共線(xiàn)向量與共面向量

1、共線(xiàn)向量與共面向量共線(xiàn)向量與共面向量一、共線(xiàn)向量一、共線(xiàn)向量: :零向量與任意向量共線(xiàn)零向量與任意向量共線(xiàn). . 1.1.共線(xiàn)向量共線(xiàn)向量: :如果表示空間向量的如果表示空間向量的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)互相平行或重合有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)互相平行或重合, ,則這些則這些向量叫做共線(xiàn)向量向量叫做共線(xiàn)向量( (或平行向量或平行向量),),記作記作ba/ 2. 2.共線(xiàn)向量定理共線(xiàn)向量定理: :對(duì)空間任意兩個(gè)對(duì)空間任意兩個(gè)向量向量 的充要條件是存在實(shí)的充要條件是存在實(shí)數(shù)使數(shù)使baobba/),(,ba 推論推論: :如果如果 為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A A且平行且平行已知非零向量已知非零向量 的直線(xiàn)的直線(xiàn), ,

2、那么對(duì)任一點(diǎn)那么對(duì)任一點(diǎn)O,O,點(diǎn)點(diǎn)P P在直線(xiàn)在直線(xiàn) 上的充要條件是存在實(shí)數(shù)上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,t,滿(mǎn)足等式滿(mǎn)足等式OP=OA+t OP=OA+t 其中向量叫做直線(xiàn)的其中向量叫做直線(xiàn)的方向向量方向向量. .llaaOABPa 若若P P為為A,BA,B中點(diǎn)中點(diǎn), , 則則 OP=1/2(OA+OB)OP=1/2(OA+OB)二二. .共面向量共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面叫做共面 向量向量. .OAaa 推論推論: :空間一點(diǎn)空間一點(diǎn)P P位于平面位于平面MABMAB內(nèi)的充內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)要條件是存在有序?qū)?/p>

3、數(shù)對(duì)x,yx,y使使 MP=xMA+yMBMP=xMA+yMB或?qū)臻g任一點(diǎn)或?qū)臻g任一點(diǎn)O,O,有有 OP=OM+xMA+yMBOP=OM+xMA+yMB2.2.共面向量定理共面向量定理: :如果兩個(gè)向量如果兩個(gè)向量 不共線(xiàn)不共線(xiàn), ,則向量則向量P P與向量與向量 共面的充要條共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)件是存在實(shí)數(shù)對(duì) 使使ba,ba,yx,ybxaP 例例1.1.如圖：如圖：PAPA平面平面ABCD,ABCDABCD,ABCD是矩是矩形形,M,M、N N分別是分別是ABAB、PCPC中點(diǎn)。中點(diǎn)。 求證：求證：MN/MN/平面平面PADPADBCADPMN 例例2.2.求證：空間四邊形對(duì)邊中

4、求證：空間四邊形對(duì)邊中點(diǎn)的連線(xiàn)和空間四邊形對(duì)角線(xiàn)中點(diǎn)的連線(xiàn)和空間四邊形對(duì)角線(xiàn)中點(diǎn)的連線(xiàn)交于一點(diǎn)且互相平分。點(diǎn)的連線(xiàn)交于一點(diǎn)且互相平分。ABCDEFP例例3 3、對(duì)空間任一點(diǎn)、對(duì)空間任一點(diǎn)O O和不共線(xiàn)的三點(diǎn)和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A A、B B、C C，試問(wèn)滿(mǎn)足，試問(wèn)滿(mǎn)足向量關(guān)系式向量關(guān)系式 = =x +y +Z (+y +Z (其中其中x+y+z=1)的四點(diǎn)的四點(diǎn)P、A、B、C是否共面是否共面 OP O AOB OC例4、已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量 =k ， =k , =k , =k ,求證：四點(diǎn)E、F、G、H共面；OE O A OF OB O GOC OHOD 平面平面EGEG平面平面ACAC。ABCDOEFHG.2.如圖設(shè)如圖設(shè)A是是BCD所在平面外的一點(diǎn)，所在平面外的一點(diǎn)，G是是BCD的的重心。求證：重心。求證：BACDG1.1.如圖是正方體，如圖是正方體，P P、Q Q、R R、S S分別是所在棱的中點(diǎn)