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文檔簡介
1、 3.1.43.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示示3.1.5 3.1.5 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示。,使,實(shí)數(shù)對共面的充要條件是存在與向量不共線,則向量如果兩個(gè)向量byaxpyx,p,baba共線向量定理共線向量定理:復(fù)習(xí):共面向量定理共面向量定理:0/aa b babb 對空間任意兩個(gè)向量 、 (),的充要條件是存在實(shí)數(shù) ,使 。有向量的一組基底。)叫做表示這一平面內(nèi)所、(。,使,一對實(shí)數(shù),有且只有任一向量那么對于這一平面內(nèi)的共線向量,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不,如果2122112121eeeeaaee平面向量基本定理:平面向量的正交分解及坐標(biāo)表
2、示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyoji(1,0),(0,1),0(0,0).ijaj yi xa問題:問題:p 我們知道,平面內(nèi)的任意一個(gè)向量我們知道,平面內(nèi)的任意一個(gè)向量 都可以都可以用兩個(gè)不共線的向量用兩個(gè)不共線的向量 來表示(平面向量基本定來表示(平面向量基本定理)。對于空間任意一個(gè)向量,有沒有類似的結(jié)論呢?理)。對于空間任意一個(gè)向量,有沒有類似的結(jié)論呢?, a b xyzOijkQPp .OPOQzk .OQxiy j.OPOQzkxiy jzk 由此可知,如果由此可知,如果 是空間兩是空間兩兩垂直的向量,那么,對空間任一兩垂直的向量,那么,對空間任一向量向量 ,存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組,
3、存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組 x,y,z使得使得 我們稱我們稱 為向量為向量 在在 上的分向量。上的分向量。, ,i j k p ,xi y j zk, ,i j k p kzj yi xp探究:探究:在空間中,如果用任意三個(gè)不共面向量在空間中,如果用任意三個(gè)不共面向量 代替兩兩垂直的向量代替兩兩垂直的向量 ,你能得出類似的,你能得出類似的 結(jié)論嗎?結(jié)論嗎?, ,i j k 任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底。任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底。空間向量基本定理:空間向量基本定理: 如果三個(gè)向量 不共面,那么對空間任一向量 ,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使, ,a b c p .
4、pxaybzc 都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c cba,(1)任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底。)任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底。特別提示:特別提示:對于基底對于基底a,b,c,除了應(yīng)知道除了應(yīng)知道a,b,c不共面,不共面, 還應(yīng)明確:還應(yīng)明確: (2) 由于可視由于可視 為與任意一個(gè)非零向量共線,與任為與任意一個(gè)非零向量共線,與任意兩個(gè)非零向量共面,所以三個(gè)向量不共面,就隱含著意兩個(gè)非零向量共面,所以三個(gè)向量不共面,就隱含著它們都不是它們都不是 。00(3)一個(gè)基底是指一個(gè)向量組,一個(gè)基向量是指基)一個(gè)基底是指一個(gè)向量組,一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量,二者
5、是相關(guān)連的不同概念。底中的某一個(gè)向量,二者是相關(guān)連的不同概念。推論:推論:設(shè)設(shè)O、A、B、C是不共線的四點(diǎn),則對空間任一是不共線的四點(diǎn),則對空間任一點(diǎn)點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使,使 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x+y+z=1時(shí),時(shí),P、A、B、C四點(diǎn)共面。四點(diǎn)共面。.OPxOAyOBzOC 一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系 單位正交基底:單位正交基底:如果空間的一個(gè)基底的如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直,且長都為三個(gè)基向量互相垂直,且長都為1,則這個(gè),則這個(gè)基底叫做基底叫做單位正交基底單位正交基底,常用常用e1 , e2 , e3 表示表示 空間直角坐標(biāo)系
6、:空間直角坐標(biāo)系:在空間選定一點(diǎn)在空間選定一點(diǎn)O和一和一個(gè)單位正交基底個(gè)單位正交基底 e1,e2,e3 ,以點(diǎn)以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別為原點(diǎn),分別以以e1,e2,e3的正方向建立三條數(shù)軸:的正方向建立三條數(shù)軸:x軸、軸、y軸、軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸軸,它們都叫做坐標(biāo)軸.這樣就建立了一個(gè)這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系O-xyz 點(diǎn)點(diǎn)O叫做原點(diǎn),向量叫做原點(diǎn),向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐標(biāo)向坐標(biāo)向量量.通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面。 給定一個(gè)空間坐標(biāo)系和向給定一個(gè)空間坐標(biāo)系和向量量 ,且設(shè)且設(shè)e1,e2,e3為坐標(biāo)向量,為坐標(biāo)向量,由空間向
7、量基本定理,存在唯由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組一的有序?qū)崝?shù)組(x,y, z)使使 p = xe1+ye2+ze3 有序數(shù)組有序數(shù)組( x, y, z)叫做叫做p在空間在空間直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo),中的坐標(biāo),記作記作.P=(x,y,z)二、空間向量的直角坐標(biāo)系二、空間向量的直角坐標(biāo)系xyzOe1e2e3pp 在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,對空間任一點(diǎn),中,對空間任一點(diǎn),A,對應(yīng)一個(gè)向量對應(yīng)一個(gè)向量OA,于是存在唯一的有序?qū)崝?shù),于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組組x,y,z,使,使 OA=xe1+ye2+ze3 在單位正交基底在單位正交基底e1, e2, e3中與
8、向量中與向量OA對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組組(x,y,z),叫做點(diǎn),叫做點(diǎn)A在此空間在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作A(x,y,z),其中,其中x叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)A的橫的橫坐標(biāo),坐標(biāo),y叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo),的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)的豎坐標(biāo).xyzOA(x,y,z)e1e2e3練習(xí):練習(xí):1、在空間坐標(biāo)系、在空間坐標(biāo)系o-xyz中,中, ( 分分別是與別是與x軸、軸、 y軸、軸、 z軸的正方向相同的單位向量軸的正方向相同的單位向量)則則 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 .2、點(diǎn)、點(diǎn)M(2,-3,-4)在坐標(biāo)平面)在坐標(biāo)平面xoy、xoz、yoz內(nèi)的正內(nèi)的正投影的坐標(biāo)分別為
9、投影的坐標(biāo)分別為 ,關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn),關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為為 , 22132eeeAB321eee、AB例題例題已知空間四邊形OABC,其對角線為OB,AC,M,N,分別是對邊OA,BC的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q是線段MN三等分點(diǎn),用基向量OA,OB,OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ1212(,),(,)aaabb b 設(shè)設(shè)則則;ab;ab;a;a b1122(,)ab ab1122(,)ab ab12(,)aa1 122a ba b;a a a2212aa/ /;abab()abR1122,()ab abR0a b1 1220a ba bcos,;a ba ba b1 12222221212a
10、ba baabb空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示又是怎樣的呢表示又是怎樣的呢 ? ?類比是我們探究規(guī)律的重要方法類比是我們探究規(guī)律的重要方法123123(,),(,)aa aabb b b設(shè)則;ab;ab;a; a b/ /;ab.ab空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示2222123|. aa aaaa2222123|. bb bbbb1.1.距離公式距離公式(1 1)向量的長度(模)公式)向量的長度(模)公式注意:此公式的幾何意義是表示長方體的對角線注意:此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度的長度. .探究探究 距離與夾角距離與夾角設(shè)設(shè) =(a=(a1 1,a,a2
11、2,a,a3 3),), =(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3).).baAB在空間直角坐標(biāo)系中,已知、在空間直角坐標(biāo)系中,已知、,則,則(2 2)空間兩點(diǎn)間的距離公式)空間兩點(diǎn)間的距離公式| ABAB AB),111zyxA(),222zyxB(2.2.兩個(gè)向量夾角公式兩個(gè)向量夾角公式提示:提示:(1 1)當(dāng))當(dāng) 時(shí),同向共線時(shí),同向共線. .(2 2)當(dāng))當(dāng) 時(shí),反向共線時(shí),反向共線. .(3 3)當(dāng))當(dāng) 時(shí),時(shí),. .cos,1 a bab與 cos,1 a bab與 cos,0 a bab思考:當(dāng)思考:當(dāng) 及及 時(shí),夾角在什么范圍內(nèi)?時(shí),夾角在什么范圍內(nèi)?0cos,1 a b
12、1cos,0 a b,22解答:分別在(0, )和().例題講解例題講解書本書本96頁頁 例例5,例,例61.1.基本知識:基本知識:(1 1)向量的長度公式與兩點(diǎn)間的距離公式)向量的長度公式與兩點(diǎn)間的距離公式. .(2 2)兩個(gè)向量的夾角公式)兩個(gè)向量的夾角公式. .2.2.思想方法:用向量計(jì)算或證明幾何問題時(shí),思想方法:用向量計(jì)算或證明幾何問題時(shí),可以先建立直角坐標(biāo)系,然后把向量、點(diǎn)坐標(biāo)化,可以先建立直角坐標(biāo)系,然后把向量、點(diǎn)坐標(biāo)化,借助向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算或證明借助向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算或證明. .課堂小結(jié):課堂小結(jié):平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示空間向量的坐標(biāo)表示空間向量的坐標(biāo)表示123123123123設(shè)設(shè)a =(a ,a ,a ),b
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