)點x上上有有則稱隨機變量序列

25、則稱隨機變量序列 依分布收斂依分布收斂于于X，記作，記作 nX( )nF x)(xF)(xF)()(limxFxFnnLnXX nX稱函數(shù)列稱函數(shù)列 弱收斂于弱收斂于 .( )nF x)(xF59以概率以概率1 收斂收斂依概率收斂依概率收斂均方收斂均方收斂依分布收斂依分布收斂幾種收斂性的關(guān)系幾種收斂性的關(guān)系 均方收斂與以概率均方收斂與以概率1收斂不存在確定的關(guān)系。收斂不存在確定的關(guān)系。 注注60從而從而 . 0lim XXPnn 22XXEXXPnn 證證 由馬爾科夫不等式由馬爾科夫不等式,對對 有有 0 證明證明 隨機變量序列隨機變量序列Xn均方收斂均方收斂于于X, 則一定則一定依概率收斂依

26、概率收斂于于X.61本章作業(yè)本章作業(yè)l設(shè)XB(n,p), 求X的特征函數(shù)g(t), 及EX，EX2，VarX；l設(shè)X和Y的聯(lián)合概率函數(shù)為： 求 .21XE eY1,0,02( , )20,xyyexyf x y 其它62第第2 2章章 隨機過程的基本概念和基本類型隨機過程的基本概念和基本類型 2.1 基本概念基本概念 2.2 有限維分布與有限維分布與Kolmogorov定理定理 2.3 隨機過程的基本類型隨機過程的基本類型63自然界變化的過程可以分為自然界變化的過程可以分為確知過程確知過程和和隨機過程隨機過程兩大類兩大類每次觀測所得結(jié)果都相同，都是時間每次觀測所得結(jié)果都相同，都是時間t的一的一

27、個確定的函數(shù)，具有確定的變化規(guī)律。個確定的函數(shù)，具有確定的變化規(guī)律。每次觀測所得結(jié)果都不同，都是時間每次觀測所得結(jié)果都不同，都是時間t的不的不同函數(shù)，觀測前又不能預(yù)知觀測結(jié)果，沒同函數(shù)，觀測前又不能預(yù)知觀測結(jié)果，沒有確定的變化規(guī)律。有確定的變化規(guī)律。確知確知過程過程隨機隨機過程過程2.1 2.1 基本概念基本概念64電話站在時刻電話站在時刻 t 時以前接到的呼叫次數(shù)時以前接到的呼叫次數(shù)例例1一般情況下它是一個隨機變數(shù)一般情況下它是一個隨機變數(shù)X ，并且，并且依賴時間依賴時間t，即隨機變數(shù)，即隨機變數(shù)X(t)，t 0,24。例例2研究某一商品的銷售量研究某一商品的銷售量一般情況下它是一個隨機變數(shù)

28、一般情況下它是一個隨機變數(shù)X ，并且，并且依賴時間依賴時間t，即隨機變數(shù)，即隨機變數(shù)X(t)，t =1,2, 。直觀背直觀背景景及例子及例子65顧客來到服務(wù)站要求服務(wù)。顧客來到服務(wù)站要求服務(wù)。用用X(t)表示表示 t 時刻的隊長，用時刻的隊長，用Y(t) 表示表示 t 時刻時刻到來的顧客所需的等待時間，則它們都是隨到來的顧客所需的等待時間，則它們都是隨機過程。機過程。一個醉漢在路上行走，以概率一個醉漢在路上行走，以概率 p前進一步，以概率前進一步，以概率1-p后退一步（假設(shè)步長相同）。以后退一步（假設(shè)步長相同）。以X(t)記他記他 t 時刻時刻在路上的位置，則在路上的位置，則X(t), t0就

29、是（直線上的）隨機就是（直線上的）隨機游動。游動。例例3排隊模型排隊模型例例4隨機游走隨機游走66隨機過程定義隨機過程定義說明說明 參數(shù)集參數(shù)集T：可離散可連續(xù)可某集合：可離散可連續(xù)可某集合, 如果如果 T 為向量集合，則隨機過程稱為隨機場；為向量集合，則隨機過程稱為隨機場； 隨機序列或時間序列：隨機序列或時間序列：X(n), n = 0, 1, 或或X(n), n0； 隨機過程是隨機變量的集合。隨機過程是隨機變量的集合。67 當當 t 固定，固定，固定時，固定時， X(t) 是一個是一個確定值確定值； 當當 t 固定，固定，可變時，可變時， X(t) 是一個是一個隨機變量隨機變量； 當當 t

30、 可變，可變，固定時，固定時， X(t) 是一個確定的是一個確定的樣本路樣本路徑或樣本函數(shù)徑或樣本函數(shù)； 當當 t 可變，可變，可變時，可變時， X(t) 是一個隨機過程隨機過程。符號含義符號含義 隨機過程隨機過程 可看成定義在積集可看成定義在積集 上的二元函數(shù)上的二元函數(shù) , tX TT68X(t1,)X(t2,)X(t,1)X(t,2)X(t,3)t1t2tn圖示圖示69狀態(tài)狀態(tài)時刻時刻連續(xù)型隨機過程連續(xù)型隨機過程連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)隨機序列連續(xù)隨機序列連續(xù)連續(xù)離散離散離散型隨機過程離散型隨機過程離散離散連續(xù)連續(xù)離散隨機序列離散隨機序列離散離散離散離散隨機過程的分類隨機過程的分類70隨機過

31、程的分布函數(shù)隨機過程的分布函數(shù)2.22.2有限維分布與有限維分布與KolmogorovKolmogorov定理定理 l隨機過程的一維分布：隨機過程的一維分布： l隨機過程的二維分布：隨機過程的二維分布： l隨機過程的隨機過程的n維分布：維分布： )(),(xtXPxtF TttxtXxtXPxxFtt 21221121,)(,)(),(21TtttxtXxtXxtXPxxxFnnnntttn,)(,)(,)(),(21221121,2171l有限維分布族：隨機過程的所有一維分布，二維分有限維分布族：隨機過程的所有一維分布，二維分布，布，n維分布等的全體稱為維分布等的全體稱為X(t), t T的

32、有限維的有限維分布族分布族有限維分布族有限維分布族 12, ,1212(,), , ,1nt ttnnFx xxt ttT n72定理定理2. 1 (Kolmogorov存在定理存在定理) 設(shè)一分布函數(shù)族滿足對稱性和相容性，則設(shè)一分布函數(shù)族滿足對稱性和相容性，則必存在一個隨機過程必存在一個隨機過程X(t),tT，使得這個分，使得這個分布函數(shù)族恰好是布函數(shù)族恰好是X(t) 的有限維分布族。的有限維分布族。有限維分布族的性質(zhì)有限維分布族的性質(zhì) 對稱性對稱性:121212, ,12(,)(,)nnjjjntttjjjt ttnFxxxFx xx相容性相容性:1112,1, ,1(,)(,)mmnmt

33、tttmt ttmFxxFxx 731.袋中放有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中袋中放有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中任取一球，取后放回，對每一個確定的任取一球，取后放回，對每一個確定的 t 對應(yīng)隨機變量：對應(yīng)隨機變量：試求這個隨機過程的一維分布函數(shù)族。試求這個隨機過程的一維分布函數(shù)族。分析分析先求概率密度例題例題 74所以所以解解:3tte)(tX3231P75隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征均值函數(shù)均值函數(shù)說明說明二階矩過程二階矩過程 如果對任意的如果對任意的tT, EX2(t)存在，則稱過程存在，則稱過程X(t),tT為二階矩過程為二階矩過程.76協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)(

34、 , )( )( )( )( ),XXXs tEX ssX tts tT方差函數(shù)方差函數(shù)( )var( )( , )XDtX tt t自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)( , )( )( ),XRs tE X s X ts tT( , )( , )( )( )XXXXs tRs tst公式公式自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)( , )( , )( )( )XXXXs ts tDsDt77 互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)( , )( )( )( ( )( ),XYXYs tEX ssY tts tT互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)( , )( ) ( ),XYRs tE X s Y ts tT互不相關(guān)互不相關(guān)( , )0XYs t78小小

35、 結(jié)結(jié)X(t)X(t)、Y(t)均值函數(shù)均值函數(shù)協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)79 2.設(shè)隨機過程設(shè)隨機過程 ， ，C為常數(shù)，為常數(shù)，R服從服從0,1區(qū)間上的均勻分布。區(qū)間上的均勻分布。 求其均值函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)求其均值函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù) 。CtRtX)(), 0(t解：解：其均值函數(shù)為其均值函數(shù)為CtCRtECRtEtEXtX2)()()()(自相關(guān)函數(shù)為自相關(guān)函數(shù)為22222)(231)()()()()()()(),(CtsCstCRECsCtRstECCRsCRtstRECRtCRsEtXsX

36、EtsRX例題例題 8012)4)()()4()2)(2()2()(2()()()()()(),(22ststRstERstEstRststREtRtsRsECtCRtCsCRsEttXssXEtsXX協(xié)方差函數(shù)為協(xié)方差函數(shù)為81di i . . 故故X(t)N(0, 1+t2),隨機過程隨機過程X(t), t 0的一維的一維概率密度概率密度:解：解： 因因Y, Z為正態(tài)隨機變量且相互獨立，則其線為正態(tài)隨機變量且相互獨立，則其線性組合性組合X(t)也是正態(tài)隨機變量，也是正態(tài)隨機變量，22( )()0var ( )var()varvar1XXtE YZtEYtEZtYZtYtZt 3.設(shè)設(shè)X(t

37、)=Y+Zt, t0，Y, Z 服從服從N(0, 1),Y,Z相互獨相互獨立，求立，求X(t), t0的一、二維概率密度族的一、二維概率密度族.222221()1( )expexp,022(1)22 (1)txxf xttt82)1)(1 (1)()(),(),(22tssttDsDtstsXXXXstststZYZtZYsYEZtYZsYEtstXsXEtsXX1001)()()()()()(),(220, 1)1)(1 (21)1 (21exp)1)(1)(1 (21),(2222221221222221,tstxtsxxsxtsxxfts 隨機過程隨機過程X(t), t0的二維概率密度的

38、二維概率密度83 作業(yè)：作業(yè)：P31 2.4 ，2.5.842.3 2.3 隨機過程的基本類型隨機過程的基本類型 2.3.1 平穩(wěn)過程（時間平移）平穩(wěn)過程（時間平移）2.3.2 獨立增量過程（時間增量）獨立增量過程（時間增量）85 如果一個過程是平穩(wěn)過程，則它的性質(zhì)不如果一個過程是平穩(wěn)過程，則它的性質(zhì)不隨時間的推移而變化，只與變量之間的時間間隨時間的推移而變化，只與變量之間的時間間隔有關(guān)，而隔有關(guān)，而與所考察的起始點無關(guān)與所考察的起始點無關(guān)。2.3.1 2.3.1 平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程 平穩(wěn)過程根據(jù)限制條件的嚴格程度分為平穩(wěn)過程根據(jù)限制條件的嚴格程度分為嚴嚴平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程和和寬平穩(wěn)過程寬平穩(wěn)過程

39、。86如果隨機過程 X(t), tT對任意的t1,tnT和任意的h(使得ti+hT)有，(X(t1+h), X(tn+h)與(X(t1), , X(tn)具有相同的聯(lián)合分布，記為嚴平穩(wěn)過程嚴平穩(wěn)過程 11(),()( ),( ),nnX thX thX tX td則稱X(t), tT為嚴平穩(wěn)過程。有限維分布關(guān)于時間是平移不變的有限維分布關(guān)于時間是平移不變的87如果隨機過程X(t), tT的所有二階矩都存在，并且EX(t)=m, 協(xié)方差函數(shù)(s, t)只與時間差t-s有關(guān)，則稱X(t), tT為寬平穩(wěn)過程或二階平穩(wěn)過程。寬平穩(wěn)過程寬平穩(wěn)過程 注注: ； (-t)=(t), (0)=var(X(t

40、), |(t)|(0); (t)具有非負定性： 。0s ttsts,11()0nnijijija att88嚴平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程，嚴平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程， 因為嚴平穩(wěn)因為嚴平穩(wěn)的過程不一定有二階矩，但當嚴平穩(wěn)過程二階的過程不一定有二階矩，但當嚴平穩(wěn)過程二階矩存在時，則它一定是寬平穩(wěn)過程。矩存在時，則它一定是寬平穩(wěn)過程。 寬平穩(wěn)過程不一定是嚴平穩(wěn)過程，但對于正態(tài)寬平穩(wěn)過程不一定是嚴平穩(wěn)過程，但對于正態(tài)過程，兩者是等價的。過程，兩者是等價的。當參數(shù)當參數(shù) t 僅取整數(shù)時，稱為僅取整數(shù)時，稱為平穩(wěn)序列平穩(wěn)序列。嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)的關(guān)系嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)的關(guān)系 89 設(shè)設(shè)Xn,n=0, 1,是互

41、不相關(guān)的隨機變量序列是互不相關(guān)的隨機變量序列,且且EXn=0,Var(Xn)= 20,討論其平穩(wěn)性討論其平穩(wěn)性. mnmnXEXmn02故其均值函數(shù)為常數(shù)故其均值函數(shù)為常數(shù),其協(xié)方差函數(shù)其協(xié)方差函數(shù) (n,m)只與只與m-n有關(guān)有關(guān), 所以它是平穩(wěn)隨機過程。所以它是平穩(wěn)隨機過程。平穩(wěn)白噪聲序列平穩(wěn)白噪聲序列 解解: 因為因為EXn=0,90 設(shè) ,n=0,1,是互不相關(guān)的隨機變量序列,且有相同的均值m和方差2,設(shè) 為任意k個實數(shù)，討論序列 的平穩(wěn)性. 滑動平均序列滑動平均序列 n12,ka aa1211,0, 1,nnnkn kXaaan 解解:12()nkEXm aaa令 ，則由 的兩兩互不

42、相關(guān)性知： jjmj11111121 1(, )()()()()0-1,(),.0,nknknkn knknkkknnEXm aaXm aaE aaaaka aaak 若若故Xn ,n=0,1,為平穩(wěn)序列.91設(shè)設(shè) ，則，則 的是平穩(wěn)過程。的是平穩(wěn)過程。( )cos(),(0,2 ),0X tatU ( ),X t tR201 ( )cos()02E X tatd其協(xié)方差函數(shù)為其協(xié)方差函數(shù)為22202220()( )cos( ()cos()cos()cos()2cos(2)2coscos42E X tX tE attattdaatd例題例題證明證明: 其均值為其均值為所以，所以， 是平穩(wěn)過程。

43、是平穩(wěn)過程。( ),X t tR92 遍歷性是指統(tǒng)計結(jié)果在時間和空間上的統(tǒng)一性，遍歷性是指統(tǒng)計結(jié)果在時間和空間上的統(tǒng)一性，表現(xiàn)為時間均值等于空間均值。例如要得出一個城表現(xiàn)為時間均值等于空間均值。例如要得出一個城市市A、B兩座公園哪一個更受歡迎，有兩種辦法。兩座公園哪一個更受歡迎，有兩種辦法。 第一種辦法是在某一個時點考察兩個公園的人第一種辦法是在某一個時點考察兩個公園的人數(shù)，人數(shù)多的為更受歡迎公園；第二種辦法，隨機數(shù)，人數(shù)多的為更受歡迎公園；第二種辦法，隨機選擇一名市民，在一年的時間里考察他去兩個公園選擇一名市民，在一年的時間里考察他去兩個公園的次數(shù)，去得多的為更受歡迎公園。如果這個兩個的次數(shù)

44、，去得多的為更受歡迎公園。如果這個兩個結(jié)果始終一致，則表現(xiàn)為遍歷性。結(jié)果始終一致，則表現(xiàn)為遍歷性。 遍歷性問題遍歷性問題 93 如果按照數(shù)學(xué)期望的定義來計算平穩(wěn)過程如果按照數(shù)學(xué)期望的定義來計算平穩(wěn)過程X(t)的數(shù)字特的數(shù)字特征，就需要預(yù)先確定征，就需要預(yù)先確定X(t)的一族樣本函數(shù)或一維、二維分布的一族樣本函數(shù)或一維、二維分布函數(shù)，這實際上是不易辦到的。函數(shù)，這實際上是不易辦到的。 平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特性是不隨時間的推移而變化的平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特性是不隨時間的推移而變化的，于是，于是我們自然希望在一個很長時間內(nèi)觀察得到的一個樣本曲線，我們自然希望在一個很長時間內(nèi)觀察得到的一個樣本曲線，可以作為得到這

45、個過程的數(shù)字特征的充分依據(jù)?？梢宰鳛榈玫竭@個過程的數(shù)字特征的充分依據(jù)。 各態(tài)遍歷定理將證實：對平穩(wěn)過程而言，只要滿足一些各態(tài)遍歷定理將證實：對平穩(wěn)過程而言，只要滿足一些較寬的條件，則較寬的條件，則均值和自相關(guān)函數(shù)等可以用一個樣本函數(shù)均值和自相關(guān)函數(shù)等可以用一個樣本函數(shù)在整個時間軸上的平均值來代替在整個時間軸上的平均值來代替。各態(tài)遍歷定理提供了根。各態(tài)遍歷定理提供了根據(jù)實驗記錄確定平穩(wěn)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)的理論依據(jù)據(jù)實驗記錄確定平穩(wěn)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)的理論依據(jù)和方法。和方法。遍歷性定理的必要性遍歷性定理的必要性94 設(shè)設(shè) 為一平穩(wěn)過程為一平穩(wěn)過程( (或平穩(wěn)序列或平穩(wěn)序列) )，若若( )

46、,X tt 1lim2TTTXX t dtmT或或 1lim21NNkNXX kmN則稱則稱 X 的均值的均值具有遍歷性。此處極限為均方意義，具有遍歷性。此處極限為均方意義，即即 21lim02TTTEX t dtmT平穩(wěn)過程遍歷性定義平穩(wěn)過程遍歷性定義95如果如果 1( )lim()()( )2TTTX tm X tm dtT 或或 1( )lim()()( )21NNkNX km X kmN 則稱則稱X的協(xié)方差的協(xié)方差具有遍歷性。若一個隨機過程的具有遍歷性。若一個隨機過程的均值和協(xié)方差函數(shù)都具有遍歷性，則稱均值和協(xié)方差函數(shù)都具有遍歷性，則稱隨機過程隨機過程具有遍歷性。具有遍歷性。96（1）

47、設(shè)）設(shè)X=Xn,n=0, 1, 2, 是平穩(wěn)序列，其是平穩(wěn)序列，其協(xié)方差函數(shù)為協(xié)方差函數(shù)為 ，則，則X有遍歷性的充要條件是有遍歷性的充要條件是( ) t101lim( )0NNttN（2）設(shè)）設(shè)X=Xt,-t+ 是平穩(wěn)過程，則是平穩(wěn)過程，則X有遍歷有遍歷性的充要條件是性的充要條件是201lim(1) ( )02TTdTT 均值遍歷性定理均值遍歷性定理97 2222221lim21lim()41lim()()41lim()4varTTTTTTTTTTTTTTTTEX t dtmTEX tm dtTEX tmX sm dtdsTts dtdsTXEXEX 證明證明( (連續(xù)時間連續(xù)時間) )首先計

48、算 的均值和方差，記X 12TTTXX t dtT則有 1limlimlim2TTTTTTTEXEXEXE X tdtmT進而98在上述積分中做變換tsvts 則變換的Jacobi行列式的值為1111112J: 22DTvT 于是積分區(qū)域變?yōu)樗杂?9222222(2)22222020111lim()( )4421lim( )81lim( )(2)41lim( )(2)21lim( )(1)2TTTTTDTTTTTTTTTTTTts dtdsd dvTTddvTTdTTdTdTT 故關(guān)于均值的遍歷性定理就化為上式極限是否趨于零的問題，定理得證。100設(shè)設(shè) ，則，則 的均值有遍歷性。的均值有遍歷

49、性。( )cos(),(0,2 ),0X tatU ( ),X t tR例題例題證明證明: 已證已證 是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程.( ),X t tR20220222201(1) ( )2(1)cos()22sin(2)cos()24TTTdTTadTTaTadTT 又又22222sin(2)1112 sin(2)cos(2)240 ()aTaTTTTTT所以，所以， 的均值有遍歷性的均值有遍歷性.( ),X t tR101練習(xí)：練習(xí)：已知隨機電報信號已知隨機電報信號 | |( )0,( ).XE X tRe 問問X(t)是否是關(guān)于均值遍歷的是否是關(guān)于均值遍歷的. . 2220111lim(1)li

50、m022TTTTeedTTTT 解：解：所以所以X(t)是關(guān)于均值遍歷的是關(guān)于均值遍歷的. . 2201lim(1)( )2TXXTRdTT 102推論推論1：若：若( ) t dt 則均值遍歷性定理成立。則均值遍歷性定理成立。1( )( )2T 證明：因為，當證明：因為，當 時，有時，有02T220020011( )(1)( )(1)2211( )( )0TTTddTTTTddTT 均值有遍歷性的充分條件均值有遍歷性的充分條件( (連續(xù)時間連續(xù)時間) )103推論推論2：對于平穩(wěn)序列而言，若：對于平穩(wěn)序列而言，若( )0 ()tt 則均值遍歷性定理成立。則均值遍歷性定理成立。101lim(

51、)lim(1)0NNNNN 10,( )NNNxN y 11limlimNNNNNNNNyyyxxx此處令此處令證：因為當證：因為當 ，由，由Stoltz定理定理( )0 tt 時，均值有遍歷性的充分條件均值有遍歷性的充分條件( (離散時間）離散時間）Stoltz定理定理104協(xié)方差函數(shù)遍歷性定理協(xié)方差函數(shù)遍歷性定理設(shè)設(shè)X=Xt,-t+ 是平穩(wěn)過程，其均值函數(shù)為零，是平穩(wěn)過程，其均值函數(shù)為零，則協(xié)方差函數(shù)有遍歷性的充要條件是則協(xié)方差函數(shù)有遍歷性的充要條件是2211101lim(1)( ( )( )02TTBdTT ，其中其中111( ) () () () ( ).BE X tX tX tX t

52、 注：注：X的協(xié)方差函數(shù)的協(xié)方差函數(shù) 具有遍歷性，等價于隨機過程具有遍歷性，等價于隨機過程均值具有遍歷性。均值具有遍歷性。( ) ( )()( )Y tX tmX tm105 一個平穩(wěn)過程一個平穩(wěn)過程X(t)，只要滿足上述兩條件，只要滿足上述兩條件，便可以從一次試驗所得到的樣本函數(shù)便可以從一次試驗所得到的樣本函數(shù)x(t)來求得該來求得該過程的均值和自相關(guān)函數(shù)的估計。即：若樣本函過程的均值和自相關(guān)函數(shù)的估計。即：若樣本函數(shù)數(shù)x(t)在有限區(qū)間在有限區(qū)間-T，T，只要，只要T足夠大，便有足夠大，便有 1lim( ),2TXTTx t dtT 1( )( )().2TXTx tmx tm dtT 遍

53、歷性定理的價值遍歷性定理的價值106 對任意實數(shù)對任意實數(shù) h及任意及任意t1 , t2有有 對任一正整數(shù)對任一正整數(shù)n及任意及任意 隨隨機變量機變量,21intttTt 2( )( )( )( )( )()nnX tX tX tX tX tX t2131,相互獨立，則稱相互獨立，則稱X(t),tT為為獨立增量過程獨立增量過程。過程過程增量增量1122()( )()( )dX thX tX thX t2.3.2 2.3.2 獨立增量過程獨立增量過程 則稱則稱X(t),tT為為平穩(wěn)增量過程平穩(wěn)增量過程。兼有獨立增量和平穩(wěn)增量的過程稱為兼有獨立增量和平穩(wěn)增量的過程稱為平穩(wěn)獨立增量過程平穩(wěn)獨立增量過

54、程。107作業(yè)作業(yè)P31 2.2, 2.3, 2.6.108dtsttsttABdsBtAsYtXEstRtsBAtBtYtAtXXY)(sin()cos( )(cos()sin()sin(221)sin()sin()()(),(,.20,),sin()(),sin()(42020則有：設(shè)隨機變量上均勻分布的，為為常數(shù)，其中：考慮兩個隨機過程例109. 0)(cos(21)cos()sin()(sin()(sin)(cos(220202得第二項積分用倍角公式降冪，第一項積分用倍角公式tsABdtttsdttsAB110)()()()()()(),()()()()()()()()(tYtXsYs

55、XEtWsWEtsRtttEYtEXtYtXEtEWtWYXW設(shè)設(shè)X(t)為信號過程，為信號過程，Y(t)為噪聲過程，為噪聲過程，W(t)=X(t)+Y(t)，求求W(t)的的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) (t) ( )( ) ( ) ( )( , )( , )( , )( , )XXYYXYE X s X tX s Y tY s X tY s Y tE X s X tE X s YE Y s X tE Y s Y tRs tRs tRs tRs t111 例例3隨機過程隨機過程X(t)=tY,t (- ,+

56、),Y為非為非0隨機變隨機變量，量，E(Y2)+ ,討論討論X(t)平穩(wěn)性。平穩(wěn)性。 解解：)()(),(2YEttYttYEttRX )(YtEtYEtXE )(22222 YEtYtEtXE當當E(Y)E(Y) 0 0時，時，X(t)X(t)不是平穩(wěn)過程。不是平穩(wěn)過程。當當E(Y)E(Y)=0=0時，假設(shè)時，假設(shè)E(YE(Y2 2) )=Var=Var(Y)(Y) = =0 0，則，則PY=0=1PY=0=1，與已知矛盾！，與已知矛盾！)(),(2YEttttRX 與與t t有關(guān)。有關(guān)。所以，所以，X(t)X(t)不是平穩(wěn)過程。不是平穩(wěn)過程。112例例4、設(shè)狀態(tài)連續(xù)，時間離散的隨機過程、設(shè)

57、狀態(tài)連續(xù)，時間離散的隨機過程 Xn=sin2 nY，n=1,2,YU(0,1),試證明試證明Xn為平穩(wěn)過程。為平穩(wěn)過程。解：解：)2sin(1022nydyXEn02sin10ynydXEn00021)2(2cos2cos21)(2sin2sin),(1010mmydymnymyydmnnyXXEmnnRmnnX只與只與m有關(guān)，所以有關(guān)，所以 Xn為平穩(wěn)序列。為平穩(wěn)序列。113第第3 3章章 Poisson過程過程3.1 Poisson Poisson過程過程3.2 與與PoissonPoisson過程相聯(lián)系的若干分布過程相聯(lián)系的若干分布3.3 PoissonPoisson過程的推廣過程的推廣

58、114 1798年入巴黎綜合工科學(xué)校深造年入巴黎綜合工科學(xué)校深造. 在畢業(yè)時，在畢業(yè)時，因優(yōu)秀的研究論文而被指定為講師因優(yōu)秀的研究論文而被指定為講師, 受到拉普拉受到拉普拉斯、拉格朗日的賞識斯、拉格朗日的賞識. 法國數(shù)學(xué)家法國數(shù)學(xué)家. 1781 年年6月月21日生于法國盧瓦日生于法國盧瓦雷省的皮蒂維耶，雷省的皮蒂維耶，1840年年4月月25日卒于法國索鎮(zhèn)日卒于法國索鎮(zhèn). 泊松的科學(xué)生涯開始于研究微分方程及其在擺的運動和聲泊松的科學(xué)生涯開始于研究微分方程及其在擺的運動和聲學(xué)理論中的應(yīng)用學(xué)理論中的應(yīng)用. 他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)和物理問題，并由此

59、得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)和物理問題，并由此得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn). 他對積分理論、行星他對積分理論、行星運動理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論運動理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要貢獻都有重要貢獻. 1800年畢業(yè)后留校任教，年畢業(yè)后留校任教，1802年任副教授年任副教授, 1806年接替傅年接替傅里葉任該校教授里葉任該校教授. 1808年任法國經(jīng)度局天文學(xué)家年任法國經(jīng)度局天文學(xué)家,1809年任巴黎年任巴黎理學(xué)院力學(xué)教授理學(xué)院力學(xué)教授. 1812年當選為巴黎科學(xué)院院士年當選為巴黎科學(xué)院院士.115(0-1)分布分布 隨機變量隨機變量 X 只可能有兩個值只可能有兩個值:

60、 0 和和 1，其概率分布其概率分布為為：qpXPpXP1) 0( ,) 1(pqXDpXE)( ,)(二項分布二項分布 隨機變量隨機變量 X 為為n重貝努利試驗中事件重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則 X B (n, p)，概率分布為：，概率分布為：knkqpknkXP)(npqXDnpXE)( ,)(復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)116泊松分布泊松分布 隨機變量隨機變量X 的所有可能取值為的所有可能取值為0, 1, 2, ，而取各個值的概率為而取各個值的概率為則隨機變量則隨機變量X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布，簡記，簡記為為P( )。)0( , 2 , 1 , 0 ,!e為常數(shù)kk