數(shù)列求和7種方法(方法全_例子多)

1、.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.1、 等差數(shù)列求和公式： Snn(a1an )na1 n(n 1) d22na1( q 1)2、等比數(shù)列求和公式：Sna1 (1qn )a1an q(q1)1q1qn1n(n 1)n1n(n 1)(2n 1)3、 Snk4、 Snk2k12k 16nk 3 1n( n 1) 25、 Snk12例 1已知 log3x1，求 xx2x3xn的前 n 項(xiàng)和 .log 2 3解：由 log 3x1log3xlog 3 2x1log 2 32由等比數(shù)列求和公式得Sx x2x3xn（利用常用公式）n11 x(1xn ) 2

2、(12n ) 1 11x112n2例 2設(shè) Sn 1+2+3+ +n， n N * ,求 f (n)Sn的最大值 .(n32)Sn 1解：由等差數(shù)列求和公式得Sn1 n(n1) ， Sn1 (n1)( n 2)（利用常用公式）22 f (n)Sn2n32) Sn 134n64(nn111648250n34(n50n)n 當(dāng)n8，即 n 8 時(shí)， f (n)max1850.c.題 1.等比數(shù)列的前項(xiàng)和S 2 ，則題 2 若 12+2 2+(n-1) 2=an3 +bn2+cn，則 a=,b=,c=.c. = na nbnn a n b n .例 3Sn13x5x 27 x3(2n 1)x n 1

3、 ( 2n1)x n 1 2n 1 xn 1 xSn1x3x25x 37 x4(2n1) xn .（設(shè)制錯(cuò)位）(1 x) Sn12x2x 22x32x42x n 1(2n1) xn（錯(cuò)位相減(1x)Sn12x 1xn 1( 2n1)x n1x.c.Sn(2n1) xn 1(2n 1) xn(1 x)(1 x)2例2462nn.42,22 ,23,2n,2n2n1n2n 2Sn2462n223n2221Sn2462n（設(shè)制錯(cuò)位）22223242n 1(11 )Sn222222n（錯(cuò)位相減222223242n2n 1212n2 n12n 1Sn4n22n11annSn.c.練習(xí)題 2的前 n 項(xiàng)和

4、為 _答案：三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序）數(shù)列相加，就可以得到n個(gè) (a1an ) .例 5求證： C n03C n15C n2(2n 1)Cnn(n 1)2n證明： 設(shè) SnC n03C n15C n2(2n1)C nn.把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得Sn(2n 1)C nn( 2n 1)C nn 13C n1C n0又由CnmCnn m 可得，再把它與原（反序）.c.Sn(2n1)C n0(2n 1)C n13C nn1Cnn.+2S( 2n2)(C 0C 1C n1C n ) 2(n1) 2n（反序相加）nnnnnSn(n 1)2 n

5、例 6sin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89Ssin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89 .Ssin 2 89sin 2 88sin 2 3sin 2 2sin 2 1.（反序）sin xcos(90x), sin 2 x cos2 x 1+（反序相加）2S(sin 2 1 cos2 1 )(sin 2 2cos2 2 )(sin 2 89cos2 89 ) 89S 44.51.c.（ 1）證明：；（2）求的值 .解：（ 1 ）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊（ 2）利用第（ 1 ）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，.c

6、.兩式相加得：.c.所以.練習(xí)、求值：四、分組法求和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例 7求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和： 1117,13n2 ，1,4,2n 1aaa解：設(shè) Sn(11)( 14)( 127)(1n 13n 2)aaa將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得111（分組）Sn(1a a 2an 1 )(1 4 73n 2)當(dāng) a 1 時(shí)， Snn(3n1)n(3n1) n（分組求和）22.c.11(3n1) naa1 n(3n1)n當(dāng) a1時(shí)， Snan2121a1a例 8求數(shù)列 n(n+1)(2n+1

7、)的前 n 項(xiàng)和 .解：設(shè) akkk1)( 2k1)k3k 2k(23nn Snk(k 1)(2k 1) (2k33k 2k)k 1k1將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得nn3n2n（分組） 2k3kkSk1k1k 1 2(1323n3 )3(1222n2 )(1 2n)n2 (n1) 2n(n1)( 2n1)n(n1)（分組求和）222n(n 1)2 (n2)2五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解 （裂項(xiàng)） 如：（ 1） anf (n1)f ( n)（ 2）sin 1tan(n

8、1)tan n1)cosn cos(n111（ 4） an(2n) 21111（ 3） an1)nn1(2n1)( 2n 1)(2n)n(n21 2n 1（ 5） an11111)(n2)21)( n1)(nn(nn(n2)n 212(n 1) n 111,則 Sn1(6) ann(n 1)2nn 2n 1( n 1)2n1n(n 1) 2 n(n 1) 2n（ 7） an1111)B)( AnC )CB(BAnC( AnAn（ 8） an1n1nn1n.c.例 91,1,1, 的前 n 項(xiàng)和 .求數(shù)列2n123n1解：設(shè) an1n 1n（裂項(xiàng)）nn1則 Sn111（裂項(xiàng)求和）223nn11

9、( 21)(32)( n 1n )n11例 10在數(shù)列 a n 中， an12n，又 bn2，求數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)的和 .n 1 n 1n 1anan 1解： an12nnn1n1n12 bn211（裂項(xiàng)）nn18()nn 12 2 數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和Sn8(111111(11)(3) ()nn（裂項(xiàng)求和）22341 8(11) 8nn1n 1例 11求證：111cos1cos1 cos2cos88cos89sin 2 1cos0 cos1解：設(shè) S111cos1cos2cos88cos89cos 0 cos1sin1tan(n1)tan n（裂項(xiàng)）1)cos n cos(n

10、 S111（裂項(xiàng)求和）cos1cos1 cos2cos88cos89cos 01(tan 1tan 0)(tan 2tan1 )(tan 3tan 2 ) tan 89tan 88 sin 11(tan 89tan 0 )1cos1cot 1 sin 1sin 1sin 2 1原等式成立.c.練習(xí)題 1.答案：.練習(xí)題 2。=.c.答案：六、分段求和法（合并法求和）針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn. 例 12 求 cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179的值 .解：設(shè) S

11、n cos1 + cos2 + cos3 + cos178 + cos179 cos ncos(180 n )（找特殊性質(zhì)項(xiàng)） Sn （ cos1 + cos179） +（ cos2+ cos178） + （ cos3+ cos177） +（ cos89 + cos91） + cos90（合并求和） 0例13 數(shù)列 a ： a1 1,a23, a32, an 2an 1an ，求 S .n2002解：設(shè) S2002 a1a2a3a2002由 a11, a23, a32, an 2an 1an 可得a41,a53,a62,a71,a83,a92,a101,a113,a122,a6 k 11, a

12、6k 23, a6k 32, a6 k 41, a6k 53, a6 k 62 a6k1a6k2a6k3a6 k4a6 k 5a6 k 60（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）S2002 a1a2a3a2002（合并求和）.c. ( a1 a2 a3a6 ) ( a7a8a12 )(a6k 1a6k 2a6k 6 )(a1993a1994a1998 )a1999a2000a2001a2002 a1999a2000a2001a2002 a6 k 1a6k 2a6k 3a6 k4 5例 14在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5 a69,求 log 3 a1 log 3 a2log 3 a10 的值 .解：設(shè) Sn lo

13、g 3 a1log 3 a2log 3a10由等比數(shù)列的性質(zhì)mn pqamanap aq（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)log a Mlog a N log aM N 得Sn(log 3 a1log 3 a10 )(log 3 a2log 3 a9 )(log 3 a5log 3 a6 )（合并求和） (log 3 a1 a10 )(log 3 a2a9 )(log 3 a5a6 ) log 3 9log 3 9log 3 9 10練習(xí)、求和：.c.練習(xí)題1設(shè)，則 _答案： 2.練習(xí) 題 2 若 S =1-2+3-4+ +(-1)n-1n，則 S17+S3350等于()n.c.A.1B.-1C

14、.0D .2解：對(duì)前 n 項(xiàng)和要分奇偶分別解決，即：Sn=答案：A練習(xí) 題 31002-992+982-972+22-12 的值是A.5000B .5050C.10100D .20200解：并項(xiàng)求和，每?jī)身?xiàng)合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案： B七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n 項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例 15求 111 1111111之和 .n 個(gè)1解：由于 1111199991 (10 k1)（找通項(xiàng)及特征）k個(gè)19k個(gè)19 1111111111n個(gè)1 1 (10

15、11)1 (1021)1 (1031)1 (10 n1)（分組求和）9999 1(10110 210310 n )1(1 111)99n個(gè)1.c.n 1 10(101)n91019 1 (10n 1109)81n例 16已知數(shù)列 a n ： an8,求(n1)(anan 1 ) 的值 .(n1)(n3)n 1解： (n1)(anan 1 )8(n1)11（找通項(xiàng)及特征）3)( n2)( n( n 1)(n4) 811（設(shè)制分組）(n2)(n4)(n3)(n4) 4(11)8 (11（裂項(xiàng)）2nn 3n)n44( n1)(anan1 )4(11)8( 11 )（分組、裂項(xiàng)求和）n 1n 1 n2 n 4n 1 n3 n 4 4( 11 )81344133提高練習(xí) ：1 已知數(shù)列 an中， Sn 是其前n 項(xiàng)和，并且 Sn 14an2(n1,2, ), a1 1，設(shè)數(shù)列 bnan12an