一階微分方程積分因子探討

1、一階微分方程積分因子的求法探討 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)教師：鄭麗麗 職稱：教授摘 要：針對(duì)滿足某些條件的微分方程，本文將給出幾種直接、有效地求積分因子的方法關(guān)鍵詞：一階微分方程；積分因子The Solution ofIntegral Factor for the First Order Ordinary Differential EquationAbstract：This paper has made a special effort to study how to quadrate integral factors directly and efficientlyWhen

2、 the differential equations meet some conditions， therefore， the common method we can get from itKey Words：the first order ordinary differential equation；integral factor前言 一階微分方程的求解是整個(gè)微分方程求解的基礎(chǔ)，一般的有兩種處理方式：一是以變量可分離的方程為基礎(chǔ)，通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q把一階微分方程化為可積型方程；另外就是以全微分方程為基礎(chǔ)，采取積分因子法把一個(gè)一階微分方程化為全微分方程求這里我們討論了積分因子存在的充要條件

3、，給出了確定若干特殊類型的積分因子的求法1積分因子的定義若對(duì)于一階微分方程 其中，在矩形域內(nèi)是的連續(xù)函數(shù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)若存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得，為一恰當(dāng)方程，即存在函數(shù)，使則稱為方程的積分因子通過計(jì)算可得，函數(shù)為積分因子的充要條件為：，即 這是個(gè)以為未知數(shù)的一階線性偏微分方程，要想通過解方程來求積分因子通常很困難，但在若干特殊情況下，求積分因子還是容易的，下面總結(jié)了幾種可以方便求出特殊類型的積分因子的方法2積分因子存在的充要條件定理1 方程具有形如的積分因子的充要條件為：證明 因?yàn)橛蟹e分因子的充要條件為令，則有，即并由此得出其積分因子為根據(jù)這個(gè)定理可以得出以下特殊類型的積分因子的充要

4、條件2.1 具有形式的積分因子方程具有特殊因子的充要條件為，這里僅為的函數(shù)于是積分因子為例1求的積分因子解 因?yàn)?，且，則，于是積分因子為2.2 具有形式的積分因子方程具有特殊因子的充要條件為，這里僅為的函數(shù)于是積分因子為例2求的積分因子解 因?yàn)椋?，于是積分因子為2.3 具有形式的積分因子方程具有特殊因子的充要條件為例3求方程的積分因子解 因?yàn)椋?，且，只與有關(guān)，于是有積分因子2.4 具有形式的積分因子方程具有特殊因子的充要條件為例4 求方程的積分因子解 因?yàn)椋?，且，于是積分因子為推廣 方程具有特殊因子的充要條件是：2.5 具有形式的積分因子方程具有特殊因子的充要條件為由此又可分為二種類型：

5、 方程具有特殊因子的充要條件為; 方程具有特殊因子的充要條件為例5 求方程的積分因子解設(shè)積分因子為，于是有，或?qū)懗缮鲜綄?duì)任意和都滿足時(shí)，必須有，解之得，于是有積分因子注 此種類型中，的確定可用待定系數(shù)法以上所討論的是微分方程具有特殊因子的求法而有些方程具有特殊結(jié)構(gòu)，我們可根據(jù)其特殊結(jié)構(gòu)求出其積分因子3特殊結(jié)構(gòu)方程的積分因子定理2 方程有積分因子：定理3 如果，而和皆為次齊次函數(shù)，則方程有積分因子：4 分組求積分因子法對(duì)于一些復(fù)雜的方程，往往不容易直接求出它們的積分因子，這是可以把它的左邊分組，分別求出各組的積分因子，然后再求總的式子的積分因子例如分成兩組： 可分別求出各組的積分因子和，也就是如

6、果有，使：，于是借助，常可求得得積分因子定理4如果是的一個(gè)積分因子，且，則也是的積分因子此處是的任一連續(xù)函數(shù)而，其中是的一個(gè)原函數(shù)據(jù)此知，對(duì)任意的函數(shù)，及都分別是的第一組和第二組的積分因子函數(shù)、有著廣泛選擇的可能性，若能選擇、使：，則就既是的第一組也是第二組的積分因子因而也就是的積分因子例6求方程的積分因子解 原方程改寫為，顯然，為使，只需取，于是求的原方程的一個(gè)積分因子：綜上所述，該文介紹一些特殊類型的積分因子的求法及部分特殊結(jié)構(gòu)的微分方程的積分因子的求法，只要掌握這幾種方法，就能很容易的解出一些方程的積分因子，將大大提高解微分方程的效率和可操作性參考文獻(xiàn)：1 焦寶聰，王在洪，時(shí)紅廷常微分方程M北京：清華大學(xué)出版社，20082 孫清華，李金蘭常微分方程內(nèi)容、方法和技巧M武漢：華中科技大學(xué)出版社，20063 錢偉長常微分方程的理論及其解法M北京：國防工業(yè)出版社19924 丁同仁，李承浩常微分方程教程M北京：高等教育出版社19915 王高雄，周之銘，王壽松常微分方程M北京：高等教育出版社20066 潘鶴鳴幾種特殊類型積分因子的求法及在解微分方程中的應(yīng)用J巢湖學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（3）：18-227 李德新兩類特殊微分方程的積分因子解法J福建農(nóng)林