利用子集解題(原創(chuàng))

1、利用子集解題(原創(chuàng))深圳市龍城高級中學(xué) 劉楚元 518172高一的學(xué)生在初學(xué)集合時，會遇到一些困難；從集合的概念到集合的交集、并集、補集等運算，由于概念多、符號多、運算多，還要對文字語言、符號語言、圖形語言進行等價轉(zhuǎn)換，使得學(xué)生在對概念的理解、運用，做題的書寫格式等方面不知所措.究其原因，一是學(xué)生從初中到高中后，數(shù)學(xué)的內(nèi)容、知識結(jié)構(gòu)發(fā)生了較大變化，使學(xué)生一下難易適應(yīng)；二是學(xué)生沒能抓住重點，把重點攻克了其它的就自然不攻自破.在學(xué)習(xí)集合的過程中，筆者認(rèn)為“子集”的概念是個關(guān)鍵內(nèi)容.歸納起來，在集合的交集、并集、補集等運算中，多數(shù)與“子集”有關(guān)且往往較易出錯而困擾一些學(xué)生。現(xiàn)將有關(guān)“子集”的知識點和

2、題型歸納出來，希望對同學(xué)們有所幫助.一、集合中“子集”的定義如果集合的任意一個元素都是集合的元素（若則），那么集合稱為集合的子集（subset），記為或，讀作“集合包含于集合”或“集合包含集合”.如果，并且那么集合稱為集合的真子集（proper set），記為或，讀作“集合真包含于集合”或“集合真包含集合”,如二、有關(guān)“子集”的一些結(jié)論（1）根據(jù)子集、真子集的定義知，當(dāng)時，則A=B或AB.因此有：任何一個集合是它本身的子集,即.（2）若且,則反之也成立.（3）ABA, ABB.（4）（AB）A,（AB）B.（5）A（AB）,B（AB），（AB）（AB）.（5）如果，那么( 7) 設(shè),是在A中的

3、補集,則有（）. (8 )規(guī)定：空集是任何集合的子集，即.(9) 規(guī)定：空集是任何非空集合的真子集，即(10)含有個元素的集合，它的子集個數(shù)為個，真子集的個數(shù)為（）個，非空的真子集的個數(shù)為（）個.三、涉及“子集”的基本題型基本的解題思路是：利用上述結(jié)論把交集、并集、補集等關(guān)系轉(zhuǎn)化為子集的關(guān)系，即集合之間的包含關(guān)系；這種包含關(guān)系化為元素與集合的屬于關(guān)系或化為兩集合中元素范圍的比較（即化為不等式組求解）.要結(jié)合文恩圖、數(shù)軸或相應(yīng)的圖形等求解.特別要注意的，當(dāng)用區(qū)間表示含有字母的集合時，要討論集合有可能是空集，因為空集是任何集合的子集，必須要研究這種情況.在下結(jié)論前要先進行檢驗，才能得出正確的結(jié)果.

4、、集合中的元素“例舉”出來且有限：常規(guī)解法：利用子集的包含關(guān)系，化為一個集合的元素屬于另一個集合，列出方程（方程組）求解.注意：可能有多種情況，要檢驗后作出結(jié)論.例1、已知集合，若，求實數(shù)m的值.解：因為，即集合B中的元素都是集合A中的元素，觀察知有兩種可能：（1），則；（2）解得2.而當(dāng)時，集合B中出現(xiàn)相同的元素與集合中的元素互異矛盾，故舍去. 所以：m的值是例2、已知集合，若AB = A，求實數(shù)的值.解：因為AB = A，所以：，即集合B中的元素都是集合A中的元素，觀察知有三種可能：或或解得:經(jīng)檢驗知：注：以上兩題都要分幾種情況討論, 例2中的并集化為子集求解.、集合中的元素用已知不等式“

5、描述”出來且無限： 常規(guī)解法：利用子集的包含關(guān)系，化為不等式端點值的大小關(guān)系式，列出不等式（不等式組）求解.注意：兩端點處是否相等，結(jié)合數(shù)軸或檢驗后作出結(jié)論.例3、設(shè)集合，且，則實數(shù)k的取值范圍.解：因為是已知非空，是不確定，且，利用子集的定義，在數(shù)軸上比較端點有：，經(jīng)檢驗得實數(shù)k的取值范圍是：注：本題中由子集的定義知結(jié)論中的等號經(jīng)檢驗知可以取到.例4、已知集合，若AB=A，求實數(shù)a的取值范圍.解：因為是已知非空，是不確定，因為AB=A，所以：， 利用子集的定義，在數(shù)軸上比較端點有： 經(jīng)檢驗得實數(shù)的取值范圍是：注：本題中的交集化為子集求解.由子集的定義知結(jié)論中的等號經(jīng)檢驗知不能取到.例5、已知

6、集合，且，求實數(shù)a的取值范圍.解：因為是已知且非空，是未知，且，是成立的. 當(dāng)時，解得：當(dāng)時，由及結(jié)合數(shù)軸知：解得：綜合知實數(shù)a的取值范圍是：注：本題中有兩點要注意：用不等式或區(qū)間表示的集合可能是空集容易忽視；空集是任何非空集合的真子集. 、集合的元素用方程“描述”，且含有字母：常規(guī)解法：利用“空集是任何集合的子集”，首先考慮不確定的集合可能是空集，再考慮不是空集的情況.例6、設(shè)集合若，求實數(shù)的值。解：由，知當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時，綜上知：注：本題中的集合至多有一個根，學(xué)生往往會忘記.例7、設(shè)集合（1）若AB=B,求實數(shù)a的取值范圍.（2）若AB=B,求實數(shù)a的取值范圍.解：（1） 由，AB=B

7、, 知.則因為中的方程是二次式，所以要用到有實根的判別式.當(dāng)時，方程無實數(shù)根，解得：當(dāng)時，方程實數(shù)根是2，解得：當(dāng)時，方程實數(shù)根是0，解得：當(dāng)時，方程實數(shù)根是0，2，解得：綜上知實數(shù)a的取值范圍是：注：本題中的集合至多有兩個根，且，是確定的，所以要考慮，學(xué)生往往會忘記. （2）由AB=B, 知.因為中至多有兩個元素，即1，2是方程兩個實數(shù)根，由韋達定理知：解得：注：本題中的集合至多有兩個根，因，是確定的，所以中必有兩個元素，且，不必考慮這種情況。與（1）比較從中加以區(qū)別.、集合的元素用不等式、方程“描述”且涉及到函數(shù)定義域等問題.常規(guī)解法：一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)處理，根據(jù)自己的定義和結(jié)合圖像解題.例

8、8、設(shè)集合若，求實數(shù)k的取值范圍.解： 由已知得：,中的元素事實上就是函數(shù)的定義域， 即不等式的解集非空且是A的子集.設(shè)函數(shù)，結(jié)合圖像知： 解得：注：本題中若把改為，結(jié)合圖像知只需有解得：函數(shù)的定義域非空，所以本題中不考慮空集的情況. 一般的，涉及到本題類似的問題構(gòu)造二次函數(shù)后要從四個方面考慮約束條件:開口方向，對稱軸位置，判別式的正負(fù)，端點值的正負(fù). 四、鞏固練習(xí)1、設(shè)集合A = 3，0，1，B = t2t + 1 ，若AB = A，則t = . 2、已知，則滿足條件的集合A的個數(shù)為_.3、設(shè)集合A=1,3,2m-1, B=3,m2，若BA，則實數(shù)m .4、求適合條件的集合A.5、設(shè)集合A=xx2-3x+20, B=xx2-ax+a-1=0,且ABA,求a的值.6、設(shè)集合，求集合M的非空真子集.7、設(shè)集合A=2,5, B=xx2+px+q0,且ABA.（1）若AB，求實數(shù)p，q.(2)求實數(shù)p，q滿足的條件.8、設(shè)A=xa1xa2, B=x3x5，求能使BA成立的實數(shù)a的取值范圍.9、已知集合，若則實數(shù)的取值范圍是，求的值. 1