正弦定理余弦定理應用舉例

1、1.2 正弦定理余弦定正弦定理余弦定理應用舉例理應用舉例1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型 測量測量:距離問題、高度問題、角度問題、距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等計算面積問題、航海問題、物理問題等.2.實際問題中的常用角實際問題中的常用角 （1）仰角和俯角）仰角和俯角 與目標線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標與目標線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標 視線的夾角視線的夾角,目標視線在水平視線目標視線在水平視線 叫仰角叫仰角, 目標視線在水平視線目標視線在水平視線 叫俯角（如圖）叫俯角（如圖）. 上方上方下方下方(2)

2、方位角方位角指從指從 方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如如B點的方位角為點的方位角為（如圖）（如圖）.正北正北（3）坡度：坡面與水平面所成的角的度數(shù)）坡度：坡面與水平面所成的角的度數(shù).題型一題型一 與距離有關(guān)的問題與距離有關(guān)的問題 要測量對岸要測量對岸A、B兩點之間的距離，選取兩點之間的距離，選取 相距相距 km的的C、D兩點兩點,并測得并測得ACB=75, BCD=45,ADC=30,ADB=45,求求 A、B之間的距離之間的距離. 分析題意，作出草圖，綜合運用正、分析題意，作出草圖，綜合運用正、 余弦定理求解余弦定理求解.3題型分類題型分類 深度剖析深度

3、剖析解解 如圖所示在如圖所示在ACD中，中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD= km.在在BCD中，中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.在在ABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得3sin 7562.sin 602BC 2226262( 3)()23cos 752232335,5(km).5km.ABABAB 、 之之間間的的距距離離為為3 求距離問題要注意：求距離問題要注意：（1 1）選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所）選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量

4、放在另一確定三角形中求有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解解. .（2 2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理用，就選擇更便于計算的定理. .(3)(3)閱讀課本第閱讀課本第1111頁和第頁和第1212頁的例頁的例1,1,例例2 2的的距離測量方法距離測量方法. .變式變式1（2009海南海南,寧夏理寧夏理, 17） 為了測量兩山頂為了測量兩山頂M、N間的間的 距離，飛機沿水平方向在距離，飛機沿水平方向在A、B 兩點進行測量，兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面在同一個鉛垂平面 內(nèi)（如示意圖）內(nèi)（如示意圖）.飛機

5、能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和 A、B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：指間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：指 出需要測量的數(shù)據(jù)出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示用字母表示,并在圖中標并在圖中標 出出)；用文字和公式寫出計算；用文字和公式寫出計算M、N間的距離間的距離 的步驟的步驟.解解 方案一方案一：需要測量的數(shù)據(jù)有：需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到點到M、N點的俯角點的俯角1、1；B點到點到M、N點的俯角點的俯角2、2；A、B的距離的距離d(如圖所示如圖所示).第一步：計算第一步：計算AM.由正弦定理由正弦定理第二步：計算第二步：計算AN.由正弦定理由正弦定理第三步：計算第三步：計算MN.

6、由余弦定理由余弦定理212sin;sin()dAM 221sin;sin()dAN 22112cos()MNAMANAMAN方案二方案二：需要測量的數(shù)據(jù)有：需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到點到M、N點的點的俯角俯角1、1；B點到點到M、N點的俯角點的俯角2、2;A、B的距離的距離d（如圖所示）（如圖所示）.第一步：計算第一步：計算BM.由正弦定理由正弦定理第二步：計算第二步：計算BN.由正弦定理由正弦定理第三步：計算第三步：計算MN.由余弦定理由余弦定理112sin;sin()dBM 121sin;sin()dBN 22222cos().MNBMBNBMBN例例2.在在200 m高的山頂上，測得山下一

7、塔頂與塔底的高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是俯角分別是30，60,則塔高為則塔高為 （ ） 解析解析 作出示意圖如圖，作出示意圖如圖， 由已知：在由已知：在RtOAC中，中，OA=200，OAC=30，則，則OC=OAtanOAC =200tan 30= 在在RtABD中，中，AD= ，BAD=30， 則則BD=ADtanBAD=400400200200A.mB.3mC.3mD.m3333200 3.3200 33200 33 200tan 30,3 200400200.33BCCDBDA題型二題型二 與高度有關(guān)的問題與高度有關(guān)的問題 解斜三角形應用題的一般步驟是：解斜三角形應用題

8、的一般步驟是：（1）準確理解題意，分清已知與所求；）準確理解題意，分清已知與所求；（2）依題意畫出示意圖；）依題意畫出示意圖；（3）分析與問題有關(guān)的三角形；）分析與問題有關(guān)的三角形；（4）運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形）運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形, 逐步求解問題的答案；逐步求解問題的答案；（5）注意方程思想的運用；）注意方程思想的運用；（6）要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識）要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識.變式變式2 如圖所示，測量河對岸的如圖所示，測量河對岸的 塔高塔高AB時，可以選與塔底時，可以選與塔底B在同一水在同一水 平面內(nèi)的兩個測點平面內(nèi)的兩個測點C與與

9、D，現(xiàn)測得，現(xiàn)測得 BCD=，BDC=，CD=x，并，并 在點在點C測得塔頂測得塔頂A的仰角為的仰角為，求塔高，求塔高AB. 解解 在在BCD中，中，CBD= ,sinsinsinsinsinsin()tansinRt,tan.sin()BCCDBDCCBDxCDBDCBCCBDxABCABBCACB 由由正正弦弦定定理理得得所所以以在在中中例例3.在海岸在海岸A處處,發(fā)現(xiàn)北偏東發(fā)現(xiàn)北偏東45方向方向,距離距離A n mile的的B處有一艘走私船，在處有一艘走私船，在A處北偏西處北偏西75的的 方向方向,距離距離A 2 n mile的的C處的緝私船奉命以處的緝私船奉命以10 n mile/h的

10、速度追截走私船的速度追截走私船.此時，走私船正以此時，走私船正以 10 n mile/h的速度從的速度從B處向北偏東處向北偏東30方向逃竄方向逃竄, 問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？ 分析分析 如圖所示，注意到最快追上走如圖所示，注意到最快追上走 私船且兩船所用時間相等，若在私船且兩船所用時間相等，若在D 處相遇，則可先在處相遇，則可先在ABC中求出中求出BC， 再在再在BCD中求中求BCD.31 3題型三題型三 與角度有關(guān)的問題與角度有關(guān)的問題則有則有CD=10 t，BD=10t.在在ABC中，中，AB= -1，AC=2，BAC=120, 由余弦定理，

11、由余弦定理，得得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=（ -1）2+22-2（ -1）2cos 120=6,BC= ， 即即CBD=90+30=120，在在BCD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得BCD=30.即緝私船北偏東即緝私船北偏東60方向能最快追上走方向能最快追上走私船私船. 3336sin10 sin1201sin,210 3BDCBDtBCDCDt3解解:設(shè)緝私船用設(shè)緝私船用t h在在D處追上走私船，處追上走私船，2sin1202sin4526ABCABC 由由正正弦弦定定理理，例例4 如圖所示，已知半圓的直徑如圖所示，已知半圓的直徑AB=2， 點點C在在AB的延長線上

12、，的延長線上，BC=1，點，點P為半圓上的為半圓上的 一個動點，以一個動點，以DC為邊作等邊為邊作等邊PCD，且點，且點D與與 圓心圓心O分別在分別在PC的兩側(cè)，求四邊形的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的面積的 最大值最大值.題型四題型四 正、余弦定理在平面幾何中的綜合應用正、余弦定理在平面幾何中的綜合應用解解 設(shè)設(shè)POB=，四邊形面積為，四邊形面積為y，則在則在POC中，由余弦定理得中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OPOCcos =5 4cos .max3112sin(54cos)245 32sin().345 35,2.32645 32.4OPCPCDySSyOPDC 當當即即時時所所以以四四邊邊形形面面積積