直線的方程(1)

1、黃圖盛中學(xué) 數(shù)學(xué)組一.復(fù)習(xí)回顧 直線的方程與方程的直線直線的方程與方程的直線直的傾斜角和斜率直的傾斜角和斜率概念辨析概念辨析 斜率公式斜率公式斜率公式的形式特點(diǎn)及適用范圍斜率公式的形式特點(diǎn)及適用范圍 確定一條直線需要具備幾個獨(dú)立條件確定一條直線需要具備幾個獨(dú)立條件 以一個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直以一個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過來，這條直線上的點(diǎn)的坐線上的點(diǎn)，反過來，這條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解，這時，這個方程就標(biāo)都是這個方程的解，這時，這個方程就叫做這條直線的方程；這條直線叫做這個叫做這條直線的方程；這條直線叫做這個方程的直線。方程的直線。直線的方程與方程的直線直線

2、的方程與方程的直線 直線的傾斜角和斜率直線的傾斜角和斜率 在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x x軸相交的直線，如果把軸相交的直線，如果把x x軸繞著交點(diǎn)按逆軸繞著交點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為小正角記為 ，那么，那么 就叫做直線的傾就叫做直線的傾斜角。斜角。 傾斜角不是傾斜角不是9090的直線，它的的直線，它的叫做這條直線的斜率，常用叫做這條直線的斜率，常用K K表示。表示。 經(jīng)過兩點(diǎn)經(jīng)過兩點(diǎn)p p1 1(x(x1 1，y y1 1) )，p p2 2(x(x2 2，y y2 2) )的直線的斜率公式：的直線的

3、斜率公式：2121yykxx 斜率公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān)，斜率公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān)， 即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)在公式中的前后次序可同時顛倒；即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)在公式中的前后次序可同時顛倒； 斜率公式表明，直線對于斜率公式表明，直線對于x軸的傾斜程度，軸的傾斜程度， 可以通過直線上任意兩點(diǎn)坐標(biāo)表示，而不需求出直線的傾斜角；可以通過直線上任意兩點(diǎn)坐標(biāo)表示，而不需求出直線的傾斜角； 斜率公式是研究直線方程各種形式的基礎(chǔ)，必須熟記，斜率公式是研究直線方程各種形式的基礎(chǔ)，必須熟記， 并且會靈活運(yùn)用并且會靈活運(yùn)用; 當(dāng)當(dāng)x1=x2 ,y1 y2時，直線的傾斜角時，直線的傾斜角900，沒有斜率，沒有斜率.1

4、 直線經(jīng)過一個已知點(diǎn)及方向（即斜率）直線經(jīng)過一個已知點(diǎn)及方向（即斜率）; 2 直線經(jīng)過兩個已知點(diǎn)；直線經(jīng)過兩個已知點(diǎn)；如果把直線當(dāng)作結(jié)論，如何根據(jù)這些條件如果把直線當(dāng)作結(jié)論，如何根據(jù)這些條件求出直線方程？求出直線方程？ 若直線若直線L L經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P P1 1（1 1，2 2），且斜率為），且斜率為1 1，求直線求直線L L的方程的方程. .若直線若直線L經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)p1(x1,y1)，且斜率為，且斜率為k，求，求L的方程？的方程？ 問題問題1 1平面上的所有直線是否都可以用點(diǎn)斜式表示？平面上的所有直線是否都可以用點(diǎn)斜式表示？問題問題2 2：（：（1）區(qū)別方程）區(qū)別方程 與方程與方程 。 （

5、2）直線的斜率）直線的斜率k=0時，方程如何？時，方程如何？ （3）點(diǎn)斜式方程有狹隘性？哪方面？）點(diǎn)斜式方程有狹隘性？哪方面？ （4）直線的斜率不存在時，方程如何？）直線的斜率不存在時，方程如何？kxxyy11)(11xxkyy不能不能,因為斜率可能不存在因為斜率可能不存在. 因此因此,在具體運(yùn)用時應(yīng)根據(jù)情況在具體運(yùn)用時應(yīng)根據(jù)情況討論討論,. 縱截距縱截距：直線直線L L與與Y Y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。橫截距：橫截距：直線直線L L與與X X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 已知直線的斜率為已知直線的斜率為K K，與，與Y Y軸的交點(diǎn)是軸的交點(diǎn)是P P（0 0，b b），）， 求直線

6、求直線L L的方程？的方程？：(1)上述方程是由直線上述方程是由直線L的斜率和它的縱截距確定的，叫做直線的方程的的斜率和它的縱截距確定的，叫做直線的方程的(2)(2)縱截距可以大于縱截距可以大于0 0，也可以等于，也可以等于0 0或小于或小于0 0。(3)斜截式與點(diǎn)斜式存在什么關(guān)系？斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況，某些情況下用斜截式與點(diǎn)斜式存在什么關(guān)系？斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況，某些情況下用 斜截式比用點(diǎn)斜式更方便斜截式比用點(diǎn)斜式更方便. (4)斜截式在形式上與一次函數(shù)的表達(dá)式一樣，但它們之間有什么差別？斜截式在形式上與一次函數(shù)的表達(dá)式一樣，但它們之間有什么差別？ 什么情況下，斜截式方程才是一次函數(shù)

7、的表達(dá)式什么情況下，斜截式方程才是一次函數(shù)的表達(dá)式.例例1 : 一條直線經(jīng)過點(diǎn)一條直線經(jīng)過點(diǎn)P1(-2,3)，傾斜角，傾斜角 =450， 求這條直線的方程求這條直線的方程.例例2: 寫出下列直線的斜截式方程，并畫出圖形：寫出下列直線的斜截式方程，并畫出圖形： 斜率是斜率是1/2，在軸上的距截是，在軸上的距截是2； 斜角是斜角是1350，在軸上的距截是，在軸上的距截是3 如果直線如果直線 l 的傾斜角為的傾斜角為0，那么經(jīng)過一，那么經(jīng)過一點(diǎn)點(diǎn)P1(x1，y1) 的直線的直線l的方程為的方程為 。 y=y1如果直線如果直線l的傾斜角為的傾斜角為90，那么經(jīng)過一，那么經(jīng)過一點(diǎn)點(diǎn)P1(x1，y1) 的

8、直線的直線l的方程為的方程為 。 x=x1一條直線經(jīng)過點(diǎn)一條直線經(jīng)過點(diǎn)P（-2，3），傾斜角為），傾斜角為45，求這條直線的方程，并畫出圖形。，求這條直線的方程，并畫出圖形。（1 1）經(jīng)過點(diǎn)）經(jīng)過點(diǎn)A A（2 2，5 5），斜率是），斜率是4 4； （2 2）經(jīng)過點(diǎn)）經(jīng)過點(diǎn)B B（3 3，-1-1），斜率是），斜率是 ；（3 3）經(jīng)過點(diǎn)）經(jīng)過點(diǎn)C C（- - ，2 2），傾斜角是），傾斜角是3030；（4 4）經(jīng)過點(diǎn)）經(jīng)過點(diǎn)D D（0 0，3 3），傾斜角是），傾斜角是0 0；（5 5）經(jīng)過點(diǎn)）經(jīng)過點(diǎn)E E（4 4，-2-2），傾斜角是），傾斜角是120120；2254(2)yx12(3)yx

9、 3223yx 3 0y 234yx 答案答案（1）已知直線的點(diǎn)斜式方程是）已知直線的點(diǎn)斜式方程是y-2=x-1,那么直線的斜率是那么直線的斜率是_,傾斜角是傾斜角是_(2)已知直線的點(diǎn)斜式方程是已知直線的點(diǎn)斜式方程是32(1),3yx 那么直線的斜率是那么直線的斜率是_傾斜角是傾斜角是_，145o150o(3).下面四個直線方程中，可以看作是直線的斜截式方程的是下面四個直線方程中，可以看作是直線的斜截式方程的是( ) A.x =3 B. y=5 C.2y=x D. x=4y1B(4)已知直線的斜率已知直線的斜率k=2，P1(3,5),P2(x2,7),P3(-1,y3)是這條是這條 直線上的

10、三點(diǎn)，求直線上的三點(diǎn)，求x2 , y3.33方程方程y-yy-y1 1=k(x-x=k(x-x1 1) )是由直線上一點(diǎn)和直線的斜是由直線上一點(diǎn)和直線的斜率確定的，所以叫做直線方程的率確定的，所以叫做直線方程的方程方程y=kx+by=kx+b是由直線是由直線 l l 的斜率和它在的斜率和它在 y y 軸上的軸上的截距確定的，所以叫做直線方程的截距確定的，所以叫做直線方程的求直線方程應(yīng)注意分類：求直線方程應(yīng)注意分類：()()當(dāng)當(dāng)k k存在時存在時, ,經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )的方程為的方程為y-yy-y1 1=k(x-x=k(x-x1 1) ) ；() () 當(dāng)

11、當(dāng)k k不存在時，經(jīng)過點(diǎn)不存在時，經(jīng)過點(diǎn)P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )的方程為的方程為 x=xx=x1 1 。方程方程y=kx+by=kx+b是是y-yy-y1 1=k(x-x=k(x-x1 1) ) 的特殊情況，其圖的特殊情況，其圖形是直線，運(yùn)用它們解決問題的形是直線，運(yùn)用它們解決問題的。通過上面的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，請同學(xué)們總結(jié)一通過上面的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，請同學(xué)們總結(jié)一下，確定一條直線需要幾個獨(dú)立的條件？下，確定一條直線需要幾個獨(dú)立的條件？方程名稱方程名稱 已知條件已知條件直線方程直線方程適應(yīng)范適應(yīng)范圍圍點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式斜截式斜截式y(tǒng)-y0=k(x-x0)y=kx+b點(diǎn)點(diǎn)(x0,y0)斜率

12、斜率k截距截距b斜率斜率kk存在存在k存在存在1 1 直線直線y=ax+b(a+by=ax+b(a+b=0)=0)的圖象是的圖象是 ( )( )111ABCD范圍的區(qū)別范圍的區(qū)別 )(112121xxxxyyyy121121xxxxyyyy由于這個方程是由直線上兩點(diǎn)確定的由于這個方程是由直線上兩點(diǎn)確定的例例1 : 求過下列兩點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程，求過下列兩點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程， 再化為斜截式方程再化為斜截式方程. （1）A（2,1），），B（0，3）；）； （2）A（1，2），），B（3,4） （3）A（0,5），），B(5,0)； （4）A(a,0) B(0,b )（a,b均不為均不為0）

13、以上直線方程是由直線在以上直線方程是由直線在x軸和軸和y軸上的截距確定的，軸上的截距確定的，所以叫做直線方程的截距式所以叫做直線方程的截距式. 由這兩個特殊點(diǎn)，如何求直線的方程？有何特征？由這兩個特殊點(diǎn)，如何求直線的方程？有何特征？1byax例例3、 說出下列直線的方程，并畫出圖形說出下列直線的方程，并畫出圖形. 傾斜角為傾斜角為450，在軸上的截距為，在軸上的截距為0； 在在x軸上的截距為軸上的截距為5，在，在y軸上的截距為軸上的截距為6； 在在x軸上截距是軸上截距是3，與，與y軸平行；軸平行； 在在y軸上的截距是軸上的截距是4，與，與x軸平行軸平行.三角形的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)是A(-5,0

14、),B(3,-3),C(0,2)A(-5,0),B(3,-3),C(0,2) 求這個三角形三邊所在的直線方程求這個三角形三邊所在的直線方程. .;1.;)()( ),(),(.;)( ),(.) (12112122211100000表示用經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以表示以用方程不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可表示都可以用方程的點(diǎn)的直線經(jīng)過任意兩個不同表示方程的直線都可以用經(jīng)過定點(diǎn)題是下列四個命題中的真命bkxyDbyaxCyyxxxxyyyxPyxPBxxkyyyxPAB3 一條直線經(jīng)過一條直線經(jīng)過A(1,2)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所 圍成的三角形面積是圍成的三角形面積是4，求這條直線的方

15、程。，求這條直線的方程。1byax通過上面的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，請同學(xué)們總結(jié)一通過上面的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，請同學(xué)們總結(jié)一下，確定一條直線需要幾個獨(dú)立的條件？下，確定一條直線需要幾個獨(dú)立的條件？方程名稱方程名稱已知條件已知條件直線方程直線方程適應(yīng)范適應(yīng)范圍圍兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式截距式截距式)121121xxxxyyyy2121,yyxxa 0且且b 0P(x1,y1)及及kk及及bP(x1,y1)及及P2(x2,y2)a及及ba 0且且b 0直線方程有幾種形式？指明它們的條件及應(yīng)用范圍直線方程有幾種形式？指明它們的條件及應(yīng)用范圍. .什么叫二元一次方程？直線與二元一次方程有什么關(guān)系什么叫二元一次方程？直線與二元一次方

16、程有什么關(guān)系? ?)(11xxkyy存在kbkxy存在k121121xxxxyyyy2121,yyxx1byaxP(x1,y1)及及kk及及bP(x1,y1)及及P2(x2,y2)a及及ba 0且且b 0)(11xxkyy存在kbkxy存在k121121xxxxyyyy2121,yyxx1byax探究探究2：在平面直角坐標(biāo)系中，任何直線的方程：在平面直角坐標(biāo)系中，任何直線的方程 都可以表示成都可以表示成Ax+By+C=0 (A、B不全不全 為為0)的形式嗎？的形式嗎？探究探究1：方程：方程Ax+By+C=0 (A、B不全為不全為0) 總表示直線嗎？總表示直線嗎？ 解：經(jīng)過點(diǎn)A（6，- 4）并且

17、斜率等于- 4/3 的直線方程的點(diǎn)斜 式是 y + 4 = -4/5 （x 6） 化成一般式，得 4x+3y 12=0已知直線經(jīng)過點(diǎn)已知直線經(jīng)過點(diǎn)A A（6 6，- 4- 4），斜率為），斜率為-4/3-4/3， 求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程. . 對于直線方程的一般式，一般作如下約定：對于直線方程的一般式，一般作如下約定：x x的的系數(shù)為正，系數(shù)為正，x,yx,y的系數(shù)及常數(shù)項一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按的系數(shù)及常數(shù)項一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按含含x x項，含項，含y y項、常數(shù)項順序排列項、常數(shù)項順序排列. .(1)當(dāng)當(dāng)B0時，斜率是多少時，斜率是多少?當(dāng)當(dāng)B0時呢時呢?(2

18、)系數(shù)取什么值時，方程表示通過原點(diǎn)的直線系數(shù)取什么值時，方程表示通過原點(diǎn)的直線?斜率是斜率是 1/2，經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A（8，-2）；）；經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)B（4，2），平行于），平行于X軸；軸；在在X軸和軸和Y軸上的截距分別是軸上的截距分別是3/2，- 3；經(jīng)過兩點(diǎn)經(jīng)過兩點(diǎn)P1（3，-2），），P2（5，-4）；）；解：將原方程移項，得2y = x+6， 兩邊除以2，得斜截式因此，直線L的斜率k=1/2，它在Y軸上的截距是3 ，令y=0，可得 x= -6即直線L在X軸上的截距是- 6xyo3-6把直線把直線l l 的方程的方程x 2y+6= 0 x 2y+6= 0化成斜截式，化成斜截式， 求出直線求出直線l l 的斜率和它在的斜率和它在X X軸與軸與Y Y軸上的截軸上的截 距，并畫圖距，并畫圖. .321xy設(shè)直線設(shè)直線L L的方程為的方程為 （m m2 2-2m-3-2m-3）x+x+（2m2m2 2+m-1+m-1）y=2m-6y=2m-6，根據(jù)下列，根據(jù)下列 條件確定條件確定m m的值：的值： （1 1） L L在在X X軸上的截距是軸上的截距是-3-3；（；（2 2）斜率是）斜率是-1.-1.解：（1）由題意得2)由題意得當(dāng)m=1時，2m2+m1= 0 ，m- 1m = 4/3332622mmm623322.mmm353mm或解得032,32mmm時而當(dāng)35