Ch07間接平差例題

1、Ch07 間接平差_例題例 平差原理在一個三角形中，等精度獨立觀測了三個角，觀測值分別為L1、L2和L3。求此三角形各內角的最或然值。若能選取兩個內角L1、L2的平差值【最或然值】作為參數、，則可以建立參數與觀測值之間的函數關系式 稱為觀測方程可得 稱為誤差方程為了計算方便和計算數值的穩(wěn)定性，通常引入未知參數的近似值，這一點在實際計算中是非常重要的，令 ，則上式可寫成如下形式： 稱為誤差方程，也可以稱為某種意義上的條件方程（包含改正數、觀測值和參數，“條件個數=觀測值個數”），每個條件方程中僅只含有一個觀測值，且系數為1。單純?yōu)橄埽?、 、可有多組解，為此引入最小二乘原則： 可求得唯一解

2、。因此，間接平差是選取與觀測值有一定關系的獨立未知量作為參數，建立參數與觀測值之間的函數關系，按最小二乘原則，求解未知參數的最或然值，再根據觀測值與參數間的函數關系，求出觀測值的最或然值，故又稱為參數平差。對上述三角形，引入最小二乘原則，要求： ，設觀測值為等精度獨立觀測，則有： 按數學上求自由極值的方法對上式分別求偏導數并令等于零，可得 =>（2）×2-(1)=>=>=>， 代入誤差方程式，得到觀測值的平差值【最或然值】 例 水準網如圖所示的水準網中，A、B、C為已知水準點，高差觀測值及路線長度如下： = +1.003m， = +0.501m， = +0.5

3、03m， = +0.505m； =1km， =2km， =2km， =1km。已知 =11.000m， =11.500m， =12.008m，試用間接平差法求 及 點的高程平差值。 圖 解：（1）按題意知必要觀測數 =2，選取 、 兩點高程 、 為參數，取未知參數的近似值為 、 ，令2km觀測為單位權觀測，則 。 （2）根據圖形列平差值條件方程式，計算誤差方程式如下 代入具體數值，并將改正數以(mm)為單位，則有 可得 、 和 矩陣如下 、 、 （3）依據最小二乘原理，由誤差方程系數 和自由項 組成法方程 得 解算法方程，求出參數 （4）計算參數的平差值 ； （5）由誤差方程計算 ，求出觀測量

4、平差值 ； 例 導線網平差 如圖4-7所示，A、B、C為已知點，P1、P2是待定點。同精度觀測了六個角度、，測角中誤差為±2.5，測量了四條邊長、，觀測結果及其中誤差見表4-2。起算數據見表4-1。試按間接平差法求待定點P1及P2的坐標平差值。表4-1點名x(m)Y(m)S(m)坐標方位角（°）ABCD3143.2374609.3614157.1973822.9115260.3345025.6968853.2549795.7261484.7811000.000350 54 27.0109 31 44.9表4-2角度邊長編號觀測值（°）編號觀測值（°）編號

5、觀測值s（m）中誤差(cm)123444 05 44.893 10 43.142 43 27.2201 48 51.256201 57 34.0168 01 45.2789102185.0701522.8531500.0171009.021±3.3±2.3±2.2±1.5解：本題，即有10個誤差方程，其中有6個角度誤差方程，4個邊長誤差方程。必要觀測數?，F取待定點坐標平差值為參數，即 計算待定點近似坐標各點近似坐標按坐標增量計算，結果見表4-3。表4-3點名觀測角°坐標方位角°觀測邊長近似坐標ABP1DCP293 10 43.1168

6、 01 45.2350 54 27.077 43 43.9109 31 44.9301 29 59.71522.8531009.0213143.2374609.3614933.0253822.9114157.1974684.4085260.3345025.6966513.7569795.7268853.2547792.921 由已知點坐標和待定點近似坐標計算待定邊的近似坐標方位角和近似邊長（見表4-4）。表4-4方向近似坐標方位角近似邊長（m）AP1BP1P1 P2P2C35 00 15.477 43 43.999 32 27.8121 29 59.72185.0421522.8531499.

7、9131009.021 計算坐標方位角改正數方程的系數。計算時、均以m為單位，而、因其數值較小，采用cm為單位。有關系數值的計算見表4-5、表4-6。表4-5方向的系數（秒/cm）AP1BP1P1 P2P2C1253.4221488.0601479.165860.3331789.788323.664-248.617-527.211477×104232×104225×104102×104-0.542-1.3231.3560.7740.2880.228-1.3561.740-0.2281.066表4-6方向邊長誤差方程系數AP1BP1P1 P2P2C1789

8、.788323.664-248.617-527.2111253.4221488.0601479.165860.3332185.0421522.8531499.9131009.0210.81910.21250.16580.57360.9772-0.9862-0.16580.52250.9862-0.8526表4-7角123456-0.5421.323-0.7812.679-1.3560.774-0.288-0.486-0.060-0.228-1.3563.096-1.740-0.2281.294-1.066-3.60-1.37.32.10111111邊789100.81910.21250.165

9、80.57360.9772-0.9862-0.16580.52250.9862-0.85262.8010.400.571.181.292.78 法方程的組成和解算由表4-7取得誤差方程的系數項、常數項，組成法方程的系數項、常數項，可得法方程為系數陣的逆陣為由算得參數改正數：（cm） 平差值計算坐標平差值 觀測值的平差值根據公式得各改正數為從而得平差值為，如下表4-8表4-8編號觀測值平差值角144 05 44.844 05 44.5293 10 43.193 10 47.3342 43 27.242 43 28.34201 48 51.2201 48 49.95201 57 34.0201 57 32.76168 01 45.2168 01 42.6邊72185.0702185.04281522.8531522.82591500.0171499.981101009.0211009.002例 水準網P125 例題7-6在圖7-11中，A、B為已知水準點，高程為、，設為無誤差，各觀測的路線長度