關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)的解題研究

1、關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)的解題研究【摘要】 解一個問題就是意味著從困難中去找出一條越過障礙的路， 使我們能夠達(dá)到 一個不易到達(dá)的目標(biāo)。 解題過程中培養(yǎng)的思考、 判斷水平以及有益的邏輯思維習(xí)慣對 于所有的學(xué)生都是非常重要的。基于對中學(xué)數(shù)學(xué)解題的基本理解，本篇文章從數(shù)學(xué)解 題的一般過程、數(shù)學(xué)解題的策略兩個方面系統(tǒng)地闡述了當(dāng)前解題研究的研究成果， 總 結(jié)了數(shù)學(xué)解題的過程，概括了解題策略的涵義、特征，并提出了解題中的四個主要策 略，即模型策略、化歸轉(zhuǎn)化策略、數(shù)形結(jié)合策略和差異分析策略?！娟P(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)解題，解題過程，解題策略眾所周知，問題是數(shù)學(xué)的心臟。問題是給定信息與要實現(xiàn)的目標(biāo)之間有某些需 要加以克服的情景。在

2、數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)問題能夠定義為：為實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)而要求師 生們解答的問題系統(tǒng)， 重點在“要求回答或解釋的題目” ， 包括一個待計算的答案、一個待證明的結(jié)論 (含定理、公式 )、一個待作出的圖形、一個待判斷的命題、一個待 創(chuàng)建的概念、 一個待解決的實際情況問題等。 解決問題就是有理解地尋求某一適當(dāng)?shù)?行動，以便達(dá)到一個被清楚地理解到但又不能立即達(dá)到的目的過程。解題在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性：開設(shè)數(shù)學(xué)課程的主要目的是教會學(xué)生如何思考， 教會思考意味著數(shù)學(xué)老師不但僅 應(yīng)該傳授知識，而且也理應(yīng)去發(fā)展學(xué)生使用所傳授的知識的水平。所以，中學(xué)數(shù)學(xué)教 學(xué)的首要任務(wù)就是在解決詳細(xì)的數(shù)學(xué)問題中增強解題水平的訓(xùn)練， 培養(yǎng)數(shù)

3、學(xué)思維。 首 先，每一個學(xué)生理應(yīng)能夠從他的學(xué)習(xí)中得到某些收獲而不管他以后的職業(yè)是什么。 其 次，那些在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)出有一些資質(zhì)的學(xué)生理應(yīng)受到鼓勵和吸引 ， 而不要因為拙劣 的教育使他們嫌棄數(shù)學(xué)?！敖忸}就是通向數(shù)學(xué)的一條重要的道路。 ”1解題是掌握數(shù)學(xué) 的基本途徑。概念的掌握、技能的熟練、定理的理解、水平的培養(yǎng)、素質(zhì)的提升等都 離不開解題實踐活動。解題必須實踐，在實踐中總結(jié)。數(shù)學(xué)家波利亞有一段名言： “解題就是一種實踐 性的技能，就像游泳、滑雪或彈鋼琴一樣，只能通過模仿和實踐學(xué)到它。你想學(xué)會游 泳，你必須下水，你想成為解題能手，你就必須去解題。 ” 華羅庚先生曾在一次報告 中說過，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要做到熟

4、練化。熟能生巧，進(jìn)而出神入化。所以，必須練。很多數(shù) 學(xué)老師鼓勵學(xué)生多做題，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的準(zhǔn)確途徑。但也有人譏之為“題海戰(zhàn)術(shù)” ， 他們不是身在教學(xué)一線的優(yōu)秀老師，他們以為只有將課本上的定理、定義背熟了，數(shù) 學(xué)就學(xué)好了。這完全抹殺了數(shù)學(xué)的特點，將數(shù)學(xué)混同于某些需要機械記憶的課程。任何一個概念，例如立體幾何中的異面直線，死記定義“不在同一平面的兩條直 線稱之為異面直線”并不能真正理解它。必須通過問題才能理解它，在解題中掌握理 解的基本方法。當(dāng)然，也不是題做得越多就越好。 “歪拳打三年”也成不了拳師。 在 解題時理應(yīng)注意總結(jié)規(guī)律。 要想從解題中得到最大的收獲， 就應(yīng)該在所做的題目中去 找它的特征，這

5、些特征在你以后去求解其他的問題時，能起到指引的作用。所以，解 題不是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的簡單重復(fù)， 也不是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的簡單累加， 而需要理解和深 化，需要知識選擇和組合的藝術(shù)與機智，需要綜合性和靈活使用知識的水平，這也僅 僅數(shù)學(xué)解題的價值。但是，現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動中存有的弊端2：(1) 多說“怎樣解”，少說或不說“為什么這樣解”；1(2) 長期徘徊在一招一式的歸類上， 缺少理論上的提升或?qū)嵸|(zhì)性的突破， 有時候， 僅僅解題方法的簡單堆積或解題技巧的神秘出現(xiàn)；(3) 解題研究多停留在操作層面，未能深入到心理層面。(4) 更注重現(xiàn)成、形式化問題的求解，對問題的“提出”和“應(yīng)用”研究不足。怎樣讓學(xué)生學(xué)會

6、解題？這是中學(xué)生和老師都很感興趣且經(jīng)常思考的問題， 特別是我們一線數(shù)學(xué)老師在這 方面作了艱苦的努力， 但結(jié)果并十分不令人滿意。 尤其使廣大中學(xué)生感到困惑與痛苦 的是，即使把定理、公式背得滾瓜爛熟，掌握了老師規(guī)定的知識點、解題方法，也模 仿著課本和老師的例題做了很多練習(xí)，而遇到新題目時，還常常束手無策，或根本沒 有思路，有時連最起碼的解題信心也喪失殆盡。至今，對數(shù)學(xué)解題解題方法 、思維、技巧、策略的研究大多停留在對詳細(xì)數(shù)學(xué) 問題的使用上，也既方法論層面上，還沒創(chuàng)建一個完整、系統(tǒng)的理論，對解題策略的 含義、實質(zhì)等方面的系統(tǒng)研究理論也較少。那么，如何解題有什么策略呢？ 第一，分析問題：未知量是什么？

7、已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？這些問題是普 遍適用于所有數(shù)學(xué)解題活動的， 我們能夠在研究各種各樣的題目時問這些問題并取得 良好的效果。題目可能是代數(shù)的或幾何的，數(shù)學(xué)的非數(shù)學(xué)的，理論的或?qū)嶋H情況的， 一個嚴(yán)肅的題目或僅僅一個謎語； 這個切都沒有什么區(qū)別， 這些問題都是有意義的并 且能夠協(xié)助我們解題。第二，解題建議：觀察未知量！并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知 量的題目。這個建議勸告你無論如何也應(yīng)去做的事， 即如果你認(rèn)真對待你的題目的話， 即使沒有任何勸告你也會去做的。 你餓了嗎？你希望得到食品， 你就會想起得到食品 的一些熟悉的方法來。 你有一個幾何作圖題嗎？你希望求某一個未知量， 你就

8、會想起 求這樣一個未知量或是某些相似的未知數(shù)量的一些熟悉的方法來。第三，教學(xué)目標(biāo)：協(xié)助學(xué)生解決手頭的問題；同時，培養(yǎng)學(xué)生以后能夠獨立解題 的水平。這兩個目標(biāo)是密切關(guān)聯(lián)的。如果學(xué)生成功地解決了手上的題目，那么他的解 題水平就有了一定的提升。3這時，我們不應(yīng)該忘記問題是具普遍性的，對于很多情 況都適用。如果同一個問題持續(xù)地對學(xué)生有所協(xié)助，那么他很難會不注意到這個點，而且這將引導(dǎo)他在相似的情形下自己提出這個問題。 反復(fù)提出這個問題， 有一次他也 許就會成功地得出準(zhǔn)確的概念。因為這個成功，他發(fā)現(xiàn)使用這個問題的準(zhǔn)確概念。因 為這個成功，他發(fā)現(xiàn)了使用這個問題的準(zhǔn)確方法， 于是他已經(jīng)真正地消化這個問題了。當(dāng)

9、老師在班上解一個題目時， 他理應(yīng)對他的思路稍加渲染， 而且向自己提出那些 他在協(xié)助學(xué)生時使用的同樣的問題， 受益于這樣的引導(dǎo)， 學(xué)生最終將學(xué)到一些比任何 詳細(xì)的數(shù)學(xué)知識更重要的東西。探討的數(shù)學(xué)解題過程1. 審題弄清題意，分清題目的已知事項和求解目標(biāo)，審清題目的結(jié)構(gòu)特征，包括題目的 類型。對于題目的條件，做到羅列明顯條件，發(fā)掘隱含條件，把條件圖表化，弄清條 件的等價說法，把條件做適合解題需要的轉(zhuǎn)換。對于題目的結(jié)論或問題，做到羅列解 題目標(biāo)，分析目標(biāo)之間的層次關(guān)系，把目標(biāo)圖表化，弄清楚解題目標(biāo)的等價說法。對題目的結(jié)構(gòu)，做到，判明題目的類型；推敲題目的敘述可否做不同的理解；分 析條2件與結(jié)論（或條件

10、與問題）的聯(lián)系方式；觀察數(shù)、式或圖形的結(jié)構(gòu)特征；如果是 用文字語言表示題目結(jié)構(gòu)的，設(shè)法改用圖、表、符號來表示，使之直觀化；想想條件 與目標(biāo)之間可能有什么邏輯關(guān)系。審題是探索解題方法的基礎(chǔ)，是解答數(shù)學(xué)題的基本出發(fā)點。如果把題看錯了， 或者理解錯了，那就決不能得到準(zhǔn)確的解題方法。2. 探索解題方法在已有知識經(jīng)驗和知識水平的基礎(chǔ)上尋找已知與未知之間的聯(lián)系，使用策略選 擇，實現(xiàn)由已知向未知之間的相互轉(zhuǎn)化。探索解題方法的程序，能夠概括為解題時的 回想、聯(lián)想和猜想。（1）回想。根據(jù)題目中涉及的主要概念，回想它的定義是怎樣的？根據(jù)題目的條 件、結(jié)論、結(jié)構(gòu)，回想與它們相關(guān)的公式、定理、法則是什么？回想在你的知

11、識倉庫 里，有沒有儲存過這些定義、公式、定理、法則？能否直接用來解題？聯(lián)想。如果直接套用現(xiàn)成的知識解決不了問題，就必須實行聯(lián)想。解題時的 聯(lián)想，就是要求在你的知識倉庫里，找出與當(dāng)前的題目很接近或很相似的原理、 方法、 結(jié)論或題目來，變通使用這些知識，看能否解決問題。（3）猜想。如果經(jīng)過聯(lián)想仍無法解決問題，不妨大膽實行猜想。解題時的猜想， 是以已有的表象（數(shù)量關(guān)系的描述、圖像的示意等）為引發(fā)物，通過包括直覺在內(nèi)的 思維活動，去猜測解題的途徑、解題的方法或解題的結(jié)果?；叵?、聯(lián)想、猜想是密切相聯(lián)系的。一般說來，回想越充分，聯(lián)想就豐富，猜 想就越合理，解題思路、方法也就越明確。由此容易看出，回想、聯(lián)想

12、和猜想不但離 不開已有知識經(jīng)驗、邏輯思維，而且同樣需要形象思維和靈感思維的支持。3. 給出解答在找到解題方法后，把它付諸于實施。也就是按照解題的基本要求，決定書寫格 式，詳略適度地寫出題解。4. 分析題解分析題解包括兩方面的內(nèi)容：一是檢查驗算；二是對題解實行深入的思考，即是 要好好想一想：題中包含哪些概念，它們是怎樣聯(lián)系起來的？解題時使用了哪些定理 和公式，不用它們而用別的行不行？解題時使用了那些基本方法？有沒有更簡捷的辦 法？這題與過去解過的問題有何類似之處， 能不能對這類問題加以概括，引出具有一 般性的結(jié)論？解題時要注意哪些方面問題， 才能制止引起錯誤。分析解題不但能加深 對題目的印象，而

13、且對擴大解題效果、拓寬解題思路、積累解題經(jīng)驗、提升解題水平, 都有著不容忽視的潛在作用。3一個空中的翻轉(zhuǎn)，使其與原來的位置重合（這正是全等形的定義， ABCAACB）,從 而/B 與/ C 重合（這正是角相等的定義）。然后，將這個直覺思路用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語言 表達(dá)出來（直覺發(fā)現(xiàn)、邏輯證明）。這里的心理過程，已體現(xiàn)了問題表征對解題方向的確定和解題效率的提升有促動 作用，但問題的表征是創(chuàng)建在解題者已存知識的基礎(chǔ)之上。證明： 如圖 3,在厶 ABC 與 ACB 中，有AC=AB（已知），/ A=ZA （公共角），（或 BC=CB （公共邊），得 ABCAACB （SAS 或 SSS）從而/ B=ZC可見

14、，數(shù)學(xué)解題的過程是一個“三位一體”的邏輯結(jié)構(gòu)過程：（1）有用捕捉。即通過觀察從理解題意中捕捉有用的信息，主要是弄清條件是什么？結(jié)論是什么？各有幾個？如何創(chuàng)建條件與結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系？由圖 3 可見，通過理解題意找出了 3 條信息，一條是符號信息 AB=AC 由題目直接告訴我們；另兩條是由 圖形顯示出來的：兩個三角形（ABC 與 ACB）,公共角/ A=ZA （或公共邊 BC=CB。 由此可見，有用捕捉是創(chuàng)建在知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)之上的。（2）相關(guān)提取。即在“有用捕捉”的刺激下，通過聯(lián)想而從解題者頭腦中提取出 解題依據(jù)與解題方法。檢索出 3 條信息：等式的對稱性，全等三角形的判別定理，全 等三角形的性

15、質(zhì)定理。良好的認(rèn)知構(gòu)結(jié)和機智的策略選擇是連續(xù)提取、持續(xù)捕捉的必 要條件。（3）有效組合。將上述兩組信息資源，加工配置成一個和諧的邏輯結(jié)構(gòu)。邏輯思 維水平是有效組合的基礎(chǔ)。解題策略與策略決策策略反映了計謀，雖然數(shù)學(xué)解題具有較一般的、常用的某些策略，但是，是否了 解和掌握這些策略，能否使用它們指點解題，效果卻是大不一樣。沒有策略的解題是 盲目的、無序的，有策略的解題則是有預(yù)謀的。策略往往不止一個，還需要解題者實行策略決策。決策，是主體對未來實踐活動 的目標(biāo)、方針、原則和方案所作的抉擇，即決策是策略的選擇，也即解題策略的選擇 過程。意志是人們行動的前導(dǎo)，決策又是主體意志作用的表現(xiàn)。個人的目的和意志就

16、是 個人帶有方向性的決策。解題的策略決策就是解題者對解題策略的抉擇。決策的模式 為：分析問題 形成決策審核策略* 決 策/B=Z Co分析：欲證兩個角相等，根據(jù)所學(xué)過的知識，我們能夠設(shè)想其為全等三角形的 對應(yīng)角（全等法的應(yīng)用），再根據(jù)等腰三角形的特征，又能夠?qū)⒌妊切文闷饋?，?例 1、求函數(shù)*亦C0SX的最值1 +sin x + cosx5領(lǐng)悟 1:求出sin x = f (x),cosx = g(y).策略 1 ：利用 sinx 1, cosx 1,nwN,求證 C；+C；+C： n 2 丁n證：因為 CC；C=2n-1，所以，只需證：2n-1 -n 2-因為從而所以n -1CC：C；

17、n 22從上例證明看出，用化歸轉(zhuǎn)化策略時，化歸的目標(biāo)常常是在化的過程中才能逐漸 得到確定。所以，重要的是在面對數(shù)學(xué)問題時要有自覺的轉(zhuǎn)化、變更原問題的理解。 有效的化歸通常需要考慮一下情況：9（1）變化已知條件。已知條件經(jīng)常含有豐富的內(nèi)容，發(fā)掘其隱含因素，使已知條件 朝著明朗實用的方向轉(zhuǎn)化，有益于化歸。（2）變化問題結(jié)論。有些數(shù)學(xué)題的結(jié)論，常常給分析解題思路造成困難，若改變成 另一問法，或另一表示形式，或另一側(cè)面、另一角度，便有利于完成化歸。（3）變化命題的形式。如變原問題為等價問題，以便使求解目標(biāo)變得較為簡單、明 朗、用反證法。（4）數(shù)形結(jié)合（5）分解與組合。很多綜合題都是一些簡單和常規(guī)題的組

18、合，解這類題成敗的關(guān)鍵 在于能否把所組成它的那些小題分解出來。第三、數(shù)形結(jié)合策略數(shù)量關(guān)系和空間形式是初等數(shù)學(xué)研究的對象，因而數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點 的信息轉(zhuǎn)換。很多數(shù)量關(guān)系方面的抽象概念和解析式，若賦之以幾何意義，往往變得 非常直觀形象，并使一些關(guān)系明朗化、簡單化；而一些圖形的性質(zhì)，有能夠賦予數(shù)量 的意義，尋找恰當(dāng)表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系式，即可使幾何問題代數(shù)化，以數(shù)助形，用代 數(shù)的方法使問題得到解決。這樣將數(shù)與形融為一體考慮問題的策略稱為數(shù)形結(jié)合策 略。其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合起來，使抽象與形象結(jié)合起來，發(fā)揮1 +2+ 22+ 2n1 2 222n_12n-1n-1 n 2n2n

19、10數(shù)與形兩種信息的轉(zhuǎn)換及其優(yōu)勢互補與整合。實行數(shù)形結(jié)合，主要通過三種途徑：坐標(biāo)聯(lián)系、審視聯(lián)系、構(gòu)造聯(lián)系。坐標(biāo)聯(lián)系 即通過創(chuàng)建直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系和復(fù)平面，達(dá)到數(shù)形互化；審視聯(lián)系即用幾何的眼 光體察分析數(shù)式，比如，將a . 0與距離互化，將a2或 ab a . 0,b . 0 與面積互化，將,a2b2與勾股定理溝通，將 a2b2a a2b2-2a bCOSTr - 60 -120與余弦定理溝通，將 a-bcc 與三角形三邊溝通，等等；構(gòu)造聯(lián)系即通過構(gòu)造幾何模型、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造圖像等達(dá)到數(shù)形互化。一、由數(shù)到形，形數(shù)結(jié)合例 4、已知 x R,確定；x2 x 1 - x2- X T 的所有的可能的值

20、。分析 這是確定二非負(fù)變數(shù)的差的范圍，而且它們都表示為某一、二次算術(shù)根，沒有 直接判斷的方法，能夠考慮數(shù)形互化。因為x2x 1A5 丿間的距離關(guān)系,即確定 AB - ACx2-x 111+回2丿 I2 )從而-1c AB -ACcl.所以，=X2 X 1 -Vx2X 1 的值的范圍為-1,1 .二，由形到數(shù)，形數(shù)溝通例 5、在正三角形 ABC 外接圓的弧 BC 內(nèi)取一點 P,連接 PA PB PC,求證：（1）PB+PC+PA2 2（2）PB PC =PA -AB（3）PA：3AB32222（4）PA PB PC=2AB分析 此題能夠用幾何方法來分別證明這些結(jié)論，但用代數(shù)方法能夠統(tǒng)一完成， 首

21、先 由 （1） 、（ 2）知，PB,PC應(yīng)是一元二次方程X2-PA* PA2-a2=0 的兩個根，其 中 a 為正三角形ABC的邊長，因而有PB2- PA PB PA2-a2=02 2 2PC -PA PC PA -a =0這啟示我們用余弦定理。證明：設(shè)正ABC的邊長為 a，首先當(dāng)PB =PC時可直接驗證，當(dāng)PB = PC時，分別 在PAB、厶PAC中用余弦定理得AB2二 PA2PB2-2PA PBcos AP二 PA2PB2- PA PB及AC2=PA2PC2- PA PC即PB2- PA PB PA2-a2=0PC2- PA PC PA2-a2=0這表明PB、PC是二次方程x2- PA x

22、 PA2-a2=0的兩個實數(shù)根，由韋達(dá)定理有12PB PC = PA2 2PB PC =PA -a又由方程有實根知，判別式非負(fù)二=PA2- 4 PA2- a2- 013即PA乞2 AB3又由（1）和（2）得PA2二 PB2PC22PB PC 二 PB2PC22 PA2一 a2所以2 2 2 2PA PB PC -2AB第四、差異分析策略通過度析條件與結(jié)論之間的差異、并持續(xù)縮小目標(biāo)差來完成解題的策略，稱為差 異分析。一般來說，知識綜合跨度較小，注重形式變換的題目，使用差異分析策略 常能湊效，比如某些恒等式、條件等式或不等式的證明題，平面幾何和立體幾何證明 題。差異分析常常能使我們明確努力的方向，

23、 增強解題者的目標(biāo)理解，以減少盲目性。在使用目標(biāo)差異分析策略時，尋找差異是基礎(chǔ)，消除差異是目標(biāo)，轉(zhuǎn)化差異是關(guān) 鍵。例 6、在ABC中，求sin A sin B sin C = 4 cos A cos cosC分析 首先分析求證式左、右兩邊間的差異，然后消除差異，有一邊向另一邊靠 攏。走邊是和的形式，右邊是乘積的形式；走邊是單角，右邊是半角；左邊是正弦， 右邊是余弦。找出求證等式兩邊存有的以上差異，如果由走邊向右邊轉(zhuǎn)化，那么易知 轉(zhuǎn)化的手段是：和差化積和利用 2 倍角公式。證:sin A sin B sinC=si nA sin B si nkA B 】c .+iA-Bj - A+B A + B=2SInicosi2s in cos12 丿 12 丿 2 2A + B A + B A B=2sin- cos- -cos- j2 i22 丿=2s in2 cos A