分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用--畢業(yè)論文

1、 LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2015屆 本科畢業(yè)論文 分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用院 (系 名 稱 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 名 稱 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 生 姓 名 韓佳桐學(xué) 號(hào) 110414148指 導(dǎo) 教 師 夏興無 副教授 完 成 時(shí) 間 2015.5 分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用韓佳桐數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 學(xué)號(hào) :110414148指導(dǎo)教師 :夏興無摘要:初等變換是處理矩陣的重要方法 , 而分塊矩陣又是解決矩陣問題的有力工具 , 初等變換應(yīng)用在分塊矩陣上 , 可以有效地簡化矩陣的運(yùn)算 . 本文主要總結(jié)了分塊矩 陣在求解行列式、證明矩陣的行列式等式、矩陣的秩

2、的等式 (以及不等式 、求解 矩陣的逆等方面的應(yīng)用 , 并通過具體的例子說明了分塊矩陣的重要性 .關(guān)鍵詞:初等變換 ; 分塊矩陣 ; 行列式 ; 矩陣的秩 ; 矩陣的逆1分塊矩陣的產(chǎn)生與意義分塊矩陣的初等變換是線性代數(shù)中重要且基本的運(yùn)算 , 在運(yùn)算中巧妙地將高 階矩陣轉(zhuǎn)化為低階矩陣 , 常常能夠使我們迅速地接近問題的本質(zhì) , 化繁為簡 , 從而 達(dá)到解決問題的目的 .1.1分塊矩陣思想的產(chǎn)生矩陣作為數(shù)學(xué)工具之一有著極其重要的使用價(jià)值 , 也常見于很多學(xué)科中 , 如:線性規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)分析等 , 在實(shí)際生活中 , 很多問題都可以借用矩陣抽象出來進(jìn)行表 述和運(yùn)算 , 矩陣的概念和性質(zhì)相對(duì)于矩陣的運(yùn)算較

3、容易理解和掌握 , 而對(duì)于矩陣的 運(yùn)算和應(yīng)用 , 則有很多的問題值得我們?nèi)パ芯?. 其中 , 當(dāng)矩陣的行數(shù)和列數(shù)都相當(dāng) 大時(shí) , 矩陣的計(jì)算和證明會(huì)是很繁瑣的過程 , 因此 , 我們需要有一個(gè)新的矩陣處理 工具來使這些問題得到更好的解釋 , 矩陣分塊的思想便由此產(chǎn)生 .1.2分塊矩陣的意義矩陣分塊 , 就是將一個(gè)行列數(shù)較多的大型矩陣 , 分別按照橫豎分割成一些小的 子矩陣 , 然后將每一個(gè)小矩陣看作一個(gè)元素 , 特別是在運(yùn)算中 , 將這些小矩陣當(dāng)作 數(shù)一樣來處理 . 將矩陣分塊進(jìn)行運(yùn)算有許多方便之處 , 因?yàn)樵诜謮K之后 , 矩陣間的 相互關(guān)系可以看得更清楚 , 不僅非常簡潔 , 而且方法也很統(tǒng)

4、一 , 具有較大的優(yōu)越性 , 是處理級(jí)數(shù)較高的矩陣時(shí)的常用方法 , 也是處理矩陣問題的重要技巧 . 分塊矩陣思 想來源于對(duì)矩陣運(yùn)算復(fù)雜度及存儲(chǔ)空間的考慮 . 特別當(dāng)矩陣太大不適合存儲(chǔ)在計(jì) 算機(jī)內(nèi)存中的時(shí)候 , 通過將矩陣分塊 , 允許計(jì)算機(jī)每次只處理存儲(chǔ)在內(nèi)存中幾個(gè)子 矩陣 , 支持向量結(jié)構(gòu)的向量計(jì)算機(jī)能夠更加高效地運(yùn)行支持分塊矩陣的矩陣算 法 . 12分塊矩陣的初等變換2.1分塊矩陣常見的三種基本變換 矩陣 (m n ij a =A ?？捎脙煞N形式來表示=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ; (1 =sl s s l l A A A A

5、A AA A A A 212222111211, (2 , , 2, 1; , , 2, 1(n j m i a ij =是 A 的元素 , 形式 (2是 A 的一種分塊 . 和一般的 初等變換一樣 , 我們可以對(duì)分塊矩陣 A (即形式 (2的矩陣 進(jìn)行以下變換 : 1交換 A 的第 i 行和第 j 行 ; 2用可逆矩陣 k 乘 A 的第 i 行 ;3A 的第 j 行乘矩陣 k 后加到第 i 行上 (這時(shí) , 要求 j i m m =.為了使這些分塊矩陣的行變換具有一般矩陣的行初等變換的性質(zhì) , 我們先說 明它們都可由矩陣的一般行初等變換來實(shí)現(xiàn) . 下面 , 不妨設(shè) j i <,1當(dāng) (

6、2的第 i 行和第 j 行所含 (1的元素的行數(shù) j i m m =時(shí) , 可把 (1的第+21m m q m i +-1 行與第 q m m m j i +-11 行分別交換 (i m q , , 2, 1 =,就可實(shí)現(xiàn)矩陣 (2的第 1種行變換 .當(dāng) j i m m <時(shí) , 先把 (2的第 i 行中所含 (1的各行分別與 (2的第 j 行中所含 (1的前面 i m 行交換 , 然后再將 (2的第 j 行中所含 (1的其余 j i m m -個(gè)行逐次與位于 (2的第 i 行下面而位于它們上面的個(gè) i j m m -行交換 , 便可完成 (2的第 1種行變 換 .而對(duì)于 j i m m

7、 >的情形 , 可用上面類似的方法處理 .2用可逆矩陣 k 乘 (2的第 i 行 .3矩陣 (2的第 j 行乘矩陣 k 后加到 (2的第 i 行上 , 這里 (j i m m = 可由 (1的 第 q m m m j i +-11 行 (i m q , , 2, 1 = 乘矩陣 k 后加到 (1的第 11-+i M mq +行上來完成 . 2綜上所述 , 分塊矩陣的這三種行變換 1、 2、 3都可由有限次一般矩陣的同類 型的行初等變換來實(shí)現(xiàn) , 它們保持矩陣行初等變換所具有的性質(zhì) . 我們把這三種行 變換稱為分塊矩陣的行初等變換 . 類似的 , 分塊矩陣也有三種列的初等變換保持一 般矩陣

8、列初等變換所具有的性質(zhì) .3分塊矩陣初等變換的應(yīng)用利用分塊矩陣的初等變換 , 不僅能使矩陣的一些證明和計(jì)算變得非常簡潔和 快捷 , 易于我們理解和掌握 , 而且能開拓思維 , 提高我們靈活應(yīng)用知識(shí)解決問題的 能力 , 同時(shí) , 矩陣分塊的思想明顯簡化了矩陣的乘積運(yùn)算 , 將一些具體的證明變得 生動(dòng)有趣 , 展現(xiàn)了數(shù)學(xué)獨(dú)特的魅力 . 下面 , 就以 22分塊矩陣為例說明分塊矩陣的 初等變換在求解行列式、 證明矩陣的行列式等式、 矩陣的秩的等式 (以及不等式 、 求解矩陣的逆等方面的一些應(yīng)用 . 3.1分塊矩陣在行列式中的應(yīng)用定理 1 設(shè) =D C B A M 是一個(gè)四分塊 n m +階矩陣 ,

9、其中 A 、 D 分別是 m 、 n階方陣 , 則 -=-., ; , 11可逆時(shí) 當(dāng) 可逆時(shí) 當(dāng) D C BD A D A B CA D A M 例 1 設(shè)分塊矩陣 =D C B A M , B 與 C 分別為 m m , n n 可逆矩陣 , 若 C 可逆 , 求 M . 3 解 因?yàn)? - =-D AC B DCD CD AC B D C B A M r r r AC r 110021211, 所以M DAC B DCmn 1(01-=-, 即D AC B C M mn 1 1(-=.定理 1雖給出了一種求行列式的方法 , 但其中涉及求逆及多次矩陣相乘 , 計(jì)算 相當(dāng)繁瑣 , 也不容易記

10、憶 . 在實(shí)際應(yīng)用中 , 我們常用的是以下推論 :推論 1 設(shè) =D C B A M 是一個(gè)四分塊 n 2階矩陣 , 其中 D C B A 、 、 、 均是 n 階 方陣 , 則當(dāng) A 可逆且 CA AC =時(shí) , CB AD M -=; 當(dāng) A 可逆且 BA AB =時(shí) , CB DA M -=; 當(dāng) D 可逆且 CD DC =時(shí) , BC AD M -=; 當(dāng) D 可逆且 BD DB =時(shí) , BC DA M -=.證明 僅證以上四個(gè)結(jié)論可由類似方法得到 . 因?yàn)?A 可逆 , 所以 1-A 存在 , 注意 到CA AC =,由BCA D BA D C B A E CA E 1100-=-

11、 得B CA D A BCA D B A D C B A r CA r 110112-=- B CAA AD B ACA AD 11-=-=CB AD -=, 即CB AD M -=.例 2 計(jì)算行列式 11131112+=n Q. 解 對(duì)原行列式先進(jìn)行加邊 , 然后將加邊后的行列式的第一行乘 1-倍加到其 余各行 , 得nn Q0010210011111111013111201111-=+=,令(1=A , (1, , 1, 1 =B , -=111 C , =n D00020001, 由于0! =n D , D 可逆 ,從而由推論 1可得 +=-=-n i i n C BD A D D C

12、 B A Q 1111! .定理 2 設(shè) A 、 C 是兩個(gè) n 階方陣 , 則C A C A AC CA -+=. 證明 根據(jù)行列式的性質(zhì) , 對(duì)其進(jìn)行第三種初等變換 , 由于矩陣的第三種初等 變換不改變其行列式的值 , 有C A C A CA CCA A A C C C A A C C A r r c c -+=-+-+01221. 例 3 計(jì)算行列式 000xyzx z y y z x z y x D =. 4解 設(shè) =00x x A ; =y zz y C . 由定理 2知C A C A AC CA D -+=- +=y zx z x yy zx z x y(2222z x y z x

13、 y -+-=(z y x z y x z y x z y x +-+-+-+=.利用行列式計(jì)算的性質(zhì) , 可以推導(dǎo)得出分塊矩陣 A 經(jīng)過三種初等變換后 , 與所 得分塊矩陣 1A 、 2A 、 3A 的行列式之間滿足下列關(guān)系 :4-=-=. ,1(1為奇數(shù)時(shí) 為偶數(shù)時(shí) m n A m n A A A mn 其中 m , n 為變換的兩行 (列 中所含子塊的行 (列 數(shù) .5A P A =2, 其中矩陣 P 為左 (右 乘某一行 (列 的可逆方陣 . 6A A =3, 即第三種變換不改變分塊矩陣的行列式 .利用這些結(jié)果 , 再加上拉普拉斯定理得出的一個(gè)結(jié)論 B A BC A =0, 會(huì)使許多

14、行列式的證明變得非常容易 .例 4 已知 A 、 B 均為 n 階方陣 , 求證 B A B A AB BA -+=. 證明 因?yàn)锽A BBA A B A B B A A B B A c c r r -+-+01221, 所以B A B A BA B BA A B B A -+=-+=0. 例 5 設(shè) A 、 B 都是 n 階矩陣 , 證明 :B A AB =. 5證明 因?yàn)? -+B I AB B I A r A r 0021, 把分塊矩陣的一個(gè)塊行的左 P 倍加到另一個(gè)塊行上 , 所得矩陣的行列式與原 來矩陣的行列式值相等 . 6 所以BIAB B IA -=-00,左邊 B A =,右邊

15、 I AB n n n -=+2 1(1 1(AB AB AB n n n n n =-=-=+ 1(22 1( 1(1(2,故B AB =.例 6 設(shè) A 、 B 分別是 n s 、 s n 矩陣 , 證明 :I AB I n s -=-. 證明 計(jì)算下列分塊矩陣的行列式 s n I A B I , 一方面 , 有- -+AB I BI I A B I s n r A r s n012 (, 于是有-= -AB I BI I A B I I A I s ns ns n 00,兩邊取行列式 , 得AB I I I AB I I I s n sn sn -=,從而AB I I A BI s sn

16、-=, (3 另一方面 , 又有 - -+s n r B r s n I ABA I I AB I 021 (,于是有-= -s n s ns n I A BA I I A B I I B I 00, 兩邊取行列式 , 得s n sn sn I I I AB I I I -=,從而I I A BI s sn-=, (4 由 (3、 (4式得I AB I n s -=-.例 7 設(shè) n m A A =, n m B B =, n m . 證明:AB I AB I n n m m -=-. 7證明 構(gòu)造 n m I B A I , 對(duì)其進(jìn)行如下初等變換 - -+n m r A r n mI B A

17、B I I B A I 021 (, 即-= -n m n mn nI B AB I I B A I I A I 00, 或- -+-BA I AI I B A I n m r r n m1 (0112, -= -BA I AI I B A I I B I n mn m n n1100,因而BA I AB I I BA I n m m nm1-=-=,故I I n n m m -=-.注:此題也可轉(zhuǎn)化為證明矩陣的秩的問題 ( (BA I r n m AB I r m m -+-=-. 3.2分塊矩陣在證明矩陣的秩的方面的應(yīng)用定理 3 設(shè) A 為 n m 矩陣 , B 為 l n 矩陣 , 若

18、0=AB , 則 n B r A r + ( (.證明 由于-=- =+B I AB r B I Ar B A r B r A r n n0000 ( (n I r B I r mm= -= -=00000 故n B r A r + ( (.例 8 A 、 B 都是 n 階方陣 , 證明 :(B r A r B A AB r +. 證明 取分塊矩陣 B A 00, 進(jìn)行初等變換+ + +B B B AB BA AB B B AB AB A B B A B A r r r A r c c 212121000, 由于分塊矩陣不改變它的秩 , 因此有(B A AB r B B B AB BA AB

19、r B A r B r A r += =+00.例 9 A 、 B 、 C 是三個(gè)矩陣 , 證明 (B r BC r AB r ABC r -+. 證明 取分塊矩陣00B ABC , 對(duì)其進(jìn)行初等變換 - BC B ABB ABC AB B ABC 0000, (BC r AB r BC r AB r BC B ABr B r ABC r +=-+ -=+0,故(B r BC r AB r ABC r -+.例 10 設(shè) A 、 B 分別是 n s 、 m n 矩陣 , 證明 :n B r A r AB r -+ ( ( (. 8證明 只要證( ( (B r A r AB r n +,根據(jù)(

20、(00B r A r B A r +=, 有 =+AB I r AB r n n 00 (. 作分塊矩陣的初等列變換- -+0000 (1212A B I AB A I AB I n B c c nr A r n -A I B A B I n c c nI c m 00212(, 因此( (000A r B r A I B r AB I r n n + = , 故n B r A r AB r -+ ( ( (.定理 4 設(shè) A 為 n 階方陣 , 則 k k A A 23=當(dāng)且僅當(dāng) n I A r A r k k =-+ ( (2,n k , , 2, 1 =.證明 令 (f k 2=, (g

21、 1-=k , 則 1 ( 1( (+=g f k , (A f0 (23=-=k k A A A g 當(dāng)且僅當(dāng) n I A r A r k k =-+ ( (2, 即 k k A A 23=當(dāng)且僅當(dāng) k k A r A r (2+ ( n E =- , n k , , 2, 1 =.例 11 設(shè) A 為 n 階方陣 , 證明 :n A I r A I r I A n =-+= ( (2. 證明 構(gòu)造 -+A I A I 00, 對(duì)其進(jìn)行如下初等變換+ -+ -+I A I A I AI A I A I AI A I AI c I c r I r 20001212 - +-+-+-+I A I

22、 I A I A I C A I C r A I r 200 (2120212 (212 (212121 , 因此 -= -+I A I r A I A I r 200 (21002, 即n A I r I r A I r A I r A I r +-=+-=-+ ( ( ( ( (22,故n I A n A I r A I r =-+2 ( (.3.3分塊矩陣在求解矩陣的逆的方面的應(yīng)用求一個(gè)方陣的逆矩陣可用矩陣的初等變換 , 即 1-A I I A 初等行變換. 因此 . 對(duì)于分塊矩陣求逆 . 也可以采用分塊矩陣的初等變換求解 .例 12 設(shè)分塊矩陣 =D C B A M . 其中 A 、

23、B 、 C 、 D 分別為 m m 、 n m 、m n 、 n n 矩陣 . 若 A 與 B CA D 1-都可逆 . 求 1-M . 9解 由于 - =-211112 (10r B CA D r CA r B CA D B A D C B A M -2111111 ( (00Br r B CA D CA B CA D I I B A -+-11111111111111( ( ( (-+=B CA D CA B CA D B CA D B A CA B CA D B A A M. 特別地 . 當(dāng) 0=B 、 0=C 時(shí) . 則1110-=DA M;當(dāng) 0B 、 0=C 時(shí) . 則11111-

24、=D BD A A M;當(dāng) 0=B 、 0C 時(shí) . 則111110-=D CA D A M.這與先設(shè)出分塊矩陣的逆矩陣 , 再由相乘結(jié)果列出矩陣方程 , 再求解矩陣方程 的方法相比較 , 該方法直接 , 不易出錯(cuò) , 而且便于檢查 . 特別是當(dāng)矩陣中含有大量元 素時(shí) , 這種方法的優(yōu)越性就更加明顯 .例 13 求下式的逆矩陣 -=11111 -=1111B ,則 -=B B B B A ,易求得B B 21212121211= -=-. 因此- - -+-I I B I I B I I B I B1-1111 21(; 21210212101211B B I B B I B r B r ,

25、故11111111114141412111111-=-=-=-A B B B B B B B B A . 結(jié)束語通過以上實(shí)例我們可以看出 , 分塊矩陣的初等變換方法在解決矩陣的一些問 題時(shí)具有簡潔 . 快速、易于操作等特點(diǎn) , 對(duì)比常用的構(gòu)造分塊初等矩陣和已有分塊 矩陣相乘的方法 , 更容易理解和掌握 , 從而使大量的高等代數(shù)習(xí)題變得容易 , 所以說分塊矩陣的初等變換是解決高階矩陣問題的一種有效且重要的方法 .致謝本次畢業(yè)論文是在導(dǎo)師夏興無老師的悉心指導(dǎo)下完成的 . 在整理論文期間 , 夏 老師給予我許多指導(dǎo)與幫助 , 在此特別向夏老師致以最真摯的謝意 . 此外 , 還要感 謝幫助過我的老師和

26、同學(xué)們 , 感謝大家在此過程中給予我的許多幫助 .通過四年的本科學(xué)習(xí) , 我在洛陽師范學(xué)院收獲了許多 , 這四年是一個(gè)不斷豐富 自我 , 提高自我 , 完善自我的循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)過程 , 對(duì)于我能順利地完成學(xué)業(yè) , 在這 里我要由衷地感謝我的所有任課老師 , 以及在各方面不斷給予我?guī)椭耐瑢W(xué)們 .參考文獻(xiàn)1王超亞 . 分塊矩陣的若干初等運(yùn)算及應(yīng)用 J.教育科研 ,2013.7.2揚(yáng)子胥 . 高等代數(shù) M.山東教育出版社 ,2001.3李曉紅等 . 分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用 J.高等函授學(xué)報(bào) ,2007,6.4王蓮花等 . 分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用 J.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào) ,2005,3. 5陳志杰 . 高等代數(shù)與解析幾何 (上冊(cè)