實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組（二）（基礎(chǔ)）主講沈老師【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1熟悉行程、方案、數(shù)字等問(wèn)題的解決方法； 2. 進(jìn)一步研究用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、常見(jiàn)的一些等量關(guān)系（二）1. 行程問(wèn)題速度×時(shí)間=路程. 順?biāo)俣?靜水速度+水流速度. 逆水速度=靜水速度-水流速度.2存貸款問(wèn)題 利息=本金×利率×期數(shù).本息和（本利和）本金利息本金本金×利率×期數(shù)本金×(1利率×期數(shù)) .年利率月利率×12.月利率年利率×.3.數(shù)字問(wèn)題 已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)

2、等這類問(wèn)題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10b+a4方案問(wèn)題 在解決問(wèn)題時(shí)，常常需合理安排需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購(gòu)票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案要點(diǎn)詮釋：方案選擇題的題目較長(zhǎng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳方案要點(diǎn)二、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組1.列方程組解應(yīng)用題的基本思路 2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟設(shè)：用兩個(gè)字母表示問(wèn)題中的兩個(gè)未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗(yàn)：檢驗(yàn)求得的值是否

3、正確和符合實(shí)際情形；答：寫出答案要點(diǎn)詮釋：（1）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.【典型例題】類型一、行程問(wèn)題1. A、B兩地相距480千米，一列慢車從A地開(kāi)出，一列快車從B地開(kāi)出 (1)如果兩車同時(shí)開(kāi)出相向而行，那么3小時(shí)后相遇；如果兩車同時(shí)開(kāi)出同向(沿BA方向)而行，那么快車12小時(shí)可追上慢車，求快車與慢車的速度； (2)如果慢車先開(kāi)出l小時(shí)，兩車相向而行，那么快車開(kāi)出幾小時(shí)可與慢車相遇?【思路點(diǎn)撥】這兩個(gè)問(wèn)

4、題均可以利用路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系列方程(組)求解(1)“同時(shí)開(kāi)出相向而行”可用下圖表示“同時(shí)開(kāi)出同向而行”可用下圖表示(2)慢車先開(kāi)出1小時(shí)，兩車相向而行，仿照（1）用示意圖表示出來(lái)，并用等式表示出來(lái)【答案與解析】解：(1)設(shè)快車和慢車的速度分別為x千米/時(shí)和y千米/時(shí)根據(jù)題意，得，解得 答：快車和慢車的速度分別為100千米/時(shí)和60千米/時(shí)(2)設(shè)快車開(kāi)出x小時(shí)可與慢車相遇，則此時(shí)慢車開(kāi)出(x+1)小時(shí)，根據(jù)題意，得60(x+1)+100x480解得 答：快車開(kāi)出小時(shí)兩車相遇【總結(jié)升華】比較復(fù)雜的行程問(wèn)題可以通過(guò)畫“線條”圖幫助分析，求解時(shí)應(yīng)分清相遇、追及、相向、同向等關(guān)鍵詞【實(shí)際問(wèn)題

5、與二元一次方程組（二） 例6】舉一反三：【變式】?jī)闪谢疖噺南嗑?10km的兩城同時(shí)出發(fā)，出發(fā)后10h相遇；若第一列火車比第二列火車先出發(fā)9h，則第二列火車出發(fā)5h后相遇，問(wèn)這兩列火車的速度分別是多少？【答案】解：設(shè)這兩列火車的速度分別為km/h，km/m由題意得，答：這兩列火車的速度分別為45 km/h和 36 km/h類型二、存貸款問(wèn)題2. 蔬菜種植專業(yè)戶徐先生要辦一個(gè)小型蔬菜加工廠，分別向銀行申請(qǐng)了甲，乙兩種貸款，共13萬(wàn)元，徐先生每年須付利息6075元，已知甲種貸款的年利率為6%，乙種貸款的年利率為3.5%，則甲，乙兩種貸款分別是多少元？【思路點(diǎn)撥】本題的等量關(guān)系：甲種貸款+乙種貸款13

6、萬(wàn)元；甲種貸款的年利息+乙種貸款的年利息6075元.【答案與解析】解：設(shè)甲，乙兩種貸款分別是x，y元，根據(jù)題意得：解得：答：甲，乙兩種貸款分別是61000元和69000元【總結(jié)升華】利息貸款金額×利息率.類型三、數(shù)字問(wèn)題3.有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5，如果把這兩個(gè)數(shù)的位置對(duì)換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個(gè)兩位數(shù)【思路點(diǎn)撥】本題中的等量關(guān)系：個(gè)位上的數(shù)十位上的數(shù)5；原數(shù)+新數(shù)143【答案與解析】解：設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)中，個(gè)位上的數(shù)字為x，十位上的數(shù)字為y則原數(shù)為10y+x，把這兩個(gè)數(shù)的位置對(duì)換后，所得的新數(shù)為10x+y，根據(jù)題意，得：，解方程組，得故這個(gè)兩位數(shù)為1

7、0y+x10×4+949答：這個(gè)兩位數(shù)為49【總結(jié)升華】對(duì)于兩位數(shù)、三位數(shù)的數(shù)字問(wèn)題，關(guān)鍵是明確它們與各數(shù)位上的數(shù)字之間的關(guān)系：兩位數(shù)十位數(shù)字×10+個(gè)位數(shù)字；三位數(shù)百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個(gè)位數(shù)字舉一反三：【變式】一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字之和為8，個(gè)位與十位互換后，所得的新數(shù)比原數(shù)小18，則這個(gè)兩位數(shù)是 【答案】53類型四、方案選擇問(wèn)題4.聰聰暑期在一家商場(chǎng)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，商場(chǎng)老板想要購(gòu)進(jìn)A、B兩種新型節(jié)能臺(tái)燈共50盞，只給了聰聰2500元進(jìn)貨款和一份價(jià)目表，這兩種臺(tái)燈的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如下表所示 類型價(jià)格A型B型進(jìn)價(jià)（元/盞）4065標(biāo)價(jià)

8、（元/盞）60100(1)同學(xué)們，你知道聰聰購(gòu)買了這兩種臺(tái)燈各多少盞嗎?(2)在每種臺(tái)燈銷售利潤(rùn)不變的情況下，若老板要求：計(jì)劃銷售這批臺(tái)燈的總利潤(rùn)達(dá)到1405元，問(wèn)至少需購(gòu)進(jìn)B型臺(tái)燈多少盞?【思路點(diǎn)撥】(1)兩種燈的總數(shù)為50，兩種燈的進(jìn)貨款總和為2500元，列出二元一次方程組，求出兩種燈的數(shù)量再利用B型燈的數(shù)量設(shè)參，根據(jù)兩種燈的總利潤(rùn)達(dá)到1405元列方程，即可求出B型燈的數(shù)量【答案與解析】解：(1)設(shè)A型臺(tái)燈購(gòu)進(jìn)x盞，B型臺(tái)燈購(gòu)進(jìn)y盞根據(jù)題意，得，解得： (2)設(shè)購(gòu)進(jìn)B型臺(tái)燈m盞，根據(jù)題意，得35m+20(50-m)1405， 解得m27 答：(1)A型臺(tái)燈購(gòu)進(jìn)30盞，B型臺(tái)燈購(gòu)進(jìn)20盞；(

9、2)要使銷售這批臺(tái)燈的總利潤(rùn)達(dá)到1405元，至少需購(gòu)進(jìn)B種臺(tái)燈27盞【總結(jié)升華】本例為直接設(shè)元，利用表格進(jìn)行分析、判斷，這種方法值得學(xué)習(xí)和借鑒【實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組（二） 例1】舉一反三：【變式】某高校共有5個(gè)大餐廳和2個(gè)小餐廳，經(jīng)過(guò)測(cè)試同時(shí)開(kāi)放1個(gè)大餐廳、2個(gè)小餐廳，可供1680名學(xué)生就餐；同時(shí)開(kāi)放2個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳，可供2280名學(xué)生就餐.（1）求1個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐；（2）若7個(gè)餐廳同時(shí)開(kāi)放，能否供全校的5300名學(xué)生就餐？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】解：(1)設(shè)1個(gè)大餐廳可供x名學(xué)生就餐，1個(gè)小餐廳可供y名學(xué)生就餐.則根據(jù)題意可得：解得：答：1個(gè)大餐廳可供960

10、名學(xué)生就餐，1個(gè)小餐廳可供360名學(xué)生就餐.能供全校的5300名學(xué)生就餐.【鞏固練習(xí)】一、選擇題1甲、乙兩人騎自行車同時(shí)從相距65km的兩地相向而行，2h相遇，若甲比乙每小時(shí)多騎2.5km，則乙的速度是每小時(shí)（）A12.5km B15km C17.5km D20km2.已知一個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大，若顛倒個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的位置，得到的新數(shù)比原數(shù)小，求這個(gè)兩位數(shù)所列的方程組正確的是（）3.甲、乙二人按2：5的比例投資開(kāi)辦了一家公司，約定除去各項(xiàng)開(kāi)支外，所得利潤(rùn)按投資比例分成若第一年贏利14000元，那么甲、乙二人分別應(yīng)分得（ ） A2000元，5000元 B5000元，20

11、00元 C4000元，10000元 D10000元，4000元4今年哥哥的年齡是妹妹的2倍，2年前哥哥的年齡是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年齡，設(shè)2年前哥哥x歲，妹妹y歲，依題意，得到的方程組是（ ）A BC D5. 爸爸將3000元工資的40%存到銀行，整存整取二年，年利率2.79%，到期后，他可能取出本金和利息共（）元A3000×40%×2.79%B3000×40%×2.79%×2C3000×40%×2.79%×2+3000D3000×40%×2.79%×2+3000×

12、;40%6. 為了參加威海國(guó)際鐵人三項(xiàng)（游泳、自行車、長(zhǎng)跑）系列賽業(yè)余組的比賽，李明針對(duì)自行車和長(zhǎng)跑項(xiàng)目進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練某次訓(xùn)練中，李明騎自行車的平均速度為每分鐘600米，跑步的平均速度為每分鐘200米，自行車路段和長(zhǎng)跑路段共5千米，用時(shí)15分鐘設(shè)自行車路段的長(zhǎng)度為x米，長(zhǎng)跑路段的長(zhǎng)度y米則方程組正確的是（ ）A.B. C.D.二、填空題7.甲、乙兩人速度之比是2：3，則他們?cè)谙嗤瑫r(shí)間內(nèi)走過(guò)的路程之比是 2：3，他們?cè)谧呦嗤烦趟钑r(shí)間之比是 3：28.小張以兩種形式儲(chǔ)蓄了500元，第一種儲(chǔ)蓄的年利率為3.7%，第二種儲(chǔ)蓄的年利率為2.25%，一年后得到利息和為15.6元，那么小張以這兩種形式儲(chǔ)蓄

13、的錢數(shù)分別是 元和 元9.大數(shù)和小數(shù)的差為12，這兩個(gè)數(shù)的和為60，則大數(shù)是 ，小數(shù)是小數(shù)是 10. 甲、乙兩人開(kāi)車，同時(shí)從相距105千米的兩城市相向而行，2小時(shí)后相遇已知甲每小時(shí)比乙多行駛2.5千米，則甲的速度 千米/小時(shí)，乙的速度 千米/小時(shí)11. 小龍和小剛兩人玩“打彈珠”游戲，小龍對(duì)小剛說(shuō)：“把你珠子的一半給我，我就有10顆珠子”小剛卻說(shuō)：“只要把你珠子的給我，我就有10顆”，那么小剛的彈珠顆數(shù)是 顆12. 學(xué)生問(wèn)老師：“您今年多大了”老師風(fēng)趣地說(shuō)：“我像你這么大時(shí)，你剛1歲；你到我這么大時(shí)，我已37歲了”那么老師現(xiàn)在的年齡是 歲三、解答題13一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字和是8

14、，將十位上數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字對(duì)調(diào)，得到新數(shù)比原數(shù)的2倍多10求原來(lái)的兩位數(shù)14. A、B兩地相距20km，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，2小時(shí)后在途中相遇，然后甲返回A地，乙仍繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)甲回到A地時(shí)，乙離A地還有4km，求甲、乙的速度15. 某同學(xué)在A、B兩家超市發(fā)現(xiàn)他看中的隨身聽(tīng)的單價(jià)相同，書(shū)包單價(jià)也相同隨身聽(tīng)和書(shū)包單價(jià)之和是452元，且隨身聽(tīng)的單價(jià)是書(shū)包單價(jià)的4倍少8元(1)求該同學(xué)看中的隨身聽(tīng)和書(shū)包的單價(jià)各是多少元?(2)某假期該同學(xué)上街，恰好趕上商家促銷，超市A所有商品打八折銷售，超市B全場(chǎng)購(gòu)滿100元返購(gòu)物券30元(銷售不足100元不返券，購(gòu)物券全場(chǎng)通用)，但他只帶了4

15、00元錢，如果他只在一家超市購(gòu)買看中的這兩樣物品，你能說(shuō)出他可以選擇在哪一家購(gòu)買嗎?若兩家都可以選擇，在哪一家購(gòu)買更省錢?【答案與解析】一、選擇題1. 【答案】B； 【解析】本題中的兩個(gè)等量關(guān)系為：甲速度=乙速度+2.5；2×甲速度+2×乙速度=652. 【答案】D；3. 【答案】C； 【解析】解：設(shè)甲、乙可獲得利潤(rùn)分別是2x元、5x元， 2x+5x=14000，解得x=2000即甲、乙可獲得利潤(rùn)分別是4000元、10000元4. 【答案】C； 5. 【答案】D；【解析】先求出存款額（即本金），再根據(jù)求利息的計(jì)算公式，利息=本金×年利率×時(shí)間，求出利息加

16、上本金即可6. 【答案】A；【解析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：自行車路段的長(zhǎng)度為x米+長(zhǎng)跑路段的長(zhǎng)度y米=5000米；騎自行車所用時(shí)間+跑步所用時(shí)間=15分鐘，根據(jù)等量關(guān)系可得方程組.二、填空題7. 【答案】2：3，3：2； 【解析】根據(jù)路程=速度×時(shí)間，得當(dāng)時(shí)間一定時(shí)，則路程之比等于速度之比；當(dāng)路程一定時(shí)，時(shí)間之比和速度之比成反比8. 【答案】300，200；【解析】可以設(shè)第一種儲(chǔ)蓄的錢數(shù)為x元，第二種為y元，根據(jù)本金×利率=利息及兩種儲(chǔ)蓄共500元，可以列出兩個(gè)方程，求方程組的解即可9. 【答案】36；2436，24；【解析】本題的等量關(guān)系較清晰：大數(shù)-小數(shù)=12；大數(shù)+小

17、數(shù)=60根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系就可列出方程組10【答案】27.527.5，25；25【解析】設(shè)甲的速度x千米/小時(shí)，乙的速度y千米/小時(shí)，由甲每小時(shí)比乙多行駛2.5千米可以得到方程x=y+2.5，又同時(shí)從相距105千米的兩城市相向而行，2小時(shí)后相遇，由此可以列出方程2x+2y=105，聯(lián)立兩個(gè)方程組成方程組即可解決問(wèn)題11.【答案】88；612.【答案】25； 【解析】本題中明顯的等量關(guān)系有兩個(gè)：學(xué)生現(xiàn)在的年齡-年齡差=1；老師現(xiàn)在的年齡+年齡差=37，據(jù)此可以設(shè)學(xué)生和老師現(xiàn)在的年齡分別為x歲、y歲，再列方程組求解三、解答題13.【解析】解：設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)為x，十位數(shù)為y，兩位數(shù)可表示為10y+x，根據(jù)題意得：解得答：原來(lái)的兩位數(shù)為2614.【解析】解：設(shè)甲的速度是x km/h，乙的速