自動控制原理第4章

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第四章 根軌跡法教學時數(shù)：10學時教學目的與要求：1. 正確理解開環(huán)零、極點和閉環(huán)零、極點以及主導(dǎo)極點、偶極子等概念。2. 正確理解和熟記根軌跡方程(模方程及相角方程)。熟練運用模方程計算根軌跡上任一點的根軌跡增益和開環(huán)增益。3. 正確理解根軌跡法則，法則的證明只需一般了解，熟練運用根軌跡法則按步驟繪制反饋系統(tǒng)K從零變化到正無窮時的閉環(huán)根軌跡。 4. 正確理解閉環(huán)零極點分布和階躍響應(yīng)的定性關(guān)系，初步掌握運用根軌跡分析參數(shù)對響應(yīng)的影響。能熟練運用主導(dǎo)極點、偶極子等概念，將系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)給出定量估算。5. 了解繪制廣義根軌跡的思路、要點和方法。 教學重點：根軌跡與

2、根軌跡方程、繪制根軌跡的基本法則、廣義根軌跡、系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系、系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析。教學難點：根軌跡基本法則及其應(yīng)用。閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標主要有閉環(huán)系統(tǒng)極點在復(fù)平面的位置決定，因此，分析或設(shè)計系統(tǒng)時確定出閉環(huán)極點位置是十分有意義的。根軌跡法根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，直接由開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點求出閉環(huán)極點（閉環(huán)特征根）。這給系統(tǒng)的分析與設(shè)計帶來了極大的方便。§41 根軌跡與根軌跡方程一、根軌跡定義：根軌跡是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某個參數(shù)（如開環(huán)增益K）從零變到無窮時，閉環(huán)特征根在s平面上移動的軌跡。當閉環(huán)系統(tǒng)為正反饋時，對應(yīng)的軌跡為

3、零度根軌跡；而負反饋系統(tǒng)的軌跡為根軌跡。例子 如圖所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：圖4-1 二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個極點。沒有零點，開環(huán)增益為K。閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)特征方程為： 閉環(huán)特征根為： 從特征根的表達式中看出每個特征根都隨K的變化而變化。例如，設(shè)如果把不同K值的閉環(huán)特征根布置在s平面上，并連成線，則可以畫出如圖所示系統(tǒng)的根軌跡：圖4-2 二階系統(tǒng)的根軌跡二、 閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系圖43 控制系統(tǒng)如圖所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： （44）將前向通道傳遞函數(shù)G(s)表示為: （45）為前向通道增益， 為前向通道根軌跡增益 （46） （47）其中為反饋通道的根軌跡增

4、益。閉環(huán)傳遞函數(shù)： （410）式中分別為閉環(huán)零、極點。比較式（48）和（410）可得出以下結(jié)論 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益； 閉環(huán)系統(tǒng)零點由前向通道的零點和反饋通道的極點組成； 閉環(huán)系統(tǒng)的極點與開環(huán)系統(tǒng)的極點、零點以及開環(huán)根軌跡增益有關(guān)。根軌跡法的任務(wù)就在于已知開環(huán)零、極點分布的情況下，如何通過圖解法求出閉環(huán)極點。三、根軌跡方程閉環(huán)特征方程： D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-11）閉環(huán)極點就是閉環(huán)特征方程的解，也稱為特征根。根軌跡方程： G(s)H(s)=-1 （4-12）式中G(s)H(s)是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，該式明確表示出開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)極點的關(guān)系。設(shè)開環(huán)傳

5、遞函數(shù)有m個零點，n個極點，并假定nm，這時式（412）又可以寫成： （413）不難看出，式子為關(guān)于s的復(fù)數(shù)方程，因此，把它分解成模值方程和相角方程。模值方程： （414）相角方程 注意：模值方程不但與開環(huán)零、極點有關(guān)，與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；而相角方程只與開環(huán)零、極點有關(guān)。相角方程是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。在實際應(yīng)用中，用相角方程繪制根軌跡，而模值方程主要用來確定已知根軌跡上某一點的值。例41 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：試證明復(fù)平面上點是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點。證明： 該系統(tǒng)的開環(huán)極點： 它們應(yīng)滿足相角方程 （415）圖44 例41開環(huán)零、極點分布圖以為試驗點，觀察圖44，可得： 以為試驗點

6、，可得： 可見：、都滿足相角方程，所以、點是閉環(huán)極點。例42 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)當變化時其根軌跡如圖4-5，求根軌跡上點所對應(yīng)的K值。解 根據(jù)模值方程求解值， 圖45 例42根軌跡根據(jù)圖45可得： ，所以。上面兩個例子說明如何應(yīng)用根軌跡方程確定復(fù)平面上一點是否是閉環(huán)極點以及確定根軌跡上一點對應(yīng)的值方法。根軌跡法可以在已知開環(huán)零、極點時，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時閉環(huán)特征方程所有根在復(fù)平面上的分布，即根軌跡。§42 繪制根軌跡的基本法則一、根軌跡的分支數(shù) 分支數(shù)開環(huán)極點數(shù) 閉環(huán)特征方程的階數(shù)二、根軌跡對稱于實軸 閉環(huán)極點為：實數(shù)在實軸上 復(fù)數(shù)共軛對稱于實軸三、根軌跡

7、的起點與終點起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點。由根軌跡方程有：起點： 終點： 若開環(huán)零點數(shù)m < 開環(huán)極點數(shù)n有(n-m)個開環(huán)零點在無窮遠處， 則有(n-m)條根軌跡終于無窮遠點。 四、實軸上的根軌跡實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零、極點數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。證明：設(shè)一系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖。圖46 實軸上的根軌跡在實軸上任取一試驗點 s 代入相角方程則：所以相角方程成立，即s是根軌跡上的點。一般，設(shè)試驗點右側(cè)有L個開環(huán)零點，h個開環(huán)極點，則有關(guān)系式：如滿足相角條件必有： 所以，L-h必為奇數(shù)，當然L+h也為奇數(shù)。例43 設(shè)一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1

8、),求時的閉環(huán)根軌跡。解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點形式： 按繪制根規(guī)跡法則逐步進行： 法則一，有兩條根軌跡 法則三，兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點0、2，一條終于有限零點1，另一條趨于無窮遠處。 法則四，在負實軸上，0到1區(qū)間和2到負無窮區(qū)間是根軌跡。最后繪制出根軌跡如圖47所示。圖47 根軌跡法則五：根軌跡的漸近線漸近線與實軸正方向的夾角為： 漸近線與實軸相交點的坐標為： 例4-4 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試根據(jù)法則五，求出根軌跡的漸近線。解：零點： 極點： 按照公式得：以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線： 圖49 幾種不同開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)： 法則六：根軌跡的起

9、始角和終止角根軌跡的終止角是指終止于某開環(huán)零點的根軌跡在該點處的切線與水平正方向的夾角。根軌跡的起始角是指根軌跡在起點處的切線與水平正方向的夾角。起始角與終止角計算公式：起始角計算公式： 終止角計算公式： 例45 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) ，試繪制系統(tǒng)概略根軌跡。解：將開環(huán)零、極點畫在圖412的根平面上，逐步畫圖：圖412 例45根軌跡1、n=2，有兩條根軌跡2、兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點 (-1-j2),(-+j2) ；終于開環(huán)零點(-2-j) ,(-2+j)。3、確定起始角,終止角。如圖413所示。例45 根軌跡的起始角和終止角。圖413 例45根軌跡的起始角和終止角七、根軌跡的分離點座標d定

10、義：幾條（二條）根軌跡在s平面上相遇又分開的點。若根軌跡位于實軸兩相鄰開環(huán)極點之間，則此二極點之間至少存在一個分離點。若根軌跡位于實軸兩相鄰開環(huán)零點之間，則此二極點之間至少存在一個會合點。分離點的坐標d可由下面方程求得： 式中：為各開環(huán)零點的數(shù)值，為個開環(huán)極點的數(shù)值。例46已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ，試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點坐標d，并概略繪制出根軌跡圖。解：根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點： 按步驟：1、n=2,m=1,有兩條根軌跡2、兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點和無窮遠零點3、實軸上根軌跡位于有限零點1和無窮零點之間，因此判斷有分離點4、離開復(fù)平面極點的初始角為5、漸近線6、求分

11、離點坐標d此系統(tǒng)根軌跡如圖圖415 此系統(tǒng)根軌跡圖八、分離角與會合角所謂分離角是指根軌跡離開重極點處的切線與實軸正方向的夾角。分離角計算公式： -為分離點的坐標； -為開環(huán)零點 -為當時，除個重極點外，其它個非重根。所謂會合角是指根軌跡進入重極點處的切線與實軸正方向的夾角。會合角計算公式： 分離角與會合角不必經(jīng)公式計算，可以用下列簡單法則來確定：若有條根軌跡進入d點，必有條根軌跡離開d點；條進入d點的根軌跡與條離開d點的根軌跡相間隔；任一條進入d點的根軌跡與相鄰的離開d點的根軌跡方向之間的夾角為；因此只要確定了d點附近的一條根軌跡的方向，由上述規(guī)律就可以方便地確定d點附近所有的根軌跡方向，而確

12、定d點附近根軌跡方向的方法可根據(jù)法則(2) 、法則(4) 或取試驗點用相角條件來驗證。九、根軌跡與虛軸的交點如根軌跡與虛軸相交，則交點上的值和值可用勞思判據(jù)判定，也可令閉環(huán)特征方程中的，然后分別令其實部和虛部為零求得。例47 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。解：按步驟畫圖1、有4條根軌跡2、各條根軌跡分別起于開環(huán)極點0，-3，-1+j1, -1-j1 ；終于無窮遠3、實軸上的根軌跡在0到-3之間4、漸近線5、確定分離點d 解方程得 6、確定起始角7、確定根軌跡與虛軸的交點。閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為： 令代入上式解得： 圖417 例47根軌跡十、根之和與根之積如果系統(tǒng)特征方程寫成如下

13、形式：1、閉環(huán)特征根的負值之和，等于閉環(huán)特征方程第二項系數(shù) 。若根之和與開環(huán)根軌跡增益無關(guān)。 2、閉環(huán)特征根之積乘以，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項。在開環(huán)極點已確定不變的情況下，其和為常值，因此，n-m³2的系統(tǒng)，當增益的變動使某些閉環(huán)極點在平面上向左挪動時，則必有另一些極點向右移動，這樣才能保證極點之和為常值。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。圖4-18 常見閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖例48 已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出時的閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡，并求出時的閉環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)極點。解；根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計算：1. n=4，有四條根軌跡；2. 起始于開環(huán)極點0，20，2-j4, -2+

14、j4，終于無窮遠處；3. 實軸上的根軌跡在（0，20）區(qū)間；4. n=4,m=0,則有四條根軌跡趨于無窮遠，他們的漸近線于實軸的交點和夾角為：?。?、根軌跡的起始角。6、分離點坐標d。解得：7、根軌跡于虛軸交點。系統(tǒng)特征方程令代入：解得 則兩個閉環(huán)極點 此時特征方程為： 利用綜合除法，可求出其他兩個閉環(huán)極點：圖419 例48根軌跡圖§43 廣義根軌跡一、開環(huán)零點變化時的根軌跡設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)特征方程為 (4-59)等效變換成 (4-60)令 （461）顯然，利用式461就可以畫出關(guān)于零點變化的根軌跡，它就是廣義根軌跡。二、開環(huán)極點變化時的根軌跡設(shè)一負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

15、：現(xiàn)在研究變化的根軌跡。等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 根據(jù)（462）可畫出變化時的廣義根軌跡。例4-10 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制當開環(huán)增益K為時，時間常數(shù)變化時的根軌跡。解：題目顯然是求廣義根軌跡問題。系統(tǒng)特征方程為：等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3個零點0，0，-1；2個極點，不同K值可計算出不同極點。按照常規(guī)根軌跡的繪制法則可繪制出廣義根軌跡如圖4-21。圖4-21 例4-10根軌跡圖三、零度根軌跡分析復(fù)雜控制系統(tǒng)如圖，其中內(nèi)回路為正反饋。為了分析整個控制系統(tǒng)的性能，需求出內(nèi)回路的閉環(huán)零、極點。用根軌跡的方法繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。圖4-22 復(fù)雜控制系統(tǒng)研究內(nèi)回路：特征方程：根軌跡

16、方程： 從而相角方程及模值方程相應(yīng)為： 使用常規(guī)根軌跡法繪制零度根軌跡時，對于與相角方程有關(guān)的某些法則要修改。法則四 實軸上某一區(qū)域，若其右方開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。法則五 根軌跡的漸近線： 計算公式不變。法則六 根軌跡的起始角與終止角法則八 分離角與會合角除上述四個法則外，其他法則不變。例4-11 正反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-23所示，其中圖4-23 正反饋控制系統(tǒng) 試繪制開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益變化時的根軌跡。 解：該系統(tǒng)是正反饋系統(tǒng)。當變化時的根軌跡是零度根軌跡。利用零度根軌跡法則繪制該系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。實軸根軌跡在和區(qū)間內(nèi)。起始于開環(huán)極點： 終止于開環(huán)零點： 圖4-

17、24 例4-11根軌跡圖§44 系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分別與階躍響應(yīng)的關(guān)系主要任務(wù)：由開環(huán)閉環(huán)極點的根軌跡求閉環(huán)極點確定閉環(huán)傳函閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能一、用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應(yīng)表達式階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：，。 設(shè)輸入為單位階躍：r(t)=1(t),有：假設(shè)F(s)中無重極點，上式分解為部分分式 將C(s)表達式進行拉式反變換得： （474）從式子看出，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)將有閉環(huán)極點及系數(shù)決定，而系數(shù)也與閉環(huán)零、極點分布有關(guān)。二、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系穩(wěn)定性 所有閉環(huán)極點為于s平面的 左半部；平穩(wěn)性：復(fù)數(shù)極點設(shè)置在s平面中與負實軸成夾角線附近；快速性：閉環(huán)極點遠離虛軸； 動

18、態(tài)過程盡快消失，小，閉環(huán)極點之間間距大，零點與極點間間距小， 三、主導(dǎo)極點和偶極子主導(dǎo)極點：就是對動態(tài)過程影響占主導(dǎo)地位的極點，一般是離虛軸最近的極點。如果有兩個極點：，偶極子：就是一對靠得很近的閉環(huán)零、極點。當時，就可以認為與是一對偶極子。在對系統(tǒng)進行分析時，就可以將其忽略不計。四、利用主導(dǎo)極點估算系統(tǒng)的性能指標既然主導(dǎo)極點在動態(tài)過程中起主要作用，那么，計算性能指標時，在一定條件下就可以只考慮暫態(tài)分量中主導(dǎo)極點對應(yīng)的分量，將高階系統(tǒng)近似看做一、二階系統(tǒng)，直接應(yīng)用第三章中計算性能指標的公式和曲線。例4-12 某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為試近似計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標 。解：這是三階系統(tǒng)，有三個閉環(huán)極點

19、其零、極點分布如圖4-25所示。極點離虛軸最近，所以系統(tǒng)的主導(dǎo)極點為，而其他兩個極點可以忽略。圖4-25 閉環(huán)極點其零、極點分布圖這時系統(tǒng)可以看做是一階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)為：式中：T=0.67s根據(jù)時域分析可知，一階系統(tǒng)無超調(diào)，調(diào)節(jié)時間例4-13 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 試估計系統(tǒng)的性能指標。解：閉環(huán)零、極點分布如圖(4-26)所示圖 4-26 閉環(huán)零、極點分布圖系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)： 對應(yīng)性能指標 ：例4-14 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試應(yīng)用根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計算閉環(huán)主導(dǎo)極點具有阻尼比0.5時的性能指標。解： ， 按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖4-27所示。圖4-27 根軌跡圖分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，使系統(tǒng)

20、穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍是：。在平面上畫出 時的阻尼線。阻尼線與根軌跡交點的坐標設(shè)為，從圖上測得，與之共軛的復(fù)數(shù)極點為。已知系統(tǒng)閉環(huán)特征方程及兩個極點，用長除法求出第三個極點。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的性能指標：§45 系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析例415 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖428所示。試畫出當由時的閉環(huán)根軌跡，并分析對系統(tǒng)動態(tài)過程的影響。圖428 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個極點0，2；有一個零點4。此類帶零點的二階系統(tǒng)的根軌跡，其復(fù)數(shù)部分為一個園，其圓心在開環(huán)零點處，半徑為零點到分離點的距離。根軌跡如圖429所示。圖429 系統(tǒng)根軌跡系統(tǒng)根軌跡分離點： 對應(yīng)開環(huán)增益： 1、當開環(huán)增益在（00.686）內(nèi)，閉環(huán)為兩個負實數(shù)極點，系統(tǒng)再階躍信號下響應(yīng)為非周期。2、當開環(huán)增益在（0.68623