2015北京市海淀區(qū)高二上期末數(shù)學(xué)試卷理科解析版

1、2015-2016學(xué)年北京市海淀區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知圓（x+1）2+y2=2，則其圓心和半徑分別為（）A（1，0），2B（1，0），2CD2拋物線x2=4y的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）AB1C2D43雙曲線4x2y2=1的一條漸近線的方程為（）A2x+y=0B2x+y=1Cx+2y=0Dx+2y=14在空間中，“直線a，b沒有公共點”是“直線a，b互為異面直線”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件5已知A，B為圓x2+y2=2ax上的兩

2、點，若A，B關(guān)于直線y=2x+1對稱，則實數(shù)a=（）AB0CD16已知直線l的方程為xmy+2=0，則直線l（）A恒過點（2，0）且不垂直x軸B恒過點（2，0）且不垂直y軸C恒過點（2，0）且不垂直x軸D恒過點（2，0）且不垂直y軸7已知直線x+ay1=0和直線ax+4y+2=0互相平行，則a的取值是（）A2B±2C2D08已知兩直線a，b和兩平面，下列命題中正確的為（）A若ab且b，則aB若ab且b，則aC若a且b，則abD若a且，則a9已知點A（5，0），過拋物線y2=4x上一點P的直線與直線x=1垂直且交于點B，若|PB|=|PA|，則cosAPB=（）A0BCD10如圖，在邊

3、長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在底面ABCD上移動，且滿足B1PD1E，則線段B1P的長度的最大值為（）AB2CD3二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.11已知命題p：“xR，x20”，則p：12橢圓x2+9y2=9的長軸長為13若曲線C：mx2+（2m）y2=1是焦點在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍為14如圖，在四棱錐PABCD中，底面四邊形ABCD的兩組對邊均不平行在平面PAB內(nèi)不存在直線與DC平行；在平面PAB內(nèi)存在無數(shù)多條直線與平面PDC平行；平面PAB與平面PDC的交線與底面ABCD不平行；上述命題中正確命題的序號為

4、15已知向量，則與平面BCD所成角的正弦值為16若某三棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的體積為，表面積為三、解答題：本大題共3小題，共36分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17已知ABC的三個頂點坐標(biāo)為A（0，0），B（8，4），C（2，4）（1）求證：ABC是直角三角形；（2）若ABC的外接圓截直線4x+3y+m=0所得弦的弦長為6，求m的值18如圖所示的幾何體中，2CC1=3AA1=6，CC1平面ABCD，且AA1平面ABCD，正方形ABCD的邊長為2，E為棱A1D中點，平面ABE分別與棱C1D，C1C交于點F，G（）求證：AE平面BCC1；（）求證：A1D平面ABE；（）求二面角

5、DEFB的大小，并求CG的長19已知橢圓G：的離心率為，經(jīng)過左焦點F1（1，0）的直線l與橢圓G相交于A，B兩點，與y軸相交于C點，且點C在線段AB上（）求橢圓G的方程；（）若|AF1|=|CB|，求直線l的方程2015-2016學(xué)年北京市海淀區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知圓（x+1）2+y2=2，則其圓心和半徑分別為（）A（1，0），2B（1，0），2CD【考點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)求解【解答】解：圓（x+1）2+y2=2的圓心為（1，0），

6、半徑為故選：D2拋物線x2=4y的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）AB1C2D4【考點】拋物線的簡單性質(zhì)【分析】直接利用拋物線方程求解即可【解答】解：拋物線x2=4y的焦點到準(zhǔn)線的距離為：P=2故選：C3雙曲線4x2y2=1的一條漸近線的方程為（）A2x+y=0B2x+y=1Cx+2y=0Dx+2y=1【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a，b，由雙曲線的漸近線方程y=±x，即可得到所求結(jié)論【解答】解：雙曲線4x2y2=1即為y2=1，可得a=，b=1，由雙曲線的漸近線方程y=±x，可得所求漸近線方程為y=±2x故選：A4在空間中，“直線a，b沒

7、有公共點”是“直線a，b互為異面直線”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【分析】利用空間中兩直線的位置關(guān)系直接求解【解答】解：“直線a，b沒有公共點”“直線a，b互為異面直線或直線a，b為平行線”，“直線a，b互為異面直線”“直線a，b沒有公共點”，“直線a，b沒有公共點”是“直線a，b互為異面直線”的必要不充分條件故選：B5已知A，B為圓x2+y2=2ax上的兩點，若A，B關(guān)于直線y=2x+1對稱，則實數(shù)a=（）AB0CD1【考點】直線與圓的位置關(guān)系【分析】根據(jù)題意，圓心C（a，0）在直線y=2x+1上，C的坐

8、標(biāo)并代入直線2x+y+a=0，再解關(guān)于a的方程，即可得到實數(shù)a的值【解答】解：A，B為圓x2+y2=2ax上的兩點，A，B關(guān)于直線y=2x+1對稱，圓心C（a，0）在直線y=2x+1上，2a+1=0，解之得a=故選：A6已知直線l的方程為xmy+2=0，則直線l（）A恒過點（2，0）且不垂直x軸B恒過點（2，0）且不垂直y軸C恒過點（2，0）且不垂直x軸D恒過點（2，0）且不垂直y軸【考點】直線的一般式方程【分析】由直線l的方程為xmy+2=0，令y=0，解得x即可得出定點，再利用斜率即可判斷出與y軸位置關(guān)系【解答】解：由直線l的方程為xmy+2=0，令y=0，解得x=2于是化為：y=x1，恒

9、過點（2，0）且不垂直y軸，故選：B7已知直線x+ay1=0和直線ax+4y+2=0互相平行，則a的取值是（）A2B±2C2D0【考點】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系【分析】由直線的平行關(guān)系可得1×4aa=0，解得a值排除重合可得【解答】解：直線x+ay1=0和直線ax+4y+2=0互相平行，1×4aa=0，解得a=2或a=2，經(jīng)驗證當(dāng)a=2時兩直線重合，應(yīng)舍去故選：A8已知兩直線a，b和兩平面，下列命題中正確的為（）A若ab且b，則aB若ab且b，則aC若a且b，則abD若a且，則a【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【分析】利用空間線面平行、線面垂直以及面

10、面垂直的性質(zhì)定理和判定定理對選項分別分析選擇【解答】解：對于A，若ab且b，則a與位置關(guān)系不確定；故A錯誤；對于B，若ab且b，則a與位置關(guān)系不確定；可能平行、可能在平面內(nèi)，也可能相交；故B 錯誤；對于C，若a且b，根據(jù)線面垂直和線面平行的性質(zhì)定理，可以得到ab；故C正確；對于D，若a且，則a或者a在平面內(nèi)，故D錯誤；故選：C9已知點A（5，0），過拋物線y2=4x上一點P的直線與直線x=1垂直且交于點B，若|PB|=|PA|，則cosAPB=（）A0BCD【考點】拋物線的簡單性質(zhì)【分析】求出P的坐標(biāo)，設(shè)P在x軸上的射影為C，則tanAPC=，可得APB=120°，即可求出cosAP

11、B【解答】解：由題意，|PB|=|PF|=PA|，P的橫坐標(biāo)為3，不妨取點P（3，2），設(shè)P在x軸上的射影為C，則tanAPC=，APC=30°，APB=120°，cosAPB=故選：C10如圖，在邊長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在底面ABCD上移動，且滿足B1PD1E，則線段B1P的長度的最大值為（）AB2CD3【考點】點、線、面間的距離計算【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段B1P的長度的最大值【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

12、P（a，b，0），則D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），=（a2，b2，2），=（1，2，2），B1PD1E，=a2+2（b2）+4=0，a+2b2=0，點P的軌跡是一條線段，當(dāng)a=0時，b=1；當(dāng)b=0時，a=2，設(shè)CD中點F，則點P在線段AF上，當(dāng)A與P重合時，線段B1P的長度為：|AB1|=2；當(dāng)P與F重合時，P（0，1，0），=（2，1，2），線段B1P的長度|=3，當(dāng)P在線段AF的中點時，P（1，0），=（1，2），線段B1P的長度|=線段B1P的長度的最大值為3故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.11已知命題p：“x

13、R，x20”，則p：xR，x20【考點】命題的否定【分析】直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可【解答】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題p：“xR，x20”，則p：xR，x20故答案為：xR，x2012橢圓x2+9y2=9的長軸長為6【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【分析】將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a=3，即可得到長軸長2a【解答】解：橢圓x2+9y2=9即為+y2=1，即有a=3，b=1，則長軸長為2a=6故答案為：613若曲線C：mx2+（2m）y2=1是焦點在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍為（2，+）【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得m0且m20，

14、解不等式即可得到所求范圍【解答】解：曲線C：mx2+（2m）y2=1是焦點在x軸上的雙曲線，可得=1，即有m0，且m20，解得m2故答案為：（2，+）14如圖，在四棱錐PABCD中，底面四邊形ABCD的兩組對邊均不平行在平面PAB內(nèi)不存在直線與DC平行；在平面PAB內(nèi)存在無數(shù)多條直線與平面PDC平行；平面PAB與平面PDC的交線與底面ABCD不平行；上述命題中正確命題的序號為【考點】棱錐的結(jié)構(gòu)特征【分析】用反證法利用線面平行的性質(zhì)即可證明設(shè)平面PAB平面PDC=l，則l平面PAB，且在平面PAB中有無數(shù)無數(shù)多條直線與l平行，即可判斷；用反證法利用線面平行的性質(zhì)即可證明【解答】解：用反證法設(shè)在平

15、面PAB內(nèi)存在直線與DC平行，則CD平面PAB，又平面ABCD平面PAB=AB，平面ABCD平面PCD=CD，故CDAB，與已知矛盾，故原命題正確；設(shè)平面PAB平面PDC=l，則l平面PAB，且在平面PAB中有無數(shù)無數(shù)多條直線與l平行，故在平面PAB內(nèi)存在無數(shù)多條直線與平面PDC平行，命題正確；用反證法設(shè)平面PAB與平面PDC的交線l與底面ABCD平行，則lAB，lCD，可得：ABCD，與已知矛盾，故原命題正確故答案為：15已知向量，則與平面BCD所成角的正弦值為【考點】直線與平面所成的角【分析】求出平面BCD的法向量，利用向量法能求出與平面BCD所成角的正弦值【解答】解：向量，=（1，2，0

16、），=（1，0，3），設(shè)平面BCD的法向量為=（x，y，z），則，取x=6，得=（6，3，2），設(shè)與平面BCD所成角為，則sin=與平面BCD所成角的正弦值為故答案為：16若某三棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的體積為，表面積為3【考點】由三視圖求面積、體積【分析】幾何體為三棱錐，棱錐底面為等腰三角形，底邊為2，底邊的高為1，棱錐的高為棱錐頂點在底面的射影為底面等腰三角形的頂點【解答】解：由三視圖可知幾何體為三棱錐，棱錐頂點在底面的射影為底面等腰三角形的頂點，棱錐底面等腰三角形的底邊為2，底邊的高為1，底面三角形的腰為，棱錐的高為V=，S=+××2+=3故答案為，三、解答題：

17、本大題共3小題，共36分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17已知ABC的三個頂點坐標(biāo)為A（0，0），B（8，4），C（2，4）（1）求證：ABC是直角三角形；（2）若ABC的外接圓截直線4x+3y+m=0所得弦的弦長為6，求m的值【考點】直線與圓的位置關(guān)系；直線的斜率；圓的一般方程【分析】（1）證明=16+16=0，可得，即可證明ABC是直角三角形；（2）求出ABC的外接圓的方程，利用ABC的外接圓截直線4x+3y+m=0所得弦的弦長為6，可得圓心到直線的距離d=4，即可求m的值【解答】（1）證明：A（0，0），B（8，4），C（2，4），=（8，4），=（2，4），=16+16=0

18、，ABC是直角三角形；（2）解：ABC的外接圓是以BC為直徑的圓，方程為（x3）2+（y4）2=25，ABC的外接圓截直線4x+3y+m=0所得弦的弦長為6，圓心到直線的距離d=4=，m=4或4418如圖所示的幾何體中，2CC1=3AA1=6，CC1平面ABCD，且AA1平面ABCD，正方形ABCD的邊長為2，E為棱A1D中點，平面ABE分別與棱C1D，C1C交于點F，G（）求證：AE平面BCC1；（）求證：A1D平面ABE；（）求二面角DEFB的大小，并求CG的長【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定【分析】（）推導(dǎo)出CC1AA1，ADBC，從而平面AA1D

19、平面CC1B，由此能證明AE平面CC1B（）法1：推導(dǎo)出AA1AB，AA1AD，ABAD，以AB，AD，AA1分別x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明A1D平面ABE法2：推導(dǎo)出AA1AB，ABAD，從而ABA1D，再由AEA1D，能證明A1D平面ABE（）推導(dǎo)出平面EFD平面ABE，從而二面角DEFB為90°，設(shè)，且0，1，則G（2，2，3），再由A1DBG，能求出CG的長【解答】證明：（）因為CC1平面ABCD，且AA1平面ABCD，所以CC1AA1，因為ABCD是正方形，所以ADBC，因為AA1AD=A，CC1BC=C，所以平面AA1D平面CC1B因為AE平面AA1D，所以AE平面CC1B（）法1：因為AA1平面ABCD，所以AA1AB，AA1AD，因為ABCD是正方形，所以ABAD，以AB，AD，AA1分別x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），因為，所以，所以A1D平面ABE法2：因為AA