20182019數(shù)學(xué)北師大版選修21練習(xí)5 夾角的計(jì)算 2

1、A.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，則l與所成的角為()A30°B45°C135° D150°解析：選B.因?yàn)閏osm，n，所以m，n135°，故l與所成的角為45°.2設(shè)ABCD，ABEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，F(xiàn)A平面ABCD，則異面直線AC與BF所成的角等于()A45° B30°C90° D60°解析：選D.設(shè)a，b，c，|a|b|c|1.ab，bc.·(ab)·(cb)b2|cos，所以cos，故AC與BF所成的角為60&#

2、176;.3正四棱錐S­ABCD中，SAAB2，則直線AC與平面SBC所成角的正弦值為()A. B.C. D.解析：選C.設(shè)平面ABCD的中心為O，以，為x，y，z軸正向建立坐標(biāo)系，A(，0，0)，C(，0，0)，S(0，0，)，B(0，0)，(0，)，(，0)，(2，0，0)，設(shè)n(x，y，z)為平面SBC的法向量，由n，n得yzx，可取n(1，1，1)，cos，n.故AC與平面SBC所成角的正弦值為|cos，n|.4已知正三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：選A.取AC中點(diǎn)為D，連接

3、BD，得為平面ACC1A1的法向量，設(shè)a，b，c，則ac，ab，cos，故AB1與平面ACC1A1所成角的正弦值為|cos，|.5已知三條射線PA，PB，PC的兩兩夾角都是60°，則二面角A­PB­C的余弦值為()A. B.C. D.解析：選A.在PA、PB、PC上取點(diǎn)D、E、F使得PDPEPF，可知三棱錐D­PEF為正四面體，取PE中點(diǎn)H，連接DH，F(xiàn)H，得DHF為二面角A­PB­C的平面角，設(shè)a，b，c，則bc，ba，cos，.6在空間中，已知二面角­l­的大小為，n1，n2分別是平面，的法向量，則n1，n2的

4、大小為_(kāi)解析：因二面角­l­的大小是它們兩個(gè)半平面的法向量夾角或夾角的補(bǔ)角當(dāng)二面角­l­的大小為時(shí)，則n1，n2的大小為或.答案：或7如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M，N分別是C1D1，CC1的中點(diǎn)，則直線B1N與平面BDM所成角的正弦值為_(kāi)解析：建立如圖坐標(biāo)系，D(0，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，M(0，1，2)，N(0，2，1)，(2，2，0)，(0，1，2)，(2，0，1)，設(shè)n(x，y，z)為平面BDM的法向量，由n·0，n·0，得yx2z，可令n(2，2，1)，cosn，故B

5、1N與平面BDM所成角的正弦值為|cosn，|.答案：8.已知三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為_(kāi)解析：法一：()2·AA1，得AA1.易得APA1是PA與平面ABC所成角，A1P××1，tanAPA1，故APA1.法二：令a，b，c，則|a|b|c|，(ab)，abc，|1，|2，cos，故PA與平面ABC所成角的大小為.答案：9.在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1A底面ABC，ACB90°，AA1ACBC2，D為AB中點(diǎn)(1)求

6、證：BC1平面A1CD；(2)求直線AA1與平面A1CD所成角的正弦值解：(1)證明：連接AC1交A1C于O點(diǎn)，則DO為ABC1的中位線，故DOBC1，又DO平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)以CA，CB，CC1所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(1，1，0)，設(shè)平面A1DC的法向量為n(x，y，z)，由得令x1得n(1，1，1)設(shè)直線AA1與平面A1CD所成角為，則sin |cos，n|.10如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AF平面ABCD，CE平面ABCD.(1)證明：BDEF；(2)若AF1，且

7、二面角B­EF­C的大小為30°，求CE的長(zhǎng)解：(1)證明：連接AC，因?yàn)锳F平面ABCD，CE平面ABCD.所以AFCE，所以四邊形ACEF在同一平面內(nèi)，因?yàn)锳F平面ABCD，所以AFBD，又因?yàn)锳BCD為正方形，所以ACBD，因?yàn)锳FACA，所以BD平面ACEF，所以BDEF.(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)CEa，則B(1，0，0)，F(xiàn)(0，0，1)，E(1，1，a)所以(1，0，1)，(0，1，a)設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為m(x，y，1)，得到所以m(1，a，1)由(1)知平面CEF的一個(gè)

8、法向量是 (1，1，0)，所以|cos，m|cos 30°.所以a2，即CE2.B.能力提升1在正四棱錐P­ABCD中，PA2，直線PA與平面ABCD所成角為60°，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與BE所成角為()A90° B60°C45° D30°解析：選C.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則PAO60°，所以O(shè)P，OA1，AB，P(0，0，)，A(，0)，B(，0)，C(，0)，E(，)，(，)，(，)，cos，所以，45°，即異面直線PA與BE所成角為45°.2.如圖所示，SA底面ABC，A

9、BBC，DE垂直平分SC，且分別交AC，SC于D，E，又SAAB，SBBC，則以BD為棱，以BDE與BDC為面的平面角的度數(shù)為()A90° B30°C60° D45°解析：選C.以A為原點(diǎn)，以AC所在直線為y軸，以AS所在直線為z軸，以和AS，AC都垂直的直線AF為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)SA1，因?yàn)镾A平面ABC，所以是平面ABC的一個(gè)法向量因?yàn)镾AAB1，SB，又SBBC，所以BC，所以AC.因?yàn)镈E垂直平分SC，所以E為SC的中點(diǎn)，又SBC是等腰三角形，所以BESC，所以SC平面EDB，所以是平面EBD的一個(gè)法向量由題設(shè)知S(0，0，1)，E.所

10、以(0，0，1)(0，0，0)(0，0，1)，(0，0，1)，所以·，|1，|1，所以cos，所以，60°.兩法向量所成角或其補(bǔ)角為兩平面所成角，所以平面BDE與平面BDC所成的角為60°.3空間四邊形OABC中，OBOC，AOBAOC，則cos，的值是_解析：設(shè)a，b，c，則a，ba，c，|b|c|.cos，0.答案：04把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為_(kāi)解析：當(dāng)VD­ABC最大時(shí)，平面DAC平面ABC.設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接OD，OB，建立坐標(biāo)系，設(shè)|a，B(a，0

11、，0)，D(0，0，a)，(0，0，a)，(a，0，a)，知為平面ABC的法向量，cos，故，45°.答案：45°5.如圖，在四棱錐P­ABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中點(diǎn)(1)求證：平面EAC平面PBC；(2)若平面PAC與平面EAC夾角的余弦值為，求直線PA與平面EAC夾角的正弦值解：(1)證明：因?yàn)镻C平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACPC，因?yàn)锳B2，ADCD1，所以ACBC，所以AC2BC2AB2，所以ACBC，又BCPCC，所以AC平面PBC，因?yàn)锳C平面EAC，所以平面EA

12、C平面PBC.(2)以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)設(shè)P(0，0，a)(a0)，則E(，)，(1，1，0)，(0，0，a)，(，)，取m(1，1，0)，則m·m·0，所以m為平面PAC的法向量設(shè)n(x，y，z)為平面EAC的法向量，則n·n·0，即取xa，ya，z2，則n(a，a，2)，依題意，|cosm，n|，則a2.于是n(2，2，2)，設(shè)直線PA與平面EAC的夾角為，則sin |cos，n|，即直線PA與平面EAC夾角的正弦值為.6.(選做題)如圖，四棱錐S­ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD2a，ADa，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DEa(02)(1)求證：對(duì)任意的(0，2，都有ACBE；(2)設(shè)二面角C­AE­D的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若tan ·tan 1，求的值解：(1)證明：以D為原點(diǎn)，的方向分別作為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(0，0，a)所以(a，a，0)，(a，a，a)，所以·