三相坐標(biāo)系和二相坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

1、交流電動(dòng)機(jī)矢量控制變壓變頻調(diào)速系統(tǒng)（三） 第三講 坐標(biāo)變換的原理和實(shí)現(xiàn)方法收藏此信息 打印該信息 添加：李華德 來源：未知由第二講的內(nèi)容可知，在三相靜止坐標(biāo)系中，異步電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型是一個(gè)多輸入、多輸出、非線性、強(qiáng)耦合的控制對(duì)象，為了實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩和磁鏈之間的解耦控制，以提高調(diào)速系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)性能，必須對(duì)異步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行坐標(biāo)變換。3.1 變換矩陣的確定原則坐標(biāo)變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以用矩陣方程表示為y=ax （3-1）式（3-1）表示利用矩陣a將一組變量x變換為另一組變量y，其中系數(shù)矩陣a稱為變換矩陣，例如，設(shè)x是交流電機(jī)三相軸系上的電流，經(jīng)過矩陣a的變換得到y(tǒng)，可以認(rèn)為y是另一軸系上的電流。這時(shí)，

2、a稱為電流變換矩陣，類似的還有電壓變換矩陣、阻抗變換矩陣等，進(jìn)行坐標(biāo)變換的原則如下：（1）確定電流變換矩時(shí)，應(yīng)遵守變換前后所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)等效的原則；（2）為了矩陣運(yùn)算的簡(jiǎn)單、方便，要求電流變換矩陣應(yīng)為正交矩陣；（3）確定電壓變換矩陣和阻抗變換矩陣時(shí)，應(yīng)遵守變換前后電機(jī)功率不變的原則，即變換前后功率不變。假設(shè)電流坐標(biāo)變換方程為：i=ci （3-2）式中,i為新變量,i稱為原變量,c為電流變換矩陣。電壓坐標(biāo)變換方程為：u=bu （3-3）式中,u為新變量,u為原變量,b為電壓變換矩陣。根據(jù)功率不變?cè)瓌t，可以證明：b=ct （3-4）式中，ct為矩陣c的轉(zhuǎn)置矩陣。以上表明，當(dāng)按照功率不變約束條件進(jìn)

3、行變換時(shí)，若已知電流變換矩陣就可以確定電壓變換矩陣。3.2 定子繞組軸系的變換（a-b-c-）所謂相變換就是三相軸系到二相軸系或二相軸系到三相軸系的變換，簡(jiǎn)稱3/2變換或2/3變換。三相軸系和二相軸系之間的關(guān)系如圖3-1所示，為了方便起見，令三相的a軸與兩相的軸重合。假設(shè)磁勢(shì)波形是按正弦分布，或只計(jì)其基波分量，當(dāng)二者的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)完全等效時(shí)，合成磁勢(shì)沿相同軸向的分量必定相等，即三相繞組和二相組繞的瞬時(shí)磁勢(shì)沿、軸的投影應(yīng)該相等，即：（3-5）式中，n3、n2分別為三相電機(jī)和兩相電機(jī)每相定子繞組的有效匝數(shù)。 經(jīng)計(jì)算并整理之后可得：（3-6）（3-7） 圖3-1 三相定子繞組和二相定子繞組中磁勢(shì)的空間矢

4、量位置關(guān)系 用矩陣表示為：（3-8）如果規(guī)定三相電流為原電流i,兩相電流為新電流i,根據(jù)電流變換的定義式(3-2)，式(3-8)具有i=c-1i的形式，為了通過求逆得到c就要引進(jìn)另一個(gè)獨(dú)立于is和is的新變量，記這個(gè)新變量為io，稱之為零序電流，并定義為：（3-9）式中，k為待定系數(shù)。補(bǔ)充io后，式（3-8）變?yōu)椋海?-10）則： （3-11）將c-1求逆，得到:（3-12）其轉(zhuǎn)置矩陣為：（3-13）根據(jù)確定變換矩陣的第三條原則即要求c-1=ct，可得 和 ，從而有 和 ，代入相應(yīng)的變換矩陣式中，得到各變換矩陣如下：二相三相的變換矩陣： （3-14）三相二相的變換矩陣： （3-15）對(duì)于三相y

5、形不帶零線的接線方式有，iaii則，i=iai，由式（3-8）可以得到：（3-16）而二相三相的變換可以簡(jiǎn)化為：（3-17）圖3-2表示按式（3-16）構(gòu)成的三相二相（3/2）變換器模型結(jié)構(gòu)圖。 圖3-2 3/2變換模型結(jié)構(gòu)圖3/2變換、2/3變換在系統(tǒng)中的符號(hào)表示如圖3-3所示。圖3-3 3/2變換和2/3變換在系統(tǒng)中的符號(hào)表示如前所述，根據(jù)變換前后功率不變的約束原則，電流變換矩陣也就是電壓變換矩陣，還可以證明，它們也是磁鏈的變換矩陣。3.3 轉(zhuǎn)子繞組軸系變換（）圖3-4(a)是一個(gè)對(duì)稱的異步電動(dòng)機(jī)三相轉(zhuǎn)子繞組。圖中sl為轉(zhuǎn)差角頻率。在轉(zhuǎn)子對(duì)稱多相繞相中，通入對(duì)稱多相交流正弦電流時(shí)，生成合成

6、的轉(zhuǎn)子磁勢(shì)fr，由電機(jī)學(xué)可知，轉(zhuǎn)子磁勢(shì)與定子磁勢(shì)具有相同的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)向。圖3-4 轉(zhuǎn)子三相軸系到兩相軸系的變換根據(jù)旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)等效原則及功率不變約束條件，同定子繞組一樣，可把轉(zhuǎn)子三相軸系變換到兩相軸系。具體做法是，把等效的兩相電機(jī)的兩相轉(zhuǎn)子繞組d、q相序和三相電機(jī)的三相轉(zhuǎn)子繞組a、b、c相序取為一致，且使d軸與a軸重合，如圖3-4(b)所示。然后，直接使用定子三相軸系到兩相軸系的變換矩陣(參見式3-15）。3.4 旋轉(zhuǎn)變換在兩相靜止坐標(biāo)系上的兩相交流繞組和和在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的兩個(gè)直流繞組m和t之間的變換屬于矢量旋轉(zhuǎn)變換。它是一種靜止的直角坐標(biāo)系與旋轉(zhuǎn)的直角坐標(biāo)系之間的變換。這種變換同樣遵守確定變換

7、矩陣的三條原則。轉(zhuǎn)子d、q兩相旋轉(zhuǎn)軸系，根據(jù)確定變換矩陣的三條原則，也可以把它變換到靜止的-軸系上，這種變換也屬于矢量旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換。3.4.1 定子軸系的旋轉(zhuǎn)變換圖3-5 旋轉(zhuǎn)變換矢量關(guān)系圖 在圖3-5中，fs是異步電動(dòng)機(jī)定子磁勢(shì)，為空間矢量。通常以定子電流is代替它，這時(shí)定子電流被定義為空間矢量，記為is。圖中m、t是任意同步旋轉(zhuǎn)軸系，旋轉(zhuǎn)角速度為同步角速度s。m軸與is之間的夾角用s表示。由于兩相繞組和在空間上的位置是固定的，因而m軸和軸的夾角 是隨時(shí)間變化的，即 ，其中 為任意的初始角。在矢量控制系統(tǒng)中， 通常稱為磁場(chǎng)定向角。以m軸為基準(zhǔn)，把is分解為與m軸重合和正交的兩個(gè)分量ism和i

8、st，分別稱為定子電流的勵(lì)磁分量和轉(zhuǎn)矩分量。由于磁場(chǎng)定向角 是隨時(shí)間變化的，因而is在軸和軸上的分量is和is也是隨時(shí)間變化的。由圖3-5可以看出，is、is和ism和ist之間存在著下列關(guān)系： 寫成矩陣形式為：（3-18）簡(jiǎn)寫： 式中， 為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系到靜止坐標(biāo)系的變換矩陣。變換矩陣c是正交矩陣即ct=c-1,因此,由靜止坐標(biāo)系變換到同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的矢量旋轉(zhuǎn)變換方程式為: 簡(jiǎn)寫： 式中， 為靜止坐標(biāo)系到同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換矩陣。電壓和磁鏈的旋轉(zhuǎn)變換矩陣與電流的旋轉(zhuǎn)變換矩陣相同。根據(jù)式（3-18）和式（3-19）可以繪出矢量旋轉(zhuǎn)變換器模型結(jié)構(gòu)，如圖3-6所示。 圖3-6 矢量旋轉(zhuǎn)變換器模型結(jié)

9、構(gòu)圖 由圖3-6可知，矢量旋轉(zhuǎn)變換器由四個(gè)乘法器和兩個(gè)加法器及一個(gè)反號(hào)器組成，在系統(tǒng)中用符號(hào)vr，vr-1表示，如圖3-7所示。在德文中，矢量旋轉(zhuǎn)變換器叫做矢量回轉(zhuǎn)器用符號(hào)vd表示。圖3-7 矢量旋轉(zhuǎn)變換器在系統(tǒng)中的符號(hào)表示3.4.2 轉(zhuǎn)子軸系的旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)子d-q軸系以 角速度旋轉(zhuǎn)，根據(jù)確定變換矩陣的三條原則，可以把它變換到靜止不動(dòng)的-軸系上，如圖3-8所示。 圖3-8 轉(zhuǎn)子兩相旋轉(zhuǎn)軸系到靜止軸系的變換轉(zhuǎn)子三相旋轉(zhuǎn)繞組（a-b-c）經(jīng)三相到二相變換得到轉(zhuǎn)子兩相旋轉(zhuǎn)繞組(d-q)。假設(shè)兩相靜止繞組r、r除不旋轉(zhuǎn)之外，與d、q繞組完全相同。根據(jù)磁場(chǎng)等效的原則，轉(zhuǎn)子磁勢(shì)fr沿軸和軸給出的分量等式，再

10、除以每相有效匝數(shù)，可得:寫成矩陣形式（3-20） 如果規(guī)定ird、irq為原電流，ir、ir為新電流，則式中：（3-21）c-1的逆矩陣為：若存在零序電流，由于零序電流不形成旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，只需在主對(duì)角線上增加數(shù)1，使矩陣增加一列一行即可（3-22） 需要指出的是，由于轉(zhuǎn)子磁勢(shì)fr和定子磁勢(shì)fs同步，可使r、r與s、s同軸。但是，實(shí)際上轉(zhuǎn)子繞組與、軸系有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以r繞組和r繞組只能看作是偽靜止繞組。需要明確的是，在進(jìn)行這個(gè)變換的前后，轉(zhuǎn)子電流的頻率是不同的。變換之前，轉(zhuǎn)子電流ird、irq的頻率是轉(zhuǎn)差頻率，而變換之后，轉(zhuǎn)子電流ir、ir的頻率是定子頻率。可證明如下:（3-23）利用三角公式，并考

11、慮到r=rt則有：（3-24） 從轉(zhuǎn)子三相旋轉(zhuǎn)軸系到兩相靜止軸系也可以直接進(jìn)行變換。轉(zhuǎn)子三相旋轉(zhuǎn)軸系a-b-c到靜止軸系-的變換矩陣可由式（3-15）及式（3-21）相乘得到：(3-25）求c-1的逆，得到（3-26）c是一個(gè)正交矩陣，當(dāng)電機(jī)為三相電機(jī)時(shí)，可直接使用式（3-25）給出的變換矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)子三相旋轉(zhuǎn)軸系（a-b-c）到兩相靜止軸系（-）的變換，而不必從（a-b-c）到（d-q-o），再從（d-q-o）到（-）那樣分兩步進(jìn)行變換。3.5 直角坐標(biāo)極坐標(biāo)變換（k/p）在矢量控制系統(tǒng)中常用直角坐標(biāo)極坐標(biāo)的變換，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系是：（3-27）（3-28）式中，s為m軸與定子電流矢量is之間的夾角。由于s取值不同時(shí)， 的變化范圍為0，這個(gè)變化幅度太大，難以實(shí)施應(yīng)用