第十五屆華為杯中國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)題—B題

1、2018年中國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題光傳送網(wǎng)建模與價(jià)值評(píng)估1. 背景2009年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予了英籍華人高錕（Charles K. Kao）博士，以表彰他對(duì)光纖通信發(fā)展所做出的貢獻(xiàn)，諾貝爾獎(jiǎng)委員會(huì)在給公眾的公開(kāi)信中寫(xiě)到：“當(dāng)諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)宣布的時(shí)候，世界大部分地方幾乎瞬間收到了這條信息文字、語(yǔ)音和視頻信號(hào)沿著光纖在世界各地來(lái)回傳輸，幾乎瞬時(shí)地被微小而便捷的設(shè)備接收，人們已經(jīng)把這種情況當(dāng)做習(xí)慣。光纖通信正是整個(gè)通信領(lǐng)域急速發(fā)展的前提。”從誕生至今，50多年里基于數(shù)字光纖通信技術(shù)的光傳送網(wǎng)構(gòu)建起了全球通信的骨架。從城市內(nèi)的傳輸，直到跨越大洋的傳輸，光傳送網(wǎng)為人類(lèi)提供了大容量、高可靠性和低能耗的信

2、息傳輸管道，人類(lèi)對(duì)通信容量的追求也成為光傳送技術(shù)發(fā)展的源源不斷的動(dòng)力。光傳送網(wǎng)的規(guī)劃與建設(shè)是運(yùn)營(yíng)商、設(shè)備商以及政府必須考慮的課題。光傳送的基本規(guī)律是在相同技術(shù)條件下傳輸?shù)娜萘繒?huì)隨著傳輸距離增加而減小。網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃者需要在有限資源的條件下，綜合考慮傳輸距離，傳輸容量、網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞雀鞣N因素，以最大化網(wǎng)絡(luò)的價(jià)值。本課題中，請(qǐng)你們站在上述角度，從底層物理出發(fā)為光傳送鏈路建模，制定光傳送網(wǎng)規(guī)劃，探索光傳送網(wǎng)有關(guān)規(guī)律。本課題的內(nèi)容包括：1) 對(duì)光傳送鏈路進(jìn)行簡(jiǎn)單建模 2) 制定光傳送網(wǎng)的規(guī)劃，并探討網(wǎng)絡(luò)的價(jià)值3）改進(jìn)調(diào)制格式2. 問(wèn)題-1：光傳送鏈路建?，F(xiàn)代數(shù)字傳輸系統(tǒng)可認(rèn)為是對(duì)0101二進(jìn)制序列進(jìn)行編碼傳輸?shù)?/p>

3、系統(tǒng)，1個(gè)二進(jìn)制的0或1稱(chēng)為1個(gè)比特（bit）。無(wú)論是語(yǔ)音、視頻還是任何類(lèi)型的消息，都可以數(shù)字化為一串串”0101”的二進(jìn)制比特序列，經(jīng)編碼并調(diào)制為某個(gè)“載體信號(hào)”后，再經(jīng)過(guò)特定的“信道”（信息的通道）傳輸?shù)侥康牡?。圖1中給出了簡(jiǎn)化的模型。在光纖通信中，光纖就是信道，光纖傳輸?shù)墓獠ň褪切畔⒌妮d體。信道中無(wú)法避免的噪聲可能導(dǎo)致最終接收的二進(jìn)制序列中比特出錯(cuò)，即產(chǎn)生誤碼。圖1 簡(jiǎn)化后的數(shù)字傳輸模型二進(jìn)制序列通常需要將K個(gè)比特作為一個(gè)“符號(hào)”進(jìn)行傳輸，每個(gè)符號(hào)有2K個(gè)不同狀態(tài)。光傳輸利用光波的復(fù)振幅承載信號(hào)，因此可用復(fù)平面上不同的點(diǎn)來(lái)對(duì)應(yīng)不同的符號(hào)狀態(tài)，這種將符號(hào)狀態(tài)畫(huà)在復(fù)平面上的圖稱(chēng)為“星座圖”，

4、圖上的點(diǎn)稱(chēng)為“星座點(diǎn)”。如圖2(a)所示的QPSK（Quadrature Phase Shift Keying）調(diào)制，經(jīng)過(guò)信道疊加噪聲和接收機(jī)處理后，接收端的星座圖不再是理想的四個(gè)點(diǎn)，而是會(huì)出現(xiàn)擴(kuò)散。當(dāng)接收機(jī)收到1個(gè)符號(hào)時(shí)，就將發(fā)送的符號(hào)判定為離該符號(hào)最近的星座點(diǎn)。顯然，如果噪聲過(guò)大，接收到的符號(hào)可能被判錯(cuò)從而產(chǎn)生誤碼，如圖2(b)中的藍(lán)點(diǎn)。誤碼率（Bit Error Ratio, BER）定義為錯(cuò)誤的比特?cái)?shù)占總傳輸比特?cái)?shù)的比例，例如傳輸了50個(gè)符號(hào)共100個(gè)比特，其中有1個(gè)符號(hào)被誤判為相鄰的符號(hào)，錯(cuò)誤了1個(gè)bit，則誤碼率為0.01。BER是衡量通信系統(tǒng)性能的最根本指標(biāo)，采用糾錯(cuò)編碼，只要糾

5、前BER小于某個(gè)門(mén)限值（BER容限點(diǎn)），糾錯(cuò)編碼后就能實(shí)現(xiàn)糾后誤碼率為零的傳輸，本題中BER都是指糾錯(cuò)編碼前的誤碼率（糾前BER）。圖2 星座圖與噪聲導(dǎo)致誤碼的示意圖圖3 信號(hào)和噪聲的相關(guān)定義示意圖圖3中理想星座點(diǎn)用sk表示，接收到的符號(hào)用rk表示，則噪聲為 nk=rk-sk (1) 噪聲通常服從均值為0的正態(tài)分布。噪聲的方差等于噪聲的平均功率，定義為Pn=1Nk=1Nnk2 (2)其中N為總共傳輸?shù)姆?hào)數(shù)。信號(hào)平均功率定義為發(fā)送符號(hào)絕對(duì)值平方的均值：Ps=1Nk=1Nsk2 (3)定義信號(hào)和噪聲功率的比值為信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR），SNR=Ps/Pn (

6、4)工程上通常用dB作為SNR的單位，定義為SNRdB=10log10(Ps/Pn) (5)增大十倍為加10dB，減小0.5倍為減去3dB。本題中功率單位統(tǒng)一為毫瓦（mW），星座圖實(shí)部和虛部單位為mW。光傳輸鏈路由多個(gè)相同跨段的級(jí)聯(lián)而成。如圖4所示，幾十km的光纖和一個(gè)放大器構(gòu)成了1個(gè)跨段。信號(hào)每傳輸15km，光功率衰減一半，經(jīng)過(guò)一段光纖傳輸后，需要用放大器對(duì)光功率進(jìn)行補(bǔ)償。在信號(hào)、噪聲同步放大的同時(shí)，放大器還引入自發(fā)輻射噪聲, 公式為Pn=2hfB(NF-1/Gain)，其中是h是普朗克常數(shù)（6.62606896×10-34 JS），f是光波頻率（可定為193.1THz），B為帶寬

7、（設(shè)為50GHz），NF為噪聲指數(shù)（可設(shè)為4），Gain為補(bǔ)償光纖衰減所對(duì)應(yīng)的功率增益。另一方面，光纖作為一種傳輸介質(zhì)，其本身的非線性效應(yīng)也會(huì)等效地引入噪聲。其等效噪聲功率與入纖功率近似呈平方關(guān)系，光纖功率為1mW時(shí)的非線性噪聲約等于單個(gè)放大器噪聲的2/3。放大器的自發(fā)輻射噪聲和光纖的非線性噪聲都是加性噪聲。非線性噪聲在每跨開(kāi)頭疊加，放大器噪聲在每跨末尾疊加；每跨中間信噪比保持不變。每跨疊加的噪聲間相互獨(dú)立。圖4 基本的光傳輸鏈路模型子問(wèn)題-1）糾前誤碼率與信噪比計(jì)算 星座圖的編碼分布模式也稱(chēng)為調(diào)制格式，對(duì)于給定的調(diào)制格式，BER和SNR呈一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，糾前BER門(mén)限對(duì)應(yīng)的SNR記做“SNR

8、容限點(diǎn)”。給出圖5中所示的三種調(diào)制格式及編碼方式（相鄰星座點(diǎn)距離相等），每個(gè)符號(hào)等概率出現(xiàn)，分別稱(chēng)為QPSK，8QAM (Quadrature Amplitude Modulation, QAM)，16QAM。請(qǐng)給出BER與SNR的關(guān)系曲線，BER=0.02時(shí)SNR容限點(diǎn)分別為多少？圖5 三種調(diào)制格式的編碼方案子問(wèn)題-2）光鏈路性能計(jì)算當(dāng)單跨傳輸距離為80km和100km兩種情況，以糾前誤碼率0.02為門(mén)限，圖5給出的傳輸格式最遠(yuǎn)的傳輸距離（每跨距離×跨段數(shù)量）是多少？3. 問(wèn)題-2光傳送網(wǎng)規(guī)劃表1給出進(jìn)一步優(yōu)化升級(jí)后的三種典型光傳輸設(shè)備參數(shù)?？紤]到通信網(wǎng)絡(luò)的目的是把更多的人更充分地

9、連接到一起，我們按照如下方式定義網(wǎng)絡(luò)的價(jià)值：1） 每條直接連接兩個(gè)城市/區(qū)域的鏈路當(dāng)做1個(gè)連接，每個(gè)連接的價(jià)值定義為傳輸?shù)娜萘颗c連接區(qū)域人口數(shù)的乘積（取兩區(qū)域人口數(shù)乘積的0.5次方）2） 網(wǎng)絡(luò)的價(jià)值則是所有連接價(jià)值的加權(quán)和網(wǎng)絡(luò)價(jià)值=權(quán)重*容量*人口 (6)以圖5給出的北京、南京、上海三座城市為例，若相互之間均互有連接，根據(jù)城市的距離可得出能傳輸?shù)娜萘?。若每條鏈路的權(quán)重為1，進(jìn)而再由人口算出網(wǎng)絡(luò)價(jià)值（Network Value, NV）為NV =21×24m×16Tb/s+21×8m×16Tb/s+24×8×32Tb/s1010mTb/

10、s (7)其中m代表百萬(wàn)人(million)，Tb/s=1012bit/s, 該網(wǎng)絡(luò)的連接數(shù)為3。然而由于資源等因素制約，網(wǎng)絡(luò)往往并不能讓每對(duì)節(jié)點(diǎn)都直接連接，但可通過(guò)中間節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)。以圖5(b)為例，網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)為2，北京和南京之間需通過(guò)上海中轉(zhuǎn)。若北京上海之間的傳輸僅保留一半容量(100Gb/s)，而另一半容量用于南京到北京的信號(hào)傳輸(100Gb/s)，相應(yīng)地南京與上海之間的直接傳輸容量也會(huì)降低至300Gb/s，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)的價(jià)值為 NV=21×24m×8Tb/s+21×8m×8Tb/s+24×8×24Tb/s616mTb/s (8)

11、根據(jù)需要兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間也可以有多個(gè)連接。圖6 三個(gè)節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)示意圖表1 不同傳輸格式的傳輸距離單波傳輸容量最大傳輸距離總?cè)萘?00 Gb/s3000 km8 Tb/s200 Gb/s1200 km16 Tb/s400 Gb/s600 km32 Tb/s請(qǐng)你們隊(duì)考慮價(jià)值與需求為圖6中的我國(guó)城市群制定光傳送網(wǎng)規(guī)劃，圖中共有12個(gè)區(qū)域(其中北京/天津，深圳/廣州均按1個(gè)區(qū)域?qū)Υ?， 子問(wèn)題-1:如果連接數(shù)從16增加到33條時(shí)，不考慮中間節(jié)點(diǎn)，給出你們的兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃及其價(jià)值。網(wǎng)絡(luò)價(jià)值最多是多少？子問(wèn)題-2：存在中間節(jié)點(diǎn)，且兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間可以有多個(gè)連接的情況下，重新解決子問(wèn)題-1并給出所有中間節(jié)點(diǎn)傳輸容量的分配，假定每條鏈路容量可任意分配，只要總?cè)萘坎怀^(guò)表1的規(guī)定。如果由市擴(kuò)大為?。▍^(qū)）影響如何？（人口請(qǐng)從網(wǎng)上查找）子問(wèn)題-3:光傳送網(wǎng)絡(luò)價(jià)值有多個(gè)側(cè)面，例如從運(yùn)營(yíng)商的角度，連接經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的地區(qū)會(huì)帶來(lái)更多的收入，從政府的角度保障發(fā)展相對(duì)滯后地區(qū)的通信是均衡發(fā)展的要求等。你隊(duì)認(rèn)為制定光傳送網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)該是什么？前面制定的規(guī)劃有無(wú)變化？ 圖7 需要考慮的城市群?jiǎn)栴}-3 改善星座圖由第一問(wèn)可知，糾前BER不變時(shí)，降低SNR容限點(diǎn)可以提高系統(tǒng)容忍噪聲的能力，從而延長(zhǎng)鏈路的總長(zhǎng)度。請(qǐng)嘗試