一元一次不等式組知識(shí)要點(diǎn)及典型題目講解

1、一元一次不等式組知識(shí)要點(diǎn)及典型題目講解一、重點(diǎn)難點(diǎn)提示重點(diǎn)：理解一元一次不等式組的概念及解集的概念。難點(diǎn)：一元一次不等式組的解集含義的理解及一元一次不等式組的幾個(gè)基本類型解集的確定。 二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)：1、幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。但這“幾個(gè)一元一次不等式”必須含有同一個(gè)未知數(shù)，否則就不是一元一次不等式組了。 2、前面學(xué)習(xí)過(guò)的二元一次方程組是由二個(gè)一次方程聯(lián)立而成，在解方程組時(shí)，兩個(gè)方程不是獨(dú)立存在的（代入法和加減法本身就說(shuō)明了這點(diǎn)）；而一元一次不等式組中幾個(gè)不等式卻是獨(dú)立的，而且組成不等式組的不等式的個(gè)數(shù)可以是三個(gè)或多個(gè)。（我們主要學(xué)習(xí)由兩個(gè)一元一次不等式組成的不

2、等式組）。 3、在不等式組中，幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們組成的一元一次不等式組的解集。（注意借助于數(shù)軸找公共解） 4、一元一次不等式組的基本類型（以兩個(gè)不等式組成的不等式組為例）類型（設(shè)a>b）不等式組的解集數(shù)軸表示1.（同大型，同大取大）x>a2.（同小型，同小取?。?x<b3.（一大一小型，小大之間） b<x<a4.（比大的大，比小的小空集）無(wú)解 三、一元一次不等式組的解法 例1.解不等式組，并將解集標(biāo)在數(shù)軸上 分析：解不等式組的基本思路是求組成這個(gè)不等式組的各個(gè)不等式的解集的公共部分，在解的過(guò)程中各個(gè)不等式彼此之間無(wú)關(guān)系，是獨(dú)立的，在每一

3、個(gè)不等式的解集都求出之后，才從“組”的角度去求“組”的解集，在此可借助于數(shù)軸用數(shù)形結(jié)合的思想去分析和解決問(wèn)題。 解：解不等式(1)得x> 解不等式(2)得x4 （利用數(shù)軸確定不等式組的解集） 原不等式組的解集為<x4 步驟： （1）分別解不等式組的每一個(gè)不等式（2）求組的解集。 （借助數(shù)軸找公共部分） （3）寫(xiě)出不等式組解集（4）將解集標(biāo)在數(shù)軸上 例2.解不等式組 解：解不等式(1)得x>-1,解不等式(2)得x1, 解不等式(3)得x<2, 在數(shù)軸上表示出各個(gè)解為： 原不等式組解集為-1<x1 注意：借助數(shù)軸找公共解時(shí)，應(yīng)選圖中陰影部分，解集應(yīng)用小于號(hào)連接，由小

4、到大排列，解集不包括-1而包括1在內(nèi)，找公共解的圖為圖（1），若標(biāo)出解集應(yīng)按圖（2）來(lái)畫(huà)。 例3.解不等式組 解：解不等式(1)得x>-1, 解不等式(2), |x|5, -5x5, 將(3)(4)解在數(shù)軸上表示出來(lái)如圖， 原不等式組解集為-1<x5。 四、一元一次不等式組的應(yīng)用。 例4.求不等式組的正整數(shù)解。 步驟：解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3，解不等式1得x2， 原不等式組解集為x2，這個(gè)不等式組的正整數(shù)解為x=1或x=2 1、先求出不等式組的解集。 2、在解集中找出它所要求的特殊解， 正整數(shù)解。 例5，m為何整數(shù)時(shí)，方程組的解是非負(fù)數(shù)？ 分析

5、：本題綜合性較強(qiáng)，注意審題，理解方程組解為非負(fù)數(shù)概念，即。先解方程組用m的代數(shù)式表示x, y, 再運(yùn)用“轉(zhuǎn)化思想”，依據(jù)方程組的解集為非負(fù)數(shù)的條件列出不等式組尋求m的取值范圍，最后切勿忘記確定m的整數(shù)值。 解：解方程組得 方程組的解是非負(fù)數(shù)， 即 解不等式組此不等式組解集為m, 又m為整數(shù)，m=3或m=4。 例6，解不等式<0。 分析：由“”這部分可看成二個(gè)數(shù)的“商”此題轉(zhuǎn)化為求商為負(fù)數(shù)的問(wèn)題。兩個(gè)數(shù)的商為負(fù)數(shù)這兩個(gè)數(shù)異號(hào)，進(jìn)行分類討論，可有兩種情況。(1) 或(2)因此，本題可轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)不等式組。 解：<0, (1) 或(2) 由(1)無(wú)解，由(2)-<x<, 原不

6、等式的解為-<x<。 例7.解不等式-33x-1<5。 解法（1）:原不等式相當(dāng)于不等式組 解不等式組得-x<2，原不等式解集為-x<2。 解法（2）:將原不等式的兩邊和中間都加上1，得-23x<6, 將這個(gè)不等式的兩邊和中間都除以3得， -x<2, 原不等式解集為-x<2。 例8.x取哪些整數(shù)時(shí)，代數(shù)式與代數(shù)式的差不小于6而小于8。 分析：(1)“不小于6”即6, (2) 由題意轉(zhuǎn)化成不等式問(wèn)題解決， 解：由題意可得，6-<8, 將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組， 解不等式(1)得x6, 解不等式(2)得x>-, 原不等式組解集為-<x

7、6,-<x6的整數(shù)解為x=±3, ±2, ±1, 0, 4, 5, 6。 當(dāng)x取±3，±2，±1，0，4，5，6時(shí)兩個(gè)代數(shù)式差不小于6而小于8。 例9.有一個(gè)兩位數(shù)，它十位上的數(shù)比個(gè)位上的數(shù)小2，如果這個(gè)兩位數(shù)大于20并且小于40，求這個(gè)兩位數(shù)。 分析：這題是一個(gè)數(shù)字應(yīng)用題，題目中既含有相等關(guān)系，又含有不等關(guān)系，需運(yùn)用不等式的知識(shí)來(lái)解決。題目中有兩個(gè)主要未知數(shù)-十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)；一個(gè)相等關(guān)系：個(gè)位上的數(shù)十位上的數(shù)+2,一個(gè)不等關(guān)系：20<原兩位數(shù)<40。 解法（1）:設(shè)十位上的數(shù)為x, 則個(gè)位上的數(shù)為(x+2

8、), 原兩位數(shù)為10x+(x+2), 由題意可得：20<10x+(x+2)<40, 解這個(gè)不等式得，1<x<3, x為正整數(shù)，1<x<3的整數(shù)為x=2或x=3， 當(dāng)x=2時(shí)，10x+(x+2)=24, 當(dāng)x=3時(shí)，10x+(x+2)=35, 答：這個(gè)兩位數(shù)為24或35。 解法（2）:設(shè)十位上的數(shù)為x, 個(gè)位上的數(shù)為y, 則兩位數(shù)為10x+y, 由題意可得（這是由一個(gè)方程和一個(gè)不等式構(gòu)成的整體，既不是方程組也不是不等式組，通常叫做“混合組”）。 將(1)代入(2)得，20<11x+2<40, 解不等式得：1<x<3, x為正整數(shù)，1&l

9、t;x<3的整數(shù)為x=2或x=3, 當(dāng)x=2時(shí)，y=4，10x+y=24, 當(dāng)x=3時(shí)，y=5, 10x+y=35。 答：這個(gè)兩位數(shù)為24或35。 解法（3）:可通過(guò)“心算”直接求解。方法如下：既然這個(gè)兩位數(shù)大于20且小于40，所以它十位上的數(shù)只能是2和3。當(dāng)十位數(shù)為2時(shí)，個(gè)位數(shù)為4，當(dāng)十位數(shù)為3時(shí)，個(gè)位數(shù)為5，所以原兩位數(shù)分別為24或35。 例10.解下列不等式：(1)|4；(2)<0； (3)(3x-6)(2x-1)>0。 （1）分析：這個(gè)不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法來(lái)解。但由絕對(duì)值的知識(shí)|x|<a, (a>0)可知-a<

10、x<a, 將其轉(zhuǎn)化為；若|x|>a, (a>0)則x>a或x<-a。 解：|4, -44, 由絕對(duì)值的定義可轉(zhuǎn)化為： 即 解不等式(1)，去分母：3x-1-8, 解不等式(2)去分母：3x-18, 移項(xiàng)：3x-8+1,移項(xiàng)：3x8+1, 合并同類項(xiàng)：3x-7 合并同類項(xiàng)：3x9, 系數(shù)化為1，x-, 系數(shù)化為1：x3, ，原不等式的解集為-x3。 （2）分析：不等式的左邊為是兩個(gè)一次式的比的形式（也是以后要講的分式形式），右邊是零。它可以理解成“當(dāng)x取什么值時(shí)，兩個(gè)一次式的商是負(fù)數(shù)？”由除法的符號(hào)法則可知，只要被除式與除式異號(hào)，商就為負(fù)值。因此這個(gè)不等式的求解問(wèn)題

11、，可以轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式組的問(wèn)題。 解： <0，3x-6與2x+1異號(hào)， 即：I 或II 解I的不等式組得, 不等式組無(wú)解，解II的不等式組得, 不等式組的解集為-<x<2,原不等式的解集為-<x<2。 （3）分析：不等式的左邊是(3x-6)(2x+1)為兩個(gè)一次式的積的形式，右邊是零。它可以理解為“當(dāng)x取何值時(shí)，兩個(gè)一次式的積是正數(shù)？”由乘法的符號(hào)法則可知只要兩個(gè)因式同號(hào)，積就為正值。因此這個(gè)不等式的求解問(wèn)題，也可以轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式組的問(wèn)題。 解： (3x-6)(2x+1)>0, (3x-6)與(2x+1)同號(hào)， 即I或II 解I的不等式組得,

12、不等式組的解集為x>2,解II的不等式組得, 不等式組的解集為x<-, 原不等式的解集為x>2或x<-。 說(shuō)明：ab>0(或>0)與ab<0（或<0）這兩類不等式都可以轉(zhuǎn)化為不等式組的形式，進(jìn)行分類討論。這類問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化如下：（1）ab>0(或>0), a、b同號(hào)， 即I或II , 再分別解不等式組I和II， 如例10的（3）題。 （2）ab<0（或<0）, ab<0(或<0), a、b異號(hào)， 即I或II, 再分別解不等式組I和不等式組II。 例11.已知整數(shù)x滿足不等式3x-46x-2和不等式-1<,

13、并且滿足方程3(x+a)=5a-2試求代數(shù)式5a3-的值。 分析：同時(shí)滿足兩個(gè)不等式的解的x值實(shí)際是將這兩個(gè)不等式組成不等式組，這個(gè)不等式組的解集中的整數(shù)為x值。再將x值代入方程3(x+a)=5a-2，轉(zhuǎn)化成a的方程求出a值，再將a代入代數(shù)式5a3-即可。 解：整數(shù)x滿足3x-46x-2和-1<, x為，解集的整數(shù)值， 解不等式(1)，得x-, 解不等式(2)得，x<1,的解集為-x<1。 -x<1的整數(shù)x為x=0, 又x=0滿足方程3(x+a)=5a-2, 將x=0代入3(x+a)=5a-2中, 3(0+a)=5a-2, a=1, 當(dāng)a=1時(shí)，5a3-=5×

14、13-=4, 答：代數(shù)式5a3-的值為4。 一次不等式（組）中參數(shù)取值范圍求解技巧 (提高部分)已知一次不等式（組）的解集（特解），求其中參數(shù)的取值范圍，以及解含方程與不等式的混合組中參變量（參數(shù)）取值范圍，近年在各地中考卷中都有出現(xiàn)。求解這類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，靈活性大，蘊(yùn)含著不少的技能技巧。下面舉例介紹常用的五種技巧方法。 一、化簡(jiǎn)不等式（組），比較列式求解例1若不等式的解集為，求k值。 解：化簡(jiǎn)不等式，得x5k，比較已知解集，得，。 例2（2001年山東威海市中考題）若不等式組的解集是x>3，則m的取值范圍是（ ）。A、m3B、m=3C、m<3D、m3 解：化簡(jiǎn)不等式組，得，比較已

15、知解集x>3，得3m, 選D。 例3（2001年重慶市中考題）若不等式組的解集是-1<x<1，那么(a+1)(b-1)的值等于_。 解：化簡(jiǎn)不等式組，得 它的解集是-1<x<1， 也為其解集，比較得 (a+1)(b-1)=-6. 評(píng)述：當(dāng)一次不等式（組）化簡(jiǎn)后未知數(shù)系數(shù)不含參數(shù)（字母數(shù)）時(shí)，比較已知解集列不等式（組）或列方程組來(lái)確定參數(shù)范圍是一種常用的基本技巧。 二、結(jié)合性質(zhì)、對(duì)照求解例4（2000年江蘇鹽城市中考題）已知關(guān)于x的不等式(1-a)x>2的解集為，則a的取值范圍是（ ）。A、a>0B、a>1C、a<0D、a<1 解：對(duì)照

16、已知解集，結(jié)合不等式性質(zhì)3得：1-a<0, 即a>1，選B。 例5（2001年湖北荊州市中考題）若不等式組的解集是x>a，則a的取值范圍是（ ）。 A、a<3B、a=3C、a>3D、a3 解：根確定不等式組解集法則：“大大取較大”，對(duì)照已知解集x>a,得a3, 選D。 變式（2001年重慶市初數(shù)賽題）關(guān)于x的不等式(2a-b)x>a-2b的解集是，則關(guān)于x的不等式ax+b<0的解集為_(kāi)。 三、利用性質(zhì)，分類求解例6已知不等式的解集是，求a的取值范圍。 解：由解集得x-2<0,脫去絕對(duì)值號(hào)，得。 當(dāng)a-1>0時(shí)，得解集與已知解集矛盾；

17、當(dāng)a-1=0時(shí)，化為0·x>0無(wú)解； 當(dāng)a-1<0時(shí)，得解集與解集等價(jià)。 例7若不等式組有解，且每一個(gè)解x均不在-1x4范圍內(nèi)，求a的取值范圍。 解：化簡(jiǎn)不等式組，得 它有解， 5a-6<3aa<3；利用解集性質(zhì)，題意轉(zhuǎn)化為：其每一解在x<-1或x>4內(nèi)。于是分類求解，當(dāng)x<-1時(shí)，得，當(dāng)x>4時(shí)，得4<5a-6a>2。故或2<a<3為所求。 評(píng)述：(1)未知數(shù)系數(shù)含參數(shù)的一次不等式，當(dāng)不明確未知數(shù)系數(shù)正負(fù)情況下，須得分正、零、負(fù)討論求解；對(duì)解集不在ax<b 范圍內(nèi)的不等式(組)，也可分x<a或x b

18、 求解。(2)要細(xì)心體驗(yàn)所列不等式中是否能取等號(hào)，必要時(shí)畫(huà)數(shù)軸表示解集分析等號(hào)。 四、借助數(shù)軸，分析求解 例8（2000年山東聊城中考題）已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共5個(gè)，則a的取值范圍是_。 解：化簡(jiǎn)不等式組，得有解，將其表在數(shù)軸上，如圖1，其整數(shù)解5個(gè)必為x=1,0,-1,-2,-3。由圖1得：-4<a-3。 變式:(1)若上不等式組有非負(fù)整數(shù)解，求a的范圍。 (2)若上不等式組無(wú)整數(shù)解，求a的范圍。(答：(1)-1<a0；(2)a>1) 例9關(guān)于y的不等式組 的整數(shù)解是-3，-2，-1，0，1。求參數(shù)t的范圍。 解：化簡(jiǎn)不等式組，得 其解集為 借助數(shù)軸圖2得 化簡(jiǎn)得 , 。 評(píng)述：不等式(組)有特殊解(整解、正整數(shù)解等)必有解(集)，反之不然。圖2中確定可動(dòng)點(diǎn)A、B的位置，是正確列不等