八個(gè)有趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球(教師版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上八個(gè)有趣模型搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球一、有關(guān)定義1球的定義：空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫球面，簡(jiǎn)稱球.2外接球的定義：若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球. 3內(nèi)切球的定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.二、外接球的有關(guān)知識(shí)與方法1性質(zhì)：性質(zhì)1：過(guò)球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等；性質(zhì)2：經(jīng)過(guò)小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過(guò)球心，該平面截球所得圓是大圓；性質(zhì)3：過(guò)球心與小圓圓心的

2、直線垂直于小圓所在的平面（類(lèi)比：圓的垂徑定理）；性質(zhì)4：球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心；性質(zhì)5：在同一球中，過(guò)兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點(diǎn)是球心（類(lèi)比：在同圓中，兩相交弦的中垂線交點(diǎn)是圓心）.2結(jié)論：結(jié)論1：長(zhǎng)方體的外接球的球心在體對(duì)角線的交點(diǎn)處，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)是球心；結(jié)論2：若由長(zhǎng)方體切得的多面體的所有頂點(diǎn)是原長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，則所得多面體與原長(zhǎng)方體的外接球相同；結(jié)論3：長(zhǎng)方體的外接球直徑就是面對(duì)角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心，換言之，就是：底面的一條對(duì)角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓；結(jié)論4：圓柱體的外接球球心在上下兩底

3、面圓的圓心連一段中點(diǎn)處；結(jié)論5：圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對(duì)角線（外接圓直徑）是球的直徑；結(jié)論6：直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結(jié)論7：圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上；結(jié)論8：圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球的直徑；結(jié)論9：側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球.3終極利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求線段長(zhǎng)度）；三、內(nèi)切球的有關(guān)知識(shí)與方法1若球與平面相切，則切點(diǎn)與球心連線與切面垂直.（與直線切圓的結(jié)論有一致性）.2內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等.（類(lèi)比：與

4、多邊形的內(nèi)切圓）.3正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.4正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合.5基本方法：（1）構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理；（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法（等體積法）.四、與臺(tái)體相關(guān)的，此略.五、八大模型第一講 柱體背景的模型類(lèi)型一、墻角模型（三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑） 方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出例1 （1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為，體積為，則這個(gè)球的表面積是（ C ）A B C D解： ，選C； （2）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是 解：，；（3）在正三棱錐中

5、，分別是棱的中點(diǎn)，且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是 .解：引理：正三棱錐的對(duì)棱互相垂直.證明如下：如圖（3）-1，取的中點(diǎn)，連接，交于，連接，則是底面正三角形的中心，平面，平面，同理：，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直，本題圖如圖（3）-2， ，平面，平面，故三棱錐的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，即，正三棱錐外接球的表面積是.（4）在四面體中，則該四面體的外接球的表面積為（ D ） 解：在中，的外接球直徑為，選D（5）如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為、，那么它的外接球的表面積是 解：由已知得三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為（），則，（6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為的等

6、腰直角三角形和邊長(zhǎng)為的正方形，則該幾何體外接球的體積為 解：，類(lèi)型二、對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（，）第一步：畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，列方程組，補(bǔ)充：圖2-1中，.第三步：根據(jù)墻角模型，求出.思考：如何求棱長(zhǎng)為的正四面體體積，如何求其外接球體積？例2（1）如下圖所示三棱錐，其中則該三棱錐外接球的表面積為 . 解：對(duì)棱相等，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖2-1，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為，（2）在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積為 .解：如圖2-1，設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)長(zhǎng)寬高分

7、別為，則，（3）正四面體的各條棱長(zhǎng)都為，則該正面體外接球的體積為 解：正四面體對(duì)棱相等的模式，放入正方體中，（4）棱長(zhǎng)為的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如下圖，則圖中三 角形(正四面體的截面)的面積是 . 解：如解答圖，將正四面體放入正方體中，截面為，面積是.類(lèi)型三、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球） 題設(shè)：如圖3-1，圖3-2，圖3-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出例3（1）一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其

8、側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為，則這個(gè)球的體積為 解：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為，正六棱柱的高為，底面外接圓的半徑為，則，正六棱柱的底面積為，也可），球的體積為；（2）直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 .解：，；（3）已知所在的平面與矩形所在的平面互相垂直，則多面體的外接球的表面積為 .解：折疊型，法一：的外接圓半徑為，；法二：，；法三：補(bǔ)形為直三棱柱，可改變直三棱柱的放置方式為立式，算法可同上，略.換一種方式，通過(guò)算圓柱的軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)來(lái)求球的直徑：，；（4）在直三棱柱中，則直三棱柱的外接球的表面積為 .解：法一：，；法二：

9、求圓柱的軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)得球直徑，此略.第二講 錐體背景的模型類(lèi)型四、切瓜模型（兩個(gè)大小圓面互相垂直且交于小圓直徑正弦定理求大圓直徑是通法） 1如圖4-1，平面平面，且（即為小圓的直徑），且的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出；事實(shí)上，的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出.2如圖4-2，平面平面，且（即為小圓的直徑），且，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：；3如圖4-3，平面平面，且（即為小圓的直徑） 4題

10、設(shè)：如圖4-4，平面平面，且（即為小圓的直徑）第一步：易知球心必是的外心，即的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑；第二步：在中，可根據(jù)正弦定理，求出.例4 （1）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，則該球的表面積為 .解：法一：由正弦定理（用大圓求外接球直徑）；法二：找球心聯(lián)合勾股定理，；（2）正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球體積為 解：方法一：找球心的位置，易知，故球心在正方形的中心處，方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是的外接圓，此處特殊，的斜邊是球半徑，.（3）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓

11、上，則該正三棱錐的體積是（ ）A B C D 解：高，底面外接圓的半徑為，直徑為，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則，三棱錐的體積為；（4）在三棱錐中，,側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱錐外接球的體積為（ ） A B. C. 4 D.解：選D，由線面角的知識(shí)，得的頂點(diǎn)在以為半徑的圓上，在圓錐中求解，；（5）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上,是邊長(zhǎng)為的正三角形,為球的直徑,且，則此棱錐的體積為（ ）AA B C D解：，類(lèi)型五、垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）1題設(shè)：如圖5，平面，求外接球半徑.解題步驟：第一步：將畫(huà)在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過(guò)球心；第二步：為的外心，所以平面，算

12、出小圓的半徑（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得），；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：；.2題設(shè)：如圖5-1至5-8這七個(gè)圖形，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn). 解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.例5 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為( )CA B C D以上都不對(duì)解：選C，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半徑，球心在圓錐的高線上，,；法二

13、：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角形的外接圓是大圓，于是，下略；第三講 二面角背景的模型類(lèi)型六、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖6)第一步：先畫(huà)出如圖6所示的圖形，將畫(huà)在小圓上，找出和的外心和；第二步：過(guò)和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心，連接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：注：易知四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略.例6（1）三棱錐中，平面平面，和均為邊長(zhǎng)為的正三角形，則三棱錐外接球的半徑為 .解：如圖，；法二：，；（2）在直角梯形中，沿對(duì)角線折成四面體，使平面平面，若四面體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該項(xiàng)球的表面積為 解

14、：如圖，易知球心在的中點(diǎn)處，；（3）在四面體中，二面角的余弦值為，則四面體的外接球表面積為 解：如圖，法一：，；法二：延長(zhǎng)到使，由余弦定理得，大圓直徑為；（4）在邊長(zhǎng)為的菱形中，沿對(duì)角線折成二面角為的四面體，則此四面體的外接球表面積為 解：如圖，取的中點(diǎn)，和的外接圓半徑為，和的外心到弦的距離（弦心距）為，法一：四邊形的外接圓直徑，；法二：，；法三：作出的外接圓直徑,則， ， ，；(5)在四棱錐中，二面角的平面角的大小為，則此四面體的外接球的體積為 解：如圖，過(guò)兩小圓圓心作相應(yīng)小圓所在平面的垂線確定球心，弦心距，弦心距，法一：，；法二：，.類(lèi)型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同,也可看作矩形沿

15、對(duì)角線折起所得三棱錐)模型題設(shè)：如圖7，求三棱錐外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)，連接，則，為三棱錐外接球球心，然后在中求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無(wú)關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值.例7（1）在矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）A B C D解：（1），選C（2）在矩形中，沿將矩形折疊，連接，所得三棱錐的外接球的表面積為 解：的中點(diǎn)是球心，.第四講 多面體的內(nèi)切球問(wèn)題模型類(lèi)型八、錐體的內(nèi)切球問(wèn)題1題設(shè)：如圖8-1，三棱錐上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，分別是兩個(gè)三角形的外心；第二步：求，是側(cè)面的

16、高；第三步：由相似于，建立等式：，解出2題設(shè)：如圖8-2，四棱錐是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，三點(diǎn)共線；第二步：求，是側(cè)面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出3題設(shè)：三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫(huà)出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：第三步：解出例8 （1）棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球表面積是 ， 解：設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，將正四面體放入棱長(zhǎng)為的正方體中（即補(bǔ)形為正方體），如圖，則，又，內(nèi)切球的表面積為（注：還有別的方法，此略）（2）正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則其內(nèi)切球的半徑為 解：如圖，正四棱錐的高，正四棱錐的體積為側(cè)面斜高，正四棱錐的表面積為，正四棱錐的體積為，（3）三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，底面，則該三棱錐的內(nèi)切球半徑為 解：如圖，三棱錐的體積為，另一表達(dá)體積的方式是，習(xí)題：1若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且，則該三棱錐的外接球半徑為（ ）A. B. C. D.解：【A】，【三棱錐有一側(cè)棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共兩種】2 三棱錐中