高等代數試題五

1、向量空間判斷題(1) 平面上全體向量對于通常的向量加法和數量乘法：kJ =： ,k 二R,作成實數域R上的向量空間( )(2) 平面上全體向量對于通常的向量加法和數量乘法:k : = 0, k R,作成實數域R上的向量空間( )(3) 一個過原點的平面上所有向量的集合是V3的子空間( )(4) 所有n階非可逆矩陣的集合為全矩陣空間Mn(R)的子空間( )n(5) ( X-X2,，Xn)Xi =1,xR為 Rn 的子空間( )i (6) 所有n階實反對稱矩陣的集合為全矩陣空間m n (R)的子空間( )( X-0,，0, Xn) |X!, Xn R為 Rn 的子空間()(8) 若2,3,是數域F

2、上的4維向量空間V的一組基，那么： 1 , ： 2, ： 2亠'：3,3亠總4是V的一組基().(9) n維向量空間V的任意n個線性無關的向量都可構成V的一個基()(10)設2,，： n是向量空間V中n個向量且V中每一個向量都可由u,()線性表示,則r,，亠是V的一組基(11) 設：、，2,，亠是向量空間V的一個基,如果'-1, '-2/' , 與1,2，n等價,則'-I, '-2/' ,1 也是 V 的一個基()(12) X3 關于基 X3, x3 +x, x2 +1, x +1 的坐標為(1,1, 0, 0) ( )(13) 設yM，

3、,Vs為n維空間V 的子空間，且V ，V2亠亠Vs 若dim y dim V2川卷dim Vs二n ,貝UV 、2川"-川七$為直和()(14)設V-V2,Vs為n維空間V的子空間且 V =VV2VsVV2=0,(VV2)V3=0，(yV2 Vs4)Vs=0,則 VJV2 Vs 為直和().(15) 設'SV為n維空間v 的子空間,且v v2亠亠vs 若Vi (' Vj) =0,則Vt +V2 + +Vs 為直和()j半(16) 設Vt,V2,，Vs為n維空間V 的子空間,且V =Vt V2-Vs 若Vi (Vj) =0, i =j,則 Vt V2 -Vs 為直和()

4、(17) 設y,V2,，Vs為n維空間V的子空間，且V =VtV2-Vs.零向量表法是唯一的，則Vtv2亠-亠Vs為直和()(18) 設：，宀,，：是向量空間V的一個基，f是V到W的一個同構映射，則W的一個基是 f (), f (2),，f Gn) ()(19) 設V是數域F上的n維向量空間，若向量空間V與W同構，那么W也是數域F上的n維向量空間()(20) 把同構的子空間算作一類，n維向量空間的子空間能分成n類().答案 錯誤(2)錯誤(3)正確 錯誤 (5錯誤 (6正確 正確(8)正確(9)正確(10)錯誤(11)正確(12)錯誤(13)正確(14)正確(15)正確(16)錯誤(17)正確

5、(18)正確 (1 9正確(2 0錯誤(13)三維向量空間的基亠=(1,1,0),:匕=(1,0,1),則向量1 = (2, 0, 0)二填空題全體實對稱矩陣，對矩陣的作成實數域R上的向量空間(2) 全體正實數的集合R ,對加法和純量乘法a：b=ab,k，a=ak,構成R上的向量空間(13)三維向量空間的基亠=(1,1,0),:匕=(1,0,1),則向量1 = (2, 0, 0)(13)三維向量空間的基亠=(1,1,0),:匕=(1,0,1),則向量1 = (2, 0, 0)則此空間的零向量為(3) 全體正實數的集合R :對加法和純量乘法a b = ab , k ' a = a,構成R

6、上的向量空間(13)三維向量空間的基亠=(1,1,0),:匕=(1,0,1),則向量1 = (2, 0, 0)(13)三維向量空間的基亠=(1,1,0),:匕=(1,0,1),則向量1 = (2, 0, 0)則a E R 4的負向量為(4) 全體實二元數組對于如下定義的運算(a , b ) (c ,d =)a c ,bd a © ,k(k 1 ) 2k (a ,b )= ka kba ),2構成實數域R上的向量空間則此空間的零向量為_(5) 全體實二元數組對于如下定義的運算：(a , b )門(c ,d =)a c ,b亠 d a © ,k (a,b 匸 kakbkl)a2

7、),2構成實數域R上的向量空間則(a,b)的負向量為 (6) 數域F上一切次數 蘭n的多項式添加零多項式構成的向量空間Fnx維數等于 (7) 任一個有限維的向量空間的基 的，但任兩個基所含向量個數是 .(8) 復數域C作為實數域R上的向量空間，維數等于 ,它的一個基為 .(9) 復數域C看成它本身上的向量空間，維數等于 ,它的一個基為 .(10) 實數域R上的全體n階上三角形矩陣，對矩陣的加法和純量乘法作成向量空間，它的維數等于.(11) 向量 =(0, 0, 0,1)關于基二(1,1, 0,1),2 二(2,1, 3,1), >3 二(1,1, 0, 0)a4 =(0,1, T,T)的

8、坐標為 .(12) x2 +2x +3 關于 F3x的一個基 x3,x3 +x, x2 +1,x +1 的坐標為 .在此基下的坐標為(14) V和W 是數域F上的兩個向量空間，V到W 的映射f滿足條件,就叫做一個同構映射.(15) 數域F上任一 n維向量空間V都與向量空間 同構.(16) 設 V的子空間Wi,W2,W3,有WiW2 二WiW3二W2W3 = 0,則 WiW2W3直和.答案1 2加法和數量乘法(2 1(3)(4) (0,0) (5) (-a, a -b) (6) n 1 (7)不唯一，相an(n 亠 1 )等 (8)2 ; 1i,( 9 )1 ; 1 (10)(11) (1,0,

9、 -1,0)(12(0,0,1,2(13X1,1,1 )2(1 4 ) f是V到W 的雙射；對任意：，卩：=v , f (、:.1-9 = f GJ f G：,):對任意a- F,很三 V,f( :a )= a：f (15尸“(1 6 不一定是(13)三維向量空間的基亠=(1,1,0),:匕=(1,0,1),則向量1 = (2, 0, 0)簡答題(1)設V =Mn(R).問下列集合是否為V的子空間，為什么？1) 所有行列式等于零的實n階矩陣的集合 W,；2) 所有可逆的實n階矩陣的集合 W2 ； 設L(R)是實數域R上所有實函數的集合,對任意f , g三L ( R),；.三R,定義(f g)(

10、x)二 f (x) g (x), 0 f )(x) V.f (x), x R對于上述運算L(R)構成實數域R上向量空間下列子集是否是L(R)的子空間？為什么？1) 所有連續(xù)函數的集合W!；2) 所有奇函數的集合W2；3) W3 二 f | f L(R), f (0) = f (1)；(3)下列集合是否為Rn的子空間？為什么？其中R為實數域1) W1 = ：二(X1, X2，Xn) I X1 X2 Xn 二 0,R；2) W2 = = ( X1 , x2 , xn ) 1 X1 X2X n = 0, Xi R；3) W3 =二=(X!,X2，Xn) I每個分量Xi是整數； 設A, X , b分別

11、為數域F上m n,n 1, m 1矩陣，問AX二b的所有解向量是 F上的 向量空間嗎？說明理由.(5) 下列子空間的維數是幾？31) L(2, -3,1), (1,4, 2), (5, -2, 4)工 R ；2 22) L(x-1,1-x,x - x) Fx(6) 實數域R上m n矩陣所成的向量空間 Mmn(R)的維數等于多少？寫出它的一個基.(7) 實數域R 上,全體n階對稱矩陣構成的向量空間的維數是多少？(8) 若1,2,i,n是數域F 上n維向量空間V 的一個基， ,2:/；'3 n,_ 二：；5，:n也是 V 的個基嗎？(9) x _1,x - 2, (x _1)(x - 2)

12、是向量空間F2【x的一個基嗎?(10) 取R4的兩個向量 、=(1,0,1,0),2 =(1,-1,2,0) 求R4的一個含 冷，' 的基(11) 在 R3 中求基 冷=(1,0,1),用2 = (1,1,1),3 = (1,1,1)到基'1 =(3, 0,1), '-2 =(2, 0, 0),嘉=(0, 2, 2)的過渡矩陣(12) 在中 F 4 求向量 F： =(1,2,1,1)關于基 '二(1,1,1,1),宀=(1,1, 1, 一1), >3 = (1, 1,1, -1)：-4 =(1, -1, -1,1)的坐標(13) 設W,表示幾何空間V3中過

13、原點之某平面的全體向量所構成的子空間，W2為過原點之某平面二2上的全體向量所構成的子空間,則w,w2與W,-w2是什么？W,w2能不能是直和？(14) 設 W1= L(冷，, >3), W2 = L ( ：1 , ：2),求 W! W2 和 WW2其中、右=(1,2,-1, -2),、社2 = (3,1,1,1), -'-3 = ( ", 0,1,1)；-1 = (2, 5,-6,5), -2=(i1,2, -7, 3).(15) 證明數域F上兩個有限維向量空間同構的充分必要條件是它們維數相等'a b '(16) 設V =|a,b,c R, W =( d

14、,e)|d,e R,都是實數域R的向量空間.問V與2 c丿W是否同構？說明理由.(17) 設冷，亠,，亠為向量空間的一個基，令：i =1斤冬亠一 ,，i =1,2，,n且Wi二L .證明 V =W!二W2三 三Wn 答案(1)1) W1不是V的子空間若A,B W1 ,| A B |若未必等于零，W1對加法不封閉2) W2不是V的子空間因為A W3,| A |= 0 ,則| -A嚴0，但| A，(-A)尸0 ,對加法不封1) W,是L(R)的子空間因為兩個連續(xù)函數的和及數乘連續(xù)函數仍為連續(xù)函數2) W2是L(R)的子空間因為兩個奇函數的和及數乘奇函數仍為奇函數3) W3是L(R)的子空間因為W3

15、非空，且對任意f , g三W3,，三R,有(f - g)(0) = f (0) - g(0) = f (1) - g(i) =(f g)(i); f (0)=：(f (0) V( f (1)=(' f )(1),故 f g ,二 f e W3.(3)1) 是因Wt是齊次方程組Xt X2亠亠Xn = 0的全體解向量2) W2不是Rn的子空間因W2對加法不封閉3) W3不是子空間因對數乘運算不封閉 當b=0時，AX =b的所有解向量不能構成F上的向量空間因n維零向量不是AX =b的解向量當b =0時,AX =0的所有解向量能構成F上的向量空間(5)1) 維數是 2.因(2, -3,1),

16、(1, 4, 2)線性無關，而(5,2, 4) =2(2,3,1) - (1,4, 2) 2) 維數是 2.因易證 x1,1X2 線性無關，但(x1) (1X2) (x2X)二 0 解 令Ej表示i行j列位置元素是1其余是零的m n矩陣那么易證Ej這m n個矩陣是線性無關的它們作成M m n(R)的一個基，故M m n(R)的維數是m n EH,Eij Ej ,i, j =1,2, 3，n,i=j,為全體n階對稱矩陣構成的向量空間的一個基其中共有n 1- (n -1)個向量，故此向量空間的維數n(n “)2(8)解由>2，:n_ ：n ， ：n(1 ，匚，nA )得| A| = 1 +(

17、-1)nT當n為偶數時，|A|=0,故口 1 +。2,。2 +。3,口 n +口1線性相關,它不構成基當n為奇數時，| A匕0,故：r亠：£2 ,2亠黒3,n亠線性無關,它構成一個基2(9) 解在基1, x, x之下有(x - 1 ,x 2，X因上式右方的3階矩陣為可逆,-121冷(=2) x(x,0所以x -1,x - 2, (x -1)( x - 2)線性無關,它是F2x的一個(10)解取向量§= (0, 0,1, 0), ；4 =(0, 0, 0,1),由于因此；4線性無關,所以向量組是R4的一個基基.(11)(12 , 3 > ；( 1； , 2 ,A ) ：

18、 , (1 ：,2 =,3 ； ) ； 1(； B ,)推出(；2 < 3 > ： (，2 , A 9因此所求過渡矩陣為11勺20(10 001_L11A B =00021 1122110-2I1 1-b-1Q2丿(12)解取F 4的標準基；1, ；2, ；3, ；4 .由；1, ；2, 3 ；4到1,2,3,4的過渡矩陣為勺11111一 1一1A =1-1 11J-1- 11于是 =(1,2,1,1)關于基：“亠，：',、的坐標為21Il1丿41414114（13）解由于W1 ,W2皆過原點，它們必相交，因此或重合，或不重合若W1與W2重合，則W1 WW1,W1 W2 W

19、1 若W1與W2不重合，則W1 W2為一條過原點的直線,而W1 W2，但W1 W2不能是直和（14）解設 =& : k2 : 2 k33 =匕 t2 ：2三Wt W2為交空間的任意向量由k' 1 k 22 k ：'3 -3t ： 1t1 ：2 0,2得齊次線性方程組'匕 +3k2 k3 2匕 +t2 = 02匕 +k2 5鮎一2t2 =0-k1 k2 k3 6t1 7t2 = 0-2k1k2k3 -5t3t2 =0由行初等變換知方程組的系數矩陣的秩為4，解空間的維數為1，且求得方程組的一般解為4896廠k1t2，k2 t2, k3t2，k4 t2 因此維（W W

20、2） =1，維（対"2）=4.7777取 t2 =7 ,令=-6 -1 7 -2 便有 W1 W2 二 L），另外顯然 W1 W2 二 L（1，2，31）（15）證明 設數域F上兩個有限維向量空間V與W的維數均為n ,因V二F " ,W二F "所以 V =W .反之，若V三W ,設dim V二n 0,且f是V到W的同構映射.取V的一個基J ,亠，亠，易證fJ, f （2），f （亠）是W的一個基,故dim W =n .（16）V與W不同構.因dim V =3, dim W =2 , V與W的維數不相等.(17) 證明 任取* V ,若=a/'1 - a?川

21、訐玄亠,那么=佝 -&2 -an) ：1心2 -&3 -an) ：2 ' (an -an) ：n ：'n ：n因此V =W1W-'Wn ,并且V中向量依諸 Wi表示唯一，故V =W!二 W2 ：F fWn四計算題 設由 8 =(1, 2,2,_2)(/2= C 1, 3, Jth=(2,4,2,生成R4的子空間W.試從向量組 二=(3, 1, 0, 3)；2 二(2r 1,0,3)3, =G3, -4, 2,164),=(1,7,4,中找5出 W在對A的行施行初等變換的生成元解以冷，2,3及1, S, ：3, ：4為列做成矩陣A5-12-:3231231

22、 114A =-T20-20024I"2-15:331 6-)1 510011 /20 '201-00 -1/ 2-11-=B00111 /2101°0-00 -400由于行初等變換不改變列向量間的線性關系由矩陣B知,11 *3, I -' ：'3, -4 =2J從而 L( 344W 但由 B 還知3,1 4線性無關，故'-!, , 為W的一組生成元 在向量空間 R4 中,求由向量= (2,1, 3, _1),2 = (4, 5, 3, _1),= ( _1,1, _3,1)：-4 =(1,5, ；,1)生成的子空間的一個基和維數(2)解對下

23、述矩陣施行行的初等變換24-11° -6-3-915151515TT33-3VV0 1 261 8I-1-111°42)60°°° '13°20°°°213此變換保持列向量間的線性關系，由右方矩陣知a並是一個極大無關組，因此L(, >3 , >4 的維數實是2 ,而>1 ,是它的一個基(3)在R4中求出向量組 厲，、*一2、'W-5的一個極大無關組，然后用它表出剩余的向量(3)在R4中求出向量組 厲，、*一2、'W-5的一個極大無關組，然后用它表出剩余的向量這里=

24、(2,1, 3,1),=(1,2, 0,1),=(-1,1, -3,0),=(1,1,1,1),=(0,12, -12, 5) 解對下述矩陣施行行的初等變換'2由右方矩陣知>410-10-2-10112T23031)l 1101)53' 000r3210105T60000051 110020111212個極大無關組,并且有 求M3(F)中與矩陣A可交換的矩陣構成的子空間的維數及一個基，其中廣1A = 0<30 01 01 2>解設這個子空間為W,由于A二1 +B ,這攵里巾00、B =0 00<3 11丿因此與A可交換的3階方陣，就是與B可交換的3階方陣

25、，從而W= X乏M(F)| B X=X.B任取 C W , C = Cj).由 B C = C B ,可得 c13 = c23 = 0, 3 q ' c21 ' c31 = 3c33,3c12 -c22 - C3C33,于是C W當且僅當C的元素為齊次線性方程組C2 1 二 _3c 1 c313c3 2c的解.于是我們得到如下矩陣廣100、，Z010、，Z000、-300J0-30_1000°00>000 0 0 x巾0 0 '0-1053101 °2 0 1(6)設(Xi, X2, X3, X4)為向量關于基 $ = (1,0, 0,1),

26、_：込=(0, 2,1, 0),:七=(0, 0,1,1)，它們構成W的一個基，故W的維數是5 .1A |o00、0,尬2O丿-1,3i_ 2(6)設(Xi, X2, X3, X4)為向量關于基 $ = (1,0, 0,1), _：込=(0, 2,1, 0),:七=(0, 0,1,1)，(6)設(Xi, X2, X3, X4)為向量關于基 $ = (1,0, 0,1), _：込=(0, 2,1, 0),:七=(0, 0,1,1)，(5)解因3 =1 ,所以<1 |'1 、223A = CO, A =1=1i< b易證I , A, A2線性無關于是任何多項式f(A)(f(x)

27、 Rx)皆可由I , A, A2線性表示，故2I , A, A 為的一個基，dim V =3.：4 =(0, 0,2,1)的坐標；(yi,y2,y3,y4)是關于基1, - 3 J的坐標，其中二為，丫2 =X2 X1, y3 = X3 X2 , y4 二 X4 X2.求基-1, -2, ：3, ：4 t、解因匕=（%,0（2,口3,口4）X2=(3 ,卩2, 3, »)y2X3y3N丿1J4丿且00y20y3I4丿010(6)設(Xi, X2, X3, X4)為向量關于基 $ = (1,0, 0,1), _：込=(0, 2,1, 0),:七=(0, 0,1,1)，(6)設(Xi, X

28、2, X3, X4)為向量關于基 $ = (1,0, 0,1), _：込=(0, 2,1, 0),:七=(0, 0,1,1)，X2X3X4=(：1, ：2, ：3, ：4)PX2X3*丿于是(-1 , ：2 , ：3 , ：4(1 ；2 宀)故所求的基為腎=(1,2, 4, 3), - =(0, 2, 4, 2),=(0, 0,1,1), '=(0,0, 2,1). 設 W 2,，n是n維向量空間V的一個基， W勺亠-：2，冷亠"：2亠亠： n也是V的一個基，又若向量關于前一個基的坐標為(n,n 一1,2,1),求-關于后一個基的 坐標. 解 基:-! _：S2，一：環(huán)到后一

29、個基的過渡矩陣為(11110111p L L0011衛(wèi) 001那么y2Wn丿nn 1-1=P210-11000-1000nfCn _-1:=21k111丿1故所求的基為腎=(1,2, 4, 3), - =(0, 2, 4, 2),=(0, 0,1,1), '=(0,0, 2,1).故所求的基為腎=(1,2, 4, 3), - =(0, 2, 4, 2),=(0, 0,1,1), '=(0,0, 2,1).故關于后一個基的坐標為(1,1，1).(8)已知 R3 的一個基為 宀=(1,1, 0),:遼=(0, 0, 2), : 3 =(0, 3, 2).求向量 F： =(5, 8,

30、 _2)關于這個基的坐標(8)解設：=X1i X22 X33，的方程組Xi = 5彳 Xi * 3 X3 = 82x22x3 = 2解得 Xi =5, X2 - -2, X3 =1 故.關于基i,2, >3 的坐標(5, -2,1)(9) 已知二=(2,1, -1,1), : 2 =(0, 3,1,0), ：, =(5, 3, 2,1), := (6, 6,1, 3)是 R4 的一個基.求R4的一個非零向量,使它關于這個基的坐標與關于標準基的坐標相同(9)解 由標準基；1, ；3, ；4到基>1, >2, >3,4的過渡矩陣為'20561336P =1121I1

31、0 1 3設'關于兩個基的坐標為(X1 ,X2, X3 ,X4),則即得齊次線性方程組為 +5x3 + 6X 4= 0嚴1 +2X3 + 3x 3+ 6t F 0一為 + x 2 + x 3+x 廠 0Xt +x 3 +2x 4= 0解得 X1 = X2 = X3 = -X4,令 X4 = k = 0, k R ,貝U = ( -k, -k, -k, k)即為所求.(10)已知 R4 的一個基：1 =(2,1, -1,1),：2 = (0, 3,1, 0), = (5, 3, 2,1) ：(6, 6,1,3).(10)已知 R4 的一個基：1 =(2,1, -1,1),：2 = (0,

32、 3,1, 0), = (5, 3, 2,1) ：(6, 6,1,3).求 =(X1, X2 , X3, X4)關于基冷，:-2, >3 , >4 的坐標.（10）解由標準基到所給基的過渡矩陣為那么'205613 36P =-111 21J0 13-(£1, ®2 ,龜，亀）X2=（耳,0（2,0（3,0（4）卩"X2X3X3區(qū)4 ”1W丿這里故'關于基：, >2, >3, >4的坐標為（yy2,3,4）五證明題設W,W2為向量空間V ( F )的兩個子空間1) 證明：W, W2是V的子空間2) W, W2是否構成V的

33、子空間，說明理由.(1)證明1)顯然0 W,W2，即W,W2 *，任取：2 W,W2,kF，易知冷：2 W,W2,k，W,W2 ,故W,W2是V 的子空間2)不一定當W,W2或W2W,時,W,W2是V的子空間但當W,與W2互不包含時,W, Uw2不是V的子空間因為總存在a, W W 爭W及a2W2 ,ot2更W,使:W,W2,而 ?2''W,W2,因為這時：，工2tW, ：,，.工2一W2,否則與選取矛盾 設W1,W2為向量空間V的兩個子空間.證明：W1 W2是V的即含W1又含W2的最小子空間 證明 易知Wt w2牛勺匕|21w ,：彳w為v 的子空間,且WiWiW2,W2*=

34、 WiW2.設W為V的包含W1與W2的任一子空間,對任意W1, W 2,有 '2 - W ,即W1- W2、=W ,故W1 - W2是V的即含W1又含W2的最小子空間 設W1,W2為向量空間V（F）的兩個子空間.0（,0是V的兩個向量，其中a W2，但 :-.- W1 ,又 I，- W2 .證明：1）對任意k三F , I：, k:：£十W2 ；2）至多有一個k三F ,使得一： kt wWi .（3）證明1）任意k ：= F ,若亠kx三W2,貝U ：=（：亠kt） - kx三W2矛盾，故1）成立.2）當；-W1時，僅當k = 0時，有三W ;當卩? Wt時，若存在k1 ,k

35、F ,匕=k2使得耳=B +ka WW“ a? = 0 +k 2a W?則耳-a?=（匕 一 k2）a E W ,因此 a = W1 ,矛盾，故2）成立. 設W1,W2為向量空間V的兩個子空間.證明 若W1 - W2 =.W1 W2 ,則WW2或W2 二 w1 .(4) 證明 因Wi W含Wi與W2中所有向量,Wi W含一切形 冷 r 2(W， W2)的向量,因為W W2= W W,所以冷蹩靂2 W第亠"：2三W2. 若 ：-2 - W1 ,令冷 1二 2 -,貝 U ： 2 - - - > 1 ,故 W2 W ；若亠 A二 2 W2，令冷2 二,貝 U 冷二-：-2,故 WW

36、2 .（5）證明：n維向量空間V中，任意n個線性無關的向量都可作為V的一個基.（5）證明 設冷，2,，是V中線性無關的向量,取V的單位向量；2,，；n ,則V=L（",；2，,；n）,且2,，中每一個可由,；2,，；n線性表示由替換定理知1 ,亠，/'n與；1，；2,，F(xiàn)等價，所以V中每一個向量可由 J, 一，n線性表示，又 1,2，Cn線性無關,故九宀，：可作為V的一個基. 設V為n維向量空間，V中有m組線性無關的向量，每組含t個向量，證明：V中存在 n -t個向量與其中任一組組成 V的一個基. 證明 設V中m組線性無關的向量分別為冷七,，r （i =1,2，m）,t空n.

37、令Vi =L（ii,：七，it）,貝V dim Vi=t ： n 因存在Vi, （n 1'； 2 ,m ,使）九，二2，亠，：線性無關，若t 7 ： n ,令V,二L（ii,i2,，:，J ,則V也為V的非平凡子空間，同理存在：=V -V,i =1,2，m，而且：“，二2,，it,l, 2線性無關，如此繼續(xù)下去，可找到；，；,，】丄使得 亠，4,，兒，1,：,，丄 線性無關，故對每個i ,它們都是V的一個基. 設n維向量空間V的向量組、冷，用2,，談n的秩為r ,使得kp - k2、£2亠亠kn、；n=0全體n維向量（匕，k2,，kn）的集合為W .證明W是f n的n _r維

38、子空間 證明 顯然dim L（：e >2,，n） =r ,今設每個二在L （：，： 2，n）的某個基下的坐標為:i=1,2，n那么由«冷* k22亠亠kn =0可得ki ：'i- k2【2.kn： n=0 它決定了一個含n個未知量k2,，心，r個方程的齊次線性方程組，其系數矩陣（i, 4,，:O 的秩為r ,故解空間即W的維數為n -(8) 設a2,，an是數域F中n個不同的數，且f (x) = (x -a1 )(x - a2y - (x _ an) 證明多項式組fi(x) U9 (i =1,2，n)是向量空間Fnx的一個基(x aj(8)證明 因dim Fnx二n,所

39、以只需證f-f?,fn線性無關設有«匕,，kF使k!f k 2f' kn f0(*)由 f j(aj =0, i = j, f/aj) = 0 ,因此將 ai 帶入(*)得 ki fi (ai 0 ,從而 ki = 0, (i =1,2，n)故fl, f2,fn線性無關，為FnX的一個基（9） 設W是Rn的一個非零子空間 ,而對于W的每一個向量（aa?,，a.）來說,或者（9） 設W是Rn的一個非零子空間 ,而對于W的每一個向量（aa?,，a.）來說,或者二 a?二an =0,或者每一個a：都不等于零證明：dim=1.（9） 設W是Rn的一個非零子空間 ,而對于W的每一個向量

40、（aa?,，a.）來說,或者（9） 設W是Rn的一個非零子空間 ,而對于W的每一個向量（aa?,，a.）來說,或者且E： 0 ,那么每個bi - 0且 :可由1線性表示；若:-0.故一：可作為W的一個基，（9）證明 由W非零,我們總可以取1 = （bi d,，X） W ,'線性無關今對任意二=（ai,a2,，a.）尸W ,若 -0當然而W ,由于其第一個分量為0 ,由題設知、-=b1b1且 dim W =1.(10)證明：x2 x,x2 _x, x - 1是F2x的一個基,并求2x27x九3關于這個基的坐標(10)證明：x2 x,x2 _x, x - 1是F2x的一個基,并求2x27x

41、九3關于這個基的坐標(10)證明：dim F x| =3,X2，x, x2-x,x - 1由基1, x , x2表示的演化矩陣為(10)證明：x2 x,x2 _x, x - 1是F2x的一個基,并求2x27x九3關于這個基的坐標(10)證明：x2 x,x2 _x, x - 1是F2x的一個基,并求2x27x九3關于這個基的坐標*001A =1-11J1022但A可逆，故x x, x - x, x 1是F2 x的一個基2x2 7x 3關于這個基的坐標(3, -1,3),因為7-1l2丿<3丿A(11) 若W, ,W2,W3都是V的子空間,求證：W,(W, W2) W3) =(W, W2)

42、W3).(11) 證明：任意汽 W,(W,W2)W3)，則卅 EW,且:；三(W,W2) W3,因此:-=，亠"：3,-切：=W,W2,-：i3：=W3,但 X -W,知 _：%：=W,W3,故：£ 三(W,W2)(W,W3).反之，任意 B E(W,aW2)+ (wJ W3)B = B, + 篦，為 e wW2,廬2走 w Jw 3,則l：' := W,且 I-' := (W, W2) W3,故 L：'：=W,(W,W2) W3).(12) 設W,W2r ,Ws是n維向量空間V的子空間.如果WtW2亠亠Ws為直和證明：Wi Wj =0, i = j

43、,i, j =1,2,，S.(12) 證明：由Wt W2 川川Ws 為直和,有Wi(V Wj )二0, i = j ,i, j =1,2,，Wi n W jW pl 任 W )j= 0護 j i j,-1, S 故WiWj =0, i = j,i, j =1,2，s.(13) 設W1 ,W2分別是齊次線性方程組人亠X2亠亠Xn =0與X<! = X2二=xn的解空間證明：F " =W - W2 (13) 證明因Xt x2亠*、xn =0的解空間的維數為n -1 ,且一個基為：1 =(一1,1,0,0), ： 2 = (一1,0,1,0，°)，： nd =( 一1，&#

44、176;，,0,1)，又 Xt =X2 = Xn即方程組xt -x2 =0X2 X3 =0Xn 丄-Xn =0的系數矩陣的秩為n -1 ,其解空間的維數為1 ,且一個基為：=(1,1, 1但t,2,>2,：線性無關，它是Fn的一個基，且dim F n =dim W, - dim W2 ,故F n M W2 (14) 證明 每一個n維向量空間都可以表成 n個一維子空間的直和(14) 證明：設二，2,，亠是n維向量空間V的一個基，那么L(), LC/),丄(：)都是一維子空間.顯然 V 二 L( :-,) - L(2)TL(： n)于是由V中向量在此基下表示唯一，立得結論.（15）證明n維向

45、量空間V的任意一個真子空間都是若干個n _1維子空間的交（15）證明：設W是V的任一子空間，且設，二2,，一亠為W的一個基，將其擴充為V的 一個基1,，亠，亠1,，：，n ,那么令Wi =L（1 ,2：； s :', s L,，s_i：, s 韋,n ）于是這些Wi,i =1,2，n -s,均為n -1維子空間，且W = W1W2丨!Wn.（16）設f ：V ； W是數域F上向量空間V到W的一個同構映射,V是V的一個子空間證明：f （VJ是W的一個子空間(16) 證明：因f (0) f(Vi),所以f(Vi)非空.對任意 f (Vi),由于f是Vi到f (V,)的滿射,因此存在：，I，匸