初中中幾何經(jīng)典題

1、初中幾何經(jīng)典題、解答題（共 20 小題，滿分 0 分）1. 已知：如圖， 0 是半圓的圓心， C、E 是圓上的兩點， CD 丄 AB , EF 丄 AB , EG 丄 CO . 求證：CD=GF .（初二）2 .已知：如圖，P 是正方形 ABCD 內(nèi)點，/ PAD= / PDA=15 求證： PBC 是正三角形.（初二）3 .如圖，已知四邊形 ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是 AAi、BBi、CCi、DD1的 中占I八、求證：四邊形 A2B2C2D2是正方形.AD4 .已知：如圖，在四邊形 ABCD 中，AD=BC , M、N 分別是 AB、CD 的中點，AD

2、、BC 的延長線交 MN 于 E、F.求證：/ DEN= / F.5 .已知：ABC 中，H 為垂心（各邊高線的交點），O 為外心，且 OM 丄 BC于 M .（1）求證：AH=2OM ;AH=AO .（初二）E2 / 236.設(shè) MN 是圓 0 外一直線，過 0 作OA丄 MN 于 A，自 A 引圓的兩條直線，交圓于 B、C 及 D、E,直線EB 及 CD 分別交 MN 于 P、Q.求證：AP=AQ .（初二）7如果上題把直線 MN 由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN 是圓 0 的弦，過 MN 的中點 A任作兩弦 BC、DE,設(shè) CD、EB 分別交 MN 于 P、Q.求證：AP=A

3、Q .（初二）-&如圖，分別以 ABC 的邊 AC、BC 為一邊，在厶 ABC 外作正方形 ACDE 和 CBFG，點 P 是 EF 的中點, 求證：點 P 到 AB 的距離是 AB 的一半.9 .如圖，四邊形 ABCD 為正方形，DE / AC , AE=AC , AE 與 CD 相交于 F. 求證：CE=CF .B_C10.如圖，四邊形 ABCD 為正方形，DE / AC,且 CE=CA，直線 EC 交 DA 延長線于 F. 求證：AE=AF .（初二）3 / 2311.設(shè) P 是正方形 ABCD 邊 BC 上的任一點，PF 丄 AP, CF 平分/ DCE . 求證：PA=PF .（初二

4、）-P C E12 .如圖，PC 切圓 0 于 C，AC 為圓的直徑，PEF 為圓的割線，AE、AF 與直線 PO 相交于 B、D .求證:AB=DC , BC=AD .16.平行四邊形 ABCD 中，設(shè) E、F 分別是 BC、AB 上的一點，AE 與 CF 相交于 P,且 AE=CF .求證: / DPA= / DPC .（初二）13 .已知： ABC 是正三角形，P 是三角形內(nèi)一點，PA=3 , PB=4 , PC=5 . 求：/ APB 的度數(shù).（初二）求證：/ PAB= / PCB .15.設(shè) ABCD 為圓內(nèi)接凸四邊形，求證： AB?CD+AD ?BC=AC?BD .4 / 2317

5、.設(shè) P 是邊長為 1 的正 ABC 內(nèi)任一點，L=PA+PB+PC，求證：；亂V2.PC=3a，求正方形的邊長.20.如圖，ABC 中，/ ABC= / ACB=80 D、E 分別是 AB、AC 上的點，/ DCA=30 求/ BED的度數(shù).PA+PB+PC 的最小值./ EBA=20 19. P為正方ABCD 內(nèi)的一點，求5 / 23初中幾何經(jīng)典題參考答案與試題解析、解答題（共 20 小題，滿分 0 分）解答：證明：作 GH 丄 AB，連接 EO ./ EF 丄 AB , EG 丄 CO ,/ EFO= / EGO=90 G、O、F、E 四點共圓, 所以/ GFH= / OEG,又/ GH

6、F= / EGO, GHFOGE , / CD 丄 AB , GH 丄 AB ,/ GH / CD ,- 1-I H，點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及其性質(zhì)和四點共圓的性質(zhì)，根據(jù)已知得出 鍵.2.已知：如圖， P 是正方形 ABCD 內(nèi)點，/ PAD= / PDA=15 求證：PBC 是正三角形.（初二）考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定.專題：1證明題.E 是圓上的兩點，CD 丄 AB , EF 丄 AB , EG 丄CO .相似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理.首先根據(jù)四點共圓的性質(zhì)得出GOFE 四點共圓，進而求出 GHFOGE，再利用 G

7、H / CD，得出E0_G0_CO=H即可求出答GOFE 四點共圓是解題關(guān)1 已知：如圖,O 是半圓的圓心,又CO=EO,6 / 23分析：丿在正方形內(nèi)做DGC 與厶 ADP 全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出PDG 為等邊，三角形，根據(jù) SAS 證出 DGCPGC，推出 DC=PC，推出 PB=DC=PC，根據(jù)等邊三角形的判定求出即可.解答：1證明：正方形 ABCD , AB=CD，/ BAD= / CDA=90 / PAD= / PDA=15 PA=PD，/ PAB= / PDC=75 在正方形內(nèi)做DGC與厶ADP 全等， DP=DG，/ ADP= / GDC= / DAP= / DCG=15

8、 / PDG=90。- 15- 1560 PDG 為等邊三角形（有一個角等于60 度的等腰三角形是等邊三角形） DP=DG=PG ,/ DGC=180 - 15- 15150 / PGC=360 - 150 - 60=150 / DGC ,在DGC 和PGC 中fDG=PG-ZDGC二ZPGC,LGC=GC DGCPGC, PC=AD=DC，和/ DCG= / PCG=15同理 PB=AB=DC=PC ,/ PCB=90 - 15 - 15=60, PBC 是正三角形.點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，又是難點，題

9、型較好，但有一定的難度，對學(xué)生提出了較高的要求.3.如圖， 已知四邊形 ABCD、 AlBlClDl都是正方形， A2、 B2、 C2、 D2分別是 AA1、 BBi、 CCi、 DD1的中點. 求證： 四邊形 A2B2C2D2是正方形.7 / 23考點：正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析： 連接 BCi和 ABi分別找其中點 F, E,連接 C2F 與 A2E 并延長相交于 Q 點，根據(jù)三角形的中位線定理可得A2E=FB2, EB2=FC2,然后證明得到/ B2FC2=ZA2EB2，然后利用邊角邊定理證明得到 B2FC2與厶 A2EB2全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得

10、A2B2=B2C2，再根據(jù)角的關(guān)系推出得到/ A2B2C2=90從而得到A2B2與 B2C2垂直且相等，同理可得其它邊也垂直且相等，所以四邊形A2B2C2D2是正方形.解答：證明：如圖，連接 BCi和 ABi分別找其中點 F, E.連接 C2F 與 A2E 并延長相交于 Q 點， 連接 EB2并延長交 C2Q 于 H 點，連接 FB2并延長交 A2Q 于 G 點，由 A2E=丄 A1B1=丄 BlCl=FB2,EB2=AB=2BC=FC2,22 22/GFQ+ / Q=90 和/ GEB2+ZQ=90所以/ GEB2=ZGFQ,/B2FC2=ZA2EB2,可得B2FC2A2EB2,所以 A2B

11、2=B2C2,又/ HB2C2+ / HC2B2=90。和/ B2C2Q= / EB2A2,從而可得/ A2B2C2=90 同理可得其它邊垂直且相等，從而得出四邊形 A2B2C2D2是正方形.點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，作輔 助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.4.已知：如圖，在四邊形 ABCD 中，AD=BC , M、N 分別是 AB、CD 的中點，AD、BC 的延長線交 MN 于 E、F. 求證：/ DEN=/ F.8 / 23:三角形中位線定理.:證明題.連接 AC ,作 GN / AD 交 AC 于 G,連接 MG ,根據(jù)

12、中位線定理證明 MG / BC ,且 GM= BC,根據(jù) AD=BC2證明 GM=GN，可得/ GNM= / GMN，根據(jù)平行線性質(zhì)可得：/ GMF= / F,/ GNM= / DEN 從而得出/ DEN= / F.解答： 證明：連接 AC ,作 GN / AD 交 AC 于 G,連接 MG ./ N 是 CD 的中點，且 NG / AD , NG=AD , G 是 AC 的中點，2又 M 是 AB 的中點， MG / BC，且MG=2BC.2/ AD=BC , NG=GM , GNM 為等腰三角形， / GNM= / GMN ,/ GM / BF, / GMF= / F,/ GN / AD

13、, / GNM= / DEN , / DEN= / F.點評：此題主要考查平行線性質(zhì)，以及三角形中位線定理，關(guān)鍵是證明5.已知： ABC 中，H 為垂心(各邊高線的交點)，0 為外心，且 0M 丄 BC 于 M .(1) 求證：AH=20M ;(2) 若/ BAC=60 求證：AH=AO .(初二) GNM 為等腰三角形.9 / 23rc三角形的外接圓與外心；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；含 判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理.證明題.(1)過 O 作 OF 丄 AC,于 F,則 F 為 AC 的中點，連接 CH，取 CH 中點 N，連接 FN, MN，得出平行四邊形OMNF，即可得出答案

14、.(2)根據(jù)圓周角定理求出/BOM，根據(jù)含 30 度角的直角三角形性質(zhì)求出OB=2OM 即可.證明：(1)過 O 作 OF 丄 AC，于 F,則 F 為 AC 的中點，連接 CH，取 CH 中點 N,連接 FN , MN ,則 FN / AD , AH=2FN , MN / BE,/ AD 丄 BC , OM 丄 BC , BE 丄 AC , OF 丄 AC , OM / AD , BE / OF , M 為 BC 中點，N 為 CH 中點， MN / BE, OM / FN , MN / OF ,四邊形 OMNF 是平行四邊形， OM=FN ,/ AH=2FN , AH=2OM .(2)證明

15、：連接 OB, OC ,/ BAC=60 30 度角的直角三角形；平行四邊形的解答:10 / 23 / BOC=120 / BOM=60 / OBM=30 OB=2OM=AH=AO ,11 / 23即 AH=AO .點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線定理、含30 度角的直角三角形性質(zhì)、三角形的外接圓與外心、三角形的內(nèi)角和定理等知識點，題目綜合性較強，有一定的難度，但題型較好，難點是如何作 輔助線.6.設(shè) MN 是圓 O 外一直線，過 O 作OA丄 MN 于 A，自 A 引圓的兩條直線，交圓于 B、C 及 D、E,直線 EB 及 CD 分別交 MN于 P、Q.求證：AP=AQ

16、 .（初二）考點：圓周角定理；垂線；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì).專題：證明題.分析： 作 E 點關(guān)于 GA 的對稱點 F，連 FQ、FA , FC,根據(jù)軸對稱和平行線性質(zhì)推出/FAP= / EAQ , / EAP= / FAQ,FA=EA，求出/ FCQ= / FAQ，推出 FCAQ 四點共圓，推出/ PEA= / QFA，根據(jù) ASA 推出 PEA 和厶 QFA 全等即可.解答:/ OA 丄 MN , EF 丄 OA ,則有/ FAP=ZEAQ，/ EAP= / FAQ , FA=EA , E , F , C , D 共圓/PAF=ZAFE= /

17、AEF=180。-/ FCD ,/PAF=180-ZFAQ,/FCD=ZFAQ, FCAQ 四點共圓，ZAFQ=ZACQ=ZBED,在厶 EPA 和厶 FQA 中rZPEA=ZQFA AF二AE,LZPAE=ZQAFEPAAFQA, AP=AQ .點評：本題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角證明：作 E 點關(guān)于 GA 的對稱點 F,連 FQ、FA, FC,12 / 23定理，垂線等知識點，解此題的關(guān)鍵是求出ZAEP=ZAFQ ,題型較好，有一定的難度，通過做題培養(yǎng)了學(xué)13 / 23生分析問題的能力，符合學(xué)生的思維規(guī)律，證兩線段相等，一般考慮

18、證所在的兩三角形全等.7如果上題把直線 MN 由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè) MN 是圓 0 的弦，過 MN 的中點 A 任作兩弦BC、DE，設(shè) CD、EB 分別交 MN 于 P、Q.求證：AP=AQ .（初二）考點：四點共圓；全等三角形的判定與性質(zhì).分析： 作 OF 丄 CD , 0G 丄 BE,連接 OP, 0A , OF, AF , 0G, AG , OQ ,證明 ADF ABG ,所以/ AFC= / AGE , 再利用圓的內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角，證得/AOP= /AOQ，進而得到 AP=AQ .解答： 證明：作 OF 丄 CD, OG 丄 BE，連接 OP, O

19、A , OF, AF , OG , AG , OQ .由于AD_AC_CD_2FD_Fg,zFDA= ZABQ,AB_AE_BE_2BG_BGADF ABG ,ZAFC=ZAGE,四邊形 PFOA 與四邊形 QGOA 四點共圓，ZAFC=ZAOP; ZAGE=ZAOQ,ZAOP=ZAOQ, AP=AQ .點評：本題考查了相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)，以及圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)：對角互補，外角等于內(nèi)對角，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形.&如圖，分別以ABC 的邊 AC、BC 為一邊，在ABC 外作正方形 ACDE 和 CBFG，點 P 是 EF 的中點，求證: 點 P 到 AB的距

20、離是 AB 的一半.考點：梯形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì). 專題：證明題.14 / 23分析： 分另【J 過 E, F, C, P 作 AB 的垂線，垂足依次為 R, S, T , Q,貝 U PQ= （ ER+FS）,易證 Rt AER 也 Rt CAT,2貝 U ER=AT , FS=BT , ER+FS=A T+BT=AB，即可得證.解答：解：分別過 E, F, C, P 作 AB 的垂線，垂足依次為 R, S, T, Q,則 ER/ PQ/ FS, P 是 EF 的中點， Q 為 RS 的中點， PQ 為梯形 EFSR 的中位線， PQ=丄（ER+FS）,2 AE=AC （正方

21、形的邊長相等），/ AER= / CAT （同角的余角相等），/ R=ZATC=90 Rt AER 也 Rt CAT （AAS ）,同理 Rt BFS 也 Rt CBT , ER=AT , FS=BT , ER+FS=AT+BT=AB ,PQ=2AB.2點評：此題綜合考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定以及正方形的性質(zhì)等知識點，輔助線的作法很關(guān)鍵.DE / AC , AE=AC , AE 與 CD 相交于 F.考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì). 專題：證明題.分析： 把厶 ADE 順時針旋轉(zhuǎn) 90。得到 ABG ,從而可得 B、G、D 三點

22、在同一條直線上，然后可以證明 AGB 與 CGB 全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=CG ,所以AGC 為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以推出/ CEF= / CFE=75 從而得解.解答： 證明：如圖所示，順時針旋轉(zhuǎn)ADE90。得到 ABG ,連接 CG ./ ABG= / ADE=90 +45 135 B , G , D 在一條直線上， / ABG= / CBG=180 - 45135 rAB=BC在厶 AGB 與厶 CGB 中， ZABG=ZCBG ,IBG=BG AGBCGB ( SAS), AG=AC=GC=AE , AGC 為等邊三角形， AC 丄 BD （正方形的對角線

23、互相垂直）， / AGB=30 9.如圖，四邊形 ABCD 為正方形,求證：CE=CF.15 / 23/ EAC=30 / AE=AC ,/ AEC= / ACE=75 2又/ EFC= / DFA=45 30 =75, CE=CF.iG點評：本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造出圖形是解 題的關(guān)鍵.10.如圖，四邊形 ABCD 為正方形，DE / AC,且 CE=CA，直線 EC 交 DA 延長線于 F. 求證：AE=AF .（初二）考點：正方形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；正方形的判定.專題：1 計算題.分

24、析：j/連接 BD ,作 CH 丄 DE 于 H ,根據(jù)正方形的性質(zhì)求出正方形DGCH ,求出 2CH=CE ,求出/ CEH=30 ,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)求出/AEC= / CAE=15 ,求出/ F 的度數(shù)即可.解答：證明：連接 BD，作 CH 丄 DE 于 H,正方形 ABCD ,/ DGC=90 GC=DG ,/ AC / DE , CH 丄 DE ,/ DHC= / GCH= / DGC=90 四邊形 CGDH 是正方形.由 AC=CE=2GC=2CH ,/ CEH=30 / CAE= / CEA= / AED=15 又/ FAE=90 45 15 150 / F=1

25、80 - 150 - 15 15 / F= / AEF , AE=AF .點評：本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30 度角的直角三角形，三角形的外角性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定等知識點，此題綜合性較強，但難度適中.11.設(shè) P 是正方形 ABCD 邊 BC 上的任一點，PF 丄 AP , CF 平分/ DCE .16 / 23考點： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題： 證明題.分析：根據(jù)已知作 FG 丄 CD , FE 丄 BE，可以得出 GFEC 為正方形.再利用全等三角形的判定得出 進而求出 PA=PF 即可.ABPPEF,解答： 證明方法一：作 FG 丄 CD , FE 丄 BE

26、，可以得出 GFEC 為正方形. 令 AB=Y , BP=X , CE=Z，可得 PC=Y - X.2tan / BAP=tan / EPF=-，可得 YZ=XY - X +XZ ,YY-X+Z即 Z (Y - X) =X (Y - X),即得 X=Z，得出 ABPPEF, PA=PF.方法二：在 AB 上截取 AG=PC，連接 PG/ABCD 是正方形 AB=BC，/ B= / DCB= / APF=90 / AG=CP BG=BP,/BGP=/BPG=45/AGP=180-ZBGP=135 CF 平分/ DCE / FCE=45 /PCF=180-ZFCE=135 / AGP= / PCF

27、/BAP+/APB=90/FPC+ZAPB=90 / BAP= / FPC,fZBAP=ZFPC在AGP 和PCF 中*AG二PC,lZAGP=ZPCF AGPPCF (ASA ) PA=PF.17 / 23此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出12 .如圖，PC 切圓 0 于 C, AC 為圓的直徑，PEF 為圓的割線，AE、AF 與直線 PO 相交于 B、D .求證：AB=DC ,BC=AD .考點：切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).分析：作出輔助線，禾 U 用射影定理以及四點共圓的性質(zhì)得出EFOQ 四點共圓，BECQ 四點共圓，進而得出四邊形ABCD 是平行

28、四邊形，從而得出答案即可.解答： 證明：作 CQ 丄 PD 于 Q,連接 EO, EQ, EC, OF, QF, CF,2二 PC =PQ?PO （射影定理），2又 PC =PE?PF, PQ?PO=PE?PF所以 EFOQ 四點共圓，/ EQF= / EOF=2 / BAD ,又/ PQE= / OFE= / OEF=ZOQF ,而 CQ 丄 PD,所以/ EQC= / FQC，因為/ AEC= / PQC=90故 B、E、C、Q 四點共圓，所以/ EBC= / EQC=2 / EQF=丄/ EOF= / BAD ,22 CB / AD ,易證 AODCOB，所以 BO=DO，即四邊形 AB

29、CD 是平行四邊形， AB=DC , BC=AD . ABPPEF 是解題關(guān)鍵.18 / 23點評：此題主要考查了四點共圓的性質(zhì)以及射影定理，根據(jù)已知得出EFOQ 四點共圓，BECQ 四點共圓是解題關(guān)鍵.13 .已知：ABC 是正三角形，P 是三角形內(nèi)一點， PA=3, PB=4, PC=5 .求：/APB 的度數(shù).（初二）AB 考點：等邊三角形的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)；勾股定理的逆定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).專題：計算題.分析：先把 ABP 旋轉(zhuǎn) 60得到 BCQ ,連接 PQ,根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知 BCQBAP ,由于/ PBQ=60 BP=BQ ,易知BPQ 是等邊三角形，從而有 PQ=PB=4，而

30、PC=5, CQ=3，根據(jù)勾股定理逆定理易證PQC 是直角三 角形，即/ PQC=90 進而可求/ APB .解答：解：把ABP 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 60得到 BCQ，連接 PQ,/ PBQ=60 BP=BQ , BPQ 是等邊三角形，/ PQ=PB=4,而 PC=5, CQ=4,2 2 2在PQC 中，PQ +QC =PC , PQC 是直角三角形，/ BQC=60 90 150 / APB=150 sAQ點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是考慮 把 PA、PB、PC 放在一個三角形中，而旋轉(zhuǎn)恰好能實現(xiàn)這一目標(biāo).14 .設(shè) P 是平

31、行四邊形 ABCD 內(nèi)部的一點，且/ PBA= / PDA .求證：/ PAB= / PCB .19 / 23考點：四點共圓；平行四邊形的性質(zhì).專題：證明題.分析： 根據(jù)已知作過 P 點平行于 AD 的直線，并選一點 E,使 PE=AD=BC，禾 U 用 AD / EP, AD / BC ,進而得出/ ABP= / ADP= / AEP,得出 AEBP 共圓，即可得出答案.解答： 證明：作過 P 點平行于 AD 的直線，并選一點 E,使 PE=AD=BC ,/ AD / EP, AD / BC.四邊形 AEPD 是平行四邊形，四邊形 PEBC 是平行四邊形， AE / DP, BE / PC,

32、/ ABP= / ADP= / AEP , AEBP 共圓（一邊所對兩角相等）./ BAP= / BEP= / BCP ,/ PAB= / PCB .點評：此題主要考查了四點共圓的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練利用四點共圓的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵.考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理.分析： 在 BD 取一點 E,使/ BCE= / ACD，即得 BEC ADC，于是可得 AD?BC=BE?AC，又 ACB= / DCE , AR T1R可得 ABCDEC，既得竺=匕，即 AB?CD=DE?AC，兩式結(jié)合即可得至 U AB ?CD+AD ?BC=AC ?BD .ACDC解答： 證明：在 BD

33、取一點 E,使/ BCE= / ACD，即得 BECADC ,可得： 里=越，即AD?BC=BE?AC,BCAC又/ ACB= / DCE，可得ABC DEC ,即得塑=蟲，即 AB?CD=DE?AC,AC DC由 + 可得：AB?CD+AD ?BC=AC ( BE+DE ) =AC ?BD，得證.15.設(shè) ABCD 為圓內(nèi)接凸四邊形，求證:AB ?CD+AD ?BC=AC ?BD .20 / 23點評：本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和圓周角的知識點，解答本題的關(guān)鍵是在 / BCE= /ACD，此題難度一般.16.平行四邊形 ABCD 中，設(shè) E、F 分別是 BC、AB 上的一點，AE 與

34、 CF 相交于 P,且 AE=CF .求證：/ DPA= / DPC.（初 二）考點：平行四邊形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).專題：1 證明題.分析：、過 D 作 DQ 丄 AE , DG 丄 CF,由 SADE=訂 血：“DFC,可得:王 =* 叫，又丁 AE=FC ,2 2 2可得 DQ=DG，可得/ DPA= / DPC （角平分線逆定理）.解答：1J證明：過 D 作 DQ 丄 AE , DG 丄 CF,并連接 DF 和 DE,如右圖所示：和c平行四邊AECt廠則 注ADE=SADFC,2血 DQ_DGFC2 2 ，又 AE=FC ,DQ=DG , PD 為/ APC 的角平分線，/ DPA=

35、 / DPC （角平分線逆定理）.BD 上取一點 E,使21 / 23點評：、本題考查平行四邊形和角平分線的性質(zhì)，有一定難度，解題關(guān)鍵是準確作出輔助線，利用角平分線的性質(zhì) 進行證明.17.設(shè) P 是邊長為 1 的正 ABC 內(nèi)任一點，L=PA+PB+PC，求證：；老V2. 考點：等邊三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).專題：證明題.分析：只要 AP, PE, EF在一條直線上，可得最小L= 二過 P 點作 BC 的平行線交 AB , AC 于點 D , F,可得AD AP，BD+DP BP，PF+FC PC,DF=AF ，從而得出結(jié)論.解答： 證明：（1）順時針旋轉(zhuǎn) BPC60可得 PB

36、E 為等邊三角形.即得要使 PA+PB+PC=AP+PE+EF 最小，只要 AP , PE, EF在一條直線上，即如下圖：可得最小 L=“;(2)過 P 點作 BC 的平行線交 AB , AC 于點 D , F. 由于/ APD / AFP= / ADP ,推出 AD AP又 BD+DP BP和 PF+FC PC又 DF=AF考點：軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì).點評： 綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， 等邊三角形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系， 分別找到最小和最大 鍵.L 的求法是解題的關(guān)ABCD 內(nèi)的一點，求 PA+PB+PC 的最小值.22 / 23分析： 順時針旋轉(zhuǎn)BPC60 度，可得 PBE 為等

37、邊三角形，若 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP , PE, EF在一條直線上，求出 AF 的值即可.解：順時針旋轉(zhuǎn)BPC60 度，可得PBE 為等邊三角形.即得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP, PE, EF 在一條直線上,即如下圖：可得最小 PA+PB+PC=AF .BM=BF?cos30=BC?cos30=則AM=1+-/, / AB=BF，/ ABF=150/ BAF=15 解答:23 / 23既得 AF= = HcoslS42點評：本題主要考查軸對稱-路線最短問題的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的知識，此題難度一般.19.P 為正方形 ABCD 內(nèi)的一點，并且 PA=a, PB=2a, PC=3a，求正方形的邊長.考點：正方形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).專題：綜合題.分析： 把厶 ABP 順時針旋轉(zhuǎn) 90得到 BEC，根據(jù)勾股定理得到 PE=2 :a,再根據(jù)勾股定理逆定理證明 PEC 是直角三角形，從而得到/ BEC=135 過點 C 作 CF 丄 BE 于點 F,CEF 是等腰直角三角形，然后再根據(jù)勾 股定理求出 BC 的長度，即可得