芻議習(xí)題教學(xué)中思維起點(diǎn)的選擇

1、芻議習(xí)題教學(xué)中思維起點(diǎn)的選擇 常山縣三衢中學(xué) 胡坤程 【內(nèi)容摘要】習(xí)題教學(xué)中思維起點(diǎn)的選擇是至關(guān)重要的環(huán)節(jié),它直接制約著解題思路與解題方法的形成，同時(shí)影響著數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量。本文，筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，從習(xí)題給出的已知條件中探尋思維起點(diǎn)，從習(xí)題描繪的圖形條件中發(fā)現(xiàn)思維起點(diǎn)，從習(xí)題要求解或求證的結(jié)論中發(fā)掘思維起點(diǎn)等八個(gè)方面，談?wù)勊季S起點(diǎn)的選擇在習(xí)題教學(xué)中的一些具體做法與想法。關(guān)鍵詞：習(xí)題教學(xué) 思維起點(diǎn) 選擇 數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)從根本上說是教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)習(xí)題給出的條件，利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，在一定的數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下，進(jìn)行有計(jì)劃、有目的、有步驟的解決數(shù)學(xué)問題教學(xué)活動(dòng)。要切實(shí)有效的完成這一活動(dòng)，筆

2、者以為：合理的選擇思維起點(diǎn)是順利完成由條件到結(jié)論重要保障。在習(xí)題教學(xué)中，我們清楚-若找不到或找錯(cuò)思維起點(diǎn)，那么思路分析就難以展開和深入，似盲人騎瞎馬，解題過程就會(huì)受阻，問題就得不到順利的解決。因此，選擇合理的思維起點(diǎn)不但能使思路分析得以暢通，而且對(duì)提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是非常有益的。本文，筆者結(jié)合課堂教學(xué)中實(shí)例，談?wù)勗诹?xí)題教學(xué)中思維起點(diǎn)的選擇。一、從習(xí)題給出的已知條件中探尋思維起點(diǎn)。 習(xí)題是由條件與結(jié)論組成的。習(xí)題的解題過程就是根據(jù)已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的過程。在習(xí)題教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)許多習(xí)題在條件當(dāng)中蘊(yùn)伏著思維的起點(diǎn)，只要在分析問題時(shí)善加運(yùn)用，就有利于解題思路的形成。 例1 如圖，在四邊形

3、ABCD中，AB=2，CD=1，B=60°， A= C=90 °，求四邊形ABCD的面積ABCD 分析 根據(jù)已知條件 B=60°， A= C=90 °，結(jié)合圖形就容易聯(lián)想到含有60°的Rt，這一思維起點(diǎn)找到后，學(xué)生就能較容易通過延長BC、AD或延長BA、CD把這個(gè)四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決，解題方案也就形成了。 例2 解方程組 |x+1|+|1-y|=4 （1） |x+1|=3y-3 （2）點(diǎn)評(píng) 此題按常規(guī)方法需要分四種情況，去討論掉絕對(duì)值符號(hào)，然后解方程組。如果在分析解這一方程組時(shí)注意條件給我們的提示，由|x+1|0，易知3y-30,找

4、到這一思維起點(diǎn)，那么原方程組中（1）式就可變?yōu)?|x+1|+y-1=4 (3)然后解（2） (3)組成的方程組，就很簡單了。二、從習(xí)題描繪的圖形條件中發(fā)現(xiàn)思維起點(diǎn) 在教學(xué)中我們不難發(fā)現(xiàn)，有些幾何問題如果能有效的利用圖形給出的條件，抓住關(guān)鍵環(huán)節(jié)，并以此為思維起點(diǎn)，就能順利地找到解決問題的突破口，從而快捷有效的達(dá)到解決問題的目的。 例3 已知 兩圓的半徑分別為4和2，如果它們有兩條公切線互相垂直，求這兩圓的連心線的長，并畫出兩圓的位置圖。分析 本題中兩圓的位置關(guān)系具有不確定性，其中的分類點(diǎn)應(yīng)根據(jù)互相垂直的兩條公切線位置關(guān)系來分類，顯然有三種可能，一是兩條內(nèi)公切線；二是兩條外公切線；三是一條外公切線

5、和一條內(nèi)公切線。根據(jù)上述分析畫出相應(yīng)的幾何圖形，并以此為思維起點(diǎn)，就能形成如下的基本解法。略解：當(dāng)兩圓的兩條內(nèi)公切線互相垂直時(shí)，（如圖1），可求得； 當(dāng)兩圓的兩條外公切線互相垂直時(shí)，（如圖2），可求得 當(dāng)兩圓的一條外公切線和一條內(nèi)公切線互相垂直時(shí)，（如圖3），可求得圖1 圖2 圖3三、從習(xí)題要求解或求證的結(jié)論中發(fā)掘思維起點(diǎn) 習(xí)題要求解或求證的結(jié)論是我們?cè)诮忸}當(dāng)中所要追求的目標(biāo)終點(diǎn)，其實(shí)它更是解題過程中思維的起點(diǎn)。在某種程度上說它控制著我們解題的整個(gè)思維過程。因此，在分析和解決問題時(shí)，一定要善于抓住結(jié)論所隱含的特征，并以此為突破口建立思維起點(diǎn)。這對(duì)分析思路和解題是很有幫助的。 例4 已知，求的值

6、。 分析 欲求，學(xué)生最易想到先求出值，但這樣計(jì)算十分冗繁，如果運(yùn)用整體思想從整體上加以考慮，將化成，并依此作為思維起點(diǎn)，再由已知條件，設(shè)法求的值，便可輕松求解。解題過程如下：解 四、從習(xí)題的已知條件與求證或求解的結(jié)論之間關(guān)聯(lián)知識(shí)中探尋思維起點(diǎn) 習(xí)題當(dāng)中有時(shí)條件與結(jié)論之間的關(guān)系或所蘊(yùn)涵的知識(shí)比較清晰，有時(shí)不太明朗，這就要求我們?cè)诜治鰡栴}的時(shí)候，要注意發(fā)掘條件與結(jié)論之間所隱藏的知識(shí)，加以認(rèn)真分析，并以此為思維起點(diǎn)，思維就會(huì)像打開閘門的水流一樣流暢。ABCD 例5 已知 ABC中，AB=15，AC=12，AD是ABC中BC邊上的中線。試求AD的取值范圍 分析 題目當(dāng)中已知的是AB、AC兩邊，結(jié)論要求

7、的是中線AD的取值范圍，因此，根據(jù)已知與要求的結(jié)論，有兩點(diǎn)能肯定下來：要求AD的取值范圍必須運(yùn)用AB、AC這兩個(gè)數(shù)據(jù)求一條線段的取值范圍必定會(huì)聯(lián)想到三角形的三邊關(guān)系。有了這一思維起點(diǎn)，自然就會(huì)想到重新構(gòu)造三角形，使得AB、AC以及與AD有關(guān)的線段在同一個(gè)三角形里，從而能運(yùn)用三邊關(guān)系來解決問題。 略解：延長AD到E使得DE=AD，連接BE。 易證BDEADC BE=AC 由三邊關(guān)系得：AB-AC<AE<AB+BE 即：15-12<2AD<15+12 即：3<2AD<27 3/2<AD<27/2五、從一些具有規(guī)律性的中間結(jié)論中尋找思維起點(diǎn)BC 有些數(shù)

8、學(xué)問題在解題的過程中經(jīng)常會(huì)用到帶有歸律性的知識(shí)內(nèi)容，在問題分析的過程當(dāng)中如果能及時(shí)抓住這一規(guī)律性的結(jié)論作為思維起點(diǎn)，那么不但能使解題思路暢通，而且能大大地提高解題效率。 例6 已知 點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，如圖，已知PA=3，PB=4，PC=5，則PD=（ ）ABCDP分析 矩形有這樣一個(gè)性質(zhì)：矩形所在的平面內(nèi)任一點(diǎn)到不相鄰頂點(diǎn)的距離平方和相等。由矩形的上述性質(zhì)，即PA2+PC2=PB2+PD2，以這一結(jié)論作為思維起點(diǎn)，通過變形，易得：PD2=PA2+PC2-PB2,即PD2=32+52-42=18，PD=。由于方法選擇得當(dāng)，不但使問題迎刃而解，而且大大提高了運(yùn)算速度，提高了解題效率。 例7

9、 已知 一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,.的平均數(shù)為2，方差為1/3，則數(shù)據(jù)3x1-2,3x2-2,3x3-2,.的平均數(shù)和方差分別為=（ ） (A)2,1/3 (B)2,1 (C)4,2/3 (D)4,3分析 若數(shù)據(jù)x1,x2,x3,.的平均數(shù)為A，方差為B那么數(shù)據(jù)kx1+b,kx2+b,kx3+b,.的平均數(shù)為kA+b,方差為k2B本題學(xué)生如能用平均數(shù)、方差的上面這一結(jié)論，作為思維起點(diǎn)，那么本題就容易獲得解決了。由此看出，一些規(guī)律性的結(jié)論掌握對(duì)提高學(xué)生的解題能力與水平是很有幫助的，這就要求我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中多引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題多進(jìn)行歸納與總結(jié)。六、從動(dòng)手實(shí)踐操作或直觀觀察中發(fā)覺思維起點(diǎn) 動(dòng)手實(shí)踐操作與

10、直觀觀察是研究解決數(shù)學(xué)問題基本的方法，數(shù)學(xué)家歐拉曾說過：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)需要觀察，也需要?jiǎng)邮謱?shí)踐?！碑?dāng)我們遇到比較困難或難以找到思路的問題時(shí)，不妨用冷靜地觀察與動(dòng)手實(shí)踐作為思維起點(diǎn)，也許會(huì)出現(xiàn)柳暗花明的境界。 例8 小強(qiáng)拿了一張正方形的紙如圖（1），沿虛線對(duì)折一次得圖（2），再對(duì)折一次得圖（3），然后用剪刀沿圖（3）中的虛線（虛線與底邊平行）剪去一個(gè)角，再打開后的形狀應(yīng)是（ ） ： 在這一問題解決時(shí)，學(xué)生通過空間想象之后較難確定正確選項(xiàng)，于是我建議學(xué)生在冷靜直觀觀察的基礎(chǔ)上，通過動(dòng)手去剪，很快答案就水露石出了。七、從特殊位置或特殊值去選擇思維起點(diǎn) 特殊值、特殊位置在問題的分析與解決當(dāng)中往往孕育思

11、維的起點(diǎn)，只要我們認(rèn)真分析問題就不難發(fā)現(xiàn)它們的存在。 例9 已知 00<A<450，比較sinA cosA tanA cotA的大小點(diǎn)評(píng) 本題學(xué)生如果能及時(shí)地抓住條件00<A<450，設(shè)A=300，利用特殊角300的三角函數(shù)值來解題，那么本題就容易解決了。 例10 如圖，已知E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長線的一點(diǎn)，且CEDC，連接AE，分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連接AC交BD于O，連接OF.求證 AB2OF. 點(diǎn)評(píng) 本題根據(jù)條件四邊形ABCD為平行四邊形，因此由平行四邊形的性質(zhì)，易知O為AC中點(diǎn)，而題目要求證的結(jié)論是：AB2OF。結(jié)合圖形條件和三角形中位線性質(zhì)，

12、只要能說明F為ABC中BC邊中點(diǎn)，并依這一特殊位置作為思維的起點(diǎn)，那么我們就能順利地運(yùn)用三角形中位線性質(zhì)來解決這一問題。八、通過構(gòu)造基本圖形或建立基本數(shù)學(xué)模型尋找思維起點(diǎn) 通過構(gòu)造基本圖形或建立基本數(shù)學(xué)模型也是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法，有時(shí)通過圖形的構(gòu)造或模型的建立，能夠把要求解的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題，使得圖形更直觀、數(shù)量關(guān)系更明確，從而找到解決問題的思路與方法。 例11如圖1，工地上豎立著兩根電線桿AB、CD，它們相距15，分別自兩桿上高出地面4、6的A、C處，向兩側(cè)地面上的E、D、B、F點(diǎn)處用鋼絲繩拉緊，那么鋼絲繩AD與BC的交點(diǎn)P離地面的高度為多少？ 分析 觀察圖1，學(xué)生幾乎找不到

13、解決問題的方案，思路難以形成，此時(shí)，我建議學(xué)生構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，把這一問題放到平面直角坐標(biāo)系中去加以分析，如圖2 通過畫圖與觀察，學(xué)生很快清楚能把這一問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決，在這一思維起點(diǎn)的指導(dǎo)下，于是就形成了如下解法： 解 如圖2，分別以BD、AB所在直線為軸軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（0，4）、B（0，0）、C（15，6）、D（15，0）。于是，直線BC解析式為：直線AD解析式為：解方程組 的交點(diǎn)坐標(biāo)為P（6，2.4），因此點(diǎn)P到地面高度為2.4。 圖1 圖2 “數(shù)”與“形”的互相轉(zhuǎn)化是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究、運(yùn)用廣泛、意義深刻的一種思維方法，某些代數(shù)問題有明顯的幾何意義，則轉(zhuǎn)化為幾何圖形，適當(dāng)運(yùn)用幾何方法，以“形”研究“數(shù)”，會(huì)使問題直觀形象，解法簡捷靈活。 習(xí)題類型是千變?nèi)f化的，因此，習(xí)題分析與解題思維起點(diǎn)的選擇就沒有一個(gè)固定的模式，不同類型的問題有不同的思維方法，即使同一類問題，甚至同一個(gè)問題