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1、聽課隨筆第十一課時 函數(shù)的奇偶性(2)【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 學(xué)習(xí)要求 1熟練掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法;2熟練單調(diào)性與奇偶性討論函數(shù)的性質(zhì);3能利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決一些問題【精典范例】一函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性結(jié)合性質(zhì)推導(dǎo):例1:已知y=f(x)是奇函數(shù),它在(0,+)上是增函數(shù),且f(x)<0,試問:F(x)=在(,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明你的結(jié)論思維分析:根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,可以設(shè)x1<x2<0,進(jìn)而判斷:F(x1) F(x2)= =符號解:任取x1,x2(,0),且x1<x2,則x1>x2>0因為y=f(x)在(0,+上是增函數(shù),且f(x)<0
2、,所以f(x2)<f(x1)<0,又因為f(x)是奇函數(shù)所以f(x2)= f(x2),f(x1)=f(x1)由得f(x2)>f(x1)>0于是F(x1) F(x2)= 所以F(x)=在(,0)上是減函數(shù)?!咀C明】設(shè),則,在上是增函數(shù),是奇函數(shù),在上也是增函數(shù)說明:一般情況下,若要證在區(qū)間上單調(diào),就在區(qū)間上設(shè)二利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式:例2:已知是定義域為的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=x|x2|,求x<0時,f(x)的解析式解:設(shè)x<0,則x>0且滿足表達(dá)式f(x)=x|x2|所以f(x)= x|x2|=x|x+2|又f(x)是奇函數(shù),有f(x
3、)= f(x)所以f(x)= x|x+2|所以f(x)=x|x+2|故當(dāng)x<0時F(x)表達(dá)式為f(x)=x|x+2|.3:定義在(2,2)上的奇函數(shù)在整個定義域上是減函數(shù),若f(m1)+f(2m1)>0,求實數(shù)m的取值范圍解:因為f(m1)+f(2m1)>0所以f(m1)> f(2m1)因為f(x)在(2,2)上奇函數(shù)且為減函數(shù)所以f(m1)>f(12m)所以所以<m<追蹤訓(xùn)練一1. 設(shè)是定義在R上的偶函數(shù),且在0,+)上是減函數(shù),則f()與f(a2a+1)()的大小關(guān)系是 (B ) A f()<f(a2a+1)B f()f(a2a+1)C f
4、()>f(a2a+1)D與a的取值無關(guān)2. 定義在上的奇函數(shù),則常數(shù) , ;3. 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且為增函數(shù),若,求實數(shù)a的范圍。解:定義域是 即 又 是奇函數(shù) 在上是增函數(shù) 即 解之得 故a的取值范圍是思維點拔:一、函數(shù)奇偶性與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系若函數(shù)是偶函數(shù),則該函數(shù)在關(guān)于對稱的區(qū)間上的單調(diào)性是相反的,且一般情況下偶函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù);若函數(shù)是奇函數(shù),則該函數(shù)在關(guān)于對稱區(qū)間上的點調(diào)性是相同的追蹤訓(xùn)練1已知是偶函數(shù),其圖象與軸共有四個交點,則方程的所有實數(shù)解的和是 (C) 4 2 0 不能確定2. 定義在(,+)上的函數(shù)滿足f(x)=f(x)且f(x)在(0,+)上,則不等式f(a)<f(b)等價于( C )A.a<bB.a>bC.|a|<|b|D.0a<b或a>b03. 是奇函數(shù),它在區(qū)間(其中)上為增函數(shù),則它在區(qū)間上(D) A. 是減函數(shù)且有最大值 B. 是減函數(shù)且有最小值 C. 是增函數(shù)且有最小值 D. 是增函數(shù)且有最大值4已知函數(shù)ax7+6x5+cx3+dx+8,且f(5)= 15,則f(5)= 31 5定義在實數(shù)集上的
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