高數(shù)無窮級數(shù)復(fù)習(xí)（課堂PPT）

1、1常數(shù)項(xiàng)級數(shù)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開式泰勒展開式數(shù)或函數(shù)數(shù)或函數(shù)函函 數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)任任意意項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)0)(xRn為常數(shù)為常數(shù)nu)(xuunn為為函函數(shù)數(shù)0 xx 取取在收斂在收斂 級數(shù)與數(shù)級數(shù)與數(shù)條件下條件下 相互轉(zhuǎn)化相互轉(zhuǎn)化 1nnu一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容2 nnnuuuuu32111 1、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)、常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) ). . niinnuuuus121級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和定義定義級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散3性質(zhì)性

2、質(zhì)1 1: : 級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .性質(zhì)性質(zhì)2 2: :收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. .性質(zhì)性質(zhì)3 3: :在級數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂在級數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂散性散性.性質(zhì)性質(zhì)4 4: :收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和于原來的和. . 0lim nnu級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) ).

3、 .1 1、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)4常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法正正 項(xiàng)項(xiàng) 級級 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對收斂絕對收斂5.交錯(cuò)級數(shù)交錯(cuò)級數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂若若SSn;, 0,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) nun一般項(xiàng)級數(shù)一般項(xiàng)級數(shù)4.絕對收斂絕對收斂5定義定義0,1 nnnuu.有有界界部部分分和和所所成成的的數(shù)數(shù)列列正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)收收斂斂ns2 2、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法審斂法審斂法(1) (1) 比較審斂法比較審斂法若若 1nnu

4、收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) )且且)(nnnnvuuv , ,則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .6(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項(xiàng)級數(shù)都是正項(xiàng)級數(shù),如果如果lvunnn lim,則則(1) 當(dāng)當(dāng) l0時(shí)時(shí),二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; (2) 當(dāng)當(dāng)0 l時(shí)，若時(shí)，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當(dāng)當(dāng) l時(shí)時(shí), 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散;7設(shè)設(shè) 1nnu為正項(xiàng)級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù),如果如果0lim lnunn (或或 nnnulim),則級數(shù)則級數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散;如如

5、果果有有1 p, 使使得得npnun lim存存在在,則則級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂.( (3 3) ) 極極限限審審斂斂法法8( (4 4) ) 比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù),如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)收斂;1 時(shí)級數(shù)發(fā)散時(shí)級數(shù)發(fā)散; 1 時(shí)失效時(shí)失效.(5) (5) 根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )設(shè)設(shè) 1nnu是正項(xiàng)級數(shù)是正項(xiàng)級數(shù), ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或?yàn)閿?shù)或 , ,則則1 時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)收

6、收斂斂; ; 1 時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ;1 時(shí)時(shí)失失效效. .9定義定義 正正 、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù)、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù). . )1()1(111nnnnnnuu 或或萊萊布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交錯(cuò)錯(cuò)級級數(shù)數(shù)滿滿足足條條件件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, ,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂, ,且且其其和和1us , ,其其余余 項(xiàng)項(xiàng)nr的的絕絕對對值值1 nnur. .)0( nu其其中中3 3、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法10定義定義 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為

7、任意項(xiàng)級數(shù).定定理理 若若 1nnu收收斂斂,則則 1nnu收收斂斂.定定義義: :若若 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 0nnu為為絕絕對對收收斂斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .4 4、任意項(xiàng)級數(shù)及其審斂法、任意項(xiàng)級數(shù)及其審斂法115 5、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1) (1) 定義定義設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在RI 上上的的函函數(shù)數(shù), ,則則 )()()()(211xuxuxuxunnn稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間I上上的的( (函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)) )無無窮窮級級數(shù)數(shù). .(2) (2

8、) 收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域如如果果Ix 0,數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù) 10)(nnxu收收斂斂,12則稱則稱0 x為級數(shù)為級數(shù))(1xunn 的的收斂點(diǎn)收斂點(diǎn), ,否則稱為否則稱為發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn). .所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù))(1xunn 的的所所有有收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, ,(3) (3) 和函數(shù)和函數(shù)在收斂域上在收斂域上, ,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x的函數(shù)的函數(shù))(xs, ,稱稱)(xs為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù). .13(1) (1) 定義定義形形如如nnnxxa)(00 的的級級數(shù)數(shù)稱稱為

9、為冪冪級級數(shù)數(shù).,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x其其中中na為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).6 6、冪級數(shù)、冪級數(shù)nnnxa 014如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(00 xxx處處收收斂斂, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處絕絕對對收收斂斂; ;2 2、冪級數(shù)、冪級數(shù)(1) (1) 收斂性收斂性15如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂, ,也也不不是是在

10、在整整個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個(gè)個(gè)完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí), ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí),冪冪級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時(shí)時(shí), ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .推論推論16定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.定定理理 2 2 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1)

11、 則則當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), 1R;(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), R;17a.a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): : 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (2)(2)冪級數(shù)的運(yùn)算冪級數(shù)的運(yùn)算18b.b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): : 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),在端點(diǎn)收斂在端點(diǎn)收斂,則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù)則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù). 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)

12、的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對且對),(RRx 可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次.193 3、冪級數(shù)展開式、冪級數(shù)展開式 如果如果)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo),則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù).nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù).(1) 定義定義20定理定理 )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的泰勒級數(shù)的泰

13、勒級數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. .(2) 充要條件充要條件(3) 唯一性唯一性定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)能能展開成展開成)(0 xx 的冪級數(shù)的冪級數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開式是唯一的且展開式是唯一的. .21(3) 展開方法展開方法a.a.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討討論論).(x

14、f斂斂于于則則級級數(shù)數(shù)在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)收收b.b.間接法間接法 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積逐項(xiàng)積分分等方法等方法,求展開式求展開式.22),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(4) 常見函數(shù)展開式常見函數(shù)展開式23)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132

15、)1(31211 , 1( x24(5) 應(yīng)用應(yīng)用a.a.近似計(jì)算近似計(jì)算b.b.歐拉公式歐拉公式,sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit 25二、例題二、例題;)()(:1111nnnnnnn判斷級數(shù)斂散性判斷級數(shù)斂散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 e11nnnlim又又, 01lim nnu根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散26;23cos)2(12 nnnn解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvv

16、nnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收收斂斂 nnn根據(jù)比較判別法，根據(jù)比較判別法，原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂27 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時(shí)時(shí),)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0a原級數(shù)收斂；原級數(shù)收斂；,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)10 a原級數(shù)發(fā)散；原級數(shù)發(fā)散；,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a,)11()2ln(1 nnnn原級數(shù)為原級數(shù)為,)11()2ln(lim nnnn原級數(shù)也發(fā)散原級數(shù)也發(fā)散

17、28斂？斂？是條件收斂還是絕對收是條件收斂還是絕對收斂？如果收斂，斂？如果收斂，是否收是否收判斷級數(shù)判斷級數(shù) 1ln)1(nnnn例例解解,1ln1nnn ,11發(fā)發(fā)散散而而 nn,ln1ln)1(11發(fā)發(fā)散散 nnnnnnn即原級數(shù)非絕對收斂即原級數(shù)非絕對收斂29,ln)1(1級數(shù)級數(shù)是交錯(cuò)是交錯(cuò) nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：nnnnnnnln11limln1lim ),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf, 0ln11lim1 nnnn,), 1(上上單單增增在在 ,ln1單單減減即即xx ,1ln1時(shí)時(shí)單單減減當(dāng)當(dāng)故故 nnn知此交錯(cuò)級數(shù)收斂，知此交錯(cuò)級數(shù)收斂

18、，故原級數(shù)是條件收斂故原級數(shù)是條件收斂30.)1)(1(0斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)收收求求級級數(shù)數(shù) nnxn例例解解, 1)1)(1(0 Rxnnn斂斂半半徑徑為為的的收收, 111 x收收斂斂域域?yàn)闉? 20 x即即則則有有設(shè)設(shè)此此級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)為為),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs兩邊逐項(xiàng)積分兩邊逐項(xiàng)積分31 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得兩邊再對兩邊再對 x)21()( xxxs.)2(12x 32.1lnarctan)(2克勞林級數(shù)克勞林級數(shù)展開成麥展開成麥將將xxx

19、xf 例例4 4解解,32)1ln(32 xxxx,)1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(133 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x34的冪級數(shù)的冪級數(shù)成成的和函數(shù)展開的和函數(shù)展開將級數(shù)將級數(shù))1()!12(2)1(12111 xnxnnnn例例5 5解解設(shè)設(shè)法法用用已已知知展展開開式

20、式來來解解的的展展開開式式，是是分分析析xnxnnnsin)!12()1(1121 112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x3521sin21cos221cos21sin2 xx 01202)21()!12()1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn 01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(2)1(21sin2nnnnnnnnxnxn),( 36一一、 選選擇擇題題: :1 1、下下列列級級數(shù)數(shù)中中, ,收收斂斂的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11nn；

21、( (B B) ) 11nnn； ( (C C) ) 1321nn； ( (D D) ) 1)1(nn. .2 2、下下列列級級數(shù)數(shù)中中, ,收收斂斂的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11)45( nn； ( (B B) )11)54( nn； ( (C C) )111)45()1( nnn； ( (D D) ) 11)5445(nn. .測測 驗(yàn)驗(yàn) 題題375 5、設(shè)、設(shè)a為非零常數(shù)為非零常數(shù), ,則當(dāng)則當(dāng)( )( )時(shí)時(shí), ,級數(shù)級數(shù) 1nnra收斂收斂 . . (A) (A)1 r； (B) (B)1 r； (C) (C)ar ； (D) (D)1 r. .6 6、冪級數(shù)

22、、冪級數(shù) 11)1()1(nnnnx的收斂區(qū)間是的收斂區(qū)間是( ).( ). (A) (A) )2 , 0(； (B) (B) )2 , 0； (C) (C) 2 , 0(； (D) (D) 2 , 0. .383 3、下列級數(shù)中、下列級數(shù)中, ,收斂的是收斂的是( )( ) (A) (A) 1222) !(nnn； (B) (B) 1!3nnnnn； (C) (C) 22sin1nnn； (D) (D) 1)2(1nnnn. .4 4、部分和數(shù)列、部分和數(shù)列 ns有界是正項(xiàng)級數(shù)有界是正項(xiàng)級數(shù) 1nnu收斂的收斂的 ( ( ) ) (A)(A)充分條件；充分條件； (B) (B)必要條件；必要

23、條件； (C)(C)充要條件；充要條件； (D) (D)既非充分又非必要條件既非充分又非必要條件 . .397 7、若冪級、若冪級 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為:1R 10R; ; 0nnnxb的收斂半徑為的收斂半徑為:2R 20R, ,則冪級數(shù)則冪級數(shù) 0)(nnnnxba的收斂半徑至少為的收斂半徑至少為( )( ) (A)(A)21RR ； (B) (B)21RR ； (C)(C) 21,maxRR； (D) (D) 21,minRR . .8 8、當(dāng)、當(dāng)0 k時(shí)時(shí), ,級數(shù)級數(shù)21)1(nnknn 是是( )( ) (A) (A)條件收斂；條件收斂； (B) (B)絕對收斂；絕對收斂； (C) (C)發(fā)散；發(fā)散； (D) (D)斂散性與斂散性與值無關(guān)值無關(guān)k. .409 9、0lim nnu是是級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂的的( ( ) ) ( (A A) )充充分分條條件件； ( (B B) )必