結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

1、 北 京 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)參考教材：張亞輝、林家浩編著，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 大連理工出版社龍馭球等編著，結(jié)構(gòu)力學(xué)基本教程，第2版，高教出版 社楊茀康編著，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，人民交通出版社徐趙東等編著，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，科學(xué)出版社R.克拉夫等編著，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第二版（修訂），高教出版社 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第一章第一章 緒論緒論第二章第二章 動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)及運(yùn)動(dòng)方程建立動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)及運(yùn)動(dòng)方程建立第三章第三章 單自由度體系單自由度體系第四章第四章 多自由度體系多自由度體系第五章第五章 無(wú)限自由度體系無(wú)限自由度體系第六章第六章 自振頻率和振型的實(shí)用計(jì)算自振頻率和振型的實(shí)用計(jì)算第七章第七章 結(jié)構(gòu)抗震計(jì)算及專(zhuān)題篇結(jié)構(gòu)抗震

2、計(jì)算及專(zhuān)題篇第一章第一章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)概述結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)概述 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是結(jié)構(gòu)力學(xué)的一個(gè)分支，著結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是結(jié)構(gòu)力學(xué)的一個(gè)分支，著重研究結(jié)構(gòu)對(duì)于動(dòng)荷載的響應(yīng)（如位移、應(yīng)重研究結(jié)構(gòu)對(duì)于動(dòng)荷載的響應(yīng)（如位移、應(yīng)力等的時(shí)間歷程），以便確定結(jié)構(gòu)的承載能力等的時(shí)間歷程），以便確定結(jié)構(gòu)的承載能力和動(dòng)力學(xué)特性，或?yàn)楦纳平Y(jié)構(gòu)的性能提供力和動(dòng)力學(xué)特性，或?yàn)楦纳平Y(jié)構(gòu)的性能提供依據(jù)。依據(jù)。動(dòng)荷載的特性動(dòng)荷載的特性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析輸入輸入input輸出輸出Output結(jié)構(gòu)體系結(jié)構(gòu)體系靜力響應(yīng)靜力響應(yīng)靜荷載靜荷載位移位移內(nèi)力內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)力剛度、約束剛度、約束桿件尺寸桿件尺寸截面特性截面特性大

3、小大小方向方向作用點(diǎn)作用點(diǎn)結(jié)構(gòu)體系結(jié)構(gòu)體系動(dòng)力響應(yīng)動(dòng)力響應(yīng)輸入輸入input輸出輸出Output動(dòng)荷載動(dòng)荷載動(dòng)位移動(dòng)位移加速度加速度速度速度動(dòng)應(yīng)力動(dòng)應(yīng)力動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)隨時(shí)間變化隨時(shí)間變化質(zhì)量、剛度質(zhì)量、剛度阻尼、約束阻尼、約束頻率、振型頻率、振型大小大小方向方向作用點(diǎn)作用點(diǎn)時(shí)間變化時(shí)間變化數(shù)值數(shù)值時(shí)間函數(shù)時(shí)間函數(shù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力體系結(jié)構(gòu)動(dòng)力體系1-2 1-2 動(dòng)荷載的定義和分類(lèi)動(dòng)荷載的定義和分類(lèi)荷載：荷載：荷載三要素：荷載三要素：荷載分類(lèi)：荷載分類(lèi)：作用在結(jié)構(gòu)上的主動(dòng)力作用在結(jié)構(gòu)上的主動(dòng)力大小、方向和作用點(diǎn)大小、方向和作用點(diǎn)作用時(shí)間：作用時(shí)間：作用位置：作用位置：對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動(dòng)力效應(yīng)：對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動(dòng)

4、力效應(yīng)：恒載恒載 活載活載固定荷載固定荷載 移動(dòng)荷載移動(dòng)荷載靜荷載靜荷載 動(dòng)荷載動(dòng)荷載 大小、方向和作用點(diǎn)不隨時(shí)間變大小、方向和作用點(diǎn)不隨時(shí)間變化或變化化或變化很緩慢很緩慢的荷載。的荷載。靜荷載：靜荷載：動(dòng)荷載：動(dòng)荷載： 大小、方向大小、方向或或作用點(diǎn)隨時(shí)間變化作用點(diǎn)隨時(shí)間變化很快很快的荷載。的荷載。是否會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生是否會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著顯著的加速度的加速度快慢快慢標(biāo)準(zhǔn)：標(biāo)準(zhǔn)：質(zhì)量運(yùn)動(dòng)加速度所引起的慣性力質(zhì)量運(yùn)動(dòng)加速度所引起的慣性力與荷載相比是否可以忽略與荷載相比是否可以忽略顯著顯著標(biāo)準(zhǔn)：標(biāo)準(zhǔn)：動(dòng)荷載的定義動(dòng)荷載的定義荷載在大小、方向或作用點(diǎn)方面隨時(shí)荷載在大小、方向或作用點(diǎn)方面隨時(shí)間變化，使得質(zhì)

5、量運(yùn)動(dòng)加速度所引起間變化，使得質(zhì)量運(yùn)動(dòng)加速度所引起的慣性力與荷載相比大到不可忽略時(shí)，的慣性力與荷載相比大到不可忽略時(shí)，則把這種荷載稱(chēng)為動(dòng)荷載。則把這種荷載稱(chēng)為動(dòng)荷載。問(wèn)題：你知道有哪些動(dòng)荷載？問(wèn)題：你知道有哪些動(dòng)荷載？動(dòng)荷載的分類(lèi)：動(dòng)荷載的分類(lèi)：概念：概念：動(dòng)荷載是時(shí)間的函數(shù)！動(dòng)荷載是時(shí)間的函數(shù)！分類(lèi)：分類(lèi)：動(dòng)荷載動(dòng)荷載確定性荷載確定性荷載非確定性荷載非確定性荷載周周 期期 性性 荷荷 載載非周期性荷載非周期性荷載 FPt突加荷載突加荷載 FPt沖擊荷載沖擊荷載確定性荷載確定性荷載：例如：例如： 簡(jiǎn)諧荷載簡(jiǎn)諧荷載 FPt 荷載的變化是時(shí)間的確定性函數(shù)。荷載的變化是時(shí)間的確定性函數(shù)。非確定性荷載

6、非確定性荷載：例如：例如：風(fēng)荷載風(fēng)荷載地震作用地震作用0501001502002503000510152025t(sec)Wind speed (m/s)平均風(fēng)平均風(fēng)脈動(dòng)風(fēng)脈動(dòng)風(fēng)-2000200400t(sec)01020304050515253545Acceleration (cm/s )2荷載隨時(shí)間的變化是不確定的或不確知的，荷載隨時(shí)間的變化是不確定的或不確知的，又稱(chēng)為隨機(jī)荷載。又稱(chēng)為隨機(jī)荷載。結(jié)構(gòu)在確定性荷載作用下的響應(yīng)分析通結(jié)構(gòu)在確定性荷載作用下的響應(yīng)分析通常稱(chēng)為常稱(chēng)為結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析。結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析。結(jié)構(gòu)在隨機(jī)荷載作用下的響應(yīng)分析，結(jié)構(gòu)在隨機(jī)荷載作用下的響應(yīng)分析，被稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的被稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的隨

7、機(jī)振動(dòng)分析隨機(jī)振動(dòng)分析。本課程主要學(xué)習(xí)本課程主要學(xué)習(xí)確定性荷載作用下確定性荷載作用下的的結(jié)結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析構(gòu)振動(dòng)分析。與結(jié)構(gòu)靜力學(xué)相比，動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜性表現(xiàn)在：與結(jié)構(gòu)靜力學(xué)相比，動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜性表現(xiàn)在：1-3 動(dòng)力問(wèn)題的基本特性動(dòng)力問(wèn)題的基本特性P P (t) 動(dòng)力問(wèn)題具有隨時(shí)間而變化的性質(zhì)；動(dòng)力問(wèn)題具有隨時(shí)間而變化的性質(zhì)；數(shù)學(xué)解答不是單一的數(shù)值，而是時(shí)間的函數(shù)；數(shù)學(xué)解答不是單一的數(shù)值，而是時(shí)間的函數(shù)；慣性力是結(jié)構(gòu)內(nèi)部彈性力所平衡的全部荷載的一個(gè)重要部慣性力是結(jié)構(gòu)內(nèi)部彈性力所平衡的全部荷載的一個(gè)重要部分！分！引入慣性力后涉及到二階微分方程的求解；引入慣性力后涉及到二階微分方程的求解；需考慮結(jié)構(gòu)本身的動(dòng)

8、力特性：需考慮結(jié)構(gòu)本身的動(dòng)力特性：剛度分布、質(zhì)量分布、阻尼剛度分布、質(zhì)量分布、阻尼特性分布的影響特性分布的影響；t1-4 1-4 離散化方法離散化方法動(dòng)力自由度：動(dòng)力自由度：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力計(jì)算和靜力計(jì)算一樣，也需要選擇計(jì)算簡(jiǎn)圖。因?yàn)橐Y(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力計(jì)算和靜力計(jì)算一樣，也需要選擇計(jì)算簡(jiǎn)圖。因?yàn)橐紤]質(zhì)量的慣性力，所以必須明確結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布情況，并分析結(jié)構(gòu)考慮質(zhì)量的慣性力，所以必須明確結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布情況，并分析結(jié)構(gòu)可能產(chǎn)生的位移。可能產(chǎn)生的位移。動(dòng)力自由度：在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的任一時(shí)刻，確定其全部質(zhì)量位置所需的獨(dú)立幾何參變量的個(gè)數(shù)，稱(chēng)之為系統(tǒng)的動(dòng)力自由度（dynamic freedom）實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量

9、都是連續(xù)分布的，因此，他們都是無(wú)限自由度系統(tǒng)。實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是連續(xù)分布的，因此，他們都是無(wú)限自由度系統(tǒng)。簡(jiǎn)化為有限自由度系統(tǒng)計(jì)算。簡(jiǎn)化為有限自由度系統(tǒng)計(jì)算。1-4 1-4 離散化方法離散化方法1. 集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法把結(jié)構(gòu)的分布質(zhì)量按一定的規(guī)則集中到結(jié)構(gòu)的某個(gè)或某些把結(jié)構(gòu)的分布質(zhì)量按一定的規(guī)則集中到結(jié)構(gòu)的某個(gè)或某些位置上，成為一系列離散的質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)量塊位置上，成為一系列離散的質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)量塊 。 適用于大部分質(zhì)量適用于大部分質(zhì)量集中在若干離散點(diǎn)集中在若干離散點(diǎn)上的結(jié)構(gòu)。上的結(jié)構(gòu)。 例如：房屋結(jié)構(gòu)一例如：房屋結(jié)構(gòu)一般簡(jiǎn)化為層間剪切般簡(jiǎn)化為層間剪切模型。模型。 1m2m3m 例如：例如：m11xm2

10、2xmkkxmNNxm1m2mkmNm適用于質(zhì)量分布比較均適用于質(zhì)量分布比較均勻，形狀規(guī)則且邊界條勻，形狀規(guī)則且邊界條件易于處理的結(jié)構(gòu)。件易于處理的結(jié)構(gòu)。例如：右圖簡(jiǎn)支梁的變例如：右圖簡(jiǎn)支梁的變形可以用三角函數(shù)的線形可以用三角函數(shù)的線性組合來(lái)表示。性組合來(lái)表示。2. 廣義坐標(biāo)法廣義坐標(biāo)法假定具有分布質(zhì)量的結(jié)構(gòu)在振動(dòng)時(shí)的位移曲線可用一系列假定具有分布質(zhì)量的結(jié)構(gòu)在振動(dòng)時(shí)的位移曲線可用一系列規(guī)定的位移曲線的和來(lái)表示：規(guī)定的位移曲線的和來(lái)表示：lxnbxnnsin)( 1 lxbsin1lxb2sin2lxb3sin3)(x nkkkxtAtxy1)()(),(則組合系數(shù)則組合系數(shù)Ak(t)稱(chēng)為體系的

11、稱(chēng)為體系的廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)。定義定義假定具有分布質(zhì)量的結(jié)構(gòu)在振動(dòng)時(shí)的位移曲線為假定具有分布質(zhì)量的結(jié)構(gòu)在振動(dòng)時(shí)的位移曲線為 y(x,t)，可用，可用一系列位移函數(shù)一系列位移函數(shù) 的線性組合來(lái)表示：的線性組合來(lái)表示：)(xk lxnbxnnsin)( 1 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)位移函數(shù)位移函數(shù)廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)表示相應(yīng)位移函數(shù)的幅值，是隨時(shí)間變化的函數(shù)。表示相應(yīng)位移函數(shù)的幅值，是隨時(shí)間變化的函數(shù)。廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)確定后，可由給定的位移函數(shù)確定結(jié)構(gòu)振動(dòng)的位移曲線。確定后，可由給定的位移函數(shù)確定結(jié)構(gòu)振動(dòng)的位移曲線。以以廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)作為自由度，將無(wú)限自由度體系轉(zhuǎn)化為有限個(gè)自由度。作為自由度，將無(wú)限自由度體系

12、轉(zhuǎn)化為有限個(gè)自由度。所采用的所采用的廣義坐標(biāo)數(shù)廣義坐標(biāo)數(shù)代表了所考慮的代表了所考慮的自由度數(shù)自由度數(shù)。3. 有限單元法有限單元法 先把結(jié)構(gòu)劃分成適當(dāng)（任意）數(shù)量的單元；先把結(jié)構(gòu)劃分成適當(dāng)（任意）數(shù)量的單元； 對(duì)每個(gè)單元施行廣義坐標(biāo)法，通常取單元的節(jié)點(diǎn)位移作對(duì)每個(gè)單元施行廣義坐標(biāo)法，通常取單元的節(jié)點(diǎn)位移作為廣義坐標(biāo)；為廣義坐標(biāo)； 對(duì)每個(gè)廣義坐標(biāo)取相應(yīng)的位移函數(shù)對(duì)每個(gè)廣義坐標(biāo)取相應(yīng)的位移函數(shù) （插值函數(shù)）；（插值函數(shù)）； 由此提供了一種有效的、標(biāo)準(zhǔn)由此提供了一種有效的、標(biāo)準(zhǔn) 化的、用一系列離散坐標(biāo)化的、用一系列離散坐標(biāo)表示無(wú)限自由度的結(jié)構(gòu)體系。表示無(wú)限自由度的結(jié)構(gòu)體系。要點(diǎn)：要點(diǎn)： 將有限元法的思

13、想用于解決結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算問(wèn)題。將有限元法的思想用于解決結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算問(wèn)題。 對(duì)分布質(zhì)量的實(shí)際結(jié)構(gòu)，體系的自由度數(shù)為單元節(jié)點(diǎn)可發(fā)生的對(duì)分布質(zhì)量的實(shí)際結(jié)構(gòu)，體系的自由度數(shù)為單元節(jié)點(diǎn)可發(fā)生的獨(dú)立位移未知量的總個(gè)數(shù)。獨(dú)立位移未知量的總個(gè)數(shù)。 綜合了集中質(zhì)量法和廣義坐標(biāo)法的某些特點(diǎn)，是最靈活有效的綜合了集中質(zhì)量法和廣義坐標(biāo)法的某些特點(diǎn)，是最靈活有效的離散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特別適離散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特別適合于用電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析，是目前最為流行的方法。合于用電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析，是目前最為流行的方法。 已有不少專(zhuān)用的或通用的程序（如已有不少專(zhuān)用的或通用的

14、程序（如SAP，ANSYS等）供結(jié)構(gòu)分等）供結(jié)構(gòu)分析之用。包括靜力、動(dòng)力析之用。包括靜力、動(dòng)力 和穩(wěn)定分析。和穩(wěn)定分析。大型橋梁結(jié)構(gòu)大型橋梁結(jié)構(gòu)的有限元模型的有限元模型第二章第二章 運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)方程的建立在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中，描述體系質(zhì)量運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中，描述體系質(zhì)量運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)方程，稱(chēng)為體系的運(yùn)動(dòng)微分方程，簡(jiǎn)稱(chēng)方程，稱(chēng)為體系的運(yùn)動(dòng)微分方程，簡(jiǎn)稱(chēng)運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程。定義定義 運(yùn)動(dòng)方程的解揭示了體系在各自由度方向的位移運(yùn)動(dòng)方程的解揭示了體系在各自由度方向的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。隨時(shí)間變化的規(guī)律。 建立運(yùn)動(dòng)方程是求解結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題的重要基礎(chǔ)。建立運(yùn)動(dòng)方程是求解結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題的重要基礎(chǔ)。

15、 常用方法：直接平衡法、虛功法、變分法。常用方法：直接平衡法、虛功法、變分法。建立體系運(yùn)動(dòng)方程的方法建立體系運(yùn)動(dòng)方程的方法 直接平衡法直接平衡法，又稱(chēng)，又稱(chēng)動(dòng)靜法動(dòng)靜法，將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為任一時(shí)刻，將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為任一時(shí)刻的靜力學(xué)問(wèn)題：根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，把的靜力學(xué)問(wèn)題：根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，把慣性力慣性力作為附加的作為附加的虛擬力，并考慮虛擬力，并考慮阻尼力阻尼力、彈性力彈性力和作用在結(jié)構(gòu)上的和作用在結(jié)構(gòu)上的外荷載外荷載，使體系處于動(dòng)力平衡條件，按照靜力學(xué)中建立平衡方程的使體系處于動(dòng)力平衡條件，按照靜力學(xué)中建立平衡方程的思路，直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程。思路，直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程。 虛功法虛功法: 根據(jù)虛功原

16、理，即根據(jù)虛功原理，即作用在體系上的全部力在虛位移作用在體系上的全部力在虛位移上所做的虛功總和為零上所做的虛功總和為零的條件，導(dǎo)出以廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)的條件，導(dǎo)出以廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程。動(dòng)方程。 變分法變分法: 通過(guò)對(duì)表示能量關(guān)系的泛函的變分建立方程。根據(jù)通過(guò)對(duì)表示能量關(guān)系的泛函的變分建立方程。根據(jù)理論力學(xué)中的哈密頓原理或其等價(jià)形式的拉格朗日方程導(dǎo)理論力學(xué)中的哈密頓原理或其等價(jià)形式的拉格朗日方程導(dǎo)出以廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程。出以廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程。kcm( )yt( )F t單自由度單自由度體系模型體系模型 質(zhì)量塊質(zhì)量塊m，用來(lái)表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和慣性特性，用來(lái)表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和慣性特性 自由度

17、只有一個(gè)：水平位移自由度只有一個(gè)：水平位移y(t) 無(wú)重彈簧，剛度為無(wú)重彈簧，剛度為 k，提供結(jié)構(gòu)的彈性恢復(fù)力，提供結(jié)構(gòu)的彈性恢復(fù)力 無(wú)重阻尼器，阻尼系數(shù)無(wú)重阻尼器，阻尼系數(shù)c，表示結(jié)構(gòu)的能量耗散，提供結(jié)，表示結(jié)構(gòu)的能量耗散，提供結(jié)構(gòu)的阻尼力構(gòu)的阻尼力 隨時(shí)間變化的荷載隨時(shí)間變化的荷載F(t)運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立（直接平衡法）單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立（直接平衡法）kcm( )yt( )F t( )yt建立計(jì)算模型建立計(jì)算模型)(tFFFFSDI 取質(zhì)點(diǎn)為隔離取質(zhì)點(diǎn)為隔離體畫(huà)平衡力系體畫(huà)平衡力系建立平衡方程建立平衡方程IFDFSF)(tF直接平衡法直接平衡法，

18、又稱(chēng)，又稱(chēng)動(dòng)靜法動(dòng)靜法，將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為任，將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為任一時(shí)刻的靜力學(xué)問(wèn)題：根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，把慣性一時(shí)刻的靜力學(xué)問(wèn)題：根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，把慣性力作為附加的虛擬力，并考慮阻尼力、彈性力和作力作為附加的虛擬力，并考慮阻尼力、彈性力和作用在結(jié)構(gòu)上的外荷載，使體系處于動(dòng)力平衡條件，用在結(jié)構(gòu)上的外荷載，使體系處于動(dòng)力平衡條件，按照靜力學(xué)中建立平衡方程的思路，直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)按照靜力學(xué)中建立平衡方程的思路，直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程。方程。直接平衡法直接平衡法根據(jù)所用平衡方程的不同，直接平衡法又分為根據(jù)所用平衡方程的不同，直接平衡法又分為剛度剛度法法和和柔度法柔度法。)(tFFFFSDI 平衡方程：平衡方程

19、：ymFI ycFD kyFS 根據(jù)根據(jù)dAlembert原理：原理：等于彈簧剛度與位移的乘積：等于彈簧剛度與位移的乘積：阻尼力等于阻尼系數(shù)與速度的乘積：阻尼力等于阻尼系數(shù)與速度的乘積：由此得到體系的由此得到體系的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程：)(tFkyy cym （2-3）慣性力：慣性力：彈性力：彈性力：阻尼力：阻尼力：( )yt( )F tSFDFIF剛度法剛度法: 取每一運(yùn)動(dòng)質(zhì)量為隔離體，通過(guò)分析所受取每一運(yùn)動(dòng)質(zhì)量為隔離體，通過(guò)分析所受的全部外力，建立質(zhì)量各自由度的瞬時(shí)力平衡方的全部外力，建立質(zhì)量各自由度的瞬時(shí)力平衡方程，得到體系的程，得到體系的運(yùn)動(dòng)方程。運(yùn)動(dòng)方程。kcm( )yt( )F t(

20、)ytIFDFSF)(tF)(tFFFFSDI 平衡方程：平衡方程：試用剛度法建立圖示剛架的運(yùn)動(dòng)方程試用剛度法建立圖示剛架的運(yùn)動(dòng)方程m 1EIEIEI2l1lPF(t) 解解 1） 確定自由度數(shù)確定自由度數(shù): 橫梁剛性，柱子無(wú)軸向變形。橫梁剛性，柱子無(wú)軸向變形。)(ty)(tFPIFDF2SF1SF2） 確定自由度的位移參數(shù)。確定自由度的位移參數(shù)。3） 質(zhì)量受力分析：取剛梁為隔離體，確定所受的所有外力！質(zhì)量受力分析：取剛梁為隔離體，確定所受的所有外力！4） 列動(dòng)平衡方程：列動(dòng)平衡方程：1個(gè)自由度。個(gè)自由度。021 SSDIPFFFFtF)()(tyymFI ycFD ylEIFS32212 其

21、中各力的大?。浩渲懈髁Φ拇笮。何灰品ǎ褐右欢水a(chǎn)生單位平移時(shí)的桿端剪力位移法：柱子一端產(chǎn)生單位平移時(shí)的桿端剪力等效粘滯阻尼力：等效粘滯阻尼力：212li柱端發(fā)生平移柱端發(fā)生平移 y 時(shí)產(chǎn)生的梁時(shí)產(chǎn)生的梁-柱間剪力：柱間剪力：ylEIFS31112 EIl1由此得到體系的由此得到體系的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程：)(tFylEIlEIycymP 32311212 慣性力：慣性力：021 SSDIPFFFFtF)(彈性力彈性力Fs=Fs1+Fs2：由此得到體系的由此得到體系的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程：)(tFkyy cymP 比較：比較：kcm( )yt( )F t)(tFkyy cym （2-3）m 1EIEIE

22、I2l1lPF(t)(ty)(tFylEIlEIycymP 32311212 ；k 為為（等效）剛度系數(shù)（等效）剛度系數(shù)。3231211212lEIlEIFFkSS 令：令：運(yùn)動(dòng)方程與運(yùn)動(dòng)方程與(2-3)的形式是一樣的！的形式是一樣的！柔度法柔度法以結(jié)構(gòu)整體為研究對(duì)象，通過(guò)分析所受的全部外以結(jié)構(gòu)整體為研究對(duì)象，通過(guò)分析所受的全部外力，利用結(jié)構(gòu)靜力分析中計(jì)算位移的方法，根據(jù)力，利用結(jié)構(gòu)靜力分析中計(jì)算位移的方法，根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件建立體系的位移協(xié)調(diào)條件建立體系的運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程。方程。 例例 試用柔度法建立圖示簡(jiǎn)支梁的運(yùn)動(dòng)方程試用柔度法建立圖示簡(jiǎn)支梁的運(yùn)動(dòng)方程q t ( )mEIl 解解 1） 確定自由

23、度數(shù)確定自由度數(shù): 集中質(zhì)量，僅豎向位移：集中質(zhì)量，僅豎向位移：)(ty2） 確定自由度的位移參數(shù)：質(zhì)量確定自由度的位移參數(shù)：質(zhì)量 m 的位移：的位移：3） 體系受力分析：取梁整體為隔離體，確定所受的所有外力！體系受力分析：取梁整體為隔離體，確定所受的所有外力！1個(gè)自由度。個(gè)自由度。q t ( )DFIF4） 列位移方程：列位移方程：)(DIPFFy 改寫(xiě)成：改寫(xiě)成： PDIyFF 1)(ty)(tqEIlP38454 p為動(dòng)荷載為動(dòng)荷載 q(t) 引起的質(zhì)量沿引起的質(zhì)量沿y方向的位移：方向的位移：其中：其中： 為自由度方向加單位力所引起的位移，即為自由度方向加單位力所引起的位移，即柔度柔度：

24、EIl483 慣性力：慣性力：ymFI 阻尼力：阻尼力：ycFD PDIyFF 1由此得到體系的由此得到體系的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程：)(tqlyycym851 q t ( )位移方程：位移方程：)(ty比較：比較：kcm( )yt( )F tq t ( )mEIl)(tFyycymE 1 含義：含義：等效動(dòng)荷載等效動(dòng)荷載直接作用在質(zhì)量自由度上產(chǎn)生的動(dòng)位移與直接作用在質(zhì)量自由度上產(chǎn)生的動(dòng)位移與 實(shí)際動(dòng)荷載產(chǎn)生的位移相等！實(shí)際動(dòng)荷載產(chǎn)生的位移相等！)(tqlyycym851 )(tFkyy cym 令：令：)()(tqltFE85 FE(t) 定義為體系的定義為體系的等效動(dòng)荷載等效動(dòng)荷載或或等效干擾力

25、等效干擾力。其通用表達(dá)式。其通用表達(dá)式 PEtF )(（2-3）已經(jīng)知道柔度已經(jīng)知道柔度 和剛度和剛度k 之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為： 1 k結(jié)論結(jié)論：任何一個(gè)單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程都可以抽象成為一：任何一個(gè)單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程都可以抽象成為一 質(zhì)量、彈簧、阻尼器體系的運(yùn)動(dòng)方程，一般形式為：質(zhì)量、彈簧、阻尼器體系的運(yùn)動(dòng)方程，一般形式為：)(tFkyy cymP 比較：比較：)(tFkyycymP 剛架：剛架：)(tFkyycym （2-3）基本質(zhì)量彈簧體系：基本質(zhì)量彈簧體系：)(tFkyycymE 表達(dá)式成為表達(dá)式成為：簡(jiǎn)支梁：簡(jiǎn)支梁：2-5 廣義單自由度體系：剛體集合廣義單自由度體系：剛體集

26、合剛體的集合（彈性變形局限于局部彈性剛體的集合（彈性變形局限于局部彈性元件中）元件中）分布彈性（彈性變形在整個(gè)結(jié)構(gòu)或某些分布彈性（彈性變形在整個(gè)結(jié)構(gòu)或某些元件上連續(xù)形成）元件上連續(xù)形成）只要可假定只有單一形式的位移，使得只要可假定只有單一形式的位移，使得結(jié)構(gòu)按照單自由度體系運(yùn)動(dòng)，就可以按結(jié)構(gòu)按照單自由度體系運(yùn)動(dòng)，就可以按照單自由度體系進(jìn)行分析。照單自由度體系進(jìn)行分析。1） 確定自由度數(shù)確定自由度數(shù): 1個(gè)自由度。個(gè)自由度。2） 體系受力分析。體系受力分析。aaaaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZE2-1E2-1x

27、aaaaaa2c2c1k1k2m2mp x,t( ) = p( )txa鉸鉸無(wú)重剛桿無(wú)重剛桿絞ABC)(43) (111tZkEEkfSaaaaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZ)(31) (212tZkGGkfS)(41) (111tZcDDdtdcfD)(22tZcfD)(2)(214)(2111tZmatZamtZmfI )(34)(12)4(4)(41M221tZmatZaamtZaIoI )(3222tZmfI )(81tappW令體系產(chǎn)生虛位移：令體系產(chǎn)生虛位移：所有力在虛位移上產(chǎn)生的總虛功：所有力在虛

28、位移上產(chǎn)生的總虛功：ZtaptZkktZcctZmmamaW)(316)(91169)(161)(943121212 aaaaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZZZfD411ZfI211ZaMI411ZfS431ZfD2ZfI322ZfS312ZP321)(316)(91169)(161)(943421212taptZkktZcctZmam )()()()(*tptZktZCtZm 2*9434mamm廣義質(zhì)量：廣義質(zhì)量：21*161ccc廣義阻尼：廣義阻尼：21*91169kkk廣義剛度：廣義剛度：)(316)(

29、*taptp廣義荷載：廣義荷載：簡(jiǎn)化形式：簡(jiǎn)化形式：0W令：令： ，有：，有：xaaaaaa2c2c1k1k2m2mp x,t( ) = p( )txa鉸鉸無(wú)重剛桿無(wú)重剛桿絞ABCaaaaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZNNaa4AC1Z3ZeeBN21eee虛位移：虛位移：ZaZ3ZaZ4ZaZ127軸向力所做虛功：軸向力所做虛功：eNWNZaNZ127ZaNZtaptZkktZcctZmmamaW127)(316)(91169)(161)(943121212 ZaNZtaptZkktZcctZmmamaW12

30、7)(316)(91169)(161)(943121212 aNkkk1279116921*考慮軸向力的廣義剛度：考慮軸向力的廣義剛度：討論：討論： 軸向壓力使廣義剛度減小，軸向拉力使廣義剛度增大，軸向壓力使廣義剛度減小，軸向拉力使廣義剛度增大， 軸向力越大，廣義剛度越??；軸向力越大，廣義剛度越??； 廣義剛度為零時(shí)：廣義剛度為零時(shí)：01279116921aNkkcrakkNcr212142827xaaaaaa2c2c1k1k2m2mp x,t( ) = p( )txa鉸鉸無(wú)無(wú)重重剛剛桿桿絞ABCN 剛體集合的各部件間有著復(fù)雜的關(guān)系，但因?yàn)榧s束條剛體集合的各部件間有著復(fù)雜的關(guān)系，但因?yàn)榧s束條件使

31、得兩個(gè)剛性桿只可能有一種位移形式：所以它是件使得兩個(gè)剛性桿只可能有一種位移形式：所以它是一個(gè)真實(shí)的單自由度體系。一個(gè)真實(shí)的單自由度體系。 如果桿件可以發(fā)生彎曲變形，這時(shí)體系將具有無(wú)窮多如果桿件可以發(fā)生彎曲變形，這時(shí)體系將具有無(wú)窮多個(gè)自由度。個(gè)自由度。 如果由假定只能產(chǎn)生單一的變形形式如果由假定只能產(chǎn)生單一的變形形式包括有一個(gè)包括有一個(gè)合適的產(chǎn)生彎曲變形的部件，那么，這樣的體系仍可合適的產(chǎn)生彎曲變形的部件，那么，這樣的體系仍可作為一個(gè)單自由度體系來(lái)分析。作為一個(gè)單自由度體系來(lái)分析。分布彈性（彈性變形在整個(gè)結(jié)構(gòu)或某分布彈性（彈性變形在整個(gè)結(jié)構(gòu)或某些元件上連續(xù)形成）；些元件上連續(xù)形成）；只要：可假定

32、只有單一形式的位移，只要：可假定只有單一形式的位移，使得結(jié)構(gòu)按照單自由度體系運(yùn)動(dòng)。使得結(jié)構(gòu)按照單自由度體系運(yùn)動(dòng)。2-6 廣義單自由度體系：分布柔性廣義單自由度體系：分布柔性xv t( )gL參參考考軸軸v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )N)()(),(tZxtxv假定唯一變形曲線后，成為單自由度假定唯一變形曲線后，成為單自由度體系：體系：廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)Z(t)，變形曲線，變形曲線 (x)：)(),()(tZtxvx 虛功原理：桿件產(chǎn)生變形時(shí)，外力所做虛功原理：桿件產(chǎn)生變形時(shí)，外力所做的虛功等于內(nèi)力所做的虛功。的虛功等于內(nèi)力所做的虛功。IEWW

33、xv t( )gL參參考考軸軸v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )N地面運(yùn)動(dòng)引起的等效荷載：地面運(yùn)動(dòng)引起的等效荷載：)()(),(efftvxmtxPg )()(),(efftvxmtxPg 外力：軸力外力：軸力N，慣性力，地面運(yùn)動(dòng)引起的等效荷載。，慣性力，地面運(yùn)動(dòng)引起的等效荷載。慣性力：慣性力：),()(),(txvxmtxfI v t( )g參參考考軸軸v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )N),()(),(txvxmtxfI 外力所做的虛功：外力所做的虛功：慣性力：慣性力：LLIEeNdxxvt

34、xfdxxvxfW0eff0)(),()()()()(),(efftvxmtxPg 地面運(yùn)動(dòng)引起的等效荷載：地面運(yùn)動(dòng)引起的等效荷載：軸力：軸力：NeZ)()(),(tZxtxv關(guān)系式：關(guān)系式：)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv )()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxvLLIEeNdxxvtxfdxxvxfW0eff0)(),()()(Ldxtxvte02),( 21)(Ldxxvtxve0)( ),( ),()(),(txvxmtxfI )()(),(efftvxmtxPg Ld

35、xxxmtZ02)()()( Lgdxxxmtv0)()()( ZdxxtNZL02)( )(虛功：虛功：內(nèi)力所做的虛功：內(nèi)力所做的虛功：LIdxxvtxMW0)(),(),(),()(),(1xvatxvxEItxM)()(),(tZxtxv關(guān)系式：關(guān)系式：)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv )()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxvZdxxxEItZadxxxEItZLL02012)()()()()()(變形變形變形速度變形速度ZdxxtNZdxxxmtvdxxxmtZWLLg

36、LE02002)( )()()()()()()( ZdxxxEItZadxxxEItZWLLI02012)()()()()()(LgLLLLdxxxmtvdxxNtZdxxxEItZdxxxEIatZdxxxmtZ0002202102)()()()( )()()()()()()()()()( )()()()()(*tPtZktZktZctZmeffG )()()()()(*tPtZktZktZctZmeffG *Gkkk)()()()(*tPtZktZctZmeff LLdxxNdxxxEI0022)( )()(*GkkkLLdxxdxxxEIN0202cr)( )()(令：令：令：令：0*k

37、0)( )()(0022LLdxxNdxxxEIE2-3E2-3假定變形曲線：假定變形曲線：Lxx2cos1)(Ldxxxmm02*)()(剛度和質(zhì)量均勻分布。剛度和質(zhì)量均勻分布。LdxxxEIk02*)()(Lgdxxxmtvtp0*eff)()()()( )(364. 0)(32)(228. 034tvLmtZLEItZLmg 運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：LdxLxm022cos1Lm228. 0LdxLxLEI02222cos43432 LEILgdxLxtvm02cos1)( )(364. 0tvLmg xv t( )gL參參考考軸軸v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m

38、 x( )EI x( )N LGdxxNk02)( * 考慮軸向力時(shí)結(jié)構(gòu)的幾何剛度：考慮軸向力時(shí)結(jié)構(gòu)的幾何剛度：LNLEIkkkG832234*綜合廣義剛度：綜合廣義剛度：臨界屈曲荷載：臨界屈曲荷載：242crLEIN LdxLxLN0222 sinLN82 2-7 廣義體系特性的表達(dá)式廣義體系特性的表達(dá)式)()()()(*tPtZktZctZmeff 任意單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程：任意單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程：xLximi( )xmxiv x,t( ) = ( )tZ( )x( )tZxLximi( )xmxiv x,t( ) = ( )tZ( )x( )tZ廣義質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)形式：廣義質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)形

39、式： 20202)()()(*iiiiLImdxxxmm xLv x,t( ) = ( )tZ( )xxi( )cci( )tZx廣義阻尼的標(biāo)準(zhǔn)形式：廣義阻尼的標(biāo)準(zhǔn)形式： 202102iiLLcdxxxEIadxxxcc )()()()(*xLv x,t( ) = ( )tZ( )xxi( )kki( )tZx廣義剛度的標(biāo)準(zhǔn)形式：廣義剛度的標(biāo)準(zhǔn)形式： 20202iiLLkdxxxEIdxxxkk )()()()(*xLv x,t( ) = ( )tZ( )x( )q( )tZxN廣義剛度的標(biāo)準(zhǔn)形式（考慮幾何剛度）：廣義剛度的標(biāo)準(zhǔn)形式（考慮幾何剛度）：dxxxNkdxxxEIdxxxkkLiiL

40、L2020202)( )()()()()(* xLv x,t( ) = ( )tZ( )x( )tZp x,t( ) xip t( ) i iiLpdxxtxptp 0)(),()(*廣義荷載的標(biāo)準(zhǔn)形式：廣義荷載的標(biāo)準(zhǔn)形式：第三章第三章 單自由度體系單自由度體系1.1.自由振動(dòng)反應(yīng)自由振動(dòng)反應(yīng)tytytytytytytytytytytytytytytytytytytytytyty表征結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特性的一些固有量稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的表征結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特性的一些固有量稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性動(dòng)力特性，又稱(chēng)又稱(chēng)自振特性自振特性。定義定義結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)的振動(dòng)反應(yīng)振動(dòng)反應(yīng) 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性與結(jié)構(gòu)的與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量質(zhì)量

41、、剛度剛度、阻尼阻尼及其分布有關(guān)。及其分布有關(guān)。ty定義定義 結(jié)構(gòu)受外部干擾后發(fā)生振動(dòng)，而在干擾消失后繼續(xù)振動(dòng)，結(jié)構(gòu)受外部干擾后發(fā)生振動(dòng)，而在干擾消失后繼續(xù)振動(dòng)，這種振動(dòng)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的這種振動(dòng)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)自由振動(dòng)。 如果結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中不斷地受到外部干擾力作用，這種如果結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中不斷地受到外部干擾力作用，這種振動(dòng)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的振動(dòng)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)，又稱(chēng)，又稱(chēng)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 。ty結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)與受迫振動(dòng)自由振動(dòng)與受迫振動(dòng)固有頻率固有頻率 質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中完成一個(gè)完整的循環(huán)所需要的時(shí)間稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中完成一個(gè)完整的循環(huán)所需要的時(shí)間稱(chēng)為周周期期，單位時(shí)間內(nèi)完成的循環(huán)次數(shù)稱(chēng)

42、為，單位時(shí)間內(nèi)完成的循環(huán)次數(shù)稱(chēng)為頻率頻率。 結(jié)構(gòu)在結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)自由振動(dòng)時(shí)的頻率稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的時(shí)的頻率稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的自振頻率自振頻率或或固有頻率固有頻率。 對(duì)大部分工程結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的對(duì)大部分工程結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的自振頻率自振頻率的個(gè)數(shù)與結(jié)構(gòu)的的個(gè)數(shù)與結(jié)構(gòu)的動(dòng)力自動(dòng)力自由度由度數(shù)數(shù)相等相等。 結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)的自振頻率自振頻率與結(jié)構(gòu)的與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量質(zhì)量和和剛度剛度有關(guān)。有關(guān)。tyT阻尼阻尼 結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中的能量耗散作用稱(chēng)為結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中的能量耗散作用稱(chēng)為阻尼阻尼。 結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)自由振動(dòng)會(huì)因?yàn)樽枘嶙饔枚S時(shí)間衰減并最終停止會(huì)因?yàn)樽枘嶙饔枚S時(shí)間衰減并最終停止。 由于阻尼而使振動(dòng)衰減的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)稱(chēng)為由于阻尼而使振

43、動(dòng)衰減的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)稱(chēng)為有阻尼系統(tǒng)有阻尼系統(tǒng)。 阻尼原因復(fù)雜：內(nèi)摩擦、連接摩擦、周?chē)橘|(zhì)阻力等。阻尼原因復(fù)雜：內(nèi)摩擦、連接摩擦、周?chē)橘|(zhì)阻力等。ycFD 等效粘滯阻尼：以阻尼器表示結(jié)構(gòu)阻尼作用：等效粘滯阻尼：以阻尼器表示結(jié)構(gòu)阻尼作用：c 為阻尼系數(shù)，為阻尼系數(shù)， 為質(zhì)量的速度。為質(zhì)量的速度。y tyTtyT3-1 運(yùn)動(dòng)方程的解運(yùn)動(dòng)方程的解 最簡(jiǎn)單的由剛體、彈簧和阻尼器組成的單自由度體系最簡(jiǎn)單的由剛體、彈簧和阻尼器組成的單自由度體系. 已經(jīng)得到單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程：已經(jīng)得到單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程：kcm( )v t( )p t)(tpkvv cvm （3-1） 這個(gè)運(yùn)動(dòng)方程也適用于可轉(zhuǎn)換為單自由度

44、體系的任何復(fù)這個(gè)運(yùn)動(dòng)方程也適用于可轉(zhuǎn)換為單自由度體系的任何復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系的廣義坐標(biāo)反應(yīng)。雜結(jié)構(gòu)體系的廣義坐標(biāo)反應(yīng)。 0kvvcvm 運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程： 等效動(dòng)荷載為零的情況下的振動(dòng)稱(chēng)為等效動(dòng)荷載為零的情況下的振動(dòng)稱(chēng)為自由振動(dòng)自由振動(dòng)。定義定義 自由振動(dòng)產(chǎn)生的原因：自由振動(dòng)產(chǎn)生的原因：初始時(shí)刻的干擾！初始時(shí)刻的干擾！ 初始位移；初始速度；初始位移初始位移；初始速度；初始位移+ +初始速度初始速度 結(jié)構(gòu)受外部干擾后發(fā)生振動(dòng)，而在干擾消失后繼續(xù)振動(dòng)，結(jié)構(gòu)受外部干擾后發(fā)生振動(dòng)，而在干擾消失后繼續(xù)振動(dòng)，這種振動(dòng)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的這種振動(dòng)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)自由振動(dòng)。去掉外荷載去掉外荷載p(t)=0!kcm( )v

45、 t( )p t 上式稱(chēng)為（二階線性常系數(shù)）上式稱(chēng)為（二階線性常系數(shù)）齊次方程；齊次方程； 齊次方程的求解：齊次方程的求解： 可設(shè)齊次方程解的形式為：可設(shè)齊次方程解的形式為： stGetv )(（3-3）02 stGekcsms)( 其特征方程為：其特征方程為： 022 smcs或：或： 代入（代入（3-23-2）可得：）可得： 02 )(kcsms（3-4）stGsetv )( steGstv2 )( （3-23-2）稱(chēng)為（二階線性常系數(shù)）稱(chēng)為（二階線性常系數(shù)）齊次方程；齊次方程； 式中式中 2=k/m， 是體系振動(dòng)的是體系振動(dòng)的圓頻率圓頻率。 根據(jù)阻尼系數(shù)根據(jù)阻尼系數(shù)c c 值的不同，解出

46、的特征參數(shù)值的不同，解出的特征參數(shù)s s 值將具有不值將具有不同的特性。同的特性。 （3-2）0kvvcvm 3-2 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng) If c=0： 特征方程：特征方程： 022 smcs 自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： is （3-7）titieGeGtv 21)( 引入引入Euler方程：方程： 代入代入(3-2)得：得： titeti sincos （3-9） A和和B是由初始條件決定的常數(shù)。是由初始條件決定的常數(shù)。得無(wú)阻尼得無(wú)阻尼自由振動(dòng)的自由振動(dòng)的位移反應(yīng)：位移反應(yīng)： tBtAtv cossin)( （3-10）（3-2）0 kvvcvm 設(shè)設(shè)t=0時(shí)：時(shí)：00vv )(

47、00vv )(tBtAtv cossin)( 代入：代入：tBtAtv sincos)( 0v0B0v A0vB 代入：代入： 0vA 單自由度無(wú)阻尼體系運(yùn)動(dòng)方程的解：?jiǎn)巫杂啥葻o(wú)阻尼體系運(yùn)動(dòng)方程的解：tvtvtv cossin)(00 （3-11） 或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?cos()( ttv（3-14） 位移反應(yīng)：位移反應(yīng)： tBtAtv cossin)( （3-10）0sinsincoscos)cos( 三角關(guān)系：三角關(guān)系： 對(duì)比對(duì)比(3-11)，顯然有：，顯然有：0v 0v cos 0v sin 0v (3-13)成為：成為：tttv cossinsincos)( 即：即：)cos()( tt

48、v（3-14）2020vv 00vv arctan tvtvtv cossin)(00 （3-11）ty0 . .y0 RI y0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 y0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 .

49、 .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0t)cos()( ttv（3-14） 物理意義：物理意義： tvtvtv cossin)(00 （3-11）)cos()( ttv（3-14） 物理意義：物理意義： 2 - -tcos( ) t-cos ty0sin ty0 . . y0. .y0 . .y0 RI t t ty0 . .y0 2 - -T= 2 T= 2 T= 2 tvtvtv cossin)(00 （3-11）定義 對(duì)于無(wú)阻尼體系

50、，運(yùn)動(dòng)完全是反復(fù)進(jìn)行的。運(yùn)動(dòng)的最大對(duì)于無(wú)阻尼體系，運(yùn)動(dòng)完全是反復(fù)進(jìn)行的。運(yùn)動(dòng)的最大位移稱(chēng)為振幅。位移稱(chēng)為振幅。運(yùn)動(dòng)完成一個(gè)完整循環(huán)所需時(shí)間稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)完成一個(gè)完整循環(huán)所需時(shí)間稱(chēng)為自振周期自振周期，由于對(duì)應(yīng)每由于對(duì)應(yīng)每個(gè)角增量個(gè)角增量 2 便發(fā)生一個(gè)完整循環(huán)，自振周期就是：便發(fā)生一個(gè)完整循環(huán)，自振周期就是： ）秒秒；（弧弧度度rad/s / mk 單位時(shí)間內(nèi)的循環(huán)次數(shù)稱(chēng)為單位時(shí)間內(nèi)的循環(huán)次數(shù)稱(chēng)為自振頻率自振頻率： ）（秒秒； sec kmT 22 ）秒秒；（次次Hz/ 21 Tf T)cos()( ttv1sect 運(yùn)動(dòng)的角速度稱(chēng)為自振運(yùn)動(dòng)的角速度稱(chēng)為自振圓頻率圓頻率：3-3 阻尼自由振動(dòng)阻尼自由振

51、動(dòng) 對(duì)于有阻尼的單自由度體系對(duì)于有阻尼的單自由度體系 特征方程：特征方程： 022 smcs 自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： 則：則： 0 c2222 mcmcs隨著根號(hào)中值的符號(hào)的不同，這個(gè)表達(dá)式可以描述隨著根號(hào)中值的符號(hào)的不同，這個(gè)表達(dá)式可以描述臨界臨界阻尼、低阻尼阻尼、低阻尼和和超阻尼超阻尼三種體系的運(yùn)動(dòng)型式。三種體系的運(yùn)動(dòng)型式。本課程只講本課程只講臨界阻尼臨界阻尼和和低阻尼低阻尼兩種情況。兩種情況。（3-2）0kvvcvm 1.1.臨界阻尼臨界阻尼 當(dāng)根式中的值為零時(shí)，對(duì)應(yīng)的阻尼值稱(chēng)為當(dāng)根式中的值為零時(shí)，對(duì)應(yīng)的阻尼值稱(chēng)為臨界阻尼，記，記作作cc。顯然，應(yīng)有。顯然，應(yīng)有cc/2m= ，即：

52、，即： 特征方程：特征方程： 2222 mcmcs mcc2 這時(shí)，對(duì)應(yīng)的這時(shí)，對(duì)應(yīng)的s 值為值為 ： 自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： 臨界阻尼自由振動(dòng)方程的解為：臨界阻尼自由振動(dòng)方程的解為： mcssc221/（3-19）tetGGtv )()(21（3-20）（3-2）0kvvcvm 由初始條件：由初始條件： 0000vvvv)()( 得到臨界阻尼體系反應(yīng)的最終形式：得到臨界阻尼體系反應(yīng)的最終形式： 臨界阻尼位移解：臨界阻尼位移解： tetvtvtv )()(001 臨界阻尼體系反應(yīng)臨界阻尼體系反應(yīng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，體系的位移反應(yīng)從開(kāi)始時(shí)的不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，體系的位移反應(yīng)從開(kāi)始時(shí)的，依照指數(shù)規(guī)律衰減

53、，回復(fù)到零點(diǎn)。依照指數(shù)規(guī)律衰減，回復(fù)到零點(diǎn)。 teGtGtv 211)()( 臨界阻尼臨界阻尼的物理意義的物理意義是：是：在自由振動(dòng)反應(yīng)在自由振動(dòng)反應(yīng)中不出現(xiàn)震蕩所需要中不出現(xiàn)震蕩所需要的最小阻尼值的最小阻尼值。 速度速度 00201vvGvG tetGGtv )()(21（3-20）v0( ) tv( )+etvtvt1+00.tv0.2.2.低阻尼低阻尼 特征方程：特征方程： 2222 mcmcs 自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： 如果體系的阻尼比臨界阻尼小，則顯然有如果體系的阻尼比臨界阻尼小，則顯然有c/2m ，這時(shí)，特，這時(shí)，特征方程根式中的值為正值，則征方程根式中的值為正值，則s 值成為

54、值成為： 22)( s （3-2）0kvvcvm 12 )coshsinh()(tBtAetvt （3-38） 超超阻尼體系反應(yīng)阻尼體系反應(yīng)不是震蕩的，體系的位移反應(yīng)從開(kāi)始時(shí)不是震蕩的，體系的位移反應(yīng)從開(kāi)始時(shí)的的，依照雙曲函數(shù)規(guī)律衰減，回復(fù)到零點(diǎn)。返回速度較依照雙曲函數(shù)規(guī)律衰減，回復(fù)到零點(diǎn)。返回速度較臨界阻尼時(shí)更快臨界阻尼時(shí)更快。v0( ) tvtv0.)coshsinh(tBtAettetvtv)1 (00確定體系阻尼比的一種方法確定體系阻尼比的一種方法)cos()( tetvtd 體系的阻尼比可以通過(guò)測(cè)試體體系的阻尼比可以通過(guò)測(cè)試體系運(yùn)動(dòng)的衰減規(guī)律得到：系運(yùn)動(dòng)的衰減規(guī)律得到： 阻尼體系動(dòng)力

55、反應(yīng)：阻尼體系動(dòng)力反應(yīng)： 體系從任一時(shí)刻經(jīng)幾個(gè)周期后體系從任一時(shí)刻經(jīng)幾個(gè)周期后的振幅比為：的振幅比為： d2 nTnnTtttteeeevvkknkk 取對(duì)數(shù)后：取對(duì)數(shù)后：d2 nvvnkktt lnnkkttvvn ln21 d ty(t)ettkt +nTk0kte d/ 2T)(nTtke （3-35）nkkttyyn ln21 阻尼很小時(shí)：阻尼很小時(shí)： 體系阻尼的測(cè)試：體系阻尼的測(cè)試：2 2）計(jì)算阻尼比：）計(jì)算阻尼比： 確定結(jié)構(gòu)體系阻尼的其它方法。確定結(jié)構(gòu)體系阻尼的其它方法。nkkttvv nkkttvvn ln21 kmmc 221）實(shí)測(cè)體系經(jīng)過(guò)個(gè)周期后的位移幅值比：）實(shí)測(cè)體系經(jīng)過(guò)個(gè)

56、周期后的位移幅值比：3 3）計(jì)算阻尼系數(shù)：）計(jì)算阻尼系數(shù)：（3-36）nknkktttvvvn 21 tv(t)et2DT=vtk+nvtktkt +nTk0 e(t +nT)ketk計(jì)算圖示剛架的阻尼系數(shù)計(jì)算圖示剛架的阻尼系數(shù)已知：已知： 柱子無(wú)重、剛性梁；柱子無(wú)重、剛性梁； F=90kN使大使大梁產(chǎn)生梁產(chǎn)生5mm的初位移；的初位移； 擺動(dòng)擺動(dòng)1周后的周后的位移位移4mm； 周期為周期為1.4s. 解解 確定梁的有效質(zhì)量確定梁的有效質(zhì)量:skmT40. 122 m 1EIEIEI m 1EIEIEI5mmFkTm 22 t894005. 09024 . 12 計(jì)算阻尼系數(shù)：計(jì)算阻尼系數(shù)： m

57、c2 0355. 048. 48942 阻尼特性阻尼特性:10ln21vv 0355. 045ln21 sT40. 1 t894 m確定體系的自振頻率確定體系的自振頻率:Hz714. 04 . 111 Tfrad/s48. 42 f 六周以后振幅：六周以后振幅：06106vvvv mm311. 10 . 5546 kNs/m 284 單自由度體系受迫振動(dòng)單自由度體系受迫振動(dòng) 單自由度受迫振動(dòng)體系的運(yùn)動(dòng)方程：?jiǎn)巫杂啥仁芷日駝?dòng)體系的運(yùn)動(dòng)方程：)(tpkvvcvm 二階常系數(shù)非齊次微分方程。二階常系數(shù)非齊次微分方程。通解通解由由補(bǔ)解補(bǔ)解和和特特解解組成：組成： )()()(tvtvtvpc 補(bǔ)解補(bǔ)解

58、y yc c(t)由體系的自由振動(dòng)反應(yīng)確定：由體系的自由振動(dòng)反應(yīng)確定： 受迫振動(dòng)：受迫振動(dòng)：結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載即外干擾力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載即外干擾力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。)cossin()(tBtAetvddtc 注意：注意：對(duì)于受迫振動(dòng)體系，補(bǔ)解中的常數(shù)的對(duì)于受迫振動(dòng)體系，補(bǔ)解中的常數(shù)的A A、B B 應(yīng)由微應(yīng)由微分方程的分方程的通解（通解（補(bǔ)解補(bǔ)解+ +特解特解）而不能僅由補(bǔ)解確定！而不能僅由補(bǔ)解確定！ 荷載荷載p(t)不同，微分方程的不同，微分方程的特解特解vp p(t)的形式是不同的。的形式是不同的。 )(tpt2. 諧振荷載反應(yīng)諧振荷載反應(yīng) 諧振荷載：諧振荷載： 簡(jiǎn)諧荷載作用下結(jié)

59、構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng)方程：簡(jiǎn)諧荷載作用下結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng)方程：tpkvvcvm sin0 0p 2p0為荷載的幅值，為荷載的幅值， 為荷載的圓頻率。為荷載的圓頻率。 3-2-1 無(wú)阻尼體系無(wú)阻尼體系 諧振荷載作用下諧振荷載作用下的的無(wú)阻尼體系運(yùn)動(dòng)方程無(wú)阻尼體系運(yùn)動(dòng)方程： 補(bǔ)解補(bǔ)解 齊次方程的解：齊次方程的解：tBtAtvc cossin)( 特解特解 由動(dòng)力荷載引起的特別解。設(shè)：由動(dòng)力荷載引起的特別解。設(shè)：tGtvp sin)( 代入代入(1)(1)式得：式得：tpkvvm sin0 tptkGtGm sinsinsin02 202011 kmkpmkpG 202201111 kpkptptGkm si

60、nsin)(02 2011 kpG 所以特解的振幅：所以特解的振幅： ：頻率比：頻率比，表示荷載頻率與體系自振頻率的比：，表示荷載頻率與體系自振頻率的比： / 特解：特解： 通解：通解：tkp sin1120 )()()(tvtvtvpc 常數(shù)常數(shù)A、B 由初始條件確定。假設(shè)：由初始條件確定。假設(shè)：0)0()0( vv2011 kpA0 B 解得：解得：tBtA cossintkptBtAtv cos1sincos)(20 tGtvp sin)( 2011 kptkp sin1120 簡(jiǎn)諧荷載作用下無(wú)阻尼體系的動(dòng)力反應(yīng)為：簡(jiǎn)諧荷載作用下無(wú)阻尼體系的動(dòng)力反應(yīng)為：)sin(sin11)(20ttk