考研數(shù)學(xué)一?？碱}型及重點(diǎn)匯總

1、第二篇 高等數(shù)學(xué)第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)思考的魚(yú)點(diǎn)撥“函數(shù)、極限、連續(xù)”這一部分的概念及運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它們是每年必考的內(nèi)容之一，數(shù)學(xué)一中本部分分?jǐn)?shù)平均每年約占高等數(shù)學(xué)部分的10. 本章的考題類(lèi)型及知識(shí)點(diǎn)大致有： 1.求函數(shù)的表達(dá)式： (1)給出函數(shù)在某一區(qū)間上的表達(dá)式及某些條件，求該函數(shù)在另一區(qū)間上的表達(dá)式(數(shù)學(xué)(二)考過(guò))； (2)求分段復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式(1990一(3)題考過(guò)，數(shù)學(xué)(二)考過(guò)多次). 2.數(shù)列的極限的概念理解與運(yùn)算定理： (1)數(shù)列極限的概念的理解及定義的等價(jià)敘述(數(shù)學(xué)(二)考過(guò))； (2)運(yùn)算定理的正確運(yùn)用與性質(zhì)的正確理解(2003二(2)題)； (3)求數(shù)列的極

2、限： 化成積分和式求極限(1998七題)； 夾逼定理求極限(1998七題，2005二(7)題)； 單調(diào)有界定理求極限或討論極限的存在性(2006三(16)題，2008一(4)題)； 化成函數(shù)極限求極限(2006三(16)題). 3.函數(shù)的極限： (1)求七種待定型的極限(1998一(1)題，1999一(1)題，2003一(1)題，2006一(1)題，2008三(15)題，2003三題，1997五題)； (2)運(yùn)算定理的正確使用與性質(zhì)的正確理解(1997一(1)題，2000三題，2004二(8)題)： (3)已知某些極限求其中的某些參數(shù)(2009一(1)題)； (4)已知某函數(shù)的極限，求與此有關(guān)

3、的另一函數(shù)的極限(數(shù)學(xué)(二)考過(guò)). 4.無(wú)窮小的比較： (1)給了若干個(gè)無(wú)窮小，比較它們的階的高低(2004二(7)題，2007一(1)題)； (2)給了兩個(gè)無(wú)窮小，已知一個(gè)是另一個(gè)的等價(jià)(或高階)無(wú)窮小，求其中的參數(shù)(2002三題). 5.函數(shù)的連續(xù)與間斷： (1)討論初等函數(shù)的間斷點(diǎn)及類(lèi)型(數(shù)學(xué)(二)考過(guò)多次)； (2)討論分段函數(shù)的連續(xù)性或由連續(xù)性確定其中的參數(shù)(數(shù)學(xué)(二)考過(guò)多次)； (3)函數(shù)以極限形式表達(dá)，討論該函數(shù)的連續(xù)性(數(shù)學(xué)(二)考過(guò)多次)； (4)已知某些函數(shù)的連續(xù)性(間斷點(diǎn))，討論與此有關(guān)的另一些函數(shù)的連續(xù)性(間斷點(diǎn))(數(shù)學(xué)(二)考過(guò)多次)； (5)連續(xù)函數(shù)介值定理的應(yīng)

4、用(2005三(18)題，2004三(18)題，數(shù)學(xué)(二)考過(guò)多次).讀者請(qǐng)注意，上面提到的類(lèi)型，數(shù)學(xué)(一)有許多未曾考到，所以本章尚有相當(dāng)大的命題空間.其次，以后各章要用到本章內(nèi)容，從而掌握本章內(nèi)容是十分基礎(chǔ)、十分重要的.第二章 一元函數(shù)微分學(xué)思考的魚(yú)點(diǎn)撥導(dǎo)數(shù)與微分是微分學(xué)的基本概念，導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算是微分學(xué)的基本計(jì)算，導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是微分學(xué)的基本內(nèi)容，每年必考，本部分分?jǐn)?shù)在數(shù)學(xué)中平均約占高等數(shù)學(xué)部分的17. 本章的考題類(lèi)型及知識(shí)點(diǎn)大致有： 1.求導(dǎo)數(shù)與微分，導(dǎo)數(shù)的幾何意義： (1)顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)(未考過(guò))； (2)隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)(2002一(2)題，2008二(10)題

5、)； (3)參數(shù)式求導(dǎo)數(shù)(1997一(3)題)； (4)在直角坐標(biāo)中求切線斜率、切線方程(2004一(1)題)，2002四題，2003三題，2005三(17)題)； (5)在極坐標(biāo)中求切線斜率、切線方程(1997一(3)題)； (6)奇、偶、周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2005二(8)題)； (7)變限積分求導(dǎo)數(shù)(2002四題，1997一(2)題，1998二(1)題，1999二(1)題，1997五題)； (8)導(dǎo)數(shù)的變量變換(變量變換變化微分方程)(2003七題). 2.按定義求一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系. (1)討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的可導(dǎo)性或求導(dǎo)數(shù)(2005二(7)題)； (2)按定義討論某點(diǎn)的可

6、導(dǎo)性(1999二(2)題)； (3)已知某極限存在討論某點(diǎn)可導(dǎo)，或反之，或利用導(dǎo)數(shù)求極限，利用極限求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(200l二(3)題；2007 (4)題；2009三(18)題)； (4)已知某點(diǎn)可導(dǎo)，求其中參數(shù)(2002三題)； (5)絕對(duì)值函數(shù)求導(dǎo)數(shù)(1998二(2)題)； (6)由極限表示的函數(shù)的可導(dǎo)性(2005一(7)題). 3.討論函數(shù)單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線、曲率： (1)單調(diào)性與極值(2003二(1)題，2004二(8)題)； (2)增量、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系(1998二(3)題，2006二(7)題)；(3)凹向與拐點(diǎn)(2005三(17)題)； (4)漸近線(20051)題，

7、2007一(2)題)； (5)曲率(1991九題考過(guò)). 4.中值定理及其應(yīng)用： (1)不等式的證明(2000二(1)題，1999六題，2004三(15)題)； (2)零點(diǎn)問(wèn)題(2005三(18)題，1998九題，2000九題，2007三(19)題)； (3)有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(2001二(1)題，2002二(3)題，2007一(5)題)； (4)有關(guān)“中值”的極限問(wèn)題(2001七題)； (5)泰勒公式的應(yīng)用(1999六題，2001七題，2002三題)； (6)中值定理的證明(2009三(18)題).由上列舉可見(jiàn)，本章的知識(shí)點(diǎn)及考題類(lèi)型幾乎全部考到，頻率出現(xiàn)多的是：變限積分求導(dǎo)數(shù)，按定義求導(dǎo)

8、，不等式與零點(diǎn)問(wèn)題，泰勒公式的應(yīng)用.在按定義求導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)與使用洛必達(dá)法則的條件相區(qū)別.其他頻率出現(xiàn)少的，也應(yīng)注意，例如導(dǎo)數(shù)的幾何意義、單調(diào)性與極值、絕對(duì)值函數(shù)求導(dǎo)數(shù)等.第三章 一元函數(shù)積分學(xué)思考的魚(yú)點(diǎn)撥定積分與不定積分的概念及運(yùn)算是積分學(xué)的基礎(chǔ)，利用定積分表示與計(jì)算一些幾何、物理量是積分學(xué)的基本應(yīng)用，每年必考，本部分分?jǐn)?shù)在數(shù)學(xué)一中平均約占高等數(shù)學(xué)部分的17. 本章的考題類(lèi)型及知識(shí)點(diǎn)大致有： 1.不定積分與定積分的計(jì)算： (1)分段函數(shù)求不定積分(未考過(guò))； (2)分段函數(shù)求定積分與變限積分(數(shù)學(xué)(二)考過(guò))； (3)計(jì)算帶絕對(duì)值號(hào)的定積分(數(shù)學(xué)(二)考過(guò))； (4)計(jì)算般不定積分(2004 (

9、2)題，2001三題)； (5)計(jì)算一般定積分(2000一(1)題，2007二(11)題)： (6)計(jì)算反常積分(2002 (1)題)； (7)計(jì)算被積函數(shù)含有導(dǎo)數(shù)或變限積分的積分(2005三(17)題). 2.定積分的應(yīng)用： (1)幾何應(yīng)用(1997二(2)題，2003三題，2007一(3)題，2009一(3)題，2009三(16)題，2009三(17)題)； (2)物理應(yīng)用(1997七題，2003六題)； (3)利用積分和式求極限(1998七題). 3.定積分(變限積分)的證明題： (1)不等式問(wèn)題(包括估值問(wèn)題)(1997二(2)題，1997二(3)題)； (2)零點(diǎn)問(wèn)題(1998九題，

10、2000九題)； (3)關(guān)于奇、偶函數(shù)、周期函數(shù)的證明題(1999二(1)題，2005二(8)題，2008三(18)題)： (4)變限函數(shù)關(guān)于單調(diào)性的題(2009一(3)題)； (5)變限函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題(1999一(2)題，1998二(1)題，1997五題，2008一(1)題)； (6)積分中值定理的應(yīng)用(2000九題).本章雖然各類(lèi)型大都考過(guò)，但變換具體函數(shù)去命題，考題空間仍很大，讀者注意舉一反三，掌握一般方法.第四章 向量代數(shù)與空間解析幾何思考的魚(yú)點(diǎn)撥 向量代數(shù)主要是向量的表示法與向量的代數(shù)運(yùn)算(加減、數(shù)乘、點(diǎn)積、叉積)，空間鋸析幾何主要是曲面與空間曲線的方程，重點(diǎn)是平面、直線以及常見(jiàn)曲面(

11、球面、柱面以及旋轉(zhuǎn)面等)的方程，歷年考題中直接對(duì)本部分命制的題目不多，且多為選擇題或填空題. 本章的考題類(lèi)型及知識(shí)點(diǎn)大致有： 1.關(guān)于向量運(yùn)算： (1)給出一些關(guān)系求另一些關(guān)系(1995一(3)考過(guò))； (2)兩向量平行、垂直、交角、模等問(wèn)題(未考過(guò))； (3)三點(diǎn)共線與三向量共面問(wèn)題(未考過(guò))； 2.直線與平面問(wèn)題(大都與空間曲面的切平面、空間曲線的切線相結(jié)合的問(wèn)題)： (1)求直線方程(1998三題)，2000一(2)題，1992二(3)考過(guò))； (2)求平面方程(1997四(1)題，2000一(2)題，2003一(2)題，1989二(2)題，1990一(1)題，1991一(3)題，199

12、4一(2)題，1996一(2)題都考過(guò))； (3)平面與直線的相對(duì)位置(平行、垂直、交角等)(1993二(3)題，1995二(1)題都考過(guò))； (4)點(diǎn)到平面的距離(2006一(4)題，1999八題). 3.二次曲面的題(大都與第六章相結(jié)合，給出二次曲面，要求知道它的位置及大致圖形.二次曲面中常用的圖形為橢球面(包括球面)、旋轉(zhuǎn)拋物面、錐面、母線與坐標(biāo)面平行的柱面.求旋轉(zhuǎn)面的方程(2009三(17)題).由以上列舉看出，近十年來(lái)本章單獨(dú)考的不多，與第五章相結(jié)合的考過(guò)四次.應(yīng)該說(shuō)是屬于不?？嫉恼鹿?jié).但基本公式、基本方法仍應(yīng)掌握.第五章 多元函數(shù)微分學(xué)思考的魚(yú)點(diǎn)撥 多元函數(shù)微分學(xué)包括有若干基本概念

13、及其聯(lián)系，多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及其應(yīng)用，梯度向量與方向?qū)?shù)的計(jì)算方法，多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用(求空間曲線的切線、法平面與空間曲面的切平面、法線)極值判斷與最值問(wèn)題等，在歷年考試中多元函數(shù)微分學(xué)的平均分?jǐn)?shù)約占高等數(shù)學(xué)的l7，也是比較重要的. 本章的考題類(lèi)型及知識(shí)點(diǎn)大致有： 1.求偏導(dǎo)數(shù)，全微分，方向?qū)?shù)，梯度，散度，旋度： (1)給出具體函數(shù)關(guān)系的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)或全微分(1994 (3)考過(guò))； (2)給出抽象函數(shù)關(guān)系的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)或全微分(1998一(2)題，2005二(9)題，2006二(10)題，2000四題，2001四題，2007二(12)題，2006三(15)題，2009二

14、(9)題)； (3)給出方程經(jīng)變量變換化簡(jiǎn)方程(1997四(2)題，1996四(2)也考過(guò))； (4)給出具體的方程求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或全微分(199l一(2)考過(guò))； (5)給出抽象的方程(方程組)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或全微分(1999三題)； (6)求方向?qū)?shù)，梯度，散度，旋度(200l一(2)題，2005一(3)題，3.5(2002八題，2008一(2)題，1992一(2)也考過(guò)). 2.函數(shù)在一點(diǎn)處極限的存在性，連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)的存在性，全微分存在性與偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性的討論與它們之間的因果關(guān)系： (1)函數(shù)在點(diǎn)處極限不存在性討論(1997二(1)題)； (2)隱函數(shù)的存在性(2005二(10)題

15、)； (3)偏導(dǎo)數(shù)的存在性(1997二(1)題)； (4)全微分的存在性(200l二(2)題)； (5)函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)存在性，全微分存在性與偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性的因果關(guān)系討論(2002二(1)題). 3.曲面的切平面，曲線的切線： (1)曲面的法向量、切平面與法線(2000一(2)題，2003一(2)題，1997四(1)題，1999八題，1993一(2)也考過(guò)，1994一(2)也考過(guò))；(2)曲線的切向量、切線與曲線的法平面(2001二(2)題). 4.極值與最值： (1)按定義討論極值(2003二(3)題)； (2)極值的必要條件，駐點(diǎn)的討論(2006二(10)題)； (3)求極值(含

16、拉格朗日乘數(shù)法)與最值(2002八題，2007三(17)題，2008三(17)題，2009三(15)題)； (4)求隱函數(shù)的極值(2004三(19)題).由以上可見(jiàn)，本章各知識(shí)點(diǎn)大都考過(guò)，主要是計(jì)算.考題頻率最高的是抽象函數(shù)關(guān)系的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，其次是方向?qū)?shù)，曲面的法向量與切平面(與空間解析幾何相合).關(guān)于概念(見(jiàn)以上“2”)方面的題，應(yīng)引起注意.關(guān)于“4”極值與最值的題，出題頻率雖然不高，但有一定的綜合性與難度，從考試結(jié)果看，這部分礙分不理想，考生不應(yīng)忽視.第六章 多元函數(shù)積分學(xué)思考的魚(yú)點(diǎn)撥 多元函數(shù)積分學(xué)包括各類(lèi)積分的概念、計(jì)算和應(yīng)用；格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其應(yīng)用；平面曲線

17、積分與路徑無(wú)關(guān)及全微分式的原函數(shù)問(wèn)題等.在歷年的考試中多元函數(shù)積分學(xué)占有最重要的地位，平均分?jǐn)?shù)約占高等數(shù)學(xué)總分的14. 本章的考題類(lèi)型及知識(shí)點(diǎn)大致有： 1.二重積分的計(jì)算及應(yīng)用： (1)二重積分在直角坐標(biāo)中的計(jì)算(單獨(dú)未考過(guò)，在其他題中出現(xiàn)過(guò))； (2)二重積分在極坐標(biāo)中的計(jì)算與直極互化(2006二(8)題，2001八題，2005三(15)題，2006三(15)題)； (3)交換積分次序(2001一(3)題，2004二(10)題，1990一(4)題考過(guò))； (4)絕對(duì)值函數(shù)的二重積分(二次積分)的計(jì)算(未考過(guò))； (5)分塊函數(shù)的二重積分(二次積分)的計(jì)算(2002五題，2005三題)； (6

18、)利用對(duì)稱(chēng)性、輪換對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)計(jì)算(2003五題，2006三(15)題，2009(2)題)； (7)二重積分的證明題與二重積分的估值(2003五題)； (8)三重積分的應(yīng)用(2001八題). 2.三重積分的計(jì)算及應(yīng)用： (1)三重積分在直角坐標(biāo)中的計(jì)算(單獨(dú)未考過(guò))； (2)三重積分在球面坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)中的計(jì)算(2005一(4)題，2006一(3)題，1997三(1)題，2000八題，2003八題，2009二(12)題)； (3)利用對(duì)稱(chēng)性、輪換對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)計(jì)算(2000八題，1995三(2)題考過(guò))； (4)三重積分的應(yīng)用(2000八題). 3.化多重積分為定積分： (1)化二重積分為變限積分求

19、導(dǎo)問(wèn)題(2004二(10)題)； (2)化二重積分為定積分求其中未知函數(shù)(數(shù)學(xué)(三)1997八題考過(guò))； (3)化其它積分為定積分或二重積分的證明題(2003五題，2003八題). 4.第一型曲線積分與第型曲面積分：(1)計(jì)算(1999八題，2009二(11)題)； (2)利用對(duì)稱(chēng)性、輪換對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)(1998一(3)題，2000二(2)題，2007二(14)題)； (3)應(yīng)用(未考過(guò)). 5.平面第二型曲線積分及應(yīng)用： (1)用參數(shù)式計(jì)算(2004(3)題，2000五題，2003五題)； (2)用格林公式或加、減弧段格林公式法(1999四題，2003五題，2008三(16)題)； (3)路徑無(wú)

20、關(guān)問(wèn)題與原函數(shù)法(1998四題，1999四題，2002六題，2005三(19)題，2006三(19)題，2007一(6)題)； (4)與微分方程有關(guān)的問(wèn)題(2005三(19)題)； (5)挖洞法(2000五題)； (6)應(yīng)用(1990九題考過(guò)). 6.第二型曲面積分及應(yīng)用： (1)用投影法計(jì)算(1998六題，2001六題，2004三(17)題)； (2)用高斯公式或加、減曲面片高斯公式法(2005一(4)題，2006一(3)題，1998六題，2000六題，2004三(17)題，2007三(18)題，2008二(12)題)； (3)轉(zhuǎn)換投影法或化成第一型曲面積分計(jì)算(2001六題，2004三(1

21、7)題)； (4)挖洞法(2009三(19)題)； (5)與微分方程有關(guān)的問(wèn)題(2000六題). 7.空間第二型曲線積分： (1)用參數(shù)式計(jì)算(1997三(2)題，2001六題)； (2)用斯托克斯公式計(jì)算(1997三(2)題，2001六題)； 由以上可見(jiàn)，本章在數(shù)學(xué)(一)中的地位至關(guān)重要，考分占總分的16，考得最多的是(1)二重積分：包括極坐標(biāo)中計(jì)算，交換積分次序，利用對(duì)稱(chēng)性、輪換對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)計(jì)算； (2)三重積分：包括在球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)中的計(jì)算，利用對(duì)稱(chēng)性、輪換對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)計(jì)算； (3)平面第二型曲線積分：包括用參數(shù)式計(jì)算，用格林公式或加、減弧段格林公式計(jì)算，路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題的討論與路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題

22、計(jì)算該積分，原函數(shù)法與求原函數(shù)，與微分方程相結(jié)合的題； (4)第二型曲面積分：包括用投影法計(jì)算，用高斯公式或加、減曲面片高斯公式法計(jì)算，轉(zhuǎn)換投影法計(jì)算或化成第一型曲面積分計(jì)算，與微分方程相結(jié)合的題.以上各類(lèi)題的計(jì)算，都有一套規(guī)范的方法.關(guān)鍵是選擇方便而有效的方法，可以起到事半功倍的作用.以上諸項(xiàng)中，“3”以及“5(3)”，有時(shí)涉及一些理論，可能會(huì)有點(diǎn)困難.但是，正如俗話所說(shuō)“熟能生巧”，熟了也就不難了.第七章無(wú)窮級(jí)數(shù)思考的魚(yú)點(diǎn)撥 級(jí)數(shù)部分包括級(jí)數(shù)的若干基本概念，判別級(jí)數(shù)的斂散性(包括條件收斂與絕對(duì)收斂)的各種方法，冪級(jí)數(shù)的收斂性與和函數(shù)的性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)收斂域的求法，求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)與求函數(shù)的冪級(jí)

23、數(shù)展開(kāi)式的方法，還有傅里葉級(jí)數(shù)和它的和函數(shù)等.此部分在歷年試題中的平均分?jǐn)?shù)約占高等數(shù)學(xué)總分的l6. 若分為數(shù)值級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)與傅氏級(jí)數(shù)三大部分，則冪級(jí)數(shù)部分考得最多，占級(jí)數(shù)總分的一半還強(qiáng)，求冪級(jí)數(shù)的收斂域，實(shí)質(zhì)上就是級(jí)數(shù)斂散性的判斷，若把它劃入級(jí)數(shù)斂散性判斷部分，這部分的分?jǐn)?shù)將接近級(jí)數(shù)總分的一半. 求一般函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域在考試大綱中也是要求的，但從未考過(guò).不過(guò)這個(gè)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上也是級(jí)數(shù)斂散性的判斷問(wèn)題. 本章的考題類(lèi)型及知識(shí)點(diǎn)大致有： 1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂： (1)給出具體的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂(1999二(3)題考過(guò)，1992二(2)題考過(guò)，1995二(4)題考過(guò)； (2)已知某抽象數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，討論與

24、此有關(guān)的另一些級(jí)數(shù)的斂散性(2000二(3)題)，2002二(2)題，2004二(9)題，2006二(9)題，2009一(4)題)； (3)通項(xiàng)由某些條件(具體或抽象)給出，討論該級(jí)數(shù)的斂散性(1997六題，1998八題，1999九題，2004三(18)題)； (4)討論交錯(cuò)級(jí)數(shù)或任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性(2000七題). 2.關(guān)于冪級(jí)數(shù)： (1)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域(2000七題，2005三(16)題，2008二(11)題，1995一(4)題考過(guò))； (2)已知冪級(jí)數(shù)在某點(diǎn)收斂或發(fā)散或條件收斂，或已知收斂半徑，討論另一與此有關(guān)的冪級(jí)數(shù)在另一點(diǎn)處的斂散性，或求收斂半徑、收斂區(qū)間(的范

25、圍)(1997一(2)題)； (3)將函數(shù)展開(kāi)成xx0的冪級(jí)數(shù)并求收斂域，并求某數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和(2001五題，2003四題，2006三(17)題)；(4)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)或可通過(guò)冪級(jí)數(shù)求和的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和(2005三(16)題，1990四題考過(guò))； (5)驗(yàn)證或設(shè)某冪級(jí)數(shù)滿足某微分方程從而求此冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)(2002七題，2007三(20)； (6)求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和(1999九題，2009三(16)題). 3.傅里葉級(jí)數(shù)： (1)求傅里葉系數(shù)或傅里葉級(jí)數(shù)(2003一(3)題，2008三(19)，1991五題考過(guò)，1993一(3)題考過(guò))； (2)按正弦展開(kāi)或按余弦展開(kāi)求其傅里葉系數(shù)或傅里葉級(jí)數(shù)(

26、1995四(2)題考過(guò))； (3)按狄利克雷定理求傅里葉系數(shù)在某點(diǎn)的收斂和(1999二(3)題，1989二(4)題考過(guò)，1992一(3)題考過(guò))； (4)由傅里葉級(jí)數(shù)討論與此有關(guān)的另一些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和(2008三(19)題，1991五題考過(guò))由以上可見(jiàn)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂問(wèn)題中的1(1)，早期考過(guò)幾次，后來(lái)不考了.近期考得多的是1(2)與1(3).函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)并討論其成立范圍，以及簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)求和，仍是考試熱點(diǎn)，考生對(duì)此應(yīng)引起足夠重視.函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)采用間接展開(kāi)法，有一套規(guī)范步驟.簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)求和，雖說(shuō)有一點(diǎn)難度，但作為考研來(lái)說(shuō)，處理的手法還是有法可依.傅里葉級(jí)數(shù)的考題較簡(jiǎn)單，由于求傅里葉級(jí)數(shù)計(jì)算量

27、大，所以考得較少，按狄利克雷定理求某點(diǎn)處的收斂和，相對(duì)說(shuō)來(lái)考得較多，考生對(duì)此應(yīng)足夠重視.第八章 常微分方程 思考的魚(yú)點(diǎn)撥 微分方程問(wèn)題是積分問(wèn)題的延伸，有著極為廣泛的應(yīng)用，是歷年考研必考內(nèi)容.在高等數(shù)學(xué)部分，微分方程在數(shù)學(xué)一中平均每年所占分?jǐn)?shù)約為15. 本章的考試類(lèi)型及知識(shí)點(diǎn)大致有： 1.12種典型類(lèi)型求解以及自由項(xiàng)為特殊情形時(shí)的線性非齊次方程特解y的設(shè)定： (1)一階5種類(lèi)型求解(2005 (2)題，2006一(2)題，2008二(9)題，1992一(4)題，1993二(4)題，1993三(3)題，1994五題均考過(guò))； (2)二階可降階3種類(lèi)型求解(2000一(3)題，2002一(3)題)

28、； (3)二階及高階常系數(shù)線性齊次方程與非齊次方程3種類(lèi)型求解(1999 (3)題，2007二(13)題，2008一(3)題，2009二(10)題)； (4)歐拉方程求解(2004一(4)題)； (5)y的設(shè)定(數(shù)學(xué)(二)考過(guò)). 2.線性非齊次微分方程與對(duì)應(yīng)的線性齊次微分方程的解的關(guān)系： (1)已知非齊次方程的解求對(duì)應(yīng)的齊次方程的(通)解(未考過(guò))； (2)已知非齊次方程足夠多的解求該非齊次方程的通解(1989二(3)題考過(guò)，2006數(shù)學(xué)(三)、(四)考過(guò). 3.已知(通)解求微分方程： (1)未說(shuō)明方程是什么形式，已知通解求微分方程(未考過(guò))； (2)已知二階(或一階或更高階)線性方程的通

29、解(或若干個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解)求該方程(2001 (1)題，2009二(10)題). 4.自由項(xiàng)為絕對(duì)值函數(shù)或有間斷點(diǎn)的函數(shù)的線性微分方程求解： (1)自由項(xiàng)為絕對(duì)值函數(shù)的情形(未考過(guò))； (2)自由項(xiàng)為有跳躍間斷點(diǎn)的函數(shù)的情形(數(shù)學(xué)(三)1999六題考過(guò)). 5.經(jīng)變量變換解微分方程： (1)經(jīng)反函數(shù)變量變換(2003七題)； (2)給出已知的變量變換(數(shù)學(xué)(二)考過(guò)多次). 6.將積分方程或偏微分方程化成微分方程求解：(1)積分方程化為微分方程求解(1991二(2)考過(guò))； (2)偏微分方程化為微分方程求解(1997四(2)題，2006三(18)題). 7.微分方程的應(yīng)用 (1)幾何方面(1

30、999五題，1995五題考過(guò)，1996六題考過(guò))； (2)物理方面(1998五題，2004三(16)題)； (3)變化率方面(1997三(3)題，2001八題).由上可見(jiàn)，本章常考的是“1”與“7”.有許多類(lèi)型未命過(guò)題或很少命題，命題空間很大，例如1(5)，4，以及6可以與其他章節(jié)結(jié)合來(lái)命題，值得重視.第三篇 線性代數(shù)第一章 行列式思考的魚(yú)點(diǎn)撥 行列式在整個(gè)試卷中所占比重不是很大，一般以填空題，選擇題為主，但它是必考內(nèi)容當(dāng)然，不只是考查行列式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算，還會(huì)涉及到其他各章、節(jié)的內(nèi)容，例如矩陣的可逆、矩陣的秩、向量的線性相關(guān)性、線性方程組、矩陣的特征值、正定二次型等等，如果試卷中沒(méi)有獨(dú)立

31、的行列式的試題，那必然會(huì)在其他章節(jié)的試題中得到體現(xiàn). 一般有關(guān)行列式的試題有兩大類(lèi)：計(jì)算題和判斷題 1.行列式的計(jì)算題.例如：計(jì)算行列式計(jì)算行列式的值 這類(lèi)屬于數(shù)字型的直接計(jì)算題，一般利用性質(zhì)，消零展開(kāi)或消零化成上(下)三角形行列式即可解決. 多數(shù)行列式的試題，屬于與后續(xù)章節(jié)有關(guān)的、抽象型的行列式的計(jì)算題，如1.1題，1.2題這類(lèi)題增加了考核的知識(shí)點(diǎn)，有一定的綜合性.要求考生充分利用題設(shè)條件，通過(guò)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，化簡(jiǎn)、運(yùn)算，最后得出所求行列式的值.(2)行列式的判別題，主要是判別行列式是否為零.例2.1題，因?yàn)樾辛惺绞欠駷榱銓?duì)矩陣是否可逆、是否滿秩，對(duì)方程組An×n X=O是否有非零

32、解，An×n X=b是否有唯一解，對(duì)A中的列(行)向量組是否線性相關(guān)等都起到了“分水嶺”的作用，會(huì)引起矩陣重要性質(zhì)的變化. An×n 是否為零，除直接計(jì)算出A =O(或0)，或計(jì)算出A =kA ，其中k1，An×n =0(0)An×n不可逆(可逆)r(A)<n，不滿秩(=n，滿秩)An×n X=O有非零解(只有零解)An×n X=b有唯一解(解不唯一；可能無(wú)解；若有解，則為無(wú)窮解)An×n 的n個(gè)行(列)線性相關(guān)(線性無(wú)關(guān)) 注意這些都是充分必要條件，可以相互判別.第二章 矩陣思考的魚(yú)點(diǎn)撥矩陣及其運(yùn)算是線性代數(shù)的核心，

33、后續(xù)各章的基礎(chǔ)，考點(diǎn)較多，重點(diǎn)考點(diǎn)是逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程，這幾年還頻頻出現(xiàn)初等變換與初等陣的試題，應(yīng)注意到的大致有以下幾部分內(nèi)容. 1.基本運(yùn)算：要搞清概念，熟練掌握運(yùn)算規(guī)則并保證運(yùn)算的正確性，重點(diǎn)關(guān)注以下幾點(diǎn). (1)搞清能否運(yùn)算，怎樣運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果是什么. (2)搞清數(shù)的運(yùn)算、行列式的性質(zhì)，與矩陣運(yùn)算的區(qū)別. (3)充分利用運(yùn)算規(guī)則，如計(jì)算中結(jié)合律、分配律的利用，但矩陣運(yùn)算沒(méi)有交換律，消去律. 2.逆矩陣：理解逆矩陣的概念，掌握運(yùn)算法則，掌握矩陣可逆的充分必要條件，會(huì)證矩陣可逆，并能正確求出逆矩陣. 求逆矩陣的方法：對(duì)數(shù)值矩陣，一般有(1)公式法.A-1=1/A A ，特別適用二階矩

34、陣；(2)初等變換法.A BE A.對(duì)抽象矩陣，一般有(3)定義法，化成AB=E，則A可逆，且A-1=B；(4)化成已知可逆矩陣的乘積，即若化成A=BC，其中B，C均是可逆陣，則A可逆，A-1=(BC)-1=C-1B-1. 證明A可逆的方法： A可逆A 0AX=0有唯一零解AX=b有唯一解r(A)=nA的行(列)向量組線性無(wú)關(guān)，或用反證法. 3.伴隨矩陣A：理解伴隨矩陣的概念，注意Ai j與A的聯(lián)系，能熟練得出A，A-1，A，(A)-1，A ，A 之間的關(guān)系，如(1) A =A n-1，(2)若A可逆，(A)-1=1/A A，A=A A-1 .若公式中將A代入kA時(shí)，有(kA)(kA)=kA

35、E，得(kA)=kn-1A； 若公式中將A代入A時(shí)，有A(A)=A E，得(A)=A n-2A.A的秩只有n，1，0三種可能，且 4.矩陣方程：矩陣方程的試題較多，這類(lèi)試題具有定的綜合性，既考查了利用矩陣運(yùn)算法則、性質(zhì)等把方程化簡(jiǎn)，又考查了具體的數(shù)值計(jì)算.解這類(lèi)試題要求分二步走，“先化簡(jiǎn)”，寫(xiě)出所求矩陣的最簡(jiǎn)表達(dá)式，再代入具體的數(shù)值矩陣，進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算(如題2.3).5.初等變換、初等陣、矩陣的秩及等價(jià)矩陣?yán)斫獬醯茸儞Q的概念，了解初等陣及其性質(zhì)，能將矩陣的初等變換表達(dá)成矩陣乘初等陣，反之能將矩陣乘初等陣翻譯成作初等變換(如題2.12.3)理解矩陣秩的概念，掌握用初等變換求秩及逆矩陣的方法6.分塊

36、陣：了解分塊陣及其運(yùn)算，會(huì)求分塊對(duì)角陣的n次冪及分塊對(duì)角陣的逆等.第三章 向量思考的魚(yú)點(diǎn)撥 向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)中的難點(diǎn)，也是考試的重點(diǎn)，考生應(yīng)深刻理解線性相關(guān)性的內(nèi)在的含義外，還應(yīng)與線性表出、向的秩及線性方程組等相聯(lián)系，從各個(gè)側(cè)面加強(qiáng)對(duì)線性相關(guān)性的理解.本章試題大致有以下四個(gè)部分: 1.向量的線性表出 向量能否由向量組1，2，s，線性表出方程組1x1+2x2+s x n=1，2，sX=An×s X=是否有解，其解即是表出系數(shù)r(A)和r(A)是否相等. 若1，2，s線性無(wú)關(guān)，1，2，s，線性相關(guān)，則可由1，2，s線性表出，且表出法唯一. 若1，2，s線性相關(guān)，則至少存在一個(gè)

37、向量i可由其余向量線性表出. 向量組(I) 1，2，s中任一個(gè)向量i(1，2，s)都可由() 1，2，s線性表出，稱(chēng)向量組(I)可由向量組()線性表出，兩組向量可以相互表出，則稱(chēng)兩向量組等價(jià)，等價(jià)向量組等秩，反之不成立. 2.向量組線性相關(guān)性的判別和證明 要說(shuō)明或證明向量組1，2，s線性相關(guān)，只要求出(觀察出)有不全為零的數(shù)k1，k2，ks，使k11+k22+kss=0.即說(shuō)明或證明方程組有k11+k22+kss=0有非零解. 證明一組向量1，2，s線性無(wú)關(guān)，有兩類(lèi)題型：(1)若題設(shè)條件中只有一組向量(附有一些其他條件)，則應(yīng)利用定義證明(實(shí)質(zhì)上是反證法)；(2)若已知一組向量線性無(wú)關(guān)，要證另

38、一組向量也線性無(wú)關(guān)，則可以用定義證明，也可以用等價(jià)向量組、秩、方程組等方法證明(例題2.5). 3.求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及向量組的秩應(yīng)理解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的概念，并掌握其求法則向量組1，2，s和1，2，s是等價(jià)向量組，等價(jià)向量組等秩.A=1，2，s 1，2，s， 則1，2，s與1，2，s中任何對(duì)應(yīng)的部分向量組有相同的線性相關(guān)性. 向量組極大線性無(wú)關(guān)組不唯一，但極大無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù)是唯一的，此數(shù)即是向量組的秩. (4)向量空間，要求了解向量空間、子空間、解空間，基、維數(shù)，坐標(biāo)等概念，了解基變換公式、坐標(biāo)變換公式，會(huì)求過(guò)渡矩陣，掌握施密特標(biāo)準(zhǔn)正交化方法，這部分內(nèi)容相對(duì)試題較少，從1987

39、年考研數(shù)學(xué)統(tǒng)考以來(lái)，共出過(guò)4題，二個(gè)題是過(guò)渡矩陣的(例題1.1)，一題是求解空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，一題是求一個(gè)向量在一組基下的坐標(biāo).第四章 線性方程組思考的魚(yú)點(diǎn)撥 本章要求理解線性齊次方程組有非零解、唯一零解，線性非齊次方程組無(wú)解、唯一解、無(wú)窮多解的充分必要條件，理解線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系、通解、解空間的概念，掌握求解的方法，并會(huì)求解，理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念，并會(huì)求解.本章試題大致有三種類(lèi)型： 1.判別齊次方程組是否有非零解，非齊次方程組AX=b是否無(wú)解、唯一解、無(wú)窮多解Am×n X=O有非零解(唯一零解) r(A)<n(=n) A的列向量組線性相關(guān)(線性無(wú)關(guān))

40、. Am×n X=O無(wú)解r(A)rA b. 唯一解r(A)=rA b=n. 無(wú)窮多解r(A)= rA b=r<n. 當(dāng)A是n×n矩陣時(shí)，還可用A =O(或0)判別(例題1.1)，并說(shuō)明解的幾何意義. 判別某向量，或某向量集合是否是方程的解或方程組的通解，及兩個(gè)方程組是否同解等(例題2.1). 2.求解線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解(例題3.5)，求解非齊次方程組的通解(例題3.6)(包括含有參數(shù)時(shí)，有解情況的討論)，求解方程組時(shí)，請(qǐng)注意每個(gè)步驟的正確性.步驟如下： (1)抄對(duì)系數(shù)矩陣或增廣矩陣； (2)正確進(jìn)行初等行變換，含有參數(shù)時(shí)，要選擇合適的消元的順序； (3)全

41、面討論參數(shù)的取值與解的關(guān)系； (4)認(rèn)定r(A)(即獨(dú)立未知量，獨(dú)立方程個(gè)數(shù))，認(rèn)定自由未知量，并賦予合適的特定值，回代方程，求得基礎(chǔ)解系及齊次通解(或先求通解，后得基礎(chǔ)解系)； (5)求非齊次特解，解的結(jié)構(gòu)，求出非齊次通解. 并應(yīng)注意到方程組Am×n X=1，2，nX=其齊次方程組的解是向量組1，2，n的線性相關(guān)的線性組合系數(shù)，非齊次特解(及通)是由1，2，n線性表出的表出系數(shù)(例題3.3).當(dāng)AB=0時(shí)，B的列向量是AX=0的解向量(例題3.6).3.證明某組向量是方程組的基礎(chǔ)解系(例題3.1，3.2).向量組1，2，s是方程組AX=0的基礎(chǔ)解系要滿足三條，Ai=0(i=1，2，

42、3，s)，1，2，n線性無(wú)關(guān)，s=n-r(A).第五章 特征值、特征向量思考的魚(yú)點(diǎn)撥特征值、特征向量是線性代數(shù)的重要內(nèi)容，是考研的重點(diǎn)之一.共有三部分要求： 1.理解特征值、特征向量的概念和性質(zhì)，會(huì)求矩陣An×n的特征值、特征向量，一般求An×n的特征值、特征向量有兩條思路. (I)利用定義，求滿足定義A=(0)的和，一般適用于抽象矩陣. 若An×n有特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為，則利用定義可求得A2，Ak，f(A)是多項(xiàng)式)的特征值為2，k，f()當(dāng)A可逆時(shí)，則A-1，A，對(duì)應(yīng)的特征值為1/,A /，(如題1.1)，特征向量仍是.()利用特征方程求EA =0，再由(

43、EA )x=0求出基礎(chǔ)解系得對(duì)應(yīng)于的線性無(wú)關(guān)特征向量，一般適用于具體的數(shù)值矩陣.顯然對(duì)角陣，上、下三角陣的特征值為對(duì)角元素(特征向量是什么?).當(dāng)r(A)=r<n時(shí)，A有特征值=0，對(duì)應(yīng)的特征向量是AX=0的基礎(chǔ)解系，故共有nr(A)個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量，=O至少是nr(A)重特征值，An×n中每行元素和為k時(shí)，則=k，對(duì)應(yīng)的特征向量是=1，1，1T。(如題1.2). 反之應(yīng)會(huì)利用特征值、特征向量的定義，建立方程，來(lái)確定參數(shù)(如題3 1). 關(guān)于特征值、特征向量還有許多性質(zhì)，如，在計(jì)算行列式及求特征值時(shí)均可利用. 2.矩陣的相似對(duì)角化，理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對(duì)角化的

44、充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對(duì)角陣的方法. 應(yīng)會(huì)用矩陣可相似對(duì)角化的充耍條件，討論含參矩陣何時(shí)能相似對(duì)角化(如題3.6)，會(huì)利用相似的概念和性質(zhì)來(lái)確定參數(shù). 應(yīng)會(huì)利用特征值、特征向量反求矩陣A，會(huì)利用相似對(duì)角陣，計(jì)算A ，An，An等. 3.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化：實(shí)對(duì)稱(chēng)陣特征值是實(shí)數(shù)，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，實(shí)對(duì)稱(chēng)陣必存在可逆陣P，使得P-1AQ= ，且存在正交陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=，即實(shí)對(duì)稱(chēng)陣必既相似于對(duì)角陣，又合同于對(duì)角陣.用正交矩陣將實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A相似對(duì)角化，要將特征向量標(biāo)準(zhǔn)正交化，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量已相互正交，對(duì)A的r重特征值對(duì)應(yīng)的r個(gè)特征向量應(yīng)用

45、Schmidt正交化方法正交化(或求特征向量時(shí)，考慮到正交化).對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，還可用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交的性質(zhì)，求特征向量.第六章 二次型思考的魚(yú)點(diǎn)撥二次型的試題，相對(duì)而言，出現(xiàn)的頻率較低，一般來(lái)說(shuō)，線性代數(shù)的兩個(gè)大題中，般有個(gè)出自矩陣的特征值、特征向量或二次型這兩章之中. 二次型的中心問(wèn)題有兩個(gè)： 1.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形規(guī)范形問(wèn)題，大綱要求會(huì)用配方法和正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、(正交變換只能化標(biāo)準(zhǔn)形)規(guī)范形(初等變換法不要求)，用矩陣的語(yǔ)言，實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A合同于對(duì)角陣，即求可逆陣C，使得CTAC=，或求正交陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=的問(wèn)題. 2.二次型(及對(duì)應(yīng)矩陣A)的正定性的判

46、別與證明的問(wèn)題. 注意：(1)在線性代數(shù)中研究二次型，首先要求將二次型表示成矩陣形式，即f(x1，x2，xn)=XTAX，其中An×nT=A，X=x1，x2，xnT，這樣A和f一一對(duì)應(yīng)，r(A)=r(f)，A正定即f正定(見(jiàn)題3.4). (2)用正交變換只能化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，且其標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)就是A的特征值(見(jiàn)題1.1，3.1).而正交變換矩陣由A的單位正交特征向量組成，即Q=10，20，n0，其中 (3)對(duì)具體的數(shù)值二次型或?qū)崒?duì)稱(chēng)陣(或含有參數(shù))，其正定性一般用順序主子式大于零判別，當(dāng)然也可化成標(biāo)準(zhǔn)形，f或A正定正慣性指數(shù)=n(未知量的個(gè)數(shù))，若f(x1，x2，xn)已是正的平方和，

47、則f(x1，x2，xn)O，只需證明f=OX=0，則X0，有f>0.即正定，二次型正定性的證明般用定理(正定的充分必要條件)，最后的辦法是用定義.(4)兩個(gè)二次型(或?qū)崒?duì)稱(chēng)陣)合同有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)相同的正慣性指數(shù)和秩.第四篇 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章 隨機(jī)事件和概率思考的魚(yú)點(diǎn)撥 本章的重點(diǎn)在事件的關(guān)系和運(yùn)算，概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯公式、事件的獨(dú)立性等近幾年單獨(dú)出本章的考題較少，但大多作為基本知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)在以后各章的考題中大多數(shù)考生對(duì)本章中的古典型概率感到困難對(duì)古典型概率和幾何型概率只要會(huì)計(jì)算一般難度的題型就可以，不必刻意去做各種較復(fù)雜的題型因?yàn)楣诺湫透怕屎蛶缀涡透怕十吘共皇侵攸c(diǎn)，應(yīng)該將本章重點(diǎn)中有關(guān)的基本概念、基本理論和基本方法理解徹底和熟練掌握第二章 隨機(jī)變量及其分布思考的魚(yú)點(diǎn)撥本章的重點(diǎn)是隨機(jī)變量及其分布函數(shù)的概念和性質(zhì)，分布律和概率密度，隨機(jī)變量的函數(shù)的分布，一些常見(jiàn)的分布：0-1分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、泊松分布、均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等 單獨(dú)出本章考題的不多，近幾年大多把本章