第2講空間幾何體的表面積與體積

1、第2講 空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1棱長(zhǎng)為2的正四面體的表面積是()A. B4 C4 D16解析每個(gè)面的面積為：×2×2×.正四面體的表面積為：4.答案C2把球的表面積擴(kuò)大到原來的2倍，那么體積擴(kuò)大到原來的 ()A2倍 B2倍 C.倍 D.倍解析由題意知球的半徑擴(kuò)大到原來的倍，則體積VR3，知體積擴(kuò)大到原來的2倍答案B3一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，那么此幾何體的側(cè)面積(單位：cm2)為 ()A48 B64 C80 D120解析據(jù)三視圖知，該幾何體是一個(gè)正四棱錐(底面邊長(zhǎng)為8)，直觀圖如圖，PE為側(cè)面PAB的邊AB上的高，且PE5.此幾何體的側(cè)面積是S4SP

2、AB4××8×580(cm2)答案C4已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為()A. B. C. D.解析在直角三角形ASC中，AC1，SAC90°，SC2，SA；同理SB.過A點(diǎn)作SC的垂線交SC于D點(diǎn)，連接DB，因SACSBC，故BDSC，故SC平面ABD，且平面ABD為等腰三角形，因ASC30°，故ADSA，則ABD的面積為×1× ，則三棱錐的體積為××2.答案A5某品牌香水瓶的三視圖如下(單位：cm)，則該幾何體的表面

3、積為 ()A.cm2 B.cm2C.cm2 D.cm2解析該幾何體的上下為長(zhǎng)方體，中間為圓柱S表面積S下長(zhǎng)方體S上長(zhǎng)方體S圓柱側(cè)2S圓柱底2×4×44×4×22×3×34×3×12××12×294.答案C6已知球的直徑SC4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB，ASCBSC30°，則棱錐S-ABC的體積為()A3 B2 C. D1解析由題可知AB一定在與直徑SC垂直的小圓面上，作過AB的小圓交直徑SC于D，設(shè)SDx，則DC4x，此時(shí)所求棱錐即分割成兩個(gè)棱錐S-ABD和C-ABD，

4、在SAD和SBD中，由已知條件可得ADBDx，又因?yàn)镾C為直徑，所以SBCSAC90°，所以DCBDCA60°，在BDC中 ，BD(4x)，所以x(4x)，所以x3，ADBD，所以三角形ABD為正三角形，所以VSABD×4.答案C二、填空題7已知S、A、B、C是球O表面上的點(diǎn)，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC，則球O的表面積等于_解析將三棱錐SABC補(bǔ)形成以SA、AB、BC為棱的長(zhǎng)方體，其對(duì)角線SC為球O的直徑，所以2RSC2，R1，表面積為4R24.答案48如圖所示，已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形組成，則該多面

5、體的體積是_解析由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為1，斜高為，連接頂點(diǎn)和底面中心即為高，可求得高為，所以體積V×1×1×.答案9已知某幾何體的直觀圖及三視圖如圖所示，三視圖的輪廓均為正方形，則該幾何體的表面積為_解析借助常見的正方體模型解決由三視圖知，該幾何體由正方體沿面AB1D1與面CB1D1截去兩個(gè)角所得，其表面由兩個(gè)等邊三角形、四個(gè)直角三角形和一個(gè)正方形組成計(jì)算得其表面積為124.答案12410如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為6，則以正方體ABCDA1B1C1D1的中心為頂點(diǎn)，以平面AB1D1截正方體外接球所得的圓為底面的圓錐的

6、全面積為_解析設(shè)O為正方體外接球的球心，則O也是正方體的中心，O到平面AB1D1的距離是體對(duì)角線長(zhǎng)的，即為.又球的半徑是正方體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即為3，由勾股定理可知，截面圓的半徑為2，圓錐底面面積為S1·(2)224，圓錐的母線即為球的半徑3，圓錐的側(cè)面積為S2×2×318.因此圓錐的全面積為SS2S11824(1824).答案(1824)三、解答題11 .一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示已知主視圖是底邊長(zhǎng)為1的平行四邊形，左視圖是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為1的矩形，俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的矩形(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S. 解 (1)由三視圖可知

7、，該幾何體是一個(gè)平行六面體(如 圖)，其底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為，所以V1×1×.(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形，S2×(1×11×1×2)62.12在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，ACB90°，AC6，BCCC1，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，如圖所示，求CPPA1的最小值解PA1在平面A1BC1內(nèi)，PC在平面BCC1內(nèi)，將其鋪平后轉(zhuǎn)化為平面上的問題解決鋪平平面A1BC1、平面BCC1，如圖所示計(jì)算A1BAB1，

8、BC12，又A1C16，故A1BC1是A1C1B90°的直角三角形CPPA1A1C.在AC1C中，由余弦定理，得A1C5，故(CPPA1)min5.13某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖1所示，墩的上半部分是正四棱錐PEFGH，下半部分是長(zhǎng)方體ABCDEFGH.圖2、圖3分別是該標(biāo)識(shí)墩的主視圖和俯視圖(1)請(qǐng)畫出該安全標(biāo)識(shí)墩的左視圖；(2)求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積解(1)左視圖同主視圖，如圖所示：(2)該安全標(biāo)識(shí)墩的體積為VVPEFGHVABCDEFGH×402×60402×2064 000(cm3)14如圖(a)，在直角梯形ABCD中，ADC90°，CDAB，AB4，ADCD2，將ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到幾何體DABC，如圖(b)所示(1)求證：BC平面ACD；(2)求幾何體DABC的體積(1)證明在圖中，可得ACBC2，從而AC2BC2AB2，故