高中數(shù)學思想方法及案例分析

1、 高中數(shù)學思想方法及教學案例分析高中數(shù)學思想方法及教學案例分析 程程 華華 咸陽師范學院數(shù)學與信息科學學院咸陽師范學院數(shù)學與信息科學學院 2016-3-10 2016-3-10咸陽咸陽引言引言 教師的角色教師的角色“是學習的組織者、引是學習的組織者、引導者與合作者導者與合作者”，其實好的教師應，其實好的教師應該是一個好導游，帶著學生一起領該是一個好導游，帶著學生一起領略他們看不到的、看不懂的美麗的略他們看不到的、看不懂的美麗的數(shù)學風光。數(shù)學風光。 引言引言 掌握數(shù)學的一個重要標志就是善于解題掌握數(shù)學的一個重要標志就是善于解題如何教會學生解題？如何教會學生解題？如何將教師的解題經(jīng)驗轉化為學生的解

2、題如何將教師的解題經(jīng)驗轉化為學生的解題能力？能力？引言引言 模仿模仿+ +練習練習+ +數(shù)學事實的接受數(shù)學事實的接受 【問題問題】1.1.數(shù)學是思維的體操，學數(shù)學一定數(shù)學是思維的體操，學數(shù)學一定能使人變聰明嗎？怎樣教、怎樣學能使人變聰明嗎？怎樣教、怎樣學數(shù)學才能使人更聰明？數(shù)學才能使人更聰明？2.2.中小學數(shù)學學科的價值是什么？中小學數(shù)學學科的價值是什么？引言引言 【問題問題】 數(shù)學思想方法可教嗎？怎么教？數(shù)學思想方法可教嗎？怎么教？ 數(shù)學思想方法僅僅是求解數(shù)學題的利器？數(shù)學思想方法僅僅是求解數(shù)學題的利器？ 案例案例 平行線距離公式的推導平行線距離公式的推導 案例案例 相似多邊形的性質（二）相

3、似多邊形的性質（二）引言引言 真正有價值的教育是使學生透徹理解一些普真正有價值的教育是使學生透徹理解一些普遍的原理，這些原理適用于各種不同的具體遍的原理，這些原理適用于各種不同的具體事例。在隨后的實踐中，這些成人將會忘記事例。在隨后的實踐中，這些成人將會忘記你教他們的那些特殊細節(jié)，但他們潛意識里你教他們的那些特殊細節(jié)，但他們潛意識里的判斷力會使他們想起如何將這些原理應用的判斷力會使他們想起如何將這些原理應用于具體的情況，直到你擺脫了教科書，燒掉于具體的情況，直到你擺脫了教科書，燒掉了你的聽課筆記，忘記了你為考試而背熟的了你的聽課筆記，忘記了你為考試而背熟的細節(jié)，這時，你學到的知識才有價值。細節(jié)

4、，這時，你學到的知識才有價值。 【英英】懷特海懷特海教育的目的教育的目的引言引言 數(shù)學思想方法的作用，主要體現(xiàn)在它為數(shù)學思想方法的作用，主要體現(xiàn)在它為學生提供了有關如何學習、如何思考的學生提供了有關如何學習、如何思考的策略性知識。策略性知識。 中小學數(shù)學的功能是多重的，即作為知中小學數(shù)學的功能是多重的，即作為知識的數(shù)學和作為教育功能性的數(shù)學。識的數(shù)學和作為教育功能性的數(shù)學。引言引言 內容提要內容提要n如何認識數(shù)學思想方法如何認識數(shù)學思想方法n中學數(shù)學中的數(shù)學思想方法中學數(shù)學中的數(shù)學思想方法n數(shù)學解決問題的基本方法數(shù)學解決問題的基本方法化歸方法化歸方法n高中數(shù)學思想方法教學案例分析高中數(shù)學思想方

5、法教學案例分析課程標準中關于數(shù)學思想方法的要求課程標準中關于數(shù)學思想方法的要求 高中數(shù)學課程標準的總目標高中數(shù)學課程標準的總目標 具體目標具體目標 “1.1.獲得必要的數(shù)學基礎知識和基本技能，獲得必要的數(shù)學基礎知識和基本技能，理解基本的數(shù)學概念、數(shù)學結論的本質，理解基本的數(shù)學概念、數(shù)學結論的本質，了解概念、結論等產(chǎn)生的背景、應用，體了解概念、結論等產(chǎn)生的背景、應用，體會其中所蘊涵的數(shù)學思想和方法，以及它會其中所蘊涵的數(shù)學思想和方法，以及它們在后續(xù)學習中的作用。們在后續(xù)學習中的作用?！毙抡n標關于數(shù)學思想方法的變化新課標關于數(shù)學思想方法的變化 n基本的數(shù)學思想基本的數(shù)學思想雙基雙基四基四基基本思想

6、基本思想 基本活動經(jīng)驗基本活動經(jīng)驗【問題問題】 為什么作這樣的修改？（案例為什么作這樣的修改？（案例 求函數(shù)值域）求函數(shù)值域）新課標關于數(shù)學思想方法的要求新課標關于數(shù)學思想方法的要求 重數(shù)學方法的教學，卻忽略數(shù)學思想重數(shù)學方法的教學，卻忽略數(shù)學思想的提升，從數(shù)學思想的高度審視數(shù)學的提升，從數(shù)學思想的高度審視數(shù)學解法、方法不夠，是中學數(shù)學思想方解法、方法不夠，是中學數(shù)學思想方法教學突出的問題之一。法教學突出的問題之一。新課標關于數(shù)學思想方法的要求新課標關于數(shù)學思想方法的要求 【問題】【問題】 n基本的數(shù)學思想有哪些？為什么是基基本的數(shù)學思想有哪些？為什么是基本的？本的？n基本的數(shù)學思想與中學熟悉

7、的數(shù)學思基本的數(shù)學思想與中學熟悉的數(shù)學思想方法有什么關系？想方法有什么關系？n數(shù)學抽象的思想數(shù)學抽象的思想 其下能產(chǎn)生出分類思想，集合思想，其下能產(chǎn)生出分類思想，集合思想，數(shù)形結合思想，符號表示思想，對稱數(shù)形結合思想，符號表示思想，對稱思想，對應思想，有限與無限思想等。思想，對應思想，有限與無限思想等。 n數(shù)學推理的思想數(shù)學推理的思想 能派生出歸納思想，類比思想，逐步能派生出歸納思想，類比思想，逐步逼近思想，代換思想，特殊與一般思逼近思想，代換思想，特殊與一般思想，演繹思想，公理化思想。想，演繹思想，公理化思想。 n推理：合情推理與演繹推理。推理：合情推理與演繹推理。n合情推理是從已有的事實出

8、發(fā)，憑借合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結果。某些結果。n演繹推理是從已有的事實（包括定義演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明（包括邏輯和運算）結論。法則證明（包括邏輯和運算）結論。n推理能力的發(fā)展應貫穿在整個數(shù)學學推理能力的發(fā)展應貫穿在整個數(shù)學學習過程中。習過程中。【案例案例】 高考數(shù)列題高考數(shù)列題n數(shù)學建模的思想數(shù)學建模的思想 還能派生出函數(shù)思想，方程思想，還能派生出函數(shù)思想，方程思想，優(yōu)化的思想，隨機的思想，抽樣統(tǒng)計優(yōu)化的思想，隨機的思想，抽樣統(tǒng)計思想等

9、。思想等。 如何認識數(shù)學思想方法如何認識數(shù)學思想方法 問題問題1 1 數(shù)學思想與數(shù)學方法有什么不同？數(shù)學思想與數(shù)學方法有什么不同？ 【案例案例】如何認識數(shù)學思想方法如何認識數(shù)學思想方法 問題問題2 2 數(shù)學知識、數(shù)學方法、數(shù)學思想存在數(shù)學知識、數(shù)學方法、數(shù)學思想存在怎樣的關系？怎樣的關系？如何認識數(shù)學思想方法如何認識數(shù)學思想方法n數(shù)學思想是指對數(shù)學知識的本質和數(shù)數(shù)學思想是指對數(shù)學知識的本質和數(shù)學規(guī)律的理性認識，是從某些數(shù)學內學規(guī)律的理性認識，是從某些數(shù)學內容和對數(shù)學認識過程中提煉上升的數(shù)容和對數(shù)學認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點。學觀點。n數(shù)學方法則是從數(shù)學的角度提出問題、數(shù)學方法則是從數(shù)學的角度

10、提出問題、解決問題的過程中所采用的各種方式、解決問題的過程中所采用的各種方式、手段、途徑等手段、途徑等如何認識數(shù)學思想方法如何認識數(shù)學思想方法n “ “數(shù)學思想方法數(shù)學思想方法”是指對數(shù)學內容的是指對數(shù)學內容的本質認識，是數(shù)學的指導思想和一般本質認識，是數(shù)學的指導思想和一般方法、手段和途徑。方法、手段和途徑。 如何認識數(shù)學思想方法如何認識數(shù)學思想方法n數(shù)學思想是觀念的、全面的、普遍的、數(shù)學思想是觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、內在的、概括的深刻的、一般的、內在的、概括的n數(shù)學方法是操作的、局部的、特殊的、數(shù)學方法是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的表象的、具體的、程

11、序的、技巧的中學數(shù)學中的數(shù)學思想方法中學數(shù)學中的數(shù)學思想方法模型思想模型思想 、化歸思想、類比思想、統(tǒng)、化歸思想、類比思想、統(tǒng)計思、用字母代表數(shù)的思想、函數(shù)與映計思、用字母代表數(shù)的思想、函數(shù)與映射思想、分類思想、極限思想等。射思想、分類思想、極限思想等。中學數(shù)學中的數(shù)學思想方法中學數(shù)學中的數(shù)學思想方法（1 1）模型思想）模型思想 “ “建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果問題中的數(shù)量關

12、系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識。的興趣和應用意識?！眓數(shù)學模型就是研究者依據(jù)研究目的，數(shù)學模型就是研究者依據(jù)研究目的，將所研究的客觀事物的過程和現(xiàn)象的將所研究的客觀事物的過程和現(xiàn)象的主要特征、主要關系，采用形式化的主要特征、主要關系，采用形式化的數(shù)學語言，概括或近似地表達出來的數(shù)學語言，概括或近似地表達出來的一種結構。一種結構。n數(shù)學模型方法是借用數(shù)學模型來研究數(shù)學模型方法是借用數(shù)學模型來研究原型的功能特征及其內在規(guī)律，并應原型的功能特征及其內

13、在規(guī)律，并應用于實際的一種方法。用于實際的一種方法。數(shù)學模型的分類數(shù)學模型的分類n從使用的工具，可分為微分方程模型，從使用的工具，可分為微分方程模型，概率模型，最優(yōu)化模型等概率模型，最優(yōu)化模型等n從涉及變量變化情況，可分為離散模從涉及變量變化情況，可分為離散模型，連續(xù)模型型，連續(xù)模型n從研究領域分，可分為人口模型，交從研究領域分，可分為人口模型，交通模型，生態(tài)模型，經(jīng)濟模型通模型，生態(tài)模型，經(jīng)濟模型（）化歸思想：將待解決或未解決的（）化歸思想：將待解決或未解決的問題，轉化為在已有知識的范圍內可問題，轉化為在已有知識的范圍內可解決的問題。解決的問題。 （）類比思想（）類比思想 在數(shù)學上根據(jù)兩個或

14、兩類對象之間在某在數(shù)學上根據(jù)兩個或兩類對象之間在某些方面的相似或相同，推出它們在其他方些方面的相似或相同，推出它們在其他方面也可能相似或相同的一種邏輯推理的方面也可能相似或相同的一種邏輯推理的方法稱為類比法，它既包含從特殊到特殊，法稱為類比法，它既包含從特殊到特殊，又包含從一般到一般的推理。又包含從一般到一般的推理?！景咐咐?等比數(shù)列求和公式等比數(shù)列求和公式 【案例案例】平面幾何問題的類比平面幾何問題的類比 n教師教學要重視引導回憶或重現(xiàn)可供教師教學要重視引導回憶或重現(xiàn)可供類比的問題，從中尋找類比的問題，從中尋找“經(jīng)驗性經(jīng)驗性”的的解題方法解題方法（）統(tǒng)計思想（）統(tǒng)計思想 統(tǒng)計思想就是在統(tǒng)

15、計初步知識中提煉統(tǒng)計思想就是在統(tǒng)計初步知識中提煉并掌握一些處理數(shù)據(jù)的方法，并用來并掌握一些處理數(shù)據(jù)的方法，并用來解決一些實際問題，統(tǒng)計思想可使學解決一些實際問題，統(tǒng)計思想可使學生認識到條件的可變性結論的不唯一、生認識到條件的可變性結論的不唯一、不確定、不可靠性，事物的多樣性等不確定、不可靠性，事物的多樣性等等都是普遍存在的。等都是普遍存在的。 （5 5）函數(shù)與映射思想）函數(shù)與映射思想 對應是人的思維對兩個集合間問題聯(lián)系的對應是人的思維對兩個集合間問題聯(lián)系的把握，是現(xiàn)代數(shù)學的一個最基本的概念。把握，是現(xiàn)代數(shù)學的一個最基本的概念。函數(shù)思想是指用運動、變化、聯(lián)系、對應函數(shù)思想是指用運動、變化、聯(lián)系、

16、對應的觀點，分析數(shù)學與實際生活中的數(shù)量關的觀點，分析數(shù)學與實際生活中的數(shù)量關系，通過函數(shù)這種數(shù)量關系表示出來并加系，通過函數(shù)這種數(shù)量關系表示出來并加以研究，從而使問題獲得解決的思想。以研究，從而使問題獲得解決的思想。 【案例案例】 高中數(shù)學思想方法教學高中數(shù)學思想方法教學 存在問題存在問題n1.1.重數(shù)學方法的教學，忽略數(shù)學思想的提升，從重數(shù)學方法的教學，忽略數(shù)學思想的提升，從數(shù)學思想的高度審視數(shù)學解法、方法不夠數(shù)學思想的高度審視數(shù)學解法、方法不夠n2 2 知識形成過程中，數(shù)學思想方法的立意突出不知識形成過程中，數(shù)學思想方法的立意突出不夠，滲透、提煉不充分夠，滲透、提煉不充分n3 3 思想方法

17、教學重解題應用，存在習題化的傾向思想方法教學重解題應用，存在習題化的傾向n4 4 數(shù)學思想方法教學存在注入式、標簽式簡單化數(shù)學思想方法教學存在注入式、標簽式簡單化教法教法高中數(shù)學思想方法教學高中數(shù)學思想方法教學 教學建議：教學建議： 1.1.思想方法教學要有計劃、依規(guī)律思想方法教學要有計劃、依規(guī)律. . （1 1）教師先要分析本教材、本節(jié)課要涉及教師先要分析本教材、本節(jié)課要涉及哪些思想方法？要達到何種層次？學生之哪些思想方法？要達到何種層次？學生之前該數(shù)學思想方法如何？一節(jié)課涉及多種前該數(shù)學思想方法如何？一節(jié)課涉及多種思想方法時，哪些是滲透、介紹和突出？思想方法時，哪些是滲透、介紹和突出？本節(jié)

18、課思想方法的線索是什么？本節(jié)課思想方法的線索是什么？高中數(shù)學思想方法教學高中數(shù)學思想方法教學 （2 2）教師要掌握不同教學階段、內容教學規(guī)教師要掌握不同教學階段、內容教學規(guī)律律n知識形成階段：常用觀察、實驗、比較、知識形成階段：常用觀察、實驗、比較、抽象、概括等抽象化、模型化思想方法，抽象、概括等抽象化、模型化思想方法，函數(shù)、方程、統(tǒng)計等思想方法。函數(shù)、方程、統(tǒng)計等思想方法。n知識結論推導階段和解題教學：用分類討知識結論推導階段和解題教學：用分類討論、化歸、特殊化與一般化、類比等思想論、化歸、特殊化與一般化、類比等思想方法。方法。n知識總結階段：用公理化、結構化等思想知識總結階段：用公理化、結

19、構化等思想方法。方法。 高中數(shù)學思想方法教學高中數(shù)學思想方法教學 n在解方程和解不等式中強調等價轉換在解方程和解不等式中強調等價轉換思想；思想；n在平面幾何中滲透和介紹幾何變換的在平面幾何中滲透和介紹幾何變換的思想方法、運動變化的觀點；思想方法、運動變化的觀點；n在立體幾何中強調類比、化歸等。在立體幾何中強調類比、化歸等。 高中數(shù)學思想方法教學高中數(shù)學思想方法教學 n將思想方法目標與教學環(huán)節(jié)的設計切實對將思想方法目標與教學環(huán)節(jié)的設計切實對應應. . 具體到：設計怎樣的師生活動、情境創(chuàng)設、具體到：設計怎樣的師生活動、情境創(chuàng)設、問題、習題、小結等問題、習題、小結等. .如何突出運用某種思如何突出運

20、用某種思想方法的必然性想方法的必然性. .比如，為什么會采用這個比如，為什么會采用這個思想方法、怎么用和什么時候用，應讓學思想方法、怎么用和什么時候用，應讓學生思辨悟到而不是貼標簽地簡單告知生思辨悟到而不是貼標簽地簡單告知. . 【案例案例】 數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想高中數(shù)學思想方法教學高中數(shù)學思想方法教學 2. 2.在概念、公式教學的過程中要把在概念、公式教學的過程中要把數(shù)學思想方法作為重要的教學目標數(shù)學思想方法作為重要的教學目標. . 教師要珍視概念、形成過程中學生教師要珍視概念、形成過程中學生每一次思想方法學習的機會。比如，每一次思想方法學習的機會。比如，等差數(shù)列后研究等比數(shù)列時，體會等差數(shù)列后研究等比數(shù)列時，體會如何運用類比法。如何運用類比法。 【案例案例】兩個平面平行的判定問題兩個平面平行的判定問題高中數(shù)學思想方法教學高中數(shù)學思想方法教學 n教師要把對思想方法的思維示范，與教師要把對思想方法的思維示范，與學生獨立概括相結合。學生獨立概括相結合。 比如，可以先讓學生做閱讀批注先自比如，可以先讓學生做閱讀批注先自行提煉，教師再概括等行提煉，教師再概括等. . 在課堂小結、在課堂小結、單元總結或總復習中，對思想方法的單元總結或總復習中，對思想