第2章 2.3 2.3.2　雙曲線的幾何性質(zhì)

1、.2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目的：1.理解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)等.2.理解離心率的定義、取值范圍和漸近線方程重點(diǎn)3.能用雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題難點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1a0，b01a0，b0性質(zhì)圖形焦點(diǎn)c,0，c,00，c，0，c焦距2c范圍xa或xa，yRya或ya，xR性質(zhì)對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1a,0，A2a,0A10，a，A20，a軸實(shí)軸：線段A1A2，長(zhǎng)：2a；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：2b；半實(shí)軸長(zhǎng)：a，半虛軸長(zhǎng)：b離心率e1，漸近線y±xy±x考慮1

2、：能否用a，b表示雙曲線的離心率？提示e.考慮2：離心率對(duì)雙曲線開(kāi)口大小有影響嗎？滿足什么對(duì)應(yīng)關(guān)系？提示有影響，因?yàn)閑，故當(dāng)?shù)闹翟酱?，漸近線yx的斜率越大，雙曲線的開(kāi)口越大，e也越大，所以e反映了雙曲線開(kāi)口的大小，即雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越大2等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸相等的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是y±x，離心率e.根底自測(cè)1考慮辨析1雙曲線方程m>0，n>0，0的漸近線方程是0，即±0.2等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.3假設(shè)雙曲線1a>0，b>0與1a0，b>0的離心率分別是e1，e2，那么1此結(jié)論中兩條雙曲線稱為共軛雙曲

3、線. 提示1232以下雙曲線中，漸近線方程為y±2x的是Ax21By21Cx21Dy21A由雙曲線漸近線方程的求法知：雙曲線x21的漸近線方程為y±2x，應(yīng)選A.3雙曲線C：1的離心率e，且其右焦點(diǎn)為F25,0，那么雙曲線C的方程為【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242160】A1B1C1D1Ce，F(xiàn)25,0，c5，a4，b2c2a29，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.4雙曲線的漸近線方程是y±4x，那么其離心率為_(kāi)或假設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，依題意得，4，16，即16，e217，e.假設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，依題意得，4.，即.e2，故e，即雙曲線的離心率是或.合 作 探 究·攻

4、重 難d雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求雙曲線nx2my2mnm>0，n>0的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242161】解把方程nx2my2mnm0，n>0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1m0，n>0，由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a，虛半軸長(zhǎng)b，c，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，0，0，離心率e，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，0，0，所以漸近線方程為y±x，即y±x.規(guī)律方法由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟1把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決此題的關(guān)鍵.2由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a，b的值.3由c2a2b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練1求雙

5、曲線9y24x236的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程解雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是1，a29，b24，a3，b2，c.又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,0，3,0，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，0，0，實(shí)軸長(zhǎng)2a6，虛軸長(zhǎng)2b4，離心率e，漸近線方程為y±x.由雙曲線的幾何性質(zhì)確定標(biāo)準(zhǔn)方程求合適以下條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程1虛軸長(zhǎng)為12，離心率為；2頂點(diǎn)間間隔 為6，漸近線方程為y±x；3求與雙曲線x22y22有公共漸近線，且過(guò)點(diǎn)M2，2的雙曲線方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242162】思路探究解1設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1a0，b0由題知2b12，且c2a2b2，b6，c1

6、0，a8，標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.2法一：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由且a3，b.所求雙曲線方程為1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由且a3，b2.所求雙曲線方程為1.法二：設(shè)以y±x為漸近線的雙曲線方程為0，當(dāng)>0時(shí)，a24，2a26，當(dāng)<0時(shí)，a29，2a261.雙曲線的方程為1和1.3設(shè)與雙曲線y21有公共漸近線的雙曲線方程為y2k，將點(diǎn)2，2代入得k222，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.規(guī)律方法1根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程組，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式.2巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為1a>0，b&g

7、t;0.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為1a>0，b>0.與雙曲線1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為10，b2a2，與雙曲線1具有一樣漸近線的雙曲線方程可設(shè)為0.漸近線為ykx的雙曲線方程可設(shè)為k2x2y20.漸近線為ax±by0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2b2y20.提醒：利用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)條件，列出關(guān)于參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值.跟蹤訓(xùn)練2求合適以下條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：1一個(gè)焦點(diǎn)為0,13，且離心率為；2漸近線方程為y±x，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2，3解1依題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且c13，又，a5

8、，b2c2a2144，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為1.2雙曲線的漸近線方程為y±x，假設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1a0，b0，那么. A2，3在雙曲線上，1. 由聯(lián)立，無(wú)解假設(shè)焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1a>0，b>0，那么. A2，3在雙曲線上，1. 由聯(lián)立，解得a28，b232.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.直線與雙曲線的位置關(guān)系雙曲線x2y24，直線l：ykx1，試討論滿足以下條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍1直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；2直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；3直線l與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242163】解由得1k2x22kx50. 1直線與雙曲

9、線有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么式方程有兩個(gè)不相等的根解得.2直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么式方程只有一解當(dāng)1k20，即k±1時(shí)，式方程只有一解；當(dāng)1k20時(shí)，應(yīng)滿足4k2201k20，解得k±，故k的值為±1或±.3直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，那么式方程無(wú)解解得k>或k<，那么k的取值范圍為.規(guī)律方法研究直線與雙曲線的位置關(guān)系，一般通過(guò)解直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)展判斷代入得b2a2k2x22a2mkxa2m2a2b20.當(dāng)b2a2k20，即k±時(shí)，直線與雙曲線漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線交于一點(diǎn)當(dāng)b2a2k20，即k

10、7;時(shí)，2a2mk24b2a2k2a2m2a2b2>0直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，稱直線與雙曲線相交；0直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，稱直線與雙曲線相切；<0直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，稱直線與雙曲線相離通過(guò)幾何圖形也可斷定直線與雙曲線的位置關(guān)系，一般通過(guò)直線與漸近線的位置關(guān)系進(jìn)展判斷圖中為漸近線傾斜角，為直線l傾斜角如圖，時(shí)，直線l只與雙曲線一支相交，交點(diǎn)只有一個(gè)；如圖，>時(shí)，直線l只與雙曲線一支相交，交點(diǎn)有兩個(gè)；如圖，<時(shí)，直線l與雙曲線兩支都相交，交點(diǎn)有兩個(gè)跟蹤訓(xùn)練31設(shè)雙曲線C：y21a>0與直線l：xy1相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)求雙曲線的離心率e的取值范圍；設(shè)直線l與y

11、軸的交點(diǎn)為P，且，求a的值2過(guò)點(diǎn)P1,1的直線l與雙曲線x21只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究直線l的斜率k的取值解1由得1a2x22a2x2a20， *由題意得得0a且a1.又雙曲線的離心率e，e且e.設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，易知P0,1，x1，y11x2，y21，故x1x2.又x1，x2是方程*的兩個(gè)根，x2，x.又a0，a.2設(shè)直線l的斜率為k，那么l：ykx11，代入雙曲線方程得 4k2x22k2k2xk22k50.假設(shè)4k20，即k±2，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；假設(shè)4k20，那么2k2k2244k2k22k50，解得k.綜上可得，直線l的斜率k

12、的取值為或±2.與雙曲線有關(guān)的綜合問(wèn)題探究問(wèn)題1直線與雙曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，應(yīng)如何解答？提示設(shè)直線與雙曲線相交所得弦AB端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Ax1，y1，Bx2，y2，直線AB的斜率為k，那么|AB|x1x2|·.涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題，常常設(shè)而不求2直線與雙曲線相交，直線斜率與弦中點(diǎn)有何關(guān)系？提示設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2是雙曲線1a0，b0上不同的兩點(diǎn)，且x1x2，x1x20，Mx0，y0為線段AB的中點(diǎn)，那么兩式相減可得·，即kAB·.斜率為2的直線l在雙曲線1上截得的弦長(zhǎng)為，求l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242164】思路探究設(shè)出直線方程，與雙曲線聯(lián)立消元后利用

13、弦長(zhǎng)公式求解解設(shè)直線l的方程為y2xb與1聯(lián)立消y得10x212bx3b260設(shè)直線l與雙曲線0的交點(diǎn)為Ax1，y1，Bx2，y2由根與系數(shù)的關(guān)系得|AB|·解得b±.直線l的方程為y2x±.母題探究：1.變換條件求斜率為2的直線l與雙曲線1相交時(shí)，其弦中點(diǎn)的軌跡方程解設(shè)直線l與雙曲線的交點(diǎn)為Ax1，y1，Bx2，y2，AB的中點(diǎn)為Px0，y0，那么x0，y0，那么兩式相減得·.即.所以弦中點(diǎn)的軌跡方程為x3y0.2變換條件假設(shè)直線l與本例中的雙曲線相交，求以點(diǎn)P3,1為中點(diǎn)的直線l的方程解設(shè)直線l與雙曲線交點(diǎn)為Ax1，y1，Bx2，y2，那么x1x26

14、，y1y22，由兩式相減得·，直線l的斜率k2，直線l的方程為y12x3，即2xy50.規(guī)律方法1求弦長(zhǎng)的兩種方法間隔 公式法：當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間間隔 公式求弦長(zhǎng).弦長(zhǎng)公式法：當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)不易求時(shí)，可利用弦長(zhǎng)公式求解，即假設(shè)直線l：ykxbk0與雙曲線C：1a>0，b>0交于Ax1，y1，Bx2，y2兩點(diǎn)，那么|AB|x1x2|y1y2|.2中點(diǎn)弦問(wèn)題與弦中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題主要用點(diǎn)差法，根與系數(shù)的關(guān)系解決.另外，要注意靈敏轉(zhuǎn)化，如垂直、相等等問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化成中點(diǎn)、弦長(zhǎng)等問(wèn)題解決.提醒：假設(shè)直線方程涉及斜率，要注意討論斜率不存在的情況.

15、當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1假設(shè)0<k<a，那么雙曲線1與1有A一樣的實(shí)軸B一樣的虛軸C一樣的焦點(diǎn)D一樣的漸近線C0ka，a2k20.c2a2k2b2k2a2b2.2雙曲線1b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其一條漸近線方程為yx，點(diǎn)P，y0在該雙曲線上，那么· 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242165】A12B2C0D4C 由題意得b22，F(xiàn)12,0，F(xiàn)22,0，又點(diǎn)P，y0在雙曲線上，y1，·2，y0·2，y01y0，應(yīng)選C.3雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，F(xiàn)1MF2120°，那么雙曲線的離心率為A.BC.DB設(shè)雙曲線方程為1a0，b0MF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1MF2120°，MF1F230°，tan 30°，1，e.4與雙曲線x21有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)2,2的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242166】1依題意設(shè)雙曲線的方程為x20，將點(diǎn)2,2代入求得3，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.5過(guò)雙曲線1a>0，b>0的