共線向量與共面向量

1、共線向量與共面向量共線向量與共面向量一、共線向量一、共線向量: :零向量與任意向量共線零向量與任意向量共線. . 1.1.共線向量共線向量: :如果表示空間向量的如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合有向線段所在直線互相平行或重合, ,則這些則這些向量叫做共線向量向量叫做共線向量( (或平行向量或平行向量),),記作記作ba/ 2. 2.共線向量定理共線向量定理: :對(duì)空間任意兩個(gè)對(duì)空間任意兩個(gè)向量向量 的充要條件是存在實(shí)的充要條件是存在實(shí)數(shù)使數(shù)使baobba/),(,ba 推論推論: :如果如果 為經(jīng)過已知點(diǎn)為經(jīng)過已知點(diǎn)A A且平行且平行已知非零向量已知非零向量 的直線的直線, ,

2、那么對(duì)任一點(diǎn)那么對(duì)任一點(diǎn)O,O,點(diǎn)點(diǎn)P P在直線在直線 上的充要條件是存在實(shí)數(shù)上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,t,滿足等式滿足等式OP=OA+t OP=OA+t 其中向量叫做直線的其中向量叫做直線的方向向量方向向量. .llaaOABPa 若若P P為為A,BA,B中點(diǎn)中點(diǎn), , 則則 OP=1/2(OA+OB)OP=1/2(OA+OB)二二. .共面向量共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面叫做共面 向量向量. .OAaa 推論推論: :空間一點(diǎn)空間一點(diǎn)P P位于平面位于平面MABMAB內(nèi)的充內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)要條件是存在有序?qū)?/p>

3、數(shù)對(duì)x,yx,y使使 MP=xMA+yMBMP=xMA+yMB或?qū)臻g任一點(diǎn)或?qū)臻g任一點(diǎn)O,O,有有 OP=OM+xMA+yMBOP=OM+xMA+yMB2.2.共面向量定理共面向量定理: :如果兩個(gè)向量如果兩個(gè)向量 不共線不共線, ,則向量則向量P P與向量與向量 共面的充要條共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)件是存在實(shí)數(shù)對(duì) 使使ba,ba,yx,ybxaP 例例1.1.如圖：如圖：PAPA平面平面ABCD,ABCDABCD,ABCD是矩是矩形形,M,M、N N分別是分別是ABAB、PCPC中點(diǎn)。中點(diǎn)。 求證：求證：MN/MN/平面平面PADPADBCADPMN 例例2.2.求證：空間四邊形對(duì)邊中

4、求證：空間四邊形對(duì)邊中點(diǎn)的連線和空間四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的連線和空間四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)且互相平分。點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)且互相平分。ABCDEFP例例3 3、對(duì)空間任一點(diǎn)、對(duì)空間任一點(diǎn)O O和不共線的三點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A A、B B、C C，試問滿足，試問滿足向量關(guān)系式向量關(guān)系式 = =x +y +Z (+y +Z (其中其中x+y+z=1)的四點(diǎn)的四點(diǎn)P、A、B、C是否共面是否共面 OP O AOB OC例4、已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量 =k ， =k , =k , =k ,求證：四點(diǎn)E、F、G、H共面；OE O A OF OB O GOC OHOD 平面平面EGEG平面平面ACAC。ABCDOEFHG.2.如圖設(shè)如圖設(shè)A是是BCD所在平面外的一點(diǎn)，所在平面外的一點(diǎn)，G是是BCD的的重心。求證：重心。求證：BACDG1.1.如圖是正方體，如圖是正方體，P P、Q Q、R R、S S分別是所在棱的中點(diǎn)