2015人教A版本（文）（5.3 平面向量的數(shù)量積）一輪復(fù)習(xí)題

1、§5.3平面向量的數(shù)量積1平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b|a|b|cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_0_.兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是a·b0，兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是a·b±|a|b|.2平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積3平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1)e·aa·e|a|cos ；(2)非零向量a，b，aba·b0；(3)當(dāng)a與b

2、同向時(shí)，a·b|a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b|a|b|，a·aa2，|a|；(4)cos ；(5)|a·b|_|a|b|.4平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)a·bb·a(交換律)；(2)(a)·b(a·b)a·(b)(為實(shí)數(shù))；(3)(ab)·ca·cb·c.5平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，則|a|2x2y2或|a|.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

3、A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|.(3)設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.1判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量()(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量()(3)ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，滿足0，且··，則ABC一定是等腰三角形()(4)在四邊形ABCD中，且·0，則四邊形ABCD為矩形(×)(5)兩個(gè)向量的夾角的范圍是0，(×)(6)已知a(，2)，b(3，2)，如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍

4、是<或>0.(×)2(2012·陜西)設(shè)向量a(1，cos )與b(1,2cos )垂直，則cos 2等于()A. B. C0 D1答案C解析利用向量垂直及倍角公式求解a(1，cos )，b(1,2cos )ab，a·b12cos20，cos2，cos 22cos21110.3已知向量a，b的夾角為60°，且|a|2，|b|1，則向量a與向量a2b的夾角等于()A150° B90° C60° D30°答案D解析|a2b|2444a·b88cos 60°12，|a2b|2，a·

5、;(a2b)|a|·|a2b|·cos 2×2cos 4cos ，又a·(a2b)a22a·b44cos 60°6，4cos 6，cos ，0°，180°，30°，故選D.4在ABC中，1，2，則AB邊的長度為()A1 B3 C5 D9答案B解析表示在方向上的單位向量設(shè)ABC各邊分別為a，b，c，則b·cos A1，同理，a·cos B2.由余弦定理可得解方程組得c3或0(舍)故選B.5已知a(2,3)，b(4,7)，則a在b方向上的投影為_答案解析設(shè)a和b的夾角為，|a|cos |a

6、|.題型一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例1(1)在RtABC中，C90°，AC4，則·等于()A16 B8 C8 D16(2)(2012·北京)已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為_；·的最大值為_思維啟迪(1)C90°，可選取向量，為基底表示向量或者利用數(shù)量積的幾何意義；(2)建立坐標(biāo)系求向量的坐標(biāo)，也可利用數(shù)量積的幾何意義答案(1)D(2)11解析(1)方法一·()·()·216.方法二在方向上的投影是AC，·|216.(2)方法一以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平

7、面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè)E(t,0)，t0,1，則(t，1)，(0，1)，所以·(t，1)·(0， 1)1.因?yàn)?1,0)，所以·(t，1)·(1,0)t1，故·的最大值為1.方法二由圖知，無論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是CB1，·|·11，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大即為DC1，(·)max|·11.思維升華求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義本題從不同角度創(chuàng)造性地解題，充分利用了已知條件已知點(diǎn)A

8、，B，C滿足|3，|4，|5，則···的值是_答案25解析方法一如右圖，根據(jù)題意可得ABC為直角三角形，且B，cos A，cos C，·····4×5cos(C)5×3cos(A)20cos C15cos A20×15×25.方法二易知0，將其兩邊平方可得2222(···)0，故···(222)25.題型二求向量的夾角與向量的模例2(1)(2012·課標(biāo)全國)已知向量a，b夾角為45°，且|a|1

9、，|2ab|，則|b|_.(2)(2013·山東)已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若A，且，則實(shí)數(shù)的值為_思維啟迪利用數(shù)量積的定義a·b|a|·|b|cos .答案(1)3(2)解析(1)利用平面向量的數(shù)量積概念、模的概念求解a，b的夾角為45°，|a|1，a·b|a|·|b|cos 45°|b|，|2ab|244×|b|b|210，|b|3.(2)由知·0，即·()·()(1)·A22(1)×3×2××940，解得

10、.思維升華(1)在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a|要引起足夠重視，它是求距離常用的公式(2)要注意向量運(yùn)算律與實(shí)數(shù)運(yùn)算律的區(qū)別和聯(lián)系在向量的運(yùn)算中，靈活運(yùn)用運(yùn)算律，達(dá)到簡化運(yùn)算的目的(1)已知向量a、b滿足|a|1，|b|4，且a·b2，則a與b的夾角為()A. B. C. D.(2)已知向量a(1，)，b(1,0)，則|a2b|等于()A1 B. C2 D4答案(1)C(2)C解析(1)cosa，b，a，b.(2)|a2b|2a24a·b4b244×144，|a2b|2.題型三數(shù)量積的綜合應(yīng)用例3已知ABC的角A、B、C所對

11、的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求證：ABC為等腰三角形；(2)若mp，邊長c2，角C，求ABC的面積思維啟迪(1)由mn可得ABC的邊角關(guān)系，再利用正弦定理邊角互化即可證得結(jié)論；(2)由mp得a、b關(guān)系，再利用余弦定理得ab，代入面積公式(1)證明mn，asin Absin B，即a·b·，其中R是三角形ABC外接圓半徑，ab.ABC為等腰三角形(2)解由題意可知m·p0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去a

12、b1)，Sabsin C×4×sin .思維升華以向量為載體考查三角形問題時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理、面積公式的應(yīng)用、邊與角之間的互化是判斷三角形形狀的常用方法(2013·江蘇)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值(1)證明由|ab|，即(cos cos )2(sin sin )22，整理得cos cos sin sin 0，即a·b0，因此ab.(2)解由已知條件，又0<<<，cos cos cos()，則，si

13、n sin()1，sin ，或，當(dāng)時(shí)，(舍去)當(dāng)時(shí)，.三審圖形抓特點(diǎn)典例：(5分) 如圖所示，把兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若xy，則x_，y_.圖形有一副三角板構(gòu)成(注意一副三角板的特點(diǎn))令|AB|1，|AC|1(一副三角板的兩斜邊等長)|DE|BC|(非等腰三角板的特點(diǎn))|BD|DE|sin 60°×(注意ABD45°90°135°)在上的投影即為xx|AB|BD|cos 45°1×1在上的投影即為yy|BD|·sin 45°×.解析方法一結(jié)合圖形特點(diǎn)，設(shè)向量，為單位向量，由xy知，

14、x，y分別為在，上的投影又|BC|DE|，|·sin 60°.在上的投影x1cos 45°1×1，在上的投影ysin 45°.方法二xy，又，xy，(x1)y.又，·(x1)2.設(shè)|1，則由題意|.又BED60°，|.顯然與的夾角為45°.由·(x1)2，得×1×cos 45°(x1)×12.x1.同理，在(x1)y兩邊取數(shù)量積可得y.答案1溫馨提醒突破本題的關(guān)鍵是，要抓住圖形的特點(diǎn)(圖形由一副三角板構(gòu)成)根據(jù)圖形的特點(diǎn)，利用向量分解的幾何意義，求解方便快捷方法二是

15、原試題所給答案，較方法一略顯繁雜.方法與技巧1計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算3利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧失誤與防范1(1)0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：0a00，a(a)00，a·000；(2)0的方向是任意的，并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系2a·b0不能推出a0或b0，因?yàn)閍·b0時(shí)，有可能ab.3a·ba·c(a0)不能推

16、出bc，即消去律不成立A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1已知向量a(1,2)，b(x，4)，若ab，則a·b等于()A10 B6 C0 D6答案A解析由ab得2x4，x2，故a·b(1,2)·(2，4)10.2(2012·重慶)設(shè)x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab |等于()A. B. C2 D10答案B解析a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，由ac得a·c0，即2x40，x2.由bc，得1×(4)2y0，y2.a(2,1)，b(1，2)ab(3，1)，|ab|.3已知向量a(1,2)，b(

17、2，3)若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c等于()A. B.C. D.答案D解析設(shè)c(x，y)，則ca(x1，y2)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)·(3，1)3xy0.聯(lián)立解得x，y.4向量與向量a(3,4)的夾角為，|10，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A(7,8) B(9，4) C(5,10) D(7，6)答案D解析與a(3,4)反向，可設(shè)(3，4)，>0.又|10，2，(6，8)，又A(1,2)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(7，6)5(2012·天津)在ABC中，A90°，AB1，AC2.設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，(1)，R

18、.若·2，則等于()A. B. C. D2答案B解析(1)，·(1)224(1)342，即.二、填空題6(2012·安徽)設(shè)向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，則|a|_.答案解析利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)·b(3,3m)·(m1,1)6m30，m.a(1，1)，|a|.7(2013·課標(biāo)全國)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則·_.答案2解析由題意知：·()·()()·()2·2402

19、2.8已知a(2，1)，b(，3)，若a與b的夾角為鈍角，則的取值范圍是_答案(，6)解析由a·b<0，即23<0，解得<，由ab得：6，即6.因此<，且6.三、解答題9已知向量a(4,5cos )，b(3，4tan )，(0，)，ab，求：(1)|ab|；(2)cos()的值解(1)因?yàn)閍b，所以a·b4×35cos ×(4tan )0，解得sin .又因?yàn)?0，)，所以cos ，tan ，所以ab(7,1)，因此|ab|5.(2)cos()cos cos sin sin ××.10已知ABC的內(nèi)角為A、B、

20、C，其對邊分別為a、b、c，B為銳角，向量m(2sin B，)，n(cos 2B,2cos21)，且mn.(1)求角B的大??；(2)如果b2，求SABC的最大值解(1)mn2sin B·(2cos21)cos 2B0sin 2Bcos 2B02sin(2B)0(B為銳角)2BB.(2)cos Baca2c242ac4ac4.SABCa·c·sin B×4×.B組專項(xiàng)能力提升1ABC的外接圓圓心為O，半徑為2，0，且|，則在方向上的投影為()A1 B2 C. D3答案C解析如圖，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，由0，得2，A、O、D共線且|2|，又O為ABC的

21、外心，AO為BC的中垂線，|2，|1，|，在方向上的投影為.2(2013·湖南)已知a，b是單位向量，a·b0，若向量c滿足|cab|1，則|c|的取值范圍是()A1，1 B1，2C1，1 D1，2答案A解析a·b0，且a，b是單位向量，|a|b|1.又|cab|2c22c·(ab)2a·ba2b21，2c·(ab)c21.|a|b|1且a·b0，|ab|，c212|c|cos (是c與ab的夾角)又1cos 1，0<c212|c|，c22|c|10，1|c|1.3.如圖所示，在平面四邊形ABCD中，若AC3，BD2，則()