數(shù)值分析試題(卷)和答案解析

1、 試題 _2009_年_2010_年第 一學(xué)期課程名稱： 數(shù)值分析 專業(yè)年級(jí)： 2009級(jí)（研究生） 考生學(xué)號(hào)： 考生姓名： 試卷類型： A卷 B卷 考試方式: 開(kāi)卷 閉卷 一. 填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）1.設(shè)有節(jié)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)的值分別為，則二次拉格朗日插值基函數(shù)為 。 2.設(shè)，則關(guān)于節(jié)點(diǎn)的二階向前差分為 。3.設(shè)，則 ， 。4. 個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精確度為 。二簡(jiǎn)答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）1. 哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說(shuō)平方根法計(jì)算穩(wěn)定？2. 什么是不動(dòng)點(diǎn)迭代法？滿足什么條件才能保證不動(dòng)點(diǎn)存在和不動(dòng)點(diǎn)迭代序列收斂于的不動(dòng)點(diǎn)？3.

2、 設(shè)n階矩陣A具有n個(gè)特征值且滿足，請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明求解矩陣A的主特征值和特征向量的算法及流程。三求一個(gè)次數(shù)不高于3的多項(xiàng)式，滿足下列插值條件：12324123并估計(jì)誤差。（10分）四試用的牛頓-科特斯求積公式計(jì)算定積分。（10分）五用Newton法求的近似解。（10分）六試用Doolittle分解法求解方程組： （10分）七請(qǐng)寫(xiě)出雅可比迭代法求解線性方程組 的迭代格式，并判斷其是否收斂？（10分）八就初值問(wèn)題考察歐拉顯式格式的收斂性。（10分）數(shù)值分析（A）卷標(biāo)準(zhǔn)答案 （200920101）一 填空題（每小題3分，共12分）1. ； 2.7；3. 3，8；4. 。二簡(jiǎn)答題（本大題共3小題，每小題8

3、分，共24分）1. 解：系數(shù)矩陣為對(duì)稱正定的方程組可用平方根法。 （4分）對(duì)于對(duì)稱正定陣 A，從可知對(duì)任意k £ i 有。即 L 的元素不會(huì)增大，誤差可控，不需選主元，所以穩(wěn)定。 （4分）2. 解：（1）若，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。 （2分）（2）必須滿足下列三個(gè)條件，才能保證不動(dòng)點(diǎn)存在和不動(dòng)點(diǎn)迭代序列收斂于的不動(dòng)點(diǎn)：1）是在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)； （2分）2）的值域是定義域的子集； （2分）3）在其定義域內(nèi)滿足李普希茲條件。 （2分）3.解：參照冪法求解主特征值的流程 （8分）步1：輸入矩陣A，初始向量v0，誤差限e，最大迭代次數(shù)N;步2：置k:=1,:=0，u0=v0/|v0|;步3

4、：計(jì)算vk=Auk-1;步4：計(jì)算并置mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5：若|mk- |< e，計(jì)算，輸出mk,uk；否則，轉(zhuǎn)6；步6：若k<N,置k:=k+1, :=mk，轉(zhuǎn)3；否則輸出計(jì)算失敗 信息，停止三 解：（1）利用插值法加待定系數(shù)法： 設(shè)滿足 則（3分） 再設(shè) （3分） （1分） （1分）（2） （2分）四解：應(yīng)用梯形公式得 （2分） （1分） 應(yīng)用辛普森公式得： （2分） （1分） 應(yīng)用科特斯公式得： （2分） （2分）五解：由零點(diǎn)定理，在內(nèi)有根。 （2分）由牛頓迭代格式 （4分） 取得， （3分）故取 （1分） 六解：對(duì)系數(shù)矩陣做三角分解： （2分） （4分

5、）若，則； （2分）若，則 （2分）七解：（1）對(duì)于方程組，雅可比方法的迭代矩陣為 （2分）其特征多項(xiàng)式為，且特征值為 （2分）故有，因而雅可比迭代法不收斂。 （1分）（2）對(duì)于方程組，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩陣為 （2分）其特征值為 （2分）故有，因而雅可比迭代法收斂。 （1分）八證明題（本大題共2小題，每小題7分，共14分）1. 證：該問(wèn)題的精確解為 （2分）歐拉公式為 （2分）對(duì)任意固定的，有， （2分）則 （1分）2.證：牛頓迭代格式為 （3分）因迭代函數(shù)為而又， （2分） 則。故此迭代格式是線性收斂的。 （2分）數(shù)值分析參考解答三計(jì)算題（每小題7分，共42分）： 1.

6、設(shè) , 試構(gòu)造基函數(shù)求的2次插值多項(xiàng)式 ,滿足: . 解 設(shè)的基函數(shù)為，則它們滿足下列關(guān)系 （1分）01011100010001（2分）(1) 令，則有, 即. 所以.或由，先得.再由，得，即. 由，得，即.所以.（1分）(2) 令，則有,即. 所以.或由,先得. 再由，得.所以.（1分）(3) 令，則有，即 . 所以或由,先得.再由，得，即. 所以（1分）最后得 .（1分）2. 求 在區(qū)間 -1,1 上的次最佳一致逼近多項(xiàng)式;解 設(shè)所求的2次最佳一致逼近多項(xiàng)式為. 令.（2分）則的首項(xiàng)系數(shù)為1, 并且當(dāng)時(shí), 與的偏差最小, 即與的偏差最小.（2分）因?yàn)樯系?次切比雪夫Chebyshev多項(xiàng)式

7、為.（1分）所以.（2分）3利用龍貝格公式計(jì)算定積分(計(jì)算到即可)： 解 ，,（1分）,（2分）TSCRn=11617.2590417.3264417.33283n=216.9442817.3222317.33273n=417.2277417.33207n=817.30599,（2分）,.(2分)4利用改進(jìn)的尤拉方法求解常微分方程初值問(wèn)題：（要求取步長(zhǎng)計(jì)算）解 令，則改進(jìn)的尤拉公式為：（2分）.（2分)取得，. （1分)計(jì)算結(jié)果如下： 111.21.461.42.06521.62.84754（2分)5用牛頓法求方程 在 附近的根（只要求迭代步）。解 牛頓迭代公式為：（2分).（2分)取迭代初值

8、為，則迭代結(jié)果如下表所示：0312.3333322.05555 （3分）6寫(xiě)出解如下線性方程組的高斯塞德?tīng)柕?，并討論其收斂性。如果不收斂，則應(yīng)怎樣處理才能得到收斂的高斯塞德?tīng)柕剑?解 ,.（1分）則 ,（1分）得 ,（1分）,（1分）為高斯-塞德?tīng)柕? （1分）這時(shí)的2個(gè)特征值為,故，迭代法不收斂.（1分）若原方程 改寫(xiě)成為 , 這時(shí)是嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣，則由此得到的迭代法必收斂.（1分）四證明題(每小題9分,共18分)： 1. 證明本試卷第三大題（即計(jì)算題）第小題的插值余項(xiàng)：, 并有誤差估計(jì)證：方法一：因?yàn)椋瑒t是的零點(diǎn)且為二重的, (1分)于是可設(shè)，令(2分)則有4個(gè)零點(diǎn):,

9、連續(xù)使用三次羅爾定理,則使,(2分)即, 得.(2分)方法二: 設(shè), 則有3個(gè)零點(diǎn), (1分)有2+1個(gè)零點(diǎn),。有一個(gè)零點(diǎn)，所以 (2分)(2分)， 即.(2分)最后. (2分)2證明: 求積公式 恰有次代數(shù)精度.證：當(dāng)時(shí)， ;(1分) 當(dāng)時(shí)， ,;(1分)當(dāng)時(shí)，, ; (1分)當(dāng)時(shí)，, ; (1分) 當(dāng)時(shí)， , ; (1分) 當(dāng)時(shí)，, .(1分) 即求積公式對(duì)次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立, 但當(dāng)時(shí)，, 不成立.(2分)綜之，求積公式具有5次代數(shù)精度.(1分)數(shù)值分析試題11. 已知都有6位有效數(shù)字，求絕對(duì)誤差限。（4分）解： 由已知可知,n=6 2分 2分2. 已知 求 （6分）解： 1分 1

10、分 1分 = 2分 1分3. 設(shè) （6分） 寫(xiě)出f(x)=0解的Newton迭代格式 當(dāng)a為何值時(shí)， （k=0,1）產(chǎn)生的序列收斂于解：Newton迭代格式為： 3分 3分4. 給定線性方程組Ax=b，其中： ，用迭代公式（k=0,1）求解Ax=b，問(wèn)取什么實(shí)數(shù)，可使迭代收斂 （8分）解：所給迭代公式的迭代矩陣為 2分其特征方程為 2分即，解得 2分要使其滿足題意，須使，當(dāng)且僅當(dāng) 2分5. 設(shè)方程Ax=b，其中 ，試討論解此方程的Jacobi迭代法的收斂性，并建立Gauss-Seidel迭代格式 （9分）解： 3分 2分即，由此可知Jacobi迭代收斂 1分Gauss-Seidel迭代格式：

11、（k=0,1,2,3） 3分6. 用Doolittle分解計(jì)算下列3個(gè)線性代數(shù)方程組：（i=1,2,3）其中 ， （12分）解： A= =LU 3分 由Ly=b1，即 y= 得y= 1分 由Ux1=y，即 x1= 得x1= 2分 x2= 由Ly=b2=x1，即 y= 得y= 1分 由Ux2=y，即 x2= 得x2= 2分 x3= 由Ly=b3=x2，即 y= 得y= 1分 由Ux3=y，即 x3= 得x3= 2分7. 已知函數(shù)y=f(x)有關(guān)數(shù)據(jù)如下：要求一次數(shù)不超過(guò)3的H插值多項(xiàng)式，使 （6分）解：作重點(diǎn)的差分表，如下： 3分 =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1) = 3分8

12、. 有如下函數(shù)表：試計(jì)算此列表函數(shù)的差分表，并利用Newton前插公式給出它的插值多項(xiàng)式 （7分）解： 由已知條件可作差分表， 3分 （i=0,1,2,3）為等距插值節(jié)點(diǎn)，則Newton向前插值公式為： =4+5x+x(x-1) = 4分9. 求f(x)=x在-1,1上的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式，并求出平方誤差 （8分）解： 令 2分取m=1, n=x, k=,計(jì)算得： (m,m)=0 (m,n)= =1 (m,k)= =0 (n,k)= =0.5 (k,k)= =0 (m,y)= =1 (n,y)= =0 (k,y)= =0.5 得方程組： 3分 解之得 （c為任意實(shí)數(shù)，且不為零） 即二次最佳

13、平方逼近多項(xiàng)式 1分 平方誤差： 2分10. 已知如下數(shù)據(jù)：用復(fù)合梯形公式，復(fù)合Simpson公式計(jì)算的近似值（保留小數(shù)點(diǎn)后三位） （8分）解： 用復(fù)合梯形公式： =3.139 4分 用復(fù)合Simpson公式： =3.142 4分11. 計(jì)算積分，若用復(fù)合Simpson公式要使誤差不超過(guò)，問(wèn)區(qū)間要分為多少等分?若改用復(fù)合梯形公式達(dá)到同樣精確度，區(qū)間應(yīng)分為多少等分? （10分）解： 由Simpson公式余項(xiàng)及得 2分即，取n=6 2分即區(qū)間分為12等分可使誤差不超過(guò) 1分對(duì)梯形公式同樣，由余項(xiàng)公式得 2分即 2分即區(qū)間分為510等分可使誤差不超過(guò) 1分12. 用改進(jìn)Euler格式求解初值問(wèn)題：要

14、求取步長(zhǎng)h為0.1，計(jì)算y（1.1）的近似值 （保留小數(shù)點(diǎn)后三位）提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89 （6分）解：改進(jìn)Euler格式為： 2分于是有 （n=0,1,2） 2分由y(1)=1，計(jì)算得 2分即y(1.1)的近似值為0.83813. （4分）證明： 4分14. 證明：設(shè)，為任意矩陣范數(shù)，則 （6分）證明： 設(shè)為A的按模最大特征值，x為相對(duì)應(yīng)的特征向量，則有Ax=x 1分 且，若是實(shí)數(shù)，則x也是實(shí)數(shù)，得 1分 而 2分 由于 1分 故 1分 當(dāng)是復(fù)數(shù)時(shí)，一般來(lái)說(shuō)x也是復(fù)數(shù)，上述結(jié)論依舊成立數(shù)值分析試題21、（本題5分）試確定作為的近似值具有幾位有效數(shù)字，并確定其相對(duì)誤差限

15、。解 因?yàn)?=3.142857= =3.141592所以 （2分）這里，由有效數(shù)字的定義可知作為的近似值具有3位有效數(shù)字。 （1分）而相對(duì)誤差限 （2分）2、（本題6分）用改進(jìn)平方根法解方程組：；解 設(shè)由矩陣乘法得： （3分）由解得 （3分）3、（本題6分）給定線性方程組1）寫(xiě)出Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；2）考查Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的斂散性；解 1）Jacoib迭代格式為 （2分）Gauss-Seidel迭代格式為 （2分）2）由于所給線性方程組的系數(shù)矩陣 是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，所以Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格

16、式均是收斂的。（2分）4、（本題6分）已知方程在附近有一個(gè)根。將此方程改寫(xiě)成如下2個(gè)等價(jià)形式： 構(gòu)造如下兩個(gè)迭代格式：1）2）判斷這兩個(gè)迭代格式是否收斂；解 1）記，則， （2分） 所以該迭代格式是局部收斂的。 （1分） 2）記，則， （2分） 所以該迭代格式是發(fā)散的 （1分）5、（本題6分）設(shè)（1）寫(xiě)出解的牛頓迭代格式；（2）證明此迭代格式是線性收斂的。解 （1）因，故，由牛頓迭代公式 ， （1分） 得， （2分） （2）因迭代函數(shù)， ， （1分） 故 此牛頓迭代格式是線性收斂的。 （2分）6、（本題9分）給定數(shù)據(jù)x 0 2 3 5f(x) 1 -3 -4 2（1） 寫(xiě)出的3次Lagrang

17、e插值多項(xiàng)式；（2） 寫(xiě)出的3次Newton插值多項(xiàng)式；解 （1）由題意知 （3分） （2分）（2）用牛頓插值公式，構(gòu)造差商表0 12 3 5 2 3 （3分）則有 （1分）7、（本題6分）作一個(gè)5次多項(xiàng)式使得 解 構(gòu)造有重節(jié)點(diǎn)的牛頓插商表1 31 3 22 2 1 5 114 3 2 4 3 2 0 （4分） 則有 （2分）8、（本題6分）已知數(shù)據(jù)如下，試用二次多項(xiàng)式來(lái)擬合：012345615141414141516解 設(shè)，則上表可化為01231000012 這時(shí)，取，并設(shè)所求二次多項(xiàng)式為 ，容易得到 ， ， ， （3分） 得正規(guī)方程組如下： 解得 即 （2分） 回代得 （1分）9、（本題5

18、分）給定求積節(jié)點(diǎn)試推出計(jì)算積分的插值型求積公式解 由于 所以 （1分） （1分） （1分） （1分） 故求積公式為 （1分）10、（本題6分）分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算積分： 解 （1）用梯形公式 ， （3分） （2）用辛普森公式 （3分）11、（本題8分）求高斯型求積公式的系數(shù)解 令： （1分） 由 得 再由 （2分） （1分） 得 所以的根為 （2分） （2分）12、（本題6分）設(shè)為次多項(xiàng)式，為個(gè)互異點(diǎn)，為的次插值多項(xiàng)式。若，試證。解：因?yàn)闉榇味囗?xiàng)式，所以， （2分）又因?yàn)?，故?（2分）由插值關(guān)系可知： （2分）所以，13、（本題10分）設(shè)，求及譜半徑。解 由定義得 （2分） （2分

19、）又由于，而 （2分） 所以，。 （2分）因?yàn)?所以 （2分）14、（本題6分）寫(xiě)出用4階經(jīng)典龍格-庫(kù)塔法求解初值問(wèn)題的計(jì)算公式，并取步長(zhǎng)，計(jì)算的近似值，小數(shù)點(diǎn)后至少保留4位。解 ，于是 （4分） 故，由于 故 （2分）15、（本題9分）給定矩陣試用冪法求出的按模最大的特征值，精確至5位有效數(shù)解 冪法計(jì)算公式：取，作如下迭代： ， ， ， 其中表示中（首次出現(xiàn)的）絕對(duì)值最大的分量，則 （1分） 計(jì)算如下： （2分） （2分） （2分） （2分?jǐn)?shù)值分析試題3 數(shù)值分析試題41、 (本題5分)取的6位有效數(shù)字，問(wèn)以下這種算法有幾位有效數(shù)字 解：令，則 （2分）由于故另一方面故在這里，由有. （3分

20、）即算式至少有4位有效數(shù)字.2、 （本題6分）用列主元Gauss消去法解線性方程組. 解： （4分）故等價(jià)方程組為： （1分）同代得， （1分）3、 （本題6分）已知，求，.解： （1分） （1分） 即 （3分）解得 ， （1分）4、 （本題7分）給定線性方程組 (1) 試分別寫(xiě)出Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；(2) 分析Gauss-Seidel迭代格式的收斂性.解：(1) Jacobi迭代格式為： （2 分）Gauss-Seidel迭代格式： （2分）(2)Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩陣G的特征方程為解得 則故Gauss-Seidel迭代格式發(fā)散. （3

21、分）5、 （本題8分）用下列方法求在附近的根，根的準(zhǔn)確值，要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字.(1) 用牛頓法；(2) 用弦截法，取，解：(1) 牛頓法的迭代公式為計(jì)算得，故 （4分）(2)弦截法的迭代公式為計(jì)算得 故 （4分）6、 （本題8分）給定數(shù)據(jù)如下x0235f(x)1-3-42(1) 寫(xiě)出的3次Lagrange插值多項(xiàng)式(2) 寫(xiě)出的3次Newton插值多項(xiàng)式解：(1)由題設(shè)條件有 由于次Lagrange插值多項(xiàng)式的基函數(shù)為故三次Lagrange插值多項(xiàng)式的基函數(shù)為 （3分）故所求三次Lagrange插值多項(xiàng)式 （1分） (2)由題中所給數(shù)據(jù)，構(gòu)造下列差商表5 2 3 3 -4 -1 2

22、 -3 -20 1x f(x) 一階差商 二階差商 三階差商 （3分）由于故所求三次Newton插值多項(xiàng)式 （1分）7、 （本題8分）設(shè)，且互不相同，證明 并寫(xiě)出的次Newton插值多項(xiàng)式.證：用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明當(dāng)時(shí)即當(dāng)時(shí)公式成立. （2分）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立即那么當(dāng)時(shí)即公式對(duì)亦成立有歸納法原則知原等式對(duì)任意均成立 （4分）我們以為插值節(jié)點(diǎn)來(lái)求次Newton插值多項(xiàng)式因?yàn)楣仕蟛逯刀囗?xiàng)式為 其中 （4分）8、（本題5分）求滿足條件12231-1的艾爾米特差值多項(xiàng)式.解：令，代入艾爾米特差值多項(xiàng)式 （2分）這里，得 （3分） 9、 （本題6分）求函數(shù)在0，1上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式.解：設(shè)，所求

23、函數(shù)為，則 （3分）由正規(guī)方程組 （1分）解得 （2分）10、（本題9分）運(yùn)用梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分別計(jì)算積分，并估計(jì)各種方法的誤差（要求小數(shù)點(diǎn)后至少保留5位）.解：運(yùn)用梯形公式： （2分）其誤差 （1分）運(yùn)用辛普森公式： （2分）其誤差 （1分）運(yùn)用柯特斯公式： （2分）其誤差 （1分）11、（本題6分）已知的函數(shù)值如下：1.82.02.22.42.63.14.46.08.01.00用復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式求的近似值.解：用復(fù)合梯形公式，小區(qū)間數(shù)，步長(zhǎng)則 （3分）復(fù)合辛普森公式，小區(qū)間數(shù)，步長(zhǎng)則 （3分）12、（本題8分）用高斯-勒讓德公式計(jì)算積分.解：由于高斯求積公式為其

24、中是的零點(diǎn)首先將積分區(qū)間轉(zhuǎn)化為令則時(shí) （1分）而 （2分）令時(shí) （2分）時(shí) （2分） （1分）13、（本題6分）用改進(jìn)歐拉法求解 ，取兩位小數(shù)。解 改進(jìn)歐拉法格式為 （2分） 其中代入上式得：123450.20.40.60.81.01.241.582.042.643.42 （4分）14、（本題6分）寫(xiě)出用四階經(jīng)典的龍格庫(kù)塔方法求解下列初值問(wèn)題的計(jì)算公式：, ,解：令 （3分）   （3分）15、（本題6分）給定矩陣試用冪法求出的按模最大的特征值，精確至5位有效數(shù)字.解：取，代入冪法計(jì)算公式：， （2分）其中表示中（首次出現(xiàn)的）絕對(duì)值最大的分量. 具體計(jì)算結(jié)果如下：，故的主特征值 （4

25、分）數(shù)值分析試題51（5分）測(cè)量一物體的長(zhǎng)度為945cm，問(wèn)測(cè)量數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差限多大？（實(shí)際問(wèn)題所截取的近似數(shù)，其絕對(duì)誤差限一般不超過(guò)最小刻度的半個(gè)單位。）解：x=945cm， （1分） （3分） （1分）2（5分）已知，求，解：=2 （1.5分）=3 （1.5分）= （2分）3（5分）寫(xiě)出求解下列方程組的Jacobi迭代格式 =解： （5分）4（5分）給定線性方程組： =討論用Gauss-Seidel迭代法求解時(shí)的收斂性。解：A=L+D+U=+ （2分）= （2分）,Gauss-Seidel迭代發(fā)散。 （1分）5（5分）設(shè)，求解： （5分）6（10分）用平方根法解方程組=解：= （2分）L= （2分）Ly=b （2分） （2分） （2分）7（10分）設(shè)，寫(xiě)出的牛頓迭代格式，并證明此迭代格式是線性收斂的。解： （2分）牛頓迭代格式 （4分）迭代函數(shù) （2分）的精確解為，故 （2分）所以該迭代格式的線性收斂的。8（10分）用列主元Gauss消去法解下列方程組 解： （2分） （2分） （2分） （2分） 等價(jià)方程組 ， （2分） 9（10分）設(shè)有函數(shù)值表 x 1 34 67 9y