數(shù)學(xué)經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診與高考試題預(yù)測2

1、經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診與2012屆高考試題預(yù)測(二)考點(diǎn)-2 函數(shù) (1)函數(shù)的定義域和值域函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用反函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用借助函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值或證明不等式綜合運(yùn)用函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性進(jìn)行命題反函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診命題角度1 函數(shù)的定義域和值域 1(典型例題)對定義域Df、Dg的函數(shù)y=f(x)，y=g(x)，規(guī)定：函數(shù)h(x)= (1)若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2，寫出函數(shù)h(x)的解析式; (2)求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域 考場錯(cuò)解 (1)f(x)的定義域Df為(-，1)(1，+)，g(x)的定義域Dg為R.h(x)= (2)當(dāng)x

2、1時(shí)，h(x)=x-1+24或h(x)= (-，0)(0，+) h(x)的值域?yàn)?4，+)，當(dāng)x=1時(shí)，h(x)=1綜合，得h(x)的值域?yàn)?4，+ 專家把脈 以上解答有兩處錯(cuò)誤：一是當(dāng)xDf但xDg時(shí)，應(yīng)是空集而不是x1二是求h(x)的值域時(shí)，由x1求h(x)=x-1+2的值域應(yīng)分x>1和x<1兩種情況的討論 對癥下藥 (1)f(x)的定義域Df=(-，1)(1，+)·g(x)的定義域是Dg=(-，+)所以，h(x)= (2)當(dāng)x1時(shí)，h(x)= =x-1+2 若x>1，則x-1>0，h(x)2+2=4 當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號成立 若x1，則x-1<0h

3、(x)=-(x-1)- +2-2+2=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立 當(dāng)x=1時(shí)，h(x)=1綜上，得h(x)的值域?yàn)?-，0)14，+ 2(典型例題)記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳，g(x)=lg(x-a-1)(2a-x)(a1)的定義域?yàn)锽. (1)求A； (2)若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 考場錯(cuò)解 (1)由2-0，得0，x<-1或x1，即A=(-，-1)1，+ (2)由(x-a-1)(2a-x)0得(x-a-1)(x-2a)<0當(dāng)a=1時(shí)，B=Ø BA當(dāng)a<1時(shí)，a+1>2a，B=(2a，a+1),BA，2a1或a+1-1即a或a-2而a1，a1或a-2 故當(dāng)

4、BA時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-，-2)，1. 專家把脈 由函數(shù)的概念知函數(shù)的定義域?yàn)榉强占希藻e(cuò)解中a=1時(shí)B= Ø，說明函數(shù)不存在，因此 a=1不適合對癥下藥 (1)由2-0，得0，x<-1或x1即A=(-，-1)1，+(2)由(x-a-1)(2a-x)0，得(x-a-1)(x-2a)<0，當(dāng)a=1時(shí)，B= Ø，定義域?yàn)榉强占?，a1當(dāng) a<1時(shí)，a+1>2a，B=(2a，a+1)，BA，2a1或a+1-1，即a或a-2而a<1，a1或a-2， 故當(dāng)BA時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-，-2)，1 3(典型例題)記函數(shù)f(x)=lg(2x-3)

5、的定義域?yàn)榧螹，函數(shù)g(x)=的定義域?yàn)榧螻求 (1) 集合M，N； (2) 集合MNMN. 考場錯(cuò)解 (1)由2x-30解得xM=x|x由1-0 得x-1x-3-1-3N= Ø (2)MN=ØMN=x|x> 專家把脈 求集合N時(shí)解不等式1-0兩邊同乘以(x-1)不等號不改變方向，不符合不等式性質(zhì)，應(yīng)先移項(xiàng)化為0的形式再轉(zhuǎn)化為有理不等式，求解，另外定義域不可能為非空集合N=Ø顯然是錯(cuò)誤的對癥下藥 (1)由2x-30，得xM=x|x由1-0得 x3或x<1N=x|x3或x<1(2)MN=x|x>x|x3或x>1=x|x3MN=x|x

6、>x|x3或x>1=x|x>或x<1 4(典型例題)若集合M=y|y=2-x，P=y|y=，則MP等于 ( ) Ay|y1 By|y1 C.y|y>0 Dy|y0 考場錯(cuò)解 選A或B 專家把脈 錯(cuò)誤地認(rèn)為是求函數(shù)y=2-x和y=的定義域的交集實(shí)際上是求兩函數(shù)的值域的交集對癥下藥 集合中的代表元素為y，兩集合表示兩函數(shù)的值域，又M=y|y=2-x=y|y>0，P=y|y=y|y0MP=y|y0，故選C專家會(huì)診1. 對于含有字母的函數(shù)求定義域或已知其定義域求字母參數(shù)的取值范圍，必須對字母酌取值情況進(jìn)行討論，特別注意定義域不能為空集。2求函數(shù)的值域，不但要重視對應(yīng)

7、法則的作用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用考場思維訓(xùn)練1 若函數(shù)y=lg(4-a·2x)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( ) A(0，+) B(0，2)C(-，2) D(-，0) 答案：D 解析：4-a2 已知函數(shù)f(x)的值域是-2，3，則函數(shù)f(x-2)的值域?yàn)?( ) A-4，1 B0,5C-4，10，5 D-2，3 答案：D 解析：f(x-2)的圖象是把f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位.因此f(x-2)的值域不變.3 已知函數(shù)f(x)=lg(x2-2mx+m+2) (1)若該函數(shù)的定義域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍答案：解析：(1)由題設(shè)，得不等式x2-2mx+m+2

8、>0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，=（-2m）2-4(m+2)<0,解得-1<m<2.(2)若該函數(shù)的值域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍 答案：由題設(shè)，得不等式=（-2m）2-4(m+2) 0解得m1或m2.4 已知函數(shù)f(x)=log3的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，2，求實(shí)數(shù)m，n的值答案：解析：f(x)=log3的值域是0，2. u=g(x)=的值域?yàn)?，9.由u=得（u-m）x2-8x+(u-n)=0. 當(dāng)u-m=0時(shí)上式仍成立，即有u2-(m+n)u+(mn-16) 0.關(guān)于u的方程u2-(m+n)u+mn-16=0有兩根1和9，由韋達(dá)定理得解得m=n=5.即為所求。命題角度2 函

9、數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 1(典型例題)已知a0，且函數(shù)f(x)=(x2-2ax)ex在-1，1上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍 考場錯(cuò)解 f(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=exx2+2(1-a)x-2a 又f(x)在-1，1上是單調(diào)函數(shù)，f(x)0在-1，1上恒成立.即 exx2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立 ex>0，g(x)=x2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立 即或=4(1-a)2+8a0或 解得：aØ 故f(x)在-1，1上不可能為單調(diào)函數(shù) 專家把脈 上面解答認(rèn)為f(x)為單調(diào)函數(shù),f(x)就只能為單調(diào)增函數(shù)，其實(shí)f(x)還有可能為單調(diào)減函數(shù)

10、，因此應(yīng)令f(x)0或f(x)0在-1，1上恒成立對癥下藥 f(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=exx2+2(1-a)x-2a f(x)在-1，1上是單調(diào)函數(shù) (1)若f(x)在-1，1上是單調(diào)遞增函數(shù)則f(x)0在-1，1上恒成立，即exx2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立ex>0g(x)=x2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立，則有或=4(1-a)2+8a0或 解得，aØ(2)若f(x)在-1，1上是單調(diào)遞減函數(shù)，則f(x)0在-1，1上恒成立 exx2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立 ex>0h(x)=x2+2(1-a)x

11、-2a0在-1，1上恒成立則有 當(dāng)a，+時(shí)，f(x)在-1，1上是單調(diào)函數(shù) 2(典型例題)已知函數(shù)f(x)=ax+(a1) (1)證明：函數(shù)f(x)在(-1，+)上為增函數(shù)； (2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根 考場錯(cuò)解 (1)設(shè)-1x1x2，f(x2)-f(x1)=ax2+ax2-ax1+0 f(x)在(-1，+)上是增函數(shù) (2)設(shè)x0為方程f(x)=0的負(fù)數(shù)根，則有ax0+=0即ax0=-1+， x0-1，當(dāng)-1<x0<0時(shí)，0<x0+1<1.>3，-1+>2，而ax0<1 與矛盾 原方程沒有負(fù)數(shù)根 專家把脈 第(1)問錯(cuò)在用定義證明函

12、數(shù)單調(diào)性時(shí)，沒有真正地證明f(x2)>f(x1)而只是象征性地令f(x2)-f(x1)0這是許多學(xué)生解這類題的一個(gè)通病第(2)問錯(cuò)在把第(1)問的條件當(dāng)成第(2)問的條件，因而除了上述證明外，還需證明x0<-1時(shí)，方程也沒有負(fù)根對癥下藥 (1) 設(shè)-1<x1<x2,f(x2)-f(x1)=ax2+=ax2-ax1+=ax1(ax2-x1-1)+=ax1(ax2-x1)+.x2-x1>0，又a>1，ax2-x1>1而-1<x1<x2.x1+1>0，x2+1>0 f(x2)-f(x1)0 f(x)在(-1，+)上為增函數(shù) (2)設(shè)x

13、0為方程f(x)=0的負(fù)數(shù)根，則有ax0+=0即ax0=-1+ 顯然x0-1， 當(dāng)0x0-1時(shí)，1x0+10，3，-1+>2而<axO<1這是不可能的，即不存在0x0>-1的解當(dāng)x0<-1時(shí)x0+10<0，-1+-1，而ax0>0矛盾即不存在x0<-1的解3(典型例題)若函數(shù)f(x)=l0ga(x3-ax)(a0且a1)在區(qū)間(-，0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 ( ) A.，1 B.，1 C.，+ D.(1，-) 考場錯(cuò)解 A 當(dāng)a(0，1)時(shí)，要使f(x)=loga(x3-ax)在區(qū)間(-，0)上單調(diào)遞增x3-ax0在(-，0)上恒成立，(

14、-)3+a0 a.綜合得a，1.當(dāng)a>1時(shí)，x3-ax>0在(-,0)上不可能成立 專家把脈 上面解答根本沒有按復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則進(jìn)行判斷，而只是考慮函數(shù)的定義域，這樣的答案肯定是錯(cuò)誤的 對癥下藥 設(shè)(x)=x3-ax 當(dāng)0a1時(shí)，依題意,(x)在(-，0)上單調(diào)遞減且(x)在(-，0)上大于0 (x)=3x2-a.即(x)0在(-，0)上恒成立a3x2在(-，0)上恒成立 x(-，0)3x2(0，). a此時(shí)(x)>0a<1 當(dāng)a>1時(shí)，(x)在(-，0)上單調(diào)遞增， (x)=3x2-a0在(-，0)上恒成立 a3x2在(-，0)上恒成立 又3x2(0，)

15、83;a0與a1矛盾 a的取值范圍是，1.故選B. 專家會(huì)診 1.討論函數(shù)單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，因此討論函數(shù)的單調(diào)性必須求函數(shù)定義域 2函數(shù)的單調(diào)性是對區(qū)間而言的，如果f(x)在區(qū)間(a，b)與(c，d)上都是增(減)函數(shù)，不能說 f(x)在(a，b)(c，d)上一定是增(減)函數(shù) 3設(shè)函數(shù)y=f(u)，u=g(x)都是單調(diào)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在其定義域上也是單調(diào)函數(shù)若y=f(u)與u=g(x)的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是增函數(shù)；若y=f(u)，u=g(x)的單調(diào)性相反，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是減函數(shù)列出下表以助記憶y=f(u)u=g(x)y=fg(x)上述規(guī)律可

16、概括為“同性則增，異性則減”考場思維訓(xùn)練1 函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x都有f(x)<f(x+1)那么 ( ) A.f(x)是增函數(shù) B.f(x)沒有單調(diào)減區(qū)間 C.f(x)可能存在單調(diào)增區(qū)間，也可能不存在單調(diào)減區(qū)間Df(x)沒有單調(diào)增區(qū)間 C 解析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義進(jìn)行判斷.2 函數(shù)y=(x2-3x+2)的單調(diào)增區(qū)間是_.單調(diào)遞減區(qū)間是_. 解析：(-,1),(2,+ )根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則進(jìn)行求解。3 如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對于任意實(shí)數(shù)a，b滿足f(a+b)=f(a)·f(b)(1)設(shè)f(1)=k(k0)，試求f(n)(nN*)答案：解析(1)(2) 設(shè)當(dāng)x0時(shí),f

17、(x)1，試解不等式f(x+5).答案：(2)對任意的f(0)=f(0+0)=f2(0)0.f(0)=1, 設(shè)x1<x2, 則x1-x2<0則f(x1-x2)>1,又f(x2)>0.f(x1)=f(x1-x2)+x2=f(x1-x2) f(x2)>f(x2).f(x)為R上的減函數(shù)，解不等式f(x+5)>f(x)>0, 不等式等價(jià)于f(x+5) f(x)>1.即f(2x+5)>f(0),又f(x)為減函數(shù)，2x+5<0.解得不等式的解集為4 是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)=loga(ax2-x)在區(qū)間2，4上是減函數(shù)? 答案：解析：設(shè)

18、(x)=ax2-x=a當(dāng)a>1時(shí)，要使f(x)在區(qū)間2，4上是減函數(shù)，則有：當(dāng)0<a<1時(shí)，要使f(x)在2，4上是減函數(shù)，則有即.綜合，得存在實(shí)數(shù)a，且a的范圍為命題角度3 函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用1(典型例題)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2)，當(dāng)x3，4時(shí),f(x)=x-2則 ( ) Af(sin)f(cos) Bf(sin)f(cos) Cf(sin1)f(cos1) D.f(sin)f(cos) 考場錯(cuò)解 A 由f(x)=f(x+2)知T=2為f(x)的一個(gè)周期設(shè)x-1，0知x+43，4 f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2 f(x)在-1

19、，0上是增函數(shù) 又f(x)為偶函數(shù)f(x)=f(-x) x0，1時(shí),f(x)=x+2，即f(x)在0，1上也是增函數(shù)又sincos f(sin)f(cos) 專家把脈 上面解答錯(cuò)在由f(x)=f(-x)得f(x)=x+2這一步上，導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因主要是對偶函數(shù)圖像不熟悉 對癥下藥 C 由f(x)=f(x+2)知T=2為f(x)的一個(gè)周期，設(shè)x-1，0，知x+43，4 f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2 f(x)在-1，0上是增函數(shù) 又f(x)為偶函數(shù)，f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱 f(x)在0，1上是減函數(shù) A：sin<cosf(sin)>f(cos) B：sincosf(si

20、n)f(cos) C：sin1>cos1f(sin1)<f(cos1)故正確答案C 2(典型例題)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(-，0)上是減函數(shù)，且f(2)=0，則使得f(x)0的x的取值范圍是 ( ) A(-，2) B(2，+) C(-，-2)(2，+) D(-2，2) 考場錯(cuò)解 C f(-x)=f(x)0=f(2)x2或x<-2 專家把脈 以上解答沒有注意到偶函數(shù)在對稱區(qū)間的單調(diào)性相反錯(cuò)誤地認(rèn)為f(x)在0，+上仍是減函數(shù)，導(dǎo)致答案選錯(cuò)對癥下藥 D f(x)是偶函數(shù)，f(-x)=f(x)=f(|x|)f(x)<0f(|x|)f(2)又f(x)在(-，0)

21、上是減函數(shù)，f(x)在0，+上是增函數(shù)，|x|2-2<x<2選D 3(典型例題)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱，則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_ 考場錯(cuò)解 填-f(0) f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)又f(x)的圖像關(guān)于x=對稱 f(x)=f(1-x) f(-x)+f(-x+1)=0 f(x)+f(x-1)=0 f(5)+f(4)=0f(3)+f(2)=0f(1)+f(0)=0 f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0) 專家把脈 上面解答忽視了奇函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用即f(x)在x=0處有

22、定義f(0)=0對癥下藥 填0 依題意f(-x)=-f(x)f(x)=f(1-x)f(-x)=-f(1-x) 即f(-x)+f(1-x)= 0 f(x)+f(x-1)=0 f(5)+f(4)=0，f(3)+f(2)=0f(1)+f(0)=0又f(x)在x=0處有定義，f(0)=0f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)=-f(0)=O. 4(典型例題)設(shè)函數(shù)f(x)在(-，+)上滿足f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間0，7上，只有f(1)=f(3)=0 (1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性； (2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間-2005，2005

23、上根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論 考場錯(cuò)解 依題意f(x)=f(4-x)f(x)=f(14-x)f(4-x)=f(14-x)，f(x)=f(x+10)f(x)是以 10為周期的函數(shù),f(3)=0f(-3)=f(7)=0 f(3)=f(-3)=-f(3)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) (2)由(1)知f(x)是周期為10的周期函數(shù)，又f(3)=f(1)=0，f(11)=f(13)=f(-)=f(-9)=0 故f(x)在0，10上有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)y=f(x)在0，2005上有401個(gè)解-2005，0上有401個(gè)解，所以函數(shù)丁y=f(x)在-2005，2005上有802個(gè)解 專家把脈 (1)對題意理解

24、錯(cuò)誤，題設(shè)中“在閉區(qū)間0，7上，只有f(1)=f(3)=0”說明除了f(1)、f(3)等于 0外再不可能有f(7)=0(2)因f(x)在R上既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)不能認(rèn)為x0，10，-10，0上各有兩個(gè)解，則認(rèn)為在0，2005與在-2005，0上解的個(gè)數(shù)相同是錯(cuò)誤的，并且f(x)=0在0，2005上解的個(gè)數(shù)不是401個(gè)，而是402個(gè) 對癥下藥 由f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)丁y=f(x)的對稱軸為x=2和x=7 從而知函數(shù)y=f(x)不是奇函數(shù) 由f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10)從而知f(x)是周期為10的周期函數(shù) 又f(3)=f(1)=

25、0,而f(7)=f(-3)0 故函數(shù)y=f(x)是非奇非偶函數(shù) (2)由(1)知f(x)是以周期為10的周期函數(shù) f(1)=f(11)=f(2001)=0f(3)=f(13)=f(2003)=0 f(x)=0在0，2005上共有402個(gè)解同理可求得f(x)=0在-2005，0上共有400個(gè)解 f(x)=0在-2005，2005上有802個(gè)解專家會(huì)診1函數(shù)奇偶性定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)，為了便于判斷有時(shí)需要將函數(shù)進(jìn)行化簡 2要注意從數(shù)和形兩個(gè)角度理解函數(shù)的奇偶性，要充分利用f(x)與f(-x)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和圖像的對稱性解決有關(guān)問題 3解題中要注意以下性質(zhì)的靈活運(yùn)用. (1)f(x)為偶函

26、數(shù)f(x)=f(-x)=f(|x|)(2)若奇函數(shù)f(x)的定義域包含0，則f(0)=0.考場思維訓(xùn)練 1 f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且g(x)是奇函數(shù)，已知g(x)=f(x-1)，若g(-1)=2006，則f(2006)的值為 ( ) A2005 B-2005C.-2006 D2006 答案：D 解析：由題設(shè)條件易得f(x+4)=f(x), f(2006)=f(2).又f(-2)=g(-1)=2006. f(2006)=2006.2 函數(shù)f(x)=lg(1+x2)，g(x)=tan2x中_是偶函數(shù) 答案：解析：f(x)、g(x).運(yùn)用奇偶性定義進(jìn)行判斷。3 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)

27、，且對任意實(shí)數(shù)x恒滿足f(x+2)=-f(x)當(dāng)x0，2時(shí)，f(x)=2x+x2 (1)求證:f(x)是周期函數(shù)；答案：解析：(1)f(x+2)=-f(-x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)。(2)當(dāng)x2，4時(shí)，求f(x)的解析式；答案：當(dāng)x-2,0時(shí)，-x0,2,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)=-2x-x22. f(x)=x2+2x.又當(dāng)x 2,4時(shí)，x-4-2,0, f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù)。f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x

28、-4)=x2-6x+8.因而求得 x2,4 時(shí)f(x)=x2-6x+8.(3) 計(jì)算:(0+)f(1)+f(2)+f(2004) 答案：f(0)=0f(2)=0f(1)=1f(3)=-1,又f(x)是周期為4的周期函數(shù)。f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2000)+f(2001)+f(2002)+f(2003)=0.又f(2004)=f(0)=0, f(0)+f(1)+f(2)+ +f(2004)=0.4 設(shè)a、bR，且a2定義在區(qū)間(-b，b)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg是奇函數(shù)，求b的取值范圍答案：解析：f(x)=lg是奇函數(shù)，等價(jià)于，對任意x(

29、-b,b)都有：            式即為lg即a2x2=4x2.此式對任意x(-b,b)都成立相當(dāng)于a2=4, a2, a=-2.代入(2)得即命題角度4 反函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用1(典型例題)函數(shù)f(x)=x2-2ax-3在區(qū)間1，2上存在反函數(shù)的充分必要條件是 ( ) Aa(-，1) Ba2，+ Ca1，2 Da(-，1)2，+ 考場錯(cuò)解 選A或B a(-，1f(x)在區(qū)間1，2上是增函數(shù)f(x)存在反函數(shù)當(dāng)a2，+)對稱軸x=a在區(qū)間1，2的右側(cè)，f(x)在 1，2上是減函

30、數(shù)f(x)存在反函數(shù) 專家把脈 上面解答只能說明A或B是f(x)存在反函數(shù)的充分條件，并不是充要條件 對癥下藥 一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上存在反函數(shù)的充要條件是此函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)對稱軸x=a不應(yīng)在(1，2)內(nèi)，a1或a2故選C. 2(典型例題)y=(1x2)的反函數(shù)是 ( ) A.y=1+(-1x1)B.y=1+ (0x1) C.y=1- (-1x1) D.y=1- (0x1) 考場錯(cuò)解 C y2=2x-x2(x-1)2=1-y2x-1=-，x=1-x、y對換得y=1- 又1-x20-1x1因而f(x)的反函數(shù)為y=1-(-1x1) 專家把脈 上面解答有兩處錯(cuò)誤(一)1x2,x-10由(x-

31、1)2=1-y2開方取“正號”而不是取“負(fù)號”；(二)反函數(shù)的定義域應(yīng)通過求原函數(shù)的值域而得到，而不是由反函數(shù)解析式確定 對癥下藥 B 由y=(x-1)2=1-y2x1，2x-10，+x-1=1+x、y對換得y=1+ 又y=(1x2)0y1即原函數(shù)值域?yàn)?，1所以反函數(shù)為y=1- (0x1).選B. 3(典型例題)設(shè)f-1(x)是函數(shù)f(x)=(ax-a-x)(a1)的反函數(shù)，則使f-1(x)1成立的x的取值范圍為 ( ) A(，+) B(-，) C(,a) D(a，+) 考場錯(cuò)解 C y= (ax-a-x)，a2x-2y·ax-1=0ax=y+x=loga(y+)，x、y對換f-1

32、(x)=loga(x+)(xR)又f-1(x)1，loga(x+)1x +a. a-x<x<a選C. 專家把脈 上面解答錯(cuò)在最后解不等式a-x，這一步，因?yàn)閤+a-x應(yīng)等價(jià)于或ax.錯(cuò)解中只有前面?zhèn)€不等式組答案顯然錯(cuò)了. 對癥下藥 A 解法1 y=(ax-a-x)a2x-2y·ax-1=0，ax=y+x=loga(y+)f-1(x)=loga(x+)(xR)f-1(x)>1 loga(x+)>1x+>aa-xx+. 解法2：利用原函數(shù)與反函數(shù)的定丈域、值域的關(guān)系原題等價(jià)于x>1時(shí)，f(x)=(ax-a-x)的值域，f(x)=(ax-a-x)在R上單

33、調(diào)遞增f(x)(a-)=選A. 4.(典型例題)設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，2)對稱，且存在反函數(shù)f-1(x)，f(4)=0，f-1(4)=_ 考場錯(cuò)解 填0 y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，2)對稱，又f(4)=0，f(0)=4，f-1(4)=0 專家把脈 上面解答錯(cuò)在由圖像過點(diǎn)(4，0)得到圖像過點(diǎn)(4，0)上，因?yàn)閒(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(1，2)對稱不是關(guān)于y=x對稱，因此應(yīng)找出圖像過點(diǎn)(-2，4)是關(guān)鍵 對癥下藥 填-2 解法1 f(4)=0，f(x)的圖像過點(diǎn)(4，0)又f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，2)對稱，f(x)的圖像過點(diǎn) (2-4，4-0)即(-2，4)f(-2)=4f-1(4)=

34、-2解法2 設(shè)y=f(x)上任一點(diǎn)P(x、y)關(guān)于點(diǎn)(1，2)對稱的點(diǎn)為P(2-x，4-y)依題意4-y=f(2-x)，4-f(x)=f(2-x) f(x)+f(2-x)=4令x=4f(4) +f(-2)=4.又f(4)=0，f(-2)=4f-1(4)=-2專家會(huì)診 1.求反函數(shù)時(shí)必須注意：(1)由原解析式解出x=f-1(y)，如求出的x不唯一，要根據(jù)條件中x的范圍決定取舍，只能取一個(gè)；(2)要求反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域 2分段函數(shù)的反函數(shù)可以分別求出各段函數(shù)的反函數(shù)后再合成 3若點(diǎn)(a，b)在原函數(shù)y=f(x)的圖像上，則(b，a)在反函數(shù)y=f-1(x)的圖像上考場思維訓(xùn)練1 函數(shù)y

35、=3x2-1(-1x0)的反函數(shù)是 ( ) Ay=(x) By=- (x) Cy= (<x1)D.y=- (<x1) 答案：D 解析：由y=3x2-1得 x2-1=log3y -1x<0, x=-2 (典型例題)定義在R上的函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，最小正周期為T，若函數(shù)y=f(x)，x(0,T)時(shí)E有反函數(shù)y=f-1,xD則函數(shù)y=f(x)，x(2T,3T)的反函數(shù)為 ( ) A.y=f-1(x)，xD By=f-1(x-2T),xD C.y=f-1(x+2T)，xD D.y=f-1(x)+2TxD 答案：D 解析：x(2T,3T), x-2T=(0,T).又f

36、(x)的周期為2T，y=f(x)=f(x-2T). x-2T=f-1(y)+2T,x,y互換，得y=f-1(x)+2T.當(dāng)x(2T,3T)的反函數(shù)為y=f-1(x)+2T,xD.3 已知f(x)=的反函數(shù)f-1(x)的圖像的對稱中心是(-1，3)，求實(shí)數(shù)a的值答案：解析：f(x)=-1-的對稱中心是（a+1,-1）f-1(x)的對稱中心是（-1,a+1）, a+1=3,從而a=2. 探究開放題預(yù)測預(yù)測角度1 借助函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值或證明不等式1已知定義域?yàn)?，1)的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足對任意x0，1，總有f(x)0；f(1)=1；若x10，x20，x1+x21，則有f(x1+x2)f(x1)

37、+f(x2) (1)求f(0)的值； (2)求函數(shù)f(x)的最大值 解題思路 (1)令x1=x2=0可得答案(2)，先證f(x)在0，1上是單調(diào)函數(shù)，再求其最大值 解答 (1)令x1=x2=0，由條件得f(0)0，由條件得f(0)0故f(0)=0(2)任取0x1x21，可知x2-x1(0，1)，則f(x2)=f(x2-x1)+x1f(x2-x1)+f(x)又x1- x2(0，1)，f(x2-x1)0f(x)f(x1) f(x)在0，1上是增函數(shù)，于是當(dāng)0x1時(shí)，有f(x)f(1)=1當(dāng)x=1時(shí)，f(x)max=1即f(x)的最大值為1 2設(shè)f(x)是定義在(0，+)上的函數(shù)，k是正常數(shù)，且對任

38、意的x(0，+)，恒有ff(x)=kx成立(1) 若f(x)是(0，+)上的增函數(shù)，且k=1，求證：f(x)=x(2)對于任意的x1、x2(0，+)，當(dāng)x2>x1時(shí)，有f(x2)-f(x1)x2-x1成立，如果k=2，證明： 解題思路 (1)用反證法證明；(2)用反證法先證f(x)x，再運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行放縮 解答 (1)假設(shè)f(x)x f(x)在(0，+)上是增函數(shù)，且f(f(x)=x. f(x)ff(x) xf(x)這與假設(shè)矛盾f(x)x不可能成立 同理可證f(x)x也是不可能成立的 綜合，得f(x)=x. (2)先證f(x)x，假設(shè)存在x0(0，+)，使得f(x0)x0，若f(x0

39、)=x0，則ff(x0)=f(x0)即2x0= f(x0)=x0，x0矛盾；若f(x0)x0，由條件可知f(x)在(0，+)上是增函數(shù)，且f(x0)0 ff(x0)<f(x0)，即2x0<f(x0)2x0<x0x0<0矛盾，f(x)>x 因此,fff(x)-ff(x)ff(x)-f(x)f(x)-x 即2f(x)-2x>2x-f(x)>f(x)-x解得預(yù)測角度2 綜合運(yùn)用函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性進(jìn)行命題 1設(shè)f(x)是定義在-1，1上的偶函數(shù)當(dāng)x-1，0時(shí)，f(x)=g(2-x)，且當(dāng)x2,3時(shí)，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3， (1)求f

40、(x)的表達(dá)式； (2)是否存在正實(shí)數(shù)a(a6)，使函數(shù)f(x)的圖像的最高點(diǎn)在直線y=12上，若存在，求出正實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由 解題思路 (1)運(yùn)用函數(shù)奇偶性和條件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式(2)利用導(dǎo)數(shù)可求得f(x)的最大值令最大值等于12可知是否存在正實(shí)數(shù)a解答 (1)當(dāng)x-1，0時(shí)，2-x2，3f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax得f(x)=4x3-2ax(x-1，0) y=f(x)在-1，1上是偶函數(shù)當(dāng)x0，1時(shí)，f(x)=f(-x)=-4x3+2axf(x)= (2)命題條件等價(jià)于f(x)max=12，因?yàn)閒(x)為偶函

41、數(shù)，所以只需考慮0x1的情況 求導(dǎo)f(x)=-12x2+2a(0x1，a>6)， 由f(x)=0得x=或x=-(舍) 1，當(dāng)0x1時(shí) f(x)>0，f(x)在0，1上單調(diào)遞增， f(x)max=f(1)=12，a=8綜上，存在a=8使得f(x)的圖像的最高點(diǎn)在直線y=12上 2函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，且是周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)x2，3時(shí),f(x)=x-1在y=f(x)的圖像上有兩點(diǎn)A、B，它們的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)都在區(qū)間1，3上，定點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，a)，(其中a2)，求ABC面積的最大值 解題思路 先利用函數(shù)的周期性和奇偶性分別求出f(x)在0，1和1，2時(shí)的解析式，再利用圖象

42、設(shè)出 A、b的坐標(biāo)，然后以A、B的縱坐標(biāo)作為自變量建立面積函數(shù)關(guān)系，借助函數(shù)關(guān)系式即可求得SABC的最大值 解答 f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x2，3時(shí),f(x)=x-1 當(dāng)x0，1時(shí)，f(x)=f(x+2)=(x+2)-1=x+1 又f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x-1，0時(shí)，f(x)=f(-x)=(-x)+1=-x+1；當(dāng)x1，2時(shí)f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=-x+3 設(shè)A、B的縱坐標(biāo)為t(1t2)，并設(shè)A在B的左邊，則A、B的橫坐標(biāo)分別為3-t、t+1，則|AB|=(t+1)-(3 -t)=2t-2，ABC的面積S=(2t-2)(a-t)=-t2+(a+1)t-a=-(t-)2

43、+-a 當(dāng)<2即2<a3時(shí)，S有最大值當(dāng)>2，即a>3時(shí)，函數(shù)S在1，2上單調(diào)遞增，S有最大值S(2)=a-2預(yù)測角度3 反函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合1在R上的遞減函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)且僅當(dāng)xMR+函數(shù)值f(x)的集合為0，2且f()=1；又對M中的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) (1)求證：M，而M； (2)證明:f(x)在M上的反函數(shù)f-1(x)滿足f-1(x1)·f-1(x2)=f-1(x1+x2) (3)解不等式f-1(x2+x)·f-1(x+2)(x0，2) 解題思路 由給定的函數(shù)性質(zhì)，證明自變量x是屬于還是

44、不屬于集合"，最后利用反函數(shù)的概念、性質(zhì)證明反函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)和解反函數(shù)的不等式 解答 (1)證明：M，又=×,f()=1f()=f(×)=f()+f()=1+1=20，2， M， 又f()=f(×)=f()+f()=1+2=30，2M.(2)證明：f(x)在M上遞減，f(x)在M上有反函數(shù)f-1(x)，x0，2 任取x1、x20，2，設(shè)y1=f-1(x1)，y2=f-1(x2) x1=f(y1)，x2=f(y2)(y1，y2M) x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1·y2)，y1·y2=f-1(x1+x2) 又y1·

45、y2=f-1(x1)·f-1(x2)，f-1(x1)·f-1(x2)=f-1(x1+x2) (3)f(x)在M上遞減，f-1(x)在0，2上也遞減， f-1(x2+x)·f-1(x+2)等價(jià)于f-1(x2+x+x+2)f-1(2).故不等式的解集為x|x=0.2已知奇函數(shù)f(x)，偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax(a0且a1).(1) 求證:f(2x)=2f(x)·g(x) (2) 設(shè)f(x)的反函數(shù)為f-1(x)，當(dāng)a=-1時(shí)，試比較f-1g(x)與-1的大小，并證明你的結(jié)論 (3) 若a>1，nN*且n2，比較f(n)與nf(1)的大

46、小，并證明你的結(jié)論.解題思路 先根據(jù)函數(shù)f(x)·g(x)的奇偶性和f(x)+g(x)=ax可解出f(x)·g(x)再借助基本不等式和疊加法證明后兩小題. 解答 (1)f(x)+g(x)=ax，又f(-x)+g(-x)=a-x，而f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，-f(x)+g(x)=ax,f(x)=,g(x)= f(x)·g(x)= ·=f(2x) (2)0<a=-1<1 f(x)= 是(-，+)上的減函數(shù)，則其反函數(shù)也是減函數(shù)，又由于f(-1)=1 g(x)= =1=f(-1) f-1g(x)-1 (3)f(n)-nf(1)= (an-

47、a-n)- n(a-a-1)= (a-a-1)an-1+an-3+a-(n-3) +a-(n-1)- n(a-a-1)=(a-a-1)an-1+an-3+a-(n-3)+a-(n-1)-n當(dāng)a>1時(shí)，a-a-1>0an-1+a-(n-1)2an-3+a-n(n-3)2an-1+an-3+a-(n-1)+a-(n-3)0f(n)-nf(1)0,即f(n) nf(1)考點(diǎn)高分解題綜合訓(xùn)練 1 函數(shù)f(x)=x+,則其反函數(shù)的定義域是 ( ) A(-，-1)1，+) B1，+) C-1，0D-1，0(1，+) 答案：D 解析：反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，x2-10x1或x-1,當(dāng)x1

48、時(shí)，函數(shù)f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)值域?yàn)椋?，+）當(dāng)x-1時(shí)，f(x)=x+為單調(diào)遞減函數(shù)，此時(shí)值域?yàn)?1，0，故值域?yàn)?1，0(1,+ ), 從而選D.2 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x+4)當(dāng)x2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，如果x1+x2<4且(x1-2)(x2-2)<0，則f(x1)+f(x2)的值為 ( ) A.可能為0 B恒大于0C.恒小于0 D可正可負(fù) 答案：C 解析：不妨設(shè)x1<x2,則x1<2<x2,且x1+x2<4,由f(-x)=-f(x+4)可知，函數(shù)f(x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）成中心對稱，函數(shù)在（2，+）上單調(diào)遞增

49、，f(x1)+f(x2)<f(x1)+f(4-x1)=f(x1)-f(x1)=0,故選C.3 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=()x，那么f(x)=()x，那么f-1(0)+f-1(-8)的值為 ( )A2 B-3 C3 D-2 答案：C解析：f(x)=f-1(-8)=3.故選 C.4. B 解析：的值域?yàn)?，1；正確；錯(cuò)誤4 符號x表示不超過x的最大整數(shù)，如=3，-108=-2，定義函數(shù)x=x-x，那么下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 ( )函數(shù)x的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，1； 方程x=有無數(shù)解； 函數(shù)x是周期函數(shù)； 函數(shù)x是增函數(shù)A.1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)

50、 答案：C解析：f(x)的周期為3，f(2)=f(-1)=-f(1)<-1.即1<a<.故選C.5 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)1,f(2)=，則 ( )Aa< Ba且a-1C.-1<a< Dm>或m<-1 答案：D 解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)為偶函數(shù)，所以y=f(1-x)=f(x-1),它的圖可由y=f(x)的圖向右平移1個(gè)單位得到，故對稱軸為x=1,且在（4，6）內(nèi)是增函數(shù)，故選D。6 已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是(3，5)，則函數(shù)y=f(1-x) ( ) A.圖像的對稱軸為x=-1，且在(2，4)內(nèi)是增函數(shù) B圖像的對稱軸為x=1，且在(2，4)內(nèi)是減函數(shù) C.圖像的對稱軸為x=0，且在(4，6)內(nèi)是增函數(shù)D圖像的對稱軸為x=1，且在(4，6)內(nèi)是增函數(shù) 答案：解析：-1，3由x2-2x-80x-2或x4.由1-|x-a|>0|x-a|<1a-1<x<a+1,又由AB=，故7 函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳，g(x)=的定義域?yàn)锽，且AB=Ø ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 答案：解析：-1，3由x2-2x-80x-2或x4.由1-|x-a|&