湘教版解讀-第7章三角形全章總結

1、第七章三角形全章總結.知識結構圖（一）知識技能專題專題1:與三角形的角有關的性質專題概說：三角形的內角、外角的性質是本章學習的重點，同時本章還學習了三角形的高、角平分線，這些知識常常綜合在一起，構成一道道豐富多彩的角度計算問題.例 1 :如圖 7 1 所示，在 AABC 中，/ A = 50°, / B=70°, CD 平分/ ACB 交 AB 于D,求/ ADC的度數.圖71【解】 在AACB 中，/A = 50°, / B=70°, / A + / B + Z ACB = 180°,所以/ ACB =180° -50 - 70 =

2、60.因為 CD 平分/ ACB ,所以/ BCD = - / ABC = 30°.2所以/ ADC = Z B+Z BCD = 70° + 30° = 100°.【點撥】本題是利用外角性質將/ ADC轉化為求/ B+/ BCD,這里也可以利用/A + Z ACD + / ADC = 180 °去求/ ADC 的度數.例2:已知，如圖72,在 ABC中，AD, AE分別是 4ABC的高和角平分線， 若/ B=30°, / C=50°.(1)求/ DAE的度數。(2)試寫出 /DAE與/C /B有何關系？(不必證明)【解】(1

3、) / B= 30°, ZC=50 ,BAC = 100. . AD 是那BC 的高，. CAD = 90 -Z C=401. AE 平分/ BAC, .-.Z CAE= - Z BAC=50 2 ./ DAE = Z CAE-Z CAD= 10°.(2) . / B + Z C+Z BAC= 180 , . . / BAC = 180 / B/ C. AD 是叢BC 的高，. CAD = 90 -Z C111. AE 平分/ BAC, ./ CAE= - ZBAC=90 - ZB- ZC.2221 1Z DAE = Z CAE Z CAD = / CZ B.2 2 ./

4、C-Z B=2/DAE.【點撥】求一個角的度數時，可設法將這個角表示為另外幾個角的差或者和的形式，比如本題將求/ DAE轉化為求/ CAE - Z CAD.專題1即時練習1 .如圖73,已知D為4ABC邊BC延長線上一點， DF LAB于F交AC于E, Z A=35°, Z D=42°,求/ ACD 的度數.圖7 32 .如圖 7 4,在 那 BC 中，Z B=Z C, Z BAD = 40 且/ ADE = Z AED,求/ CDE 的度數.3 .如圖75,在4ABC中，。是高AD和BE的交點，觀察圖形，試猜想/ C和/DOE 之間具有怎樣的數量關系？并證明你的猜想結論。

5、C4 . 9BC中，/ ABC、/ACB的平分線相交于點 O.(1)若/ ABC = 40°, /ACB = 50°,則/ BOC=(2)若/ ABC +/ACB= 116°,則/ BOC =。(3)若/ A = 76°,則/ BOC=。(4)若/ BOC= 120°,則/ A =。(5)你能找出/ A與/BOC之間的數量關系嗎？專題2:與三角形的邊有關的性質專題概說：三角形三邊關系是構成三角形的前提條件，利用三邊關系可以探究線段 之間的長短關系；由于三角形的中線將三角形的一邊分成兩條相等的線段，因此三邊關 系常常和中線一起綜合考查 .例3:等

6、腰三角形一腰上的中線將周長分為6和15兩部分，求此三角形的腰長【解】如圖等腰 那BC中，AB =AC , BD是腰AC上的中線，設 AB = AC = x, BC = y;貝U AD = DC = x2 .圖76 AB+AD=6 , BC+CD=15 時,即：x+ x = 6, y+ x= 15.解得 x = 4, y = 13224+4V13, 此時不能組成三角形，故x=4, y= 13不合題意，舍去當 AB+AD = 15, BC + CD = 6 時，即：x+ x= 15, y+ x= 6.解得 x= 10, y= 122 10+1>10,10、10、1 能構成三角形. 此三角形的

7、腰長為 10.【點撥】本題沒有給出圖形，一般需要畫圖討論，注意考慮多種可能情況. 專題2即時練習1 .在3BC中，已知AB = AC, AC邊上的中線 BD把AABC的周長分為 27cm和33cm 兩部分，求這個三角形的三邊長.2 . 一個三角形的兩邊長分別為 2和9,第三邊為奇數，則此三角形的周長是多少？專題3:多邊形及有關性質專題概說：多邊形的內角和、外角和是本章研究多邊形的主要內容.例4:若兩個多邊形的邊數之比是1 ： 2,內角和度數之比是1 ： 3,那么這兩個多邊形分別是幾邊形？【解】設這兩個多邊形分別是 n邊形、2n邊形.根據題意，得(n2) 180 ： (2n2) 180=1 ：

8、3,即(n 2) ： (2n2)=1 ： 3,解得 n=4,得 2n = 8.答：這兩個多邊形分別是四邊形、八邊形.【點撥】n邊形的內角和是(n 2)180°.專題3即時練習1 .若n邊形每個內角都等于150°,那么這個n邊形是()A.九邊形 B.十邊形 C.十一邊形D.十二邊形2 . 一個多邊形的內角和為 720 °,那么這個多邊形的對角線條數為()A. 6條 B. 7條 C. 8條 D. 9條3 .四邊形 ABCD 中，Z A + Z B = 210°, / C = 4/ D.求：/ C 或/ D 的度數.(二)規(guī)律方法專題專題4:列方程解決幾何問題

9、專題概說：本章解答題的主要題型為計算題，角度計算和線段的計算，列方程解決關于計算的問題可使解題過程思路清晰明了例5:已知：等腰三角形的周長是24cm,腰長是底邊長的 2倍，求腰長.解：設底邊長xcm,則腰長為2xcmx + 2x+ 2x= 24x= 4.8. .腰長=2x= 2 48 = 9.6 (cm)點撥：根據等腰三角形的周長=腰長+腰長+底邊長和腰長是底邊長的2倍，可設一腰長的長為xcm,可列方程為x+2x+ 2x=24,解之即可.用設未知數，找相等關系,列方程來解，體現了幾何問題用代數方法解和方程思想.專題4即時練習1.在 "BC中，若/ A=2/B=3/C,試判斷這個三角形

10、的形狀.（三）數學思想專題專題5:分類討論思想專題概說：當數學問題中的條件，結論不明確或題意中含參數或圖形不確定時,就應分類討論.一方面可將復雜的問題分解成若干個簡單的問題，另一方面恰當 的分類可避免丟值漏解，從而提高全面考慮問題的能力.例6:已知非直角三角形 ABC中，/ A=45°,高BD和CE所在直線交于 H,求/BHC的度數.【解】（1）當"BC為銳角三角形時（圖77）. BD、CE 是AABC 的高，ZA=45°,/ ADB = / BEH = 90°.在 AABD 中， Z ABD = 180° -90°-45 =45o.

11、一/ BHC是ABHE的外角,/ BHC =90 + 45 = 135°.圖77（2）當9BC為鈍角三角形時（圖78）H是HBC兩條高所在直線的交點ZA=45°, ./ ABD = 180° 90°45° = 45°.在 RtABEH 中， / BHC = 180°90° 45 =45°. / BHC的度數是135°或45°.【點撥】三角形的形狀不同，高的交點的位置也就不同.高的交點可能在三角形內部, 也可能在三角形外部，故應分兩種情況加以討論.專題5即時練習1 .已知等腰三角形的一個

12、角為75。，試求其頂角的大小.2 .等腰9BC中，AB=AC, 一腰上的中線 BD將這個等腰三角形的周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長.專題6:整體思想專題概說：有些數學問題，如果從局部去考慮，拘泥于常規(guī)，則舉步維艱.如果從全局著手，突破常規(guī)，則會柳暗花明.例 7:如圖 7 9,求/ A + Z B + Z C+Z D + Z E+Z F+Z G 的度數.圖7 9【解】因為/ A +Z C+Z E=180°,又因為/ B + ZD + ZF+Z G=360°,所以/ A + ZB + ZC + ZD + ZE + ZF+Z G=540°.【點撥】

13、觀察圖形可得，圖由一個四邊形和一個三角形構成，可根據四邊形和三角 形的內角和定理求度數之和.專題6即時練習1.如圖 7 10,在 AABC 中，/ B = Z C, / 1 = / 2, / BAD =40°.求/ EDC.圖 7 10（四）中考能力專題專題7:角度有關的計算問題專題概說：本章在中考試卷中考查的重點是角度的計算，涉及的知識有三角形、多 邊形的內角和與外角和定理，一般以填空、選擇的題型為主，難度不是很大的例 8: （2010,錦州）如圖 711, /BDC = 98°, /C=38°, /B=23°, / A 的度數是（C. 37°

14、;D. 39°B. 60°A. 61°【答案】CA圖 711【點撥】連接 BC,則/ CBD+/ BCD = 180° / BDC = 180° 98° = 82°,在 AABC中，又有/ C=38°, / B = 23°,則/ A=180°-Z C-Z B (/ CBD + / BCD) = 180°38 - 23 - 82 = 37°,本題主要考查了三角形的內角和定理.例9: （2010,林B州）如圖712, 一個直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個 四邊形，則/ 1 +

15、 7 2= 度.【答案】270圖 712【點撥】由于/ B+Z C=90°,又1 + Z 2 + Z B+Z C=360°,1 + / 2=270°, 本題綜合考查了三角形、四邊形的內角和.例10: （2010,柳州）一個正多邊形的一個內角為120°,則這個正多邊形的邊數為A. 9 B. 8C. 7 D. 6【答案】D【點撥】設這個多邊形的邊數為n,則有120n =（n 2）180,解得n = 6.專題7即時練習1. （2010,濟寧）若一個三角形三個內角度數的比為2 ： 3 ： 4,那么這個三角形是（ ）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.

16、等邊三角形2. （2010,鐵嶺）已知一個多邊形的內角和是外角和的4倍，則這個多邊形是（）A.八邊形B.十二邊形C.十邊形 D.九邊形3. （2010,昆明）如圖 713,在 AABC 中，CD 是/ ACB 的平分線，/ A =80°, /ACB =60°,那么/ BDC=（）A. 80°B, 90°C. 100° D, 110°圖 7134.（2010,自貢）一個多邊形截取一個角后，形成的另一個多邊形的內角和是1620。,則原來多邊形的邊數是（）A. 10 B. 11 C. 12 D.以上都有可能5. （2010,荊州）如圖714

17、, 一根直尺EF壓在三角板30°的角/ BAC上，與兩邊 AC, AB 交于 M、N.那么/ CME + Z BNF 是（）A. 150B. 180C. 135D,不能確定圖 714第七章三角形檢測題、選擇題（每題 3分，共24分）一個多邊形的邊數每增加一條，這個多邊形的（A.內角和增加360°B.外角和增加360°C.對角線增加一條D.內角和增加180°2.A. 27cmB . 33cmC. 7cm 或 33cmD.以上結論都不對等腰三角形的兩邊分別長 7cm和13cm,則它的周長是3.A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.含30°角

18、的直角三角形4.一個三角形的兩邊長分別為 3和7,且第三邊長為整數,這樣的三角形的周長最小AABC中，/ A=2ZB=3ZC,則這個三角形是（值是（5.6.A. 14C. 16D. 17能把一個三角形分成兩個面積相等的三角形是（A.中線B.高C.角平分線D,以上都不是ABC 中，a=3xcm, b = 4xcmc=14cm,則x的取值范圍是（）A. 2vx<14C. xv 14D. 7<x< 147.銳角三角形的三個內角是/A、/ B、/C,如果/ 6=/A+/B, / 3= /B + /C,k/ C+Z A,那么/A.沒有銳角D.有3個銳角8.如圖7 15,ABC 中，Z

19、A=50°,點A, E分別在AB,AC上，則/ 1 + Z 2的大小為（)圖 7 15D. 310°O圖 7 16C. 180°B . 230°A- M B圖 7 17二、填空題（每題 4分，共32分）9.祥BC中，若/ A+/C=2/B,最小角為30°,則最大的角為10.如果一個多邊形的每一個外角都小于45o,這樣的多邊形邊數的最小值是11 .如圖716,點M、N分別是正八邊形相鄰的邊AB、BC上的點，且 AM=BN,點O是正八邊形的中心，則/ MON=度.12 .如果三角形的三邊長分別為3、4、1 2a,那么a的取值范圍是 .13 .現有長

20、度分別為 1cm、3cm、5cm、7cm、11cm的5條線段，從其中選三條線段為 邊可以構成 個不同的三角形.14 .如圖 717, /A=30°, /ABC=135°, /C=20°,則/ D =.15 .多邊形的每個內角都等于150°,則從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線有 條.16 .如圖7-18-1是四邊形紙片 ABCD,其中 B=120 , D=50 ,若將其右下角向內 折出 PCR,恰使 CP/AB, RC/AD,如圖 7-18-2 所示，則 C=: ， 一B C B P 圖 7-18-1 圖 7-18-2三、解答題（共40分）17 . （5

21、分）在AABC中AB = AC, AC上的中線 BD把三角形的周長分為 24cm和30cm 的兩個部分，求三角形的三邊長。18 . （6 分）在'BC 中，已知/ ABC =66°, /ACB=54°, BE 是 AC 上的高，CF 是 AB 上的高，H是BE和CF的交點，求/ ABE、/ ACF和/ BHC的度數.19 . （6分）如圖，一塊模板中 AB、CD的延長線相交成80°角，因交點不在板上，不便 測量，工人師傅連結 AC,測得/ BAC=34°ZDCA = 65°,此時，AB、CD的延長線 相交成的角是否符合規(guī)定？為什么？B

22、D A'CEF20 . （6分）已知：如圖， ABC中，/ ABC= /C, BD是/ ABC的平分線，且/ BDE= /BED, /A=100°,求/ DEC的度數.21. (8分)已知:平分/ DCB ,如圖，四邊形 ABCD 中，AD ± DC, BCXAB, AE 平分 /BAD, CFAE交CD于E, CF交AB于F ,問AE與CF是否平行？為什么？22. (9分)問題如圖，一張三角形 ABC紙片，點D、E分別是 'BC邊上兩點.研究(1):如果沿直線DE折疊，使A點落在CE上，則/ BDA與/A的數量關系是研究(2):如果折成圖的形狀，猜想/ B

23、DA、/ CEA和/ A的數量關系是研究(3):如果折成圖的形狀，猜想/ BDA、/ CEA和/A的數量關系，并說明理由.猜想:問題©理由:研究(4):將問題1推廣，如圖，將四邊形 ABCD紙片沿EF折疊，使點A、B落在四邊形EFCD的內部時，/1 + /2與/ A、/ B之間的數量關系是專題1即時練習1 .解：因為/ AFE = 90 °,所以/ AEF = 90 °-Z A= 90 - 35 = 55 °.所以/ CED=Z AEF = 55°,所以/ ACD =180°-Z CED-Z D= 180° 55°

24、 42= 83°.2 .解：設/ DAE = x,則/ BAC = 40°+x,因為/ B=/C,所以 2/2=180°/ BAC,ZC=90°- - ZBAC=90°- 1 (40 °+ x)22同理/ AED = 90 - 1 Z DAE = 90 - 1x22ZCDE = Z AED / C=(90 - 1x)-90 - 1 (40 0+x) = 20°.223 .答：Z C + Z DOE = 180 °o理由：.一/ DOE是HOE的外角， ./ DOE = Z OAE + / AEO = / OAE+9

25、0° = Z OAE+Z ADC,. C + Z DOE =Z OAE + /ADC+/ C=180°。4 . (1) 135 ° (2) 122 ° (3) 128 ° (4) 60° (5) /BOC = 90°+ - / A.2專題2即時練習1 . (1)若 AB+AD=27cm,則 BC+CD = 33cm (如圖 1 所示).A因為 AD = CD,所以 AB-BC=33- 27=6(cm).設 AB=xcm,則 BC=(x+6)cm.所以 x+x+ (x+6)=27+33,解得 x=18.則 x + 6=24.所

26、以三角形三邊長分別為AB = AC=18cm, BC = 24cm.(2)若 AB+AD=33cm,則 BC + CD = 27cm (如圖 2 所示).因為 AD=CD,所以 BC AB =3327=6(cm).設 BC = xcm ,則 AB = (x + 6)cm.所以 x+2(x+ 6) = 27+33,解得 x= 16.貝Ux+6 = 22.所以三角形三邊長分別為AB = AC = 22cm, BC = 16cm .2 .設第三邊長為 x,則9-2<x<9+2,由于第三邊為奇數，所以第三邊可取9,所以此三角形的周長是 20.專題3即時練習1. D,點撥：n邊形每個內角都等

27、于 150°,所以每個外角都等于30°,所以多邊形的邊數為 360°與0° = 12.2. D,點撥：由于多邊形的內角和為720。，所以這個多邊形為六邊形，所以這個多邊形的對角線條數 9.3. 解：. / A + Z B+Z C+Z D=360°, /A + /B = 210°,.Z C+Z D=150°,/ C=4/D ./ D=30°, / C=120°.專題4即時練習1 .解：設/ A= x ,則/ B= - x , / C= - x ,于是有 x+ x+ x= 180 ,2 323解得x98 2

28、,即最大角/ A=98. 2 ,所以此可知 9BC是鈍角三角形.專題5即時練習1 .當75 °是等腰三角形的底角時，則頂角的度數=180 - 75 X2=30°當75°是等腰三角形的頂角時，則頂角的度數就等于 75。.所以這個等腰三角形的頂角為30?；?5。.2 .解：設 AB =AC= 2x,貝U AD =CD=x.A/ D/ -hBC(1)當 AB + AD = 15, BC+CD=6 時，有 2x+x = 15, x=5, 2x=l0, BC = 6-5= 1.(2)當 BC+CD = 15, AB+AD=6 時，有 2x+x=6. . x = 2, 2x=

29、4,，BC = 13. ,4+4<13,故不能組成三角形.答：三角形的腰長為10,底邊長為1.專題6即時練習1 .解：設/ EDC = x.因為/ 1是4DEC的外角，所以/ 1=x+Z C.又因為/ 1 = 7 2,所以/ 2 = x + Z C.又因為/ 2是4ABD的外角，所以/ ADC = Z B+Z BAD.所以/B + /BAD =/2 + x,即/ B+40° = / C+2x.因為/ B = /C,所以2x = 40 ,解得x = 20 .專題7即時練習1. B,點撥：三角形的內角和是 180°,因此這個三角形的三個內角分別是180 X29= 40&#

30、176;, 180°X3=60°, 180° X4 =80°,故這個三角形是銳角三角形. 992. C,點撥：設多邊形的邊數為n,則有（n-2） X180=360>4,解得n=103. D,點撥：由三角形的三內角的和定理得/B = 40°,由角平分線的性質得/ DCB= 30°,那么/ BDC = 110°.4. D,點撥：由多邊形的內角和公式得，（n 2） 180= 1620，解得n= 11;通過操作可以發(fā)現，一個多邊形截取一個角后，所得出邊數與原多邊形邊數比較有三種情況：等 于原邊數、比原邊數少 1、比原邊數多1.

31、5. A,點撥：/ A=30°,AMN + /ANM = 180° 30 = 150°./ CME = /AMN , /BNF = /ANM, . / CME + / BNF = / AMN + / ANM = 150 °.第七章三角形檢測題一、選擇題1. . D,點撥：多邊形的內角和為 180° （n-2）,外角和為360°,對角線為 "n 3）條.22. B,點撥：分兩種情況討論，7cm為腰或13cm為腰.3. C,點撥：/ A ： / B ： / 0 = 6 ： 3： 2,然后求出每個角的度數.4. B,點撥：先求第三

32、邊的取值范圍.5. A,點撥：三角形的中線把這個三角形分成等底同高的兩個三角形.6. A,點撥：把c看作第三邊，則xv 14v 7x.7. A,點撥：/ a、/ 3、/ 丫等于三角形三個外角的度數.8. B,點撥：因為/ 1 = Z A+Z ADE , Z 2=Z A+Z AED ,所以/ 1 + Z 2=Z A+Z ADE + Z A+Z AED= 180 °+Z A= 230 °.二、填空題9. 90°,點撥：.一/ A+ /C=2/B, / A+/ B+/0 = 180°,解得：/ A+Z 0=120°, /B=60°,因為最小角為30°,所以/ A和/C中必有一個角為90°.10. 9,點撥：若多邊形的每一個外角都等于450,則多邊形邊數為 8,所以這樣的多邊形邊數的最小值 9.11. . 45°,點撥：/ MON所占的角的度數占周角度數的1 .812. 3vav0,點撥：根據三角形三邊關系可知1v1 2av7,解得：3<a<0.13. 2,點撥：5cm、7cm、11cm 或 3cm、5cm、7cm 兩種.14. 85°,點撥：本題可總結成一個規(guī)律：/ B = /A + /D + /C.15. 9,點撥：由于每個內角都