奧數(shù)中的巧數(shù)圖形講義及習(xí)題

1、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常遇到數(shù)圖形問題。這類問題一般都要先尋求規(guī)律，而后按照這個(gè)規(guī)律去數(shù)圖形。數(shù)圖形時(shí)要有次序、有條理，才能不遺漏、不重復(fù)。因此，一般步驟應(yīng)是：仔細(xì)觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)津。運(yùn)用規(guī)律常能使解法簡(jiǎn)便。 例1 下面兩根線段中各有多少條線段？ 解 （1）由一條基本線段構(gòu)成的線段有： AB、BC、CD、DE，共4條； 由兩條基本線段構(gòu)成的線段有：AC、BD、CE，共3條；由三條基本線段構(gòu)成的線段有：AD、BE，共2條； 由四條基本線段構(gòu)成的線段只有AE1條。 因此共有線段：4+3+2+1 =（4+1）42 =10（條） （2）可以采用（1）同樣的解法： 由一條基本線段組成的線段有6條， 由兩條基本

2、線段組成的線段有5條， 由三條基本線段組成的線段有4條， 由四條基本線段組成的線段有3條， 由五條基本線段組成的線段有2條， 由六條基本線段組成的線段有1條， 共有線段：6+5+4+3+2+1 =（6+1）62 =21（條） 答 （1）中有10條線段。（2）中有21條線段。這種先分類再排序的方法稱為分類排序法。這樣排序，不易遺漏和重復(fù)。由以上例子可以推知，如果線段上有五個(gè)點(diǎn)，就構(gòu)成了四條基本線段，總線段數(shù)為四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和：4+3+2+1。如果有n個(gè)點(diǎn)，線段總數(shù)為（n-1）+（n-2）+3+2+1=n（n-1）2（條）。找到了這個(gè)規(guī)律，我們就可以運(yùn)用這個(gè)公式來解答這類問題。例2 在AOB（圖

3、62）內(nèi)有8條從O點(diǎn)引出的射線，可組成各種大小不同的角一共有多少個(gè)？解 這問題類似于例1， 1092=45（個(gè)） 答 圖中有45個(gè)角。解3 數(shù)一數(shù)，圖63一共有幾個(gè)長(zhǎng)方形？分析 可以按照順序去數(shù)長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)，也可以通過分析研究，找出數(shù)長(zhǎng)方形的規(guī)律。長(zhǎng)方形是由長(zhǎng)和寬組成的，圖中共有3個(gè)長(zhǎng)（橫向線段）、3個(gè)寬（豎向線段），解339（個(gè)）答 圖中共有9個(gè)長(zhǎng)方形。這一類型的問題在后面還要專門討論。例4 如圖64。（1）如上圖這樣的形狀，如果最底層有11個(gè)三角形，那么這堆小三角形共有多少個(gè)？ （2）現(xiàn)在共有169個(gè)小三角形，按上圖排列，那么最底層三角形有幾個(gè)？ 分析 根據(jù)圖示可以得到規(guī)律，底層與總數(shù)有“

4、24，39， 416”的關(guān)系。而 224，33=9，44 16，就是：“底層的個(gè)數(shù)的平方正好等于總數(shù)”。所以可得： （1）下層有11個(gè)小三角形，共有 1111= 121（個(gè)） （2）因?yàn)?3 13 169，所以 169個(gè)小三角形如上圖排列，底層有13個(gè)小三角形。 練 習(xí) 1線段AB上除兩端外有49個(gè)點(diǎn)，問這條線段上共有多少條線段？ 2下圖中共有多少個(gè)三角形？ 3把長(zhǎng)2厘米、寬1 厘米的長(zhǎng)方形硬紙片按照下圖一層層疊起來。 （1）如果疊5層，周長(zhǎng)是（ ）厘米。 （2）如果周長(zhǎng)是120厘米，共有（ ）層。 知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)圖形時(shí)我們要按照一定的順序、有條理、有計(jì)劃、有方法的去解答題目，可由單個(gè)圖形數(shù)起，

5、再數(shù)兩個(gè)圖形合成的圖形，依此規(guī)律一個(gè)一個(gè)往下數(shù)。例1 數(shù)一數(shù)圖中共有幾條線段？ DA B C這樣想：數(shù)之前，先將每條線段寫上字母，寫好后，先數(shù)AB這條線段上有4條小線段，再數(shù)兩條合并成的有3條，再數(shù)三條合并成的有2條，最后數(shù)四條合并成的有1條，4+3+2+1=10條。同樣CD這條線段上也有10條，和起來一共有20條。例2 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個(gè)小長(zhǎng)方體？這樣想：從上面先數(shù)，第一排有2個(gè)小長(zhǎng)方體，再數(shù)第二排有4個(gè)小長(zhǎng)方體，最后數(shù)第三排有6個(gè)小長(zhǎng)方體，所以2+4+6=12，有12個(gè)小長(zhǎng)方體。例3 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個(gè)三角形？ 這樣想：數(shù)之前，先將每個(gè)圖形編號(hào)，編好后，先數(shù)單個(gè)三角形共10個(gè)。再數(shù)兩個(gè)圖形

6、合成的三角形，按順序兩個(gè)兩個(gè)合并，共8個(gè)三角形。所以10+8=18，共18個(gè)三角形。例4 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個(gè)三角形？這樣想：先數(shù)單個(gè)三角形共4個(gè)。再數(shù)兩個(gè)三角形合成的三角形，按順序兩個(gè)兩個(gè)合并，共2個(gè)三角形。最后數(shù)由3個(gè)小三角形組成的大三角形，有1個(gè)。所以4+2+1=7，共7個(gè)三角形。例5 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個(gè)三角形？ 這樣想：先數(shù)每個(gè)角上三角形共5個(gè)，再數(shù)由兩個(gè)不靠著的角和中間五邊形合成的三角形，按順序數(shù)共3個(gè)三角形，所以5+3=8，共8個(gè)三角形。知識(shí)要點(diǎn)：同學(xué)們，在數(shù)圖形時(shí)，一定要按順序仔細(xì)數(shù)，如果給圖形編個(gè)號(hào)，這樣數(shù)起來就更方便，不會(huì)重復(fù)，也不會(huì)遺漏。例1 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個(gè)三角形？ 這樣

7、想： 數(shù)之前，先將每個(gè)圖形編號(hào)，編好后，先數(shù)單個(gè)三角形1、4、3號(hào)，共3個(gè)。再數(shù)兩個(gè)圖形合成的三角形，1+2號(hào)，2+3號(hào)，3+4號(hào)，4+1號(hào)，按順序兩個(gè)兩個(gè)合并，共4個(gè)三角形。最后數(shù)由1+2+3+4號(hào)組成的大三角形，有1個(gè)。所以3+4+1=8，共8個(gè)三角形。例2 數(shù)一數(shù)圖中有西紅柿的正方形有幾個(gè)？這樣想：先數(shù)單個(gè)正方形，有西紅柿的正方形有1個(gè)。再數(shù)四個(gè)正方形合成的大正方形，有西紅柿的大正方形有4個(gè)。最后數(shù)由9個(gè)小正方形組成的大正方形，有1個(gè)。所以1+4+1=6，有西紅柿的正方形共6個(gè)。例3 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個(gè)正方形？這樣想：先數(shù)單個(gè)正方形1、2、3、4、5、6號(hào)，共6個(gè)。再數(shù)四個(gè)正方形合成的大正方形，1+2+4+5號(hào)，2+3+5+6號(hào)，按順序四個(gè)四個(gè)合并，共2個(gè)正方形。所以6+2=8，共8個(gè)正方形。例4 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個(gè)正方形？這樣想： 先數(shù)小正方形，共4個(gè)。再數(shù)稍大的正方形，共5個(gè)。最后數(shù)大正方形，有1個(gè)。4+5+1=10，所以圖中共有10個(gè)正方形。例5 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個(gè)圓形？ 這樣想：先數(shù)小圓，共5個(gè)。再數(shù)大圓有1個(gè)。圖中共有6個(gè)圓。題目1：數(shù)一數(shù)圖中共有幾個(gè)三角形？圖1A.6 B.5 窗體頂部題目2