Ch07間接平差例題

1、Ch07 間接平差_例題例 平差原理在一個(gè)三角形中，等精度獨(dú)立觀測(cè)了三個(gè)角，觀測(cè)值分別為L(zhǎng)1、L2和L3。求此三角形各內(nèi)角的最或然值。若能選取兩個(gè)內(nèi)角L1、L2的平差值【最或然值】作為參數(shù)、，則可以建立參數(shù)與觀測(cè)值之間的函數(shù)關(guān)系式 稱為觀測(cè)方程可得 稱為誤差方程為了計(jì)算方便和計(jì)算數(shù)值的穩(wěn)定性，通常引入未知參數(shù)的近似值，這一點(diǎn)在實(shí)際計(jì)算中是非常重要的，令 ，則上式可寫成如下形式： 稱為誤差方程，也可以稱為某種意義上的條件方程（包含改正數(shù)、觀測(cè)值和參數(shù)，“條件個(gè)數(shù)=觀測(cè)值個(gè)數(shù)”），每個(gè)條件方程中僅只含有一個(gè)觀測(cè)值，且系數(shù)為1。單純?yōu)橄埽?、 、可有多組解，為此引入最小二乘原則： 可求得唯一解

2、。因此，間接平差是選取與觀測(cè)值有一定關(guān)系的獨(dú)立未知量作為參數(shù)，建立參數(shù)與觀測(cè)值之間的函數(shù)關(guān)系，按最小二乘原則，求解未知參數(shù)的最或然值，再根據(jù)觀測(cè)值與參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系，求出觀測(cè)值的最或然值，故又稱為參數(shù)平差。對(duì)上述三角形，引入最小二乘原則，要求： ，設(shè)觀測(cè)值為等精度獨(dú)立觀測(cè)，則有： 按數(shù)學(xué)上求自由極值的方法對(duì)上式分別求偏導(dǎo)數(shù)并令等于零，可得 =>（2）×2-(1)=>=>=>， 代入誤差方程式，得到觀測(cè)值的平差值【最或然值】 例 水準(zhǔn)網(wǎng)如圖所示的水準(zhǔn)網(wǎng)中，A、B、C為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，高差觀測(cè)值及路線長(zhǎng)度如下： = +1.003m， = +0.501m， = +0.5

3、03m， = +0.505m； =1km， =2km， =2km， =1km。已知 =11.000m， =11.500m， =12.008m，試用間接平差法求 及 點(diǎn)的高程平差值。 圖 解：（1）按題意知必要觀測(cè)數(shù) =2，選取 、 兩點(diǎn)高程 、 為參數(shù)，取未知參數(shù)的近似值為 、 ，令2km觀測(cè)為單位權(quán)觀測(cè)，則 。 （2）根據(jù)圖形列平差值條件方程式，計(jì)算誤差方程式如下 代入具體數(shù)值，并將改正數(shù)以(mm)為單位，則有 可得 、 和 矩陣如下 、 、 （3）依據(jù)最小二乘原理，由誤差方程系數(shù) 和自由項(xiàng) 組成法方程 得 解算法方程，求出參數(shù) （4）計(jì)算參數(shù)的平差值 ； （5）由誤差方程計(jì)算 ，求出觀測(cè)量

4、平差值 ； 例 導(dǎo)線網(wǎng)平差 如圖4-7所示，A、B、C為已知點(diǎn)，P1、P2是待定點(diǎn)。同精度觀測(cè)了六個(gè)角度、，測(cè)角中誤差為±2.5，測(cè)量了四條邊長(zhǎng)、，觀測(cè)結(jié)果及其中誤差見表4-2。起算數(shù)據(jù)見表4-1。試按間接平差法求待定點(diǎn)P1及P2的坐標(biāo)平差值。表4-1點(diǎn)名x(m)Y(m)S(m)坐標(biāo)方位角（°）ABCD3143.2374609.3614157.1973822.9115260.3345025.6968853.2549795.7261484.7811000.000350 54 27.0109 31 44.9表4-2角度邊長(zhǎng)編號(hào)觀測(cè)值（°）編號(hào)觀測(cè)值（°）編號(hào)

5、觀測(cè)值s（m）中誤差(cm)123444 05 44.893 10 43.142 43 27.2201 48 51.256201 57 34.0168 01 45.2789102185.0701522.8531500.0171009.021±3.3±2.3±2.2±1.5解：本題，即有10個(gè)誤差方程，其中有6個(gè)角度誤差方程，4個(gè)邊長(zhǎng)誤差方程。必要觀測(cè)數(shù)?，F(xiàn)取待定點(diǎn)坐標(biāo)平差值為參數(shù)，即 計(jì)算待定點(diǎn)近似坐標(biāo)各點(diǎn)近似坐標(biāo)按坐標(biāo)增量計(jì)算，結(jié)果見表4-3。表4-3點(diǎn)名觀測(cè)角°坐標(biāo)方位角°觀測(cè)邊長(zhǎng)近似坐標(biāo)ABP1DCP293 10 43.1168

6、 01 45.2350 54 27.077 43 43.9109 31 44.9301 29 59.71522.8531009.0213143.2374609.3614933.0253822.9114157.1974684.4085260.3345025.6966513.7569795.7268853.2547792.921 由已知點(diǎn)坐標(biāo)和待定點(diǎn)近似坐標(biāo)計(jì)算待定邊的近似坐標(biāo)方位角和近似邊長(zhǎng)（見表4-4）。表4-4方向近似坐標(biāo)方位角近似邊長(zhǎng)（m）AP1BP1P1 P2P2C35 00 15.477 43 43.999 32 27.8121 29 59.72185.0421522.8531499.

7、9131009.021 計(jì)算坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程的系數(shù)。計(jì)算時(shí)、均以m為單位，而、因其數(shù)值較小，采用cm為單位。有關(guān)系數(shù)值的計(jì)算見表4-5、表4-6。表4-5方向的系數(shù)（秒/cm）AP1BP1P1 P2P2C1253.4221488.0601479.165860.3331789.788323.664-248.617-527.211477×104232×104225×104102×104-0.542-1.3231.3560.7740.2880.228-1.3561.740-0.2281.066表4-6方向邊長(zhǎng)誤差方程系數(shù)AP1BP1P1 P2P2C1789

8、.788323.664-248.617-527.2111253.4221488.0601479.165860.3332185.0421522.8531499.9131009.0210.81910.21250.16580.57360.9772-0.9862-0.16580.52250.9862-0.8526表4-7角123456-0.5421.323-0.7812.679-1.3560.774-0.288-0.486-0.060-0.228-1.3563.096-1.740-0.2281.294-1.066-3.60-1.37.32.10111111邊789100.81910.21250.165

9、80.57360.9772-0.9862-0.16580.52250.9862-0.85262.8010.400.571.181.292.78 法方程的組成和解算由表4-7取得誤差方程的系數(shù)項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，組成法方程的系數(shù)項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，可得法方程為系數(shù)陣的逆陣為由算得參數(shù)改正數(shù)：（cm） 平差值計(jì)算坐標(biāo)平差值 觀測(cè)值的平差值根據(jù)公式得各改正數(shù)為從而得平差值為，如下表4-8表4-8編號(hào)觀測(cè)值平差值角144 05 44.844 05 44.5293 10 43.193 10 47.3342 43 27.242 43 28.34201 48 51.2201 48 49.95201 57 34.0201 57 32.76168 01 45.2168 01 42.6邊72185.0702185.04281522.8531522.82591500.0171499.981101009.0211009.002例 水準(zhǔn)網(wǎng)P125 例題7-6在圖7-11中，A、B為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，高程為、，設(shè)為無誤差，各觀測(cè)的路線長(zhǎng)度