平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)歸納

1、平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)歸納直線與方程1直線的傾斜角規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為 0圍：直線的傾斜角的取值圍為0,)2斜率：k tan (a -)，k R斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn) RXyJ， P2(x2, y2)(xi x?)的直線的斜率公式為 kPlP23直線方程的幾種形式名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)kxbk是斜率b是縱截距與X軸不垂直的直線點(diǎn)斜式y(tǒng)yok(xX0)(X0, y0)是直線上的已知點(diǎn)兩點(diǎn)式y(tǒng)yixXi(xi,yi), (X2, y2)是直線上與兩坐標(biāo)軸均不垂直y?yiX2Xi的兩個(gè)已知點(diǎn)的直線(XiX2, yiy2)截距式Xy_1a是直線的橫截距不過原點(diǎn)且與兩坐

2、標(biāo)abb是直線的縱截距軸均不垂直的直線一般式AxByC0當(dāng)B 0時(shí)，直線的橫截距(A2B20)為-A當(dāng)B 0時(shí)，所有直線ACC,分別為直線B A B的斜率、橫截距，縱截距能力提升斜率應(yīng)用例i已知函數(shù)f(x) 1og2(x i)且a b c 0,則丄回a-的最大值和最小值22y例2已知實(shí)數(shù)x,y滿足y x 2x 2( i x i)，試求 丄 x兩直線位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系設(shè)兩直線的方程分別為:1i : Aix Biy B?y11 : ykiX bi 或12 : yk2x b2 或 12 : A2xC 0E 00 ；當(dāng) kik2 或 AiB2A2Bi 時(shí)它們相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組yk1x k2

3、xbi 或 Aix Biy b2 或 A2x B2yCiC2宀護(hù)¥方 位置大糸1i : y kix bi 12: y k2x b211 : Ax Biy Ci 012 : A2 x B2y C20平行kik 2，且 bib?ABiCi(AiB2-A 2Bi=0)A2B2C2重合kik2，且 bib2ABiCiA2B2C2相交ki k?AiBiA2B2垂直ki k2iAi A2Bi B2 02直線間的夾角:若為li到12的角，tank?kiik?ki或ta n若為li和12的夾角當(dāng)1 k1k20 或 A| A2B1B2tan緩或tanAi B2A2Bi;AiA2BiB20時(shí)，90o;直

4、線li到12的角與li和12的夾角 ：(A A2 B1B2 '，則距離問題1平面上兩點(diǎn)間的距離公式只區(qū)，yj, P2(X2, y2)貝U RF2X5(y2y)2點(diǎn)到直線距離公式|Ax° By。 C點(diǎn)P(Xo,yo)到直線l : Ax By C 0的距離為：d _, 22 Va2 b23. 兩平行線間的距離公式已知兩條平行線直線li和I2的一般式方程為li: Ax By G 0，|Ci C2I2 : Ax By C20,則li與l2的距離為d Ja2 b24. 直線系方程：若兩條直線li: Ax Biy Ci 0，I2: A2x B2y C2 0有交點(diǎn)，則過h與I?交點(diǎn)的直線系

5、方程為(Ax Biy Ci) + (A?x B?y C2) 0或(A?x B2 y C2) +(Ax Bi y G)0 (入為常數(shù))對(duì)稱冋題yi y22i.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知點(diǎn) A(xi,yj, B(X2, y2)，則 代B中點(diǎn)H(x,y)的坐標(biāo)公式為點(diǎn)P(x。，y。)關(guān)于A(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為Q(2a x°,2b y。)，直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題可以化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問 題。2.軸對(duì)稱：點(diǎn)P(a,b) 關(guān)于直線Ax By c 0(B 0)的對(duì)稱點(diǎn)為P'(m,n),則有n -b / A ( m -a B，直線關(guān)于直線對(duì)稱問題可轉(zhuǎn)化0為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題。i2(i) 中心對(duì)稱:點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)

6、的對(duì)稱:該點(diǎn)是兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，點(diǎn)A(a, b)關(guān)于C(c,d)的對(duì)稱點(diǎn)(2c a,2d b)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：I、在已知直線上取兩點(diǎn)，禾U用中點(diǎn)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；n、求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，在利用l1/l2由點(diǎn)斜式得出直線方程；川、利用點(diǎn)到直線的距離相等。求出直線方程。如：求與已知直線 h：2x 3y 60關(guān)于點(diǎn)P(1, 1)對(duì)稱的直線丨2的方程。 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱：I、點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上，點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)連線斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)。n、求出過該點(diǎn)與已知直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點(diǎn)，在利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。女口

7、 ：求點(diǎn)A( 3,5)關(guān)于直線l :3x 4y 4 0對(duì)稱的坐標(biāo)。 直線關(guān)于直線對(duì)稱：(設(shè)a,b關(guān)于丨對(duì)稱)I、若a,b相交，則a到丨的角等于b到丨的角；若a/l，則b/l，且a,b與丨的距離相等。n、求出a上兩個(gè)點(diǎn)A, B關(guān)于丨的對(duì)稱點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線的方程。川、設(shè)P(x, y)為所求直線直線上的任意一點(diǎn)，則P關(guān)于丨的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)適合a的方程。如：求直線a :2x y 40關(guān)于1 : 3x 4y 10對(duì)稱的直線b的方程。能力提升例1點(diǎn)P(2,1)到直線mx y 3 0(m R)的最大距離為例2已知點(diǎn)A(3,1)，在直線y x和y 0上各找一點(diǎn) M和N，使 AMN的周長最短，并

8、求出周長。線性規(guī)劃問題：(1) 設(shè)點(diǎn) P(xo,y。)和直線 l:Ax By C 0 ,若點(diǎn)P在直線丨上，則Ax。 By。 C 0 ;若點(diǎn)P在直線丨的上方，貝U B(Ax。 By。 C) 0 ；若點(diǎn)P在直線丨的下方，貝U B(Ax° By° C) 0 ；(2) 二元一次不等式表示平面區(qū)域：對(duì)于任意的二元一次不等式Ax By C 0（ 0）,當(dāng)B0時(shí)，則Ax ByC0表示直線l : Ax By C0上方的區(qū)域；AxByC0表示直線l:AxBy C0下方的區(qū)域；當(dāng)B0時(shí),則 Ax ByC0表示直線l : Ax By C0下方的區(qū)域;AxByC0表示直線l:AxBy C0上方的區(qū)

9、域；注意：通常情況下將原點(diǎn)（0,0）代入直線Ax By C中，根據(jù) 0或 0來表示二元一次不等式表示平面 區(qū)域。（3）線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解（x, y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。0時(shí)，將直線 Ax By 0向上平移，貝U z Ax By的值越來越大;直線AxBy0向下平移，則zAxBy的值越來越??；當(dāng)B 0時(shí)，將直線Ax By 0向上平移，貝U z Ax By的值越來越小;直線AxBy0向下平移，則zAxBy的值越來越大；如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的

10、可行域（陰影部分且包括周界），目標(biāo)函數(shù)z x ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則a為；(1)設(shè)點(diǎn) P(X0,y°)和直線 l : Ax By C 0 ,若點(diǎn)P在直線l上，則Ax。 By。 C 0 ；若點(diǎn)P在直線丨的上方,則 B（Ax0 By0 C） 0 ；若點(diǎn)P在直線l的下方，貝U B（Ax。 By。 C） 0 ；（2） 二元一次不等式表示平面區(qū)域：對(duì)于任意的二元一次不等式 Ax By C 0（0）,當(dāng)B 0時(shí)，則Ax By C 0表示直線l : Ax By C 0上方的區(qū)域;Ax By C 0表示直線l : Ax By C 0下方的區(qū)域;當(dāng)B 0時(shí)，則Ax By C 0表示直線l

11、: Ax By C 0下方的區(qū)域;Ax By C 0表示直線l : Ax By C 0上方的區(qū)域;注意：通常情況下將原點(diǎn)(0,0)代入直線Ax By C中，根據(jù) 0或 0來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。(3)線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解(x, y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：當(dāng)B 0時(shí)，將直線 Ax By 0向上平移，貝U z Ax By的值越來越大;直線AxBy0向下平移，則zAxBy的值越來越??；當(dāng)B 0時(shí)，將直線Ax By 0向上平移，貝U

12、z Ax By的值越來越小;直線AxBy0向下平移，則zAxBy的值越來越大；如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域(陰影部分且包括周界)z x ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則a為圓與方程2 2 22.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x a) (y b) r圓心C(a,b)，半徑r2 2 2 特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程是：x y r .2.2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：1.設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r:(1)點(diǎn)在圓上 d=r ; (2)點(diǎn)在圓外 d > r;點(diǎn)在圓d v r.2給定點(diǎn) M(x°,y。)及圓 C ：(x a)2 (y b) 2 r2. M 在圓 C (x0 a)2 (y0

13、 b)2 r2 M 在圓 C 上 (x° a)2 (y° b)2 r 2 M 在圓 C 外(xo a)2 (y° b)2 r22.3 圓的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 .當(dāng)D2 E2 4F 0時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心2，半徑rD2 E2 4F2當(dāng)D2 E2 4F 0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)D E2' 222當(dāng)D2 E2 4F 0時(shí)，方程無圖形(稱虛圓)2 2注：(1)方程 Ax Bxy Cy Dx Ey F0表示圓的充要條件是:2 2B 0 且 A C 0 且 D E 4AF 0.圓的直徑系方程：已知AB是圓的直徑A(x1,y1)B(x2,y2)

14、(x xj(x x?) (y yj(y y?) 02.4直線與圓的位置關(guān)系:2 2 2直線Ax By C 0與圓(x a) (y b) r的位置關(guān)系有三種，d是圓心到直線的距離,(dAa Bb CA2 B2(1)d r 相離0 ； (2)d r 相切(3)d r 相交02.5兩圓的位置關(guān)系1直線與圓相切：(1)圓心到直線距離等于半徑r； ( 2)圓心與切點(diǎn)的連線與直線垂直(斜率互為負(fù)倒數(shù))設(shè)兩圓圓心分別為圓的切線方程2圓x2 y2 r2的斜率為k的切線方程是yOi, O2,半徑分別為 n, r2， O1O2d。(1)dr1r2外離4條公切線；(2)d1D 外切3條公切線；(3)r1r2dr12相交2條公切線；(4)dr1 r2內(nèi)切1條公切線；(5)0 d1$內(nèi)含無公切線；外離外切相交切含kx .1 k2r 過圓 x2 y2 Dx Ey F 0上一點(diǎn) P(x°,y0)的切線方程為:X°x y°y D x x°y0一般方程若點(diǎn)(x0 ,yo)在圓上，貝U (x -a)(x